2023-2024学年河北省保定市竞秀区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市竞秀区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式中，属于分式的是( )
A. xB. 13xC. 2xD. x+12
3.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a//c”时，首先应假设( )
A. a//bB. c//bC. a与b相交D. a与c相交
4.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45∘后得到△A′OB′，若∠AOB=15∘，则∠AOB′的度数是( )
A. 25∘
B. 30∘
C. 35∘
D. 40∘
5.若aA. a−1>b−1B. a4>b4C. 1a>1bD. −3a>−3b
6.若分式x2x−1□xx−1运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为( )
A. +B. -C. +或×D. -或÷
7.淇淇在活动课上将三角形剪掉一个角后得到四边形ABCD，则下列判断错误的是( )
A. 变成四边形后内角和增加了360∘
B. 变成四边形后内角和增加了180∘
C. 外角和没有发生变化
D. 若剪掉的角的度数是60∘，则∠1+∠2=240∘
8.如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形ABCD中添加条件.对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是( )
嘉嘉：AD//BC；淇淇：AB=CD
A. 只有嘉嘉的正确B. 只有淇淇的正确C. 两人的都正确D. 两人的都不正确
9.如图，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，且PD=PE，DP，EP的延长线分别交OB，OA于点C，F.下列结论错误的是( )
A. △ODP≌△OEP
B. PD=CP
C. ∠DPO=∠EPO
D. OP平分∠AOB
10.如图所示，在平面直角坐标系中，▱OMNP的顶点P坐标是(3,4)，顶点M坐标是(4,0)，则顶点N的坐标是( )
A. N(7,4)
B. N(8,4)
C. N(7,3)
D. N(8,3)
11.如图，一个容量为400cm3的杯子中装有200cm3的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为320cm3，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出.若每个小玻璃球的体积是acm3，每个小铁块的体积是bcm3.下面四个说法：①a=20②4b<400−320；③杯子中仅放入6个小铁块，水一定不会溢出④杯子中仅放入12个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
12.如图，在△ABC中，AB=AC，尺规作图：(1)分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；(2)连接DB、DA、DC，DA交BC于点E，则下列结论中错误的是( )
A. AD垂直平分BC
B. 点D不一定在∠BAC的角平分线上
C. S四边形ABDC=12AD⋅BC
D. 若∠BAC=60∘，则BC垂直平分AD
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分解因式：3x2−18x+27=______.
14.琪琪在化简分式?x2−4时得到的结果为x−2x+2，则？部分的代数式应该是______.
15.已知一次函数y=kx+b(k,b是常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是__________________.
16.如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B在伞柄(AB)上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A，E，H三点重合(即AF=EF，EG=HG)，点B与点M重合，四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC=12cm，EF=9cm.
(1)CF=______ cm；
(2)若BC=AC，DG=17cm，∠BAC=60∘，则EH=______cm.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组2(x−1)−3x<0x−12−1≤0，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解.
18.(本小题7分)
已知：A=(1−2x+2)÷x2−2xx2−4x+4；
(1)化简A；
(2)从−2，−1，0，2中选一个合适的数作为x的值，求A的值.
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(4,2)，C(2,1).
(1)平移△ABC，得到△A1B1C1，已知点A的对应点A1的坐标为(−1,−1)，则点C的对应点C1的坐标为______；
(2)在图中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2恰好关于点M成中心对称，则M点坐标为______；四边形C2A1C1A2的面积为______.
20.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，AE=CF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若BE⊥EF，BE=8，BF=10，直接写出BD的长.
21.(本小题9分)
一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”.
观察：101−(1+0+1)=99=9×11；232−(2+3+2)=225=9×25；
555−(5+5+5)=540=9×60⋯
猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被______整除.
验证：
(1)若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想；
(2)设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字均为b，请你通过推理说明小红的猜想是正确的.
22.(本小题9分)
数学课上，欲证明命题：“在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30∘”.老师仅给出了较短直角边BC，要求大家利用尺规作出以∠C为直角的Rt△ABC，并借助所作图形证明上述命题.
(1)下面是嘉琪的部分作法及作出的部分图形，请你用尺规作图的方法在图2中完成后续作图；(只保留作图痕迹，不写作法，作图要用2B铅笔，如果笔迹太细、太轻，可以描重一些)
(2)嘉琪依据(1)中作出的Rt△ABC，写出了已知、求证和证明的过程，请你补充完整.
