高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第6课时对数与对数函数(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第6课时对数与对数函数(原卷版+解析)，共35页。

【回归教材】
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的 ，叫做 ．
(2)常见对数：
①常用对数：以为底，记为 ； ②自然对数：以为底，记为 ；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；②(其中且，)；
③对数换底公式：； ④；
⑤； ⑥，；
⑦和； ⑧；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
【方法技巧与总结】
1.对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见右图)
【典例讲练】
题型一 对数式的运算
【例1-1】(1)；
(2)； (3)2lg32－lg3＋lg38－；
【例1-2】（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
归纳总结：
【练习1-1】计算下列各题：
(1)已知，求的值； (2)求的值.
【练习1-2】（1）若，求的值；
（2）设，用表示．
题型二 对数函数的图像
【例2-1】画出下列函数的图象：
（1）； （2）．
【例2-2】当时，，则a的取值范围是
A．(0，)B．(，1)C．(1，)D．(，2)
【例2-3】已知函数，若，且，则的取值范围是______．
归纳总结：
【练习2-1】分别画出下列函数的图象：

【练习2-2】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【练习2-3】如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞a
C．c＞a＞bD．a＞c＞b
题型三 解对数方程、不等式
【例3-1】若，则的值是________.
【例3-2】函数的定义域是 .
归纳总结：
【练习3-1】不等式的解集是_______．
【练习3-2】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数，，则不等式的解集为___．
题型四 比较大小
【例4-1】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】已知，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【练习4-1】已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【练习4-2】设，则（ ）
A．B．C．D．
题型五 综合应用
【例5-1】已知函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)是否存在，使在上单调递增，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【例5-2】已知函数，．
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，对，恒成立，求实数的取值范围．
归纳总结：
【练习5-1】已知函数.
（1）当时，求的值域和单调减区间；
（2）若存在单调递增区间，求的取值范围．
【请完成课时作业（十二）】
【课时作业（十二）】
A组 基础题
1．方程的解是（ ）
A．1B．2C．eD．3
2．设函数，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数的图像的大致形状是（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．【多选题】已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．若的定义域为R，则 B．若的值域为R，则或
C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则
11．的值为______.
12．已知，则实数a的取值范围为______．
13．已知，若，则___________.
14．已知函数．
(1)若，求函数的定义域．
(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
B组 能力提升能
1．设函数，关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（ ）
A．B．C．9D．10
2．对不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为 .图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时， ，当时，
当时， ，当时，
第 6 课时 对数与对数函数
编写：廖云波
【回归教材】
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①常用对数：以为底，记为； ②自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；②(其中且，)；
③对数换底公式：； ④；
⑤； ⑥，；
⑦和； ⑧；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
【方法技巧与总结】
1.对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见右图)
【典例讲练】
题型一 对数式的运算
【例1-1】(1)；
(2)；
(3)2lg32－lg3＋lg38－；
【答案】(1)
(2)-1
(3)－1
【解析】
(1)原式.
(2)
(3)原式＝2lg32－5lg32＋2＋3lg32－3＝－1.
【例1-2】（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）（2）同类型题，根据指数与对数的互化及换底公式即可求解.
【详解】
（1），，
，，
；
（2），，
．
归纳总结：
【练习1-1】计算下列各题：
(1)已知，求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
（2）根据换底公式及对数的运算性质计算可得；
(1)
解：因为，所以、，
所以，，
所以；
(2)
解：
【练习1-2】（1）若，求的值；
（2）设，用表示．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂的运算性质求解；
（2）利用换底公式以及对数的运算性质求解．
【详解】
（1）∵，
∴．
（2），根据换底公式，
∴．
题型二 对数函数的图像
【例2-1】画出下列函数的图象：
（1）；
（2）．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；
【解析】
【分析】
（1）将图象向左平移个单位，作出关于轴对称图象，即可求得答案；
（2）画出的图象中负数部分沿轴翻折，即可求得．
【详解】
（1） 将图象向左平移1个单位，做出关于轴对称图象
的图象如图所示；
（2） 画出的图象中负数部分沿轴翻折，
可得：的图象如图所示

【点睛】
本题考查作对数函数图象，解题关键是掌握对数图象画法，考查了分析能力，属于基础题．
【例2-2】当时，，则a的取值范围是
A．(0，)B．(，1)C．(1，)D．(，2)
【答案】B
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论，即可得出结果.
【详解】
当时，显然不成立.
若时
当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B.
