2023-2024学年河北省衡水三中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年河北省衡水三中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列调查中，适合采用普查的是( )
A. 调查北京冬奥会开幕式的收视率B. 调查某批玉米种子的发芽率
C. 调查某市居民进行垃圾分类的情况D. 调查疫情期间某超市工作人员的健康码
2.若m<−2，则一次函数y=(m+1)x+1−m的图象不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.如图，在▱ABCD中，∠A：∠B=2：3，则∠C=( )
A. 36∘
B. 72∘
C. 108∘
D. 144∘
4.如图，直线l1：y=2x−1与直线l2：y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3)，则关于x的不等式2x−1>kx+b的解集是( )
A. x>2
B. x<3
C. x<2
D. x>3
5.添加下列一个条件，能使▱ABCD成为菱形的是( )
A. AB=CD
B. AC=BD
C. ∠BAD=90∘
D. AB=BC
6.如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是( )
A. B. C. D.
7.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G分别是AO，AD，AB的中点，且EF=1，则GE的长为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
8.嘉琪调查了本班每位同学对四类电视节目的喜爱情况，并绘制了不完整的扇形统计图及条形统计图(柱的高度从高到低排列).条形统计图不小心被撕了一块，则图中“”应填的电视节目是( )
A. 体育B. 综艺C. 动画体育D. 新闻
9.如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62∘，则∠DFE的度数为( )
A. 31∘
B. 28∘
C. 62∘
D. 56∘
10.有一个装有水的容器，如图所示，注水之前容器内有少量水，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度匀速增加，则容器注满水之前，将容器内的水面高度y(cm)与时间x(秒)记录于如表，则★的值是( )
A. 16B. 17C. 18D. 19
11.一个多边形边数每增加1条时，其内角和( )
A. 增加180∘B. 增加360∘C. 不变D. 不能确定
12.如图，点A(3,0)，B(0,4)，线段AB绕点A顺时针方向旋转90∘得线段AC，则点C的坐标为( )
A. (7,3)
B. (6,4)
C. (8,5)
D. (8,4)
13.如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是( )
A. 不变B. 一直增大C. 先增大后减小D. 先减小后增大
14.某加工厂要在5天内加工完220吨面粉，加工厂安排甲、乙两组共同完成加工任务，乙组加工中途停工一段时间维修设备，然后提高加工效率继续加工，直到与甲队同时完成加工任务为止．设甲、乙两组各自加工面粉数量y(吨)与甲组加工时间x(天)之间的关系如图所示．观察图象后，小李、小王分别说出各自的判断：
小李：甲组每天加工面粉20吨；
小王：到第3天结束时，甲、乙两组共完成总任务的一半．
下列说法正确的是( )
A. 只有小李的判断正确B. 两人的判断都正确
C. 只有小王的判断正确D. 两人的判断都不正确
15.图1，在Rt△ABC中，∠A=90∘，点P从点A出发，沿三角形的边以1cm/秒的速度逆时针运动一周，图2是点P运动时，线段AP的长度y(cm)随运动时间x(秒)变化的关系图象，则图2中点Q的纵坐标是( )
A. 4.5B. 4.8C. 5D. 5.5
16.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1，PB= 5.下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为 2；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB=1+ 6；
⑤S正方形ABCD=4+ 6.
其中正确结论的序号是( )
A. ①③④B. ①②⑤C. ③④⑤D. ①③⑤
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
17.函数y= 2−x+1x−1中自变量x的取值范围是______.
18.在弹性限度内，某弹簧挂上重物后的总长度L(cm)与所挂物体质量x(kg)之间满足一次函数关系，且点A(0,15)，B(1,17)均在其图象上，则L与x之间的函数关系式是______.(不必写出x的取值范围)
19.如图，点E是矩形ABCD内任一点，若AB=3，BC=4.则图中阴影部分的面积为______.
20.如图1，在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE.点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C.图2是点P运动时，△APE的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象．
(1)正方形ABCD的边长为______.
(2)当x=7时，y的值为______.