已知：Rt△ABC中，∠ACB=90∘，______.
求证：______.
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
23.(本小题12分)
端午节前，惠友超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示.
已知用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同.
(1)求甲乙两种水果的进价；
(2)若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，如果设将所有水果卖出会获利W元，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
24.(本小题13分)
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90∘，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点.
(1)观察猜想：
猜想①线段PM与PN的数量关系是______；
猜想②∠MPN与∠DBC、∠DCB、∠ECD之间的关系是______.
(2)探究证明：
嘉嘉把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接BD、CE、MN.发现(1)中猜想①②仍然成立.请你完成下面两个问题：
①证明：问题(1)中猜想①(线段PM与PN的数量关系)仍然成立；
②利用(1)中猜想②(∠MPN与∠DBC、∠DCB、∠ECD之间的关系)，推断线段PM与PN的位置关系.(请写出推断过程)
(3)拓展延伸：△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2 2,BC=4 2，直接写出△PMN面积的最大值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由图可知A是平移得到，B、C，D不是平移得到，
故选：A.
根据图形平移的性质解答即可．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、B中的代数式是单项式，属于整式，故A、B不符合题意；
C中的代数式是分式，故C符合题意；
D中的代数式是多项式，属于整式，故D不符合题意．
故选：C.
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB(B≠0)叫做分式，由此即可判断．
本题考查分式，关键是掌握分式的定义．
3.【答案】D
【解析】解：反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a//c”时，
首先应假设a与c不平行，即a与c相交．
故选：D.
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查旋转的知识，对旋转特征的掌握是解本题的关键.
根据旋转的性质，旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案.
【解答】
解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45∘后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45∘，∠AOB=∠A′OB′=15∘，
∴∠AOB′=∠A′OA−∠A′OB′=45∘−15∘=30∘
故选B.
5.【答案】D
【解析】解：A.在不等式aB.在不等式aC.aD.在不等式a−3b，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D.
根据不等式的性质解答．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】D
【解析】解：x2x−1−xx−1=x2−xx−1=x(x−1)x−1=x，
x2x−1+xx−1=x2+xx−1=x(x+1)x−1，
x2x−1÷xx−1=x2x−1×x−1x=x.
x2x−1×xx−1=x3(x−1)2，
则所填的符号是-或÷.
故选：D.
分别代入符号+，-，×，÷，利用分式的相关运算法则进行计算，根据所得的结果，即可做出判断.
本题主要考查分式的加减乘除运算，关键是熟练掌握分式的相关运算法则．
7.【答案】A
【解析】解：A.∵将三角形的内角和是180∘，剪掉一个角后得到四边形ABCD的内角和是360∘，∴内角和增加了180∘，∴此选项的判断错误，故此选项符合题意；
B.∵将三角形的内角和是180∘，剪掉一个角后得到四边形ABCD的内角和是360∘，∴内角和增加了180∘，∴此选项的判断正确，故此选项不符合题意；
C.∵不管多边形是几边形，外角和都是360∘，∴此选项的判断正确，故此选项不符合题意；
D.∵剪掉的角是60∘，∴∠A+∠B=120∘，∴∠1+∠2=360∘−(∠A+∠B)=360∘−120∘=240∘，∴此选项的判断正确，故此选项不符合题意；
故选：A.
A，B选项均根据多边形内角和公式，求出三角形和四边形的内角和，求出它们的差，进行判断即可；
C.根据多边形的外角和都是360∘，与多边形的边数无关，进行判断即可；
D.根据三角形内角和定理，求出∠1+∠2，进行判断即可．
本题主要考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理和外角的性质，解题关键是注意利用数形结合的思想解决问题．
8.【答案】C
【解析】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加AD//BC；
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加AB=CD；
故两人的都正确；
故选：C.
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可．
本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
9.【答案】B
【解析】解：∵PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，且PD=PE，
∴OP平分∠AOB，
在Rt△ODP和Rt△OEP中，
PD=PEOP=OP，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)，
∴∠DPO=∠EPO，
故选项A，C，D不符合题意，选项B符合题意，
故选：B.
根据HL证明Rt△ODP≌Rt△OEP，根据角平分线的判定得出OP平分∠AOB，可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】A
【解析】解：在▱OMNP中，OM//PN，OM=PN，
∴点P，N纵坐标相同，点N的横坐标等于点P的横坐标加上点M的横坐标，
∵顶点P的坐标是(3,4)，顶点M坐标是(4,0)，
∴点N纵坐标为4，，点N的横坐标=3+4=7，
∴点N的坐标为(7,4).