【点睛】
本题主要考查对数函数与指数函数的应用，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.
【例2-3】已知函数，若，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，可得，，得，所以，然后构造函数，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围
【详解】
的图象如图，
因为，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，则，
所以，
令，则，
当时，，
所以在上递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：
归纳总结：
【练习2-1】分别画出下列函数的图象：
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）作出y＝lgx的图象C1，先右平移1个单位，再利用翻转变换即可得解．
（2）作y＝lgx的图像，沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像，再向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像，再将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折即可得到的图像.
【详解】
(1)首先作出y＝lgx的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|,如图1所示(实线部分).
(3) 第一步作y＝lgx的图像．
第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像．
第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像
第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，
得的图像，如图3．
.【点睛】
图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
【练习2-2】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．
【练习2-3】如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞a
C．c＞a＞bD．a＞c＞b
【答案】D
y＝lgax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝lgbx，y＝lgcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D．
题型三 解对数方程、不等式
【例3-1】若，则的值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】
先解出，得到，，即可求解.
【详解】
因为，所以，所以，，
所以.
故答案为：
【例3-2】函数的定义域是 .
【答案】
【解析】
【分析】
利用具体函数的定义域求解.
【详解】
因为函数，
所以 ，即，
解得 ，
所以函数的定义域是，
故答案为：
归纳总结：
【练习3-1】不等式的解集是_______．
【答案】当时，解集为；当时，解集为
【解析】
【分析】
将原不等式变形为，讨论对数单调性解不等式即可.
【详解】
∵，
∴原不等式等价于，
当>1时，，解得0＜x＜2．
当时，，解得2＜x＜4．
∴当>1时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
故答案为：当>1时，解集为；当时，解集为
【练习3-2】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数，，则不等式的解集为___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的性质将原不等式转换为，再结合对数函数的单调性求解即可
【详解】
∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数．，∴．则不等式等价为不等式，即，即不等式的解集为．
故答案为：
题型四 比较大小
【例4-1】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对数指数混合类型的比大小常见方法是找中间量，例如本题可以找到中间量，即可得出答案.
【详解】
因为，，所以．
故选：B.
【例4-2】已知，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数运算和对数函数的单调性判断.
【详解】
解：因为，
，
，
所以．
故选：A
【例4-3】设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b综上，,
故选：B.
归纳总结：
【练习4-1】已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】
，，，所以.
故选：B．
【练习4-2】设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
题型五 综合应用
【例5-1】已知函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)是否存在，使在上单调递增，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设并配方，进而得到定义域，并算出t的范围，进而得到函数的值域；
（2）根据题意，只需在上单调递减且在上恒成立，进而列出不等式组求得答案.
(1)
当时，，
设，则，所以，
所以的值域为.
(2)
要使在上单调递增，
只需在上单调递减且在上恒成立，
所以，此不等式组无解.
故不存在，使在上单调递增.
【例5-2】已知函数，．
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）要使得函数的定义域为，即在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）由，恒成立，转化为不等式在和恒成立，设，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.
(1)
解：由题意，函数，
要使得函数的定义域为，即在上恒成立，
当时，不等式在上恒成立，符合题意；
当时，则满足 ，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
(2)
解：由，恒成立，即恒成立，
即不等式在和恒成立，
即不等式在和恒成立，
设
若时，不等式，显然不能恒成立；
若时，函数表示开口向上，且对称轴的抛物线，
当时，即时，函数在单调递增，
因为，所以，所以恒成立；
当时，即时，则在递减，在递增，
要使得，只需，即，
解得，所以，
综上可得，实数的取值范围．
归纳总结：
【练习5-1】已知函数.
（1）当时，求的值域和单调减区间；
（2）若存在单调递增区间，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，，令，求出的单调区间与取值范围，即可得出结果；
（2）若存在单调递增区间，则当，则函数存在单调递增区间即可，当，则函数存在单调递减区间即可，根据判别式即可得出结果.
【详解】
解：（1）当时，，
设，
由，得，得，即函数的定义域为，
此时，
则，即函数的值域为，
要求的单调减区间，等价为求的单调递减区间，
的单调递减区间为，
的单调递减区间为．
（2）若存在单调递增区间，
则当，则函数存在单调递增区间即可，则判别式得或舍，
当，则函数存在单调递减区间即可，则判别式得或，此时不成立，
综上实数的取值范围是．
【请完成课时作业（十二）】
【课时作业（十二）】
A组 基础题
1．方程的解是（ ）
A．1B．2C．eD．3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数与对数的转化即可得到结果.