三、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题11分)
已知：函数y=(b+2)xb2−3且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是 11的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求2a−b+c的平方根．
22.(本小题11分)
学校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间(单位：小时)分成5组，A：0.5≤x<1，B：1≤x<1.5，C：1.5≤x<2，D：2≤x<2.5，E：2.5≤x<3，制作了两幅如图的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)学生会随机调查了______名学生；
(2)补全频数分布直方图；
(3)扇形E应的圆心角为______度；
(4)若全校有1800名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2小时的学生有多少人？
23.(本小题11分)
D县举办运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品5件和B种奖品2件，共需80元；若购买A种奖品3件和B种奖品3件，共需75元．
(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元？
(2)大会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W(元)与m(件)之间的函数关系式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．
24.(本小题11分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，过点C的直线MN//AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE=AD；
(2)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；
(3)请直接写出在(2)的条件下，当∠A=______ ∘时，四边形BECD是正方形.
25.(本小题11分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−x+n图象与正比例函数y=2x的图象交于点A(m,4).
(1)求m，n的值；
(2)设一次函数y=−x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
(3)直接写出使函数y=−x+n的值小于函数y=2x的值的自变量x的取值范围．
(4)在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题11分)
已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON.(当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2)
(1)请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；
(2)设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.调查北京冬奥会开幕式的收视率，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
B.调查某批玉米种子的发芽率，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
C.调查某市居民进行垃圾分类的情况，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
D.调查疫情期间某超市工作人员的健康码，适合采用全面调查方式，符合题意．
故选：D.
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意得：
若m<−2，则m+1<−1<0，1−m>3>0，
所以该一次函数不经过第三象限．
故选：C.
根据一次函数的图象与系数的关系分析即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
3.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180∘，
∵∠A：∠B=2：3，
∴∠B=32∠A.
∴∠A+32∠A=180∘.
解得：∠A=72∘，
∴∠C=∠A=72∘.
故选：B.
由平行四边形的性质可得∠A+∠B=180∘，∠A=∠C，再结合题意求出∠A=72∘，即可得出∠C的度数．
本题主要考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：根据图象可得：不等式2x−1>kx+b的解集为：x>2，
故选：A.
以两函数图象交点为分界，直线l1在直线l2的上方时，x>2.
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据菱形的判定进行判断即可.
【解答】
解：根据菱形的判定可知，添加AB=BC或AC⊥BD能使▱ABCD成为菱形，
故选：D.
【点评】
本题主要考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b经过两点(0,b)、(−bk,0).注意：使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．
对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符号要求．
【解答】
解：A、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a>0，b>0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以A选项错误；
B、若经过第一、二、四象限的直线为y=ax+b，则a<0，b>0，所以直线y=bx+a经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、若经过第一、三、四象限的直线为y=ax+b，则a>0，b<0，所以直线y=bx+a经过第一、二、四象限，所以C选项正确；
D、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a>0，b>0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以D选项错误；
故选：C.
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BO=DO.
∵点E，F分别是AO，AD的中点，
∴EF=12DO.
同理，GE=12BO.
∴EF=GE=1.
故选：D.
根据矩形的性质，可得BO=DO，根据中位线定理，可得EF=12DO和GE=12BO，进而可求得EF与GE的数量关系．
本题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是牢记矩形的性质和三角形中位线定理．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意得：
5÷10%=50(人)，
体育类电视节目的百分比是(16÷50)×100%=32%，
则新闻体育类电视节目的人数是：50×28%=14(人)，
综艺类电视节目的人数是：50−16−5−14=15(人)，
∵柱的高度从高到低排列，
∴图中“( )”应填的电视节目是新闻．
故选：D.