故选：A.
此题根据平行四边形边的性质即可在直角坐标系中求出N点坐标．
此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和点P，点M的坐标，求出点N的纵坐标是解题关键．
11.【答案】C
【解析】解：①a=(320−200)÷5=20(cm3)，故①正确；
②∵直到放入第4个铁块后，发现有水溢出．∴4b>400−320，故②不正确；
③根据题意可得：4b≥400−3203b≤400−320
解得：20∵400−200=200>160，
∴水不会溢出，故③正确；
④由①可得：a=20，
∴12a=12×20=240>200∴水一定会溢出，故④正确；
综上：正确的有①③④；
故选：C.
①根据“将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为3)2(m2,列出算式，即可求出a；②根据“直到放入第4个后，发现有水溢出“即可解答；③根据“直到放入第4个后，发现有水溢出”列出不等式组，求出△的取值范围，即可解答；④根据①中求出a的值，即可解答．
本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式求解．
12.【答案】B
【解析】解：由作图得DB=DC=BC，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，
故A不符合题意；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的角平分线，
故B符合题意；
∵AD⊥BC，
∴S四边形ABDC=S△ABD+S△ACD=12AD⋅BE+12AD⋅CE=12AD⋅BC，
故C不符合题意；
∵AB=AC，∠BAC=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∴AB=DB，
∵BC⊥AD，
∴AE=DE，
∴BC垂直平分AD，
故D不符合题意；
故选：B.
由作图得DB=DC=BC，得到AD垂直平分BC，故A不符合题意；根据等腰三角形的性质得到AD是∠BAC的角平分线，故B符合题意；根据三角形的面积公式得到S四边形ABDC=S△ABD+S△ACD=12AD⋅BE+12AD⋅CE=12AD⋅BC，故C不符合题意；根据等边三角形的性质得到AB=BC，推出BC垂直平分AD，故D不符合题意．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13.【答案】3(x−3)2
【解析】解：3x2−18x+27，
=3(x2−6x+9)，
=3(x−3)2.
故答案为：3(x−3)2.
先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14.【答案】(x−2)2
【解析】解：由题意得：
?x2−4=x−2x+2，
?(x−2)(x+2)=x−2x+2，
?(x−2)(x+2)=(x−2)(x−2)(x−2)(x+2)，
?(x−2)(x+2)=(x−2)2(x−2)(x+2)，
则？部分为：(x−2)2.
故答案为：(x−2)2.
根据分式约分的相应的运算法则进行分析即可．
本题主要考查约分，解答的关键是明确约分的相应的法则．
15.【答案】x>1
【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式等知识点，解此题的关键是能根据图象确定一元一次不等式的解集．用的数学思想是数形结合的思想．
首先求出一次函数的解析式，由k的值确定图象经过一二四象限，根据与x轴交点的坐标即可求出答案．
【解答】
解：把(−1,2)，(0,1)代入y=kx+b得：2=−k+b1=b，
解得：k=−1，b=1，
∴y=−x+1，由表可知与x轴交于(1,0)，
k=−1<0，图象经过一二四象限，
∴不等式kx+b<0的解集是x>1.
16.【答案】320 3
【解析】解：(1)∵EF=9cm，AF=EF，
∴AF=EF=9cm，
又∵AC=12cm，
∴CF=AC−AF=3cm，
故答案为：3.
(2)连接EH，过点G作GP⊥EH于P，如图所示：

∵BC=AC，∠BAC=60∘，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60∘，
∵四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，
∴AC//DE，DN//MG，DE=CF=3cm，
∴∠ACB=∠EDC=∠DGM=60∘，
∴∠EGH=180∘−∠DGM=120∘，
∵EG=HG，GP⊥EH，
∴∠EGP=∠HGP=12∠EGH=60∘，EP=HP，
∵DG=17cm，DE=CF=3cm，
∴EG=DG+DE=20cm，
在Rt△EGP中，∠GEP=90∘−∠EGP=90∘−60∘=30∘，
PG=12EG=12×20=10(cm)
由勾股定理得：EP= EG2−PG2= 202−102=10 3(cm)，
∴EP=HP=10 3cm，
∴EH=EP+HP=20 3(cm).
故答案为：20 3.