【详解】
∵，∴，∴.
故选：D.
2．设函数，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分段函数结合指对数的运算求解即可
【详解】
设函数，则.
故选：B.
3．已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】
因为，，即，所以．
故选：C.
4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据单调性分析a， c的大小，再根据判断即可
【详解】
∵，，，∴.
故选：B.
5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题目中所给公式直接计算可得.
【详解】
因为，所以．
故选：B
6．若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令对数型函数的真数为，即可求出函数过定点的坐标，再根据三角函数的定义得到，最后根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得；
【详解】
解：对于函数，
令，解得，所以，所以函数恒过定点，
又点在角的终边上，所以，
所以；
故选：A
7．函数的图像的大致形状是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求解函数的零点，根据排除法判断即可
【详解】
求可得或，解得或，排除BCD；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了根据函数解析式分析函数图像的问题，属于基础题
8．设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析出函数为奇函数，可得出，然后分、两种情况解不等式，即可得出实数的取值范围.
【详解】
当时，，则，
当时，，则，
所以，函数为奇函数，由可得，
当时，由，可得；
当时，由，可得，解得.
综上所述，实数的取值范围的取值范围是.
故选：D.
9．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对数的单调性证明，即得解.
【详解】
解：因为，则，则，所以，从而，所以
故选：A．
10．【多选题】已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．若的定义域为R，则
B．若的值域为R，则或
C．若，则的单调减区间为
D．若在上单调递减，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据函数的知识对选项逐一判断
【详解】
对于A，若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误；
对于B，若的值域为R，则，所以或，所以B正确：
对于C，若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以C错误；
对于D，若在上单调递减，则且，所以，所以D正确．
故选：BD
11．的值为______.
【答案】11
【解析】
【分析】
进行对数和分数指数幂的运算即可．
【详解】
原式．
故答案为：11．
12．已知，则实数a的取值范围为______．
【答案】.
【解析】
【分析】
分和两种情况求解即可.
【详解】
解：当时，由，可得，解得；
当时，，可得，得，不满足，故无解.
综上所述a的取值范围为：.
故答案为：.
13．已知，若，则___________.
【答案】8
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．
【详解】
解：由，且
所以是方程的两根，
解得或，
又，所以，即，又
从而，且，则，．
所以.
故答案为：8.
14．已知函数．
(1)若，求函数的定义域．
(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）由对数的性质有求解集，即可得定义域.
（2）由题设是值域的子集，根据二次函数的性质有即可求m的范围.
（3）首先根据二次函数、对数函数的性质判断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有，即可求m的范围.
(1)
由题设，，则或，
所以函数定义域为.
(2)
由函数的值域为R，则是值域的子集，
所以，即.
(3)
由在上递减，在上递增，而在定义域上递减，
所以在上递增，在上递减，
又在上是增函数，故，可得.
B组 能力提升能
1．设函数，关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（ ）
A．B．C．9D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数的图象，再分析函数性质结合均值不等式求解作答.
【详解】
抛物线的对称轴，当时，图象关于直线对称，且，
由解得或，作出函数的图象与直线，如图，
关于x的方程有四个实根，则有直线与函数的图象有4个公共点，，
则，由得：，
因此，，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为10.
故选：D
2．对不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
原不等式整理为，令，，在上单调递增，分，，三种情况讨论，最后得出交集即为所求．
【详解】
，
即，
令，，
因为在上单调递增，
①时，，即：恒成立，
需要在上恒成立，
而二次函数开口向下，所以需要 ，
解得；
②当时原不等式显然恒成立；
③时，恒成立，即恒成立，
在上恒成立，
又开口向下且对称轴为，
由及可知，
所以在上单调递减，
时，，
所以需要 ，
解得，
综上可得，
的取值范围是，
故选：A．
3．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答.
【详解】
令函数，，
显然，则，
令，，
求导得，即在上单调递减，
，，即，
因此当时，，
取，则有，
令，，，
令，，，
在上单调递减，
，，有，则在上单调递增，
，，因此当时，，
取，则有，
所以.
故选：A
【点睛】
思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.
4．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为____.
【答案】
【解析】
【分析】
把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.
【详解】
解：变形为：，即在上恒成立．
令，
若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；
当时，画出两个函数的图象，
要想满足在上恒成立，只需，即，解得：．
综上：实数a的取值范围是.
故答案为：
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，