根据动画类的频数和百分比可得调查总数，根据柱的高度从高到低排列的和扇形所占的百分比得出体育类电视节目的百分比是32%，求出新闻体育类电视节目的人数，综艺类电视节目的人数，再根据柱的高度从高到低排列，从而得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
先利用互余计算出∠FDB=28∘，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28∘，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28∘，然后利用三角形外角的性质计算∠DFE的度数．
【解答】
解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD//BC，∠ADC=90∘，
∵∠BDC=62∘，
∴∠FDB=90∘−∠BDC=90∘−62∘=28∘，
∵AD//BC，
∴∠CBD=∠FDB=28∘，
∵长方形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD=∠CBD=28∘，
∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28∘+28∘=56∘.
故选D.
【点评】
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质．
10.【答案】A
【解析】解：设y与x的关系式为y=kx+b，
将(5,11)，(10,12)分别代入，得
5k+b=1110k+b=12.
解得k=15b=10.
故该一次函数解析式为：y=15x+10.
当x=30时，y=15x+10=16.
即★的值是16.
故选：A.
设y与x的关系式为y=kx+b，然后将(5,11)，(10,12)分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得k、b的值，从而求得函数解析式；最后将x=30代入函数解析式求得相应的y的值即可．
本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法确定函数解析式是解题的突破口．
11.【答案】A
【解析】解：∵n边形的内角和=(n−2)×180∘，
∴多边形的边数增加1，其内角和增加180∘，
故选：A.
根据多边形的内角和公式判断即可．
本题考查多边形的内角和公式，理解多边形内角和公式是求解本题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：如图，作CD⊥x轴于点D，
由旋转的性质知：AB=AC，∠BAC=90∘.
∵∠CAD+∠C=90∘，∠CAD+∠BAO=90∘，
∴∠BAO=∠C.
在△ABO与△CAD中，
∠BOA=∠ADC∠BAO=∠CAB=CA.
∴△ABO≌△CAD(AAS).
∴OA=CD=3，OB=DA=4.
∴C(7,3).
故选：A.
作CD⊥x轴于点D，如图，根据旋转的性质得∠BAC=90∘，AC=BA，再利用等角的余角相等得到∠BAO=∠C，则可证明△ABO≌△CAD得到OA=CD=3，OB=DA=4，然后根据第一象限内点的坐标特征写出C点坐标．
本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形变化-旋转．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决本题的关键是作CD⊥x轴于点D后求出CD和OD的长．
13.【答案】A
【解析】解：∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵O是EF的中点，
∴O也是AD的中点，
∴在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，
根据同底等高的三角形面积相等可知：在整个运动过程中，△OBC的面积不变，
故选：A.
根据平行四边形的性质得出在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，到BC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等，即可判断△OBC的面积的不变．
本题考查了三角形的面积，得出O的轨迹是△ABC的中位线是解题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：由图象可得，甲组每天加工面粉：(220−120)÷5=20(吨)，故小李判断正确；
乙提高加工效率后每天加工面粉：(120−15)÷(5−2)=35(吨)，
到第3天结束时，甲、乙两组共完成：20×3+(15+35)=60+50=110(吨)，即到第3天结束时，甲、乙两组共完成总任务的一半，故小王判断正确；
所以两人的判断都正确．
故选：B.
根据图象的横纵坐标表示的意义，进行计算即可得出答案．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
15.【答案】C
【解析】解：由图象可知：AB=8，BC=18−8=10，
当x=13时，即点运动了13>8，
∴此时点P在线段BC上，BP=13−8=5，
则P点为BC的中点，
又因为∠A=90∘，
所以AP=12BC=5.
所以图(2)中Q的纵坐标为5.
故选：C.
图(2)中的图象有三段，正好对应图(1)中的线段AB，BC，AC，所以AB=8，BC=10，当x=13时，则P点为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得此时AP的长度，即图(2)中点Q的纵坐标y.
本题考查了动点问题的函数图象，解题时注意图(2)中的点Q的y并不是最小值．
16.【答案】D
【解析】解：①∵∠EAB+∠BAP=90∘，∠PAD+∠BAP=90∘，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB(故①正确)；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90∘，
∴EB⊥ED(故③正确)；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90∘，
∴∠AEP=∠APE=45∘，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45∘，
又∵BE= BP2−PE2= 5−2= 3，
∴BF=EF= 62(故②不正确)；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP= 2，
又∵PB= 5，
∴BE= 3，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE= 3，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD−S△BDP=12S正方形ABCD−12×DP×BE=12×(4+ 6)−12× 3× 3=12+ 62.(故④不正确).
