新高考数学一轮复习导学案第13讲 对数与对数函数（2份打包，原卷版+解析版）

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1、对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象与性质
2、反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
对数函数的图象与底数大小的比较
3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 SKIPIF 1 < 0 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ SKIPIF 1 < 0 ）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
2、已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3、已知，则（ ）
A．B．C．D．
4、设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5、已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a6、已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
1、函数f(x)＝lg2(－x2＋2eq \r(2))的值域为( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
2、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
3、函数y＝lga(x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．
4、已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A.aC.c5、函数f(x)＝lg2(2x＋1)的单调增区间为________．
考向一 对数函数的运算
例1 化简下列各式：
(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,4)－lg 25))÷；
(2) lg225×lg34×lg59；
(3) eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－ eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245).
变式1、区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有 SKIPIF 1 < 0 种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行 SKIPIF 1 < 0 次运算.现在有一台计算机，每秒能进行 SKIPIF 1 < 0 次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（ ）（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
方法总结：对数式的运算化简要注意变成同底的对数式来进行．
考向二 对数函数的性质及其应用
例1、（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
（2）设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x＞0，,lg\f(1,2)（－x），x＜0.))若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．
（3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．
变式1、（1）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．0C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
（2）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是R上的奇函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式2、（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系正确的是 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．
(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．
(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数01两种情形进行分类讨论，防止错解．
考向三 对数函数的图像及其应用
例2、 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
变式1、 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0C．0(2)若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为 ．
变式2、已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正实数，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
考向三 对数函数的综合及应用
例3、 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求该函数的值域；
（2）求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集；
变式1、(多选)已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．h(x)的图象关于原点对称 B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0 D．h(x)在区间(－1,1)上单调递增
变式2、已知函数f(x)＝lg eq \f(kx－1,x－1)(k∈R).
(1) 当k＝0时，求函数f(x)的值域；
(2) 当k＞0时，求函数f(x)的定义域；
(3) 若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k的取值范围．
方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．
1、已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2、设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增B．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
C．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增D．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
3、在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式 SKIPIF 1 < 0 是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 SKIPIF 1 < 0 叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比 SKIPIF 1 < 0 从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的（ ）参考数据： SKIPIF 1 < 0 ．
A．2.4倍B．2.5倍C．2.6倍D．2.7倍
4、（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5、若函数 SKIPIF 1 < 0 满足：（1）对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，都有 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)
6、 已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________；
7、已知函数f(x)＝|lg2x|，实数a，b满足0底数
a>1
0图
象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有lga1＝0
当x>1时，恒有y>0；
当0当x>1时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
注
意
当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0