(1)根据EF=9cm，AF=EF得AF=EF=9cm，再根据AC=12cm即可得出CF的长；
(2)连接EH，过点G作GP⊥EH于P，根据BC=AC，∠BAC=60∘，得△ABC为等边三角形，则∠ACB=60∘，再根据平行四边形性质得AC//DE，DN//MG，DE=CF=3cm，则∠ACB=∠EDC=∠DGM=60∘，进而得∠EGH=120∘，再根据等腰三角形的性质得∠EGP=∠HGP=60∘，EP=HP，然后在Rt△EGP中根据∠GEP=30∘，EG=DG+DE=20cm，得PG=10cm，再由勾股定理求出EP=10 3cm，进而可得EH的长．
此题主要考查了平行四边形的性质，含有30∘角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解平行四边形的性质，熟练掌握含有30∘角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
17.【答案】解：{2(x−1)−3x<0①x−12−1⩽0②，
解不等式①：2(x−1)−3x<0，
2x−2−3x<0，
−x<2，
x>−2，
解不等式②：x−12−1≤0，
x−1−2≤0，
x≤3，
∴不等式组的解集为−2∴不等式组的整数解为：−1，0，1，2，3，
解集在数轴上表示如下：

【解析】先分别把每个不等式的解集求出来，再求出不等式组的解集，最后把解集在数轴上表示出了即可．
本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．
18.【答案】解：(1)A=(1−2x+2)÷x2−2xx2−4x+4
=x+2−2x+2÷x(x−2)(x−2)2
=xx+2⋅(x−2)2x(x−2)
=x−2x+2；
(2)∵x≠0，x−2≠0，x+2≠0，
∴x≠0，x≠±2，
∴当x=−1时，
原式=−1−2−1+2
=−3.
【解析】(1)利用分式的相应的法则对式子进行化简即可；
(2)结合分式有意义的条件进行分析，选取合适的数代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19.【答案】(0,−3)(−1,−2)2
【解析】解：(1)由题意得，△ABC向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，
∴点C的对应点C1的坐标为(0,−3).
故答案为：(0,−3).
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点M，
则△A1B1C1与△A2B2C2关于点M成中心对称，
∴点M的坐标为(−1,−2).
四边形C2A1C1A2的面积为1×2=2.
故答案为：(−1,−2)；2.
(1)由题意得，△ABC向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，根据平移的性质可得答案．
(2)根据中心对称的性质作图即可．
(3)连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点M，则△A1B1C1与△A2B2C2关于点M成中心对称，由图可得点M的坐标；根据平行四边形的面积公式计算即可．
本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠BAF=∠DCE，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
在△BAF和△DCE中，
AB=CD∠BAF=∠DCEAF=CE，
∴△BAF≌△DCE(SAS)，
∴BF=DE，∠AFB=∠CED，
∴BF//DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)解：BD的长是2 73，
理由：连接BD交EF于点H，
∵BE⊥EF，BE=8，BF=10，
∴∠BEF=90∘，
∴EF= BF2−BE2= 102−82=6，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴EH=FH=12EF=3，
∴BH=DH= BE2+EH2= 82+32= 73，
∴BD=2BH=2 73，
∴BD的长是2 73.
【解析】(1)由平行四边形的性质得AB=CD，AB//CD，则∠BAF=∠DCE，由AE=CF，推导出AF=CE，即可根据“SAS”证明△BAF≌△DCE，得BF=DE，∠AFB=∠CED，所以BF//DE，则四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接BD交EF于点H，BE=8，BF=10，∠BEF=90∘，得EF= BF2−BE2=6，则EH=FH=3，求得BH=DH= BE2+EH2= 73，所以BD=2BH=2 73.
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△BAF≌△DCE是解题的关键．
21.【答案】9
【解析】解：101−(1+0+1)=99=9×11；
232−(2+3+2)=225=9×25；
555−(5+5+5)=540=9×60.
将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除．
故答案为：9.、
(1)979−(9+7+9)=944=9×104，故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；
(2)(100a+10b+a)−(a+b+a)=99a+9b=9(11a+b)，
∵a，b为整数，
∴9(11a+b)能被9整除，
∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除．
根据运算结果计算即可；
(1)根据题意可得979−(9+7+9)=944=9×104，即可求解；
(2)根据题意可得(100a+10b+a)−(a+b+a)=99a+9b=9(11a+b)，即可求解．
本题考查了推理与论证，整式的加减，解决本题的关键是理解“对称数”的意义，并能进行有关运算．
22.【答案】AB=2BC∠BAC=30∘
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)已知：Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=2BC.