⑤∵EF=BF= 62，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB2=(AE+EF)2+BF2=4+ 6，
∴S正方形ABCD=AB2=4+ 6(故⑤正确)；
故选：D.
①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90∘，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90∘，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．
本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识．
17.【答案】x≤2且x≠1
【解析】【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【解答】
解：由题意得，2−x≥0且x−1≠0，
解得x≤2且x≠1.
故答案为：x≤2且x≠1.
18.【答案】L=2x+15
【解析】解：设L与x之间的函数关系式为L=kx+b，
把A(0,15)，B(1,17)代入解析式得，
15=b17=k+b，
解得k=2b=15，
∴L与x之间的函数关系式是L=2x+15，
故答案为：L=2x+15.
设L与x之间的函数关系式为L=kx+b，把A(0,15)，B(1,17)代入解析式，解得即可．
本题考查用待定系数法求一次函数解析式以及一次函数解析式的应用，求出一次函数关系式的解析式是解决本题的关键．
19.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，
设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2=AB，
∴S△EAB+S△ECD=12AD⋅h1+12BC⋅h2=12AD(h1+h2)=12AD⋅AB=12矩形ABCD的面积=12×3×4=6；
故答案为：6.
根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
20.【答案】(1)4
(2)132
【解析】解：(1)设正方形的边长为a，
由图象可知，当P、D重合时，△APE的面积为8，
∴y=12AD⋅AB=8，
∴12a2=8，
解得a=4(−4舍去)，
∴正方形的边长为4，
故答案为：4；
(2)由图象可知，点P到终点时，△APE的面积是6，
此时P、C重合，y=12EC⋅AB=6，
得EC=3，
当x=7时，点P在CD边上，如图，
y=S正方形ABCD−S△ABE−S△PEC−S△APD
=4×4−12×4×1−12×3×1−12×4×3
=132，
故答案为：132.
(1)抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得△APE的最大面积为8，此时P、D重合，y=12AD⋅AB=8，即可求解；
(2)先抓住关键点，知道点P到终点时，△APE的面积是6，此时P、C重合，y=12EC⋅AB=6，得EC=3，根据图象分析当x=7时，点P在CD上，且PD=3，再求△APE的面积．
本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解．
21.【答案】解：(1)∵函数y=(b+2)xb2−3且y是x的是正比例函数，
∴b+2≠0b2−3=1，
∴b=2，
∵5a+4的立方根是4，
∴5a+4=43，
∴a=12，
∵c是 11的整数部分，
∴c=3；
(2)2a−b+c=2×12−2+3=25，则2a−b+c的平方根为±5.
【解析】(1)根据正比例函数的定义、立方根、估算无理数的大小确定a、b、c的值；
(2)把(1)中a，b，c的值代入计算求得2a−b+c，进而即可求得2a−b+c的平方根．
本题考查正比例函数、立方根、估算无理数的大小，掌握正比例函数的定义、立方根的意义是正确解答的前提，确定a、b、c的值是正确解答的关键．
22.【答案】(1)50；
(2)∵1.5≤x<2的人数为50×40%=20人，
∴1≤x<1.5的人数为50−(3+20+10+4)=13人，
补全图形如下：
(3)28.8；
(4)1800×10+450=504(人)，
答：估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2小时的学生有504人．
【解析】解：(1)学生会调查的学生人数为10÷20%=50(人)，
故答案为：50；
(2)见答案；
(3)360∘×450=28.8∘，
故答案为：28.8；
(4)见答案.