求证：∠BAC=30∘.
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵AC⊥BD，BC=CD，
∴AB=AD，
∵AB=2BC，
∴AB=BD=AD，
∴∠BAD=60∘，
∴∠BAC=∠CAD=12∠BAD=30∘.
故答案为：AB=2BC，∠BAC=30∘.
(1)根据要求作出图形；
(2)证明△ABD是等边三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质解决问题．
本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：(1)根据题意得：1000x=1400x+4，
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的解，也满足题意，
∴x+4=10+4=14，
∴甲种水果的进价为10元/千克，乙种水果的进价为14元/千克；
(2)设购进m千克甲种水果，则购进(100−m)千克乙种水果，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，
∴m≥4(100−m)，
解得m≥80，
而W=(18−10)m+(23−14)(100−m)=−m+900，
∵−1<0，
∴W随m增大而减小，
∴当m=80时，W取最大值，最大值为−80+900=820(元)，
此时100−m=100−80=20，
∴购进80千克甲种水果，20千克乙种水果，才能获得最大利润，最大利润是820元．
【解析】(1)根据用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同得：1000x=1400x+4，解方程并检验可得答案；
(2)设购进m千克甲种水果，由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，得m≥4(100−m)，故m≥80，而W=(18−10)m+(23−14)(100−m)=−m+900，根据一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程和函数关系式．
24.【答案】PM=PN∠MPN=∠ECD+∠DCB+∠DBC
【解析】解：(1)①PM=PN.
理由：∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN//BD，PN=12BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM//CE，PM=12CE，
∵AB=AC，AD=AE，
.∴BD=CE，
∴PM=PN.
②∠MPN=∠ECD+∠DCB+∠DBC.
理由：
∵PN//BD，PM//CE，
∴∠PNC=∠DBC，∠MPD=∠ECD，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECD+(∠DCB+∠PNC)=∠ECD+∠DCB+∠DBC.
故答案为：PM=PN，∠MPN=∠ECD+∠DCB+∠DBC.
(2)①PM=PN.
证明：∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
由AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
得：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE.
∵PN=12BD，PM=12CE，
∴PM=PN.
②∠MPN=∠ECD+∠DCB+∠DBC，PM⊥PN.
证明：延长BD交EC于H.
同(1)②得∠MPN=∠ECD+∠DCB+∠DBC.
同(2)①得△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠AGB=∠HGC，
∴∠GHC=∠BAC=90∘，
∴∠ECD+∠DCB+∠DBC=90∘，
∴∠MPN=90∘，
∴PM⊥PN.
(3)解：连AN、AM.
∵△PMN始终为等腰Rt△，
故斜边MN最大时，△PMN面积最大．
故当M、A、N三点共线时，MN最大．
∴AN=12BC=2 2，AM=12DE= 2，
∴MN=3 2，
∴PM=MN 2=3，
∴△PMN面积最大=12×3×3=92.
(1)①由点P，N是BC，CD的中点，PN//BD，PN=12BD，同理PM//CE，PM=12CE，由AB=AC，AD=AE，得BD=CE，故PM=PN.
②由PN//BD，PM//CE，得∠PNC=∠DBC，∠MPD=∠ECD，故∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECD+(∠DCB+∠PNC)=∠ECD+∠DCB+∠DBC.
(2)①由∠BAC=∠DAE=90∘，得∠BAD=∠CAE，证明△ABD≌△ACE，得BD=CE.再利用中位线得PM=PN.
②延长BD交EC于H.
同(1)②得∠MPN=∠ECD+∠DCB+∠DBC.同(2)①得△ABD≌△ACE，∠ABD=∠ACE，由∠AGB=∠HGC，故∠GHC=∠BAC=90∘，∠ECD+∠DCB+∠DBC=90∘，∠MPN=90∘，故PM⊥PN.
(3)连AN、AM.△PMN始终为等腰Rt△，故斜边MN最大时，△PMN面积最大．故当M、A、N三点共线时，MN最大．由AN=12BC=2 2，AM=12DE= 2，得MN=3 2，PM=MN 2=3，得△PMN面积最大=12×3×3=92.
本题考查了几何变换综合题，利用手拉手证明全等是解题关键．x
−2
−1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
−1
−2
水果价钱
甲
乙
进价(元/千克)
x
x+4
售价(元/千克)
18
23