(1)根据D组人数及其所占百分比即可得出总人数；
(2)总人数乘以C组的百分比求得C组人数，总人数减去其余各组人数求得B人数人数即可补全条形图；
(3)用360∘乘E所占比例可得；
(4)总人数乘以样本中D、E组人数所占比例可得．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23.【答案】解：(1)设A、B两种奖品的单价分别为x、y元，
则5x+2y=803x+3y=75，
解得：x=10y=15；
(2)设购买A种奖品m件，则B为(100−m)件，
由题意得：10m+15(100−m)≤1500m≤3(100−m)，
解得：70≤m≤75，
W=10m+15(100−m)=1500−5m，
当m=75时，W有最小值为：1125，
答：最少费用为1125.
【解析】(1)设A、B两种奖品的单价分别为x、y元，则5x+2y=803x+3y=75，即可求解；
(2)设购买A种奖品m件，则B为(100−m)件，由题意得：10m+15(100−m)≤1500m≤3(100−m)，而W=10m+15(100−m)=1500−5m，即可求解．
此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是(2)中用不等式组，确定m的取值范围．
24.【答案】45
【解析】(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵MN//AB，即CE//AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
(2)解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90∘，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
(3)解：当∠A=45∘时，∵∠ACB=90∘，
∴∠ABC=45∘，
由(2)可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC=∠CBE=45∘，
∴∠DBE=90∘，
∴四边形BECD是正方形．
故答案为：45.
(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
(3)当∠A=45∘，四边形BECD是正方形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)正比例函数y=2x的图象过点A(m,4).
∴4=2m，
∴m=2.
又∵一次函数y=−x+n的图象过点A(2,4).
∴4=−2+n，
∴n=6.
(2)一次函数y=−x+n的图象与x轴交于点B，
∴令y=0，则0=−x+6
∴x=6，
∴点B坐标为(6,0)，
令x=0，则y=6，
∴点C坐标为(0,6)；
(3)由图象可知：x>2；
(4)∵点A(2,4)，
∴AB= (2−6)2+(4−0)2=4 2，
当AB=BP=4 2时，则点P(6+4 2,0)或(6−4 2,0)；
当AB=AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E(2,0)，
∵AB=AP，AE⊥BO，
∴PE=BE=4，
∴点P(−2,0)；
当PA=PB时，
∴∠PBA=∠PAB=45∘，
∴∠APB=90∘，
∴点P(2,0)，
综上所述：点P坐标为(6+4 2,0)或(6−4 2,0)或(−2,0)或(2,0).
【解析】(1)将点A的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值．将点A的坐标代入一次函数的解析式中即可求出n的值．
(2)令x=0，可得y=6，令y=0，可得x=6，即可求解；
(3)根据图象即可写出x的取值范围；
(4)分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
26.【答案】(1)证明：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90∘，∠OCB=∠OBA=45∘，∠DOC=90∘，DC//AB，
∵DP⊥CN，
∴∠CMD=∠DOC=90∘，
∴∠BCN+∠CPD=90∘，∠PCN+∠DCN=90∘，
∴∠CPD=∠CNB，
∵DC//AB，
∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，
∵在△DCP和△CBN中
∠DCB=∠CBN∠CPD=∠BNCDC=BC，
∴△DCP≌△CBN(AAS)，
∴CP=BN，
∵在△OBN和△OCP中
OB=OC∠OCP=∠OBNCP=BN，
∴△OBN≌△OCP(SAS)，
∴ON=OP，∠BON=∠COP，
∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，
即∠NOP=∠BOC=90∘，
∴ON⊥OP，
即ON=OP，ON⊥OP.
(2)解：∵AB=4，四边形ABCD是正方形，
∴O到BC边的距离是2，
图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，
=12×(4−x)×2+12×x×2，
=4(0图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN
=12×x×2+12×(x−4)×x
=12x2−x(x>4)，
即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：y=4(04).
【解析】(1)根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB=∠CBN=90∘，求出∠CPD=∠DCN=∠CNB，证△DCP≌△CBN，求出CP=BN，证△OBN≌△OCP，推出ON=OP，∠BON=∠COP，求出∠PON=∠COB即可；
(2)同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可．
本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解(1)小题的关键是能运用性质进行推理，解(2)的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似．x/秒
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10
25
30
y/cm
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