新高考数学一轮复习过关训练第12课 对数与对数函数（2份打包，原卷版+解析版）

第12课　对数与对数函数

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

【基础巩固】

1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，令，则，

所以，因此，.

故选：B.

2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（       ）

A．25 B．5 C． D．

【答案】C

【解析】因为，，即，所以．

故选：C.

3．（2022·天津南开·三模）函数，的图象大致为（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意，函数，

当时，可得，所以，且，所以，

可排除A、B、C.

故选：D.

4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（       ）

A．当，时，二氧化碳处于液态

B．当，时，二氧化碳处于气态

C．当，时，二氧化碳处于超临界状态

D．当，时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，

另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误.

当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

5．（2022·全国·高三专题练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】B

【解析】因为函数的值域为R，

所以取得一切正数，

即方程有实数解，

得，解得或；

又函数在上是增函数，

所以函数在上是减函数，且在上恒成立，

则，解得，

综上，实数a的取值范围为或.

故选：B

6．（2022·重庆八中模拟预测）若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：当时，，因为函数在区间内恒有，

，

函数，由和复合而成，

因为时，在上是增函数，所以只要求的单调增区间．

的单调递增区间为，

的单调增区间为，

故选：．

7．（2022·北京·北大附中三模）已知函数，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：依题意，等价于，

在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：

如图可得的解集为：.

故选：D.

8．（2022·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，

令的根为、且，，，

若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，

根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；

若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；

故选：A

9．（多选）（2022·山东枣庄·三模）已知、，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】对于A选项，因为，

所以，，当且仅当时，等号成立，A对；

对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

所以，，B对；

对于C选项，取，，则

，此时，C错；

对于D选项，令，其中，

则，所以，函数在上为增函数，

因为，则，D对.

故选：ABD.

10．（多选）（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】∵，∴，，∴.

设，∵，，在上先增后减，

∴.

∵，

∴，，

∴，

∴.

∵，

∴

设，

∵，，在上先增后减，

∴.

∴.

故选：BC.

11．（2022·河北廊坊·模拟预测）已知，则，则A等于__________．

【答案】

【解析】∵,∴，.

∴，.

又∵,

,

即，∴，.

故答案为：

12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设函数，则___________，若，则实数a的取值范围是___________.

【答案】         

【解析】

等价于①或②

由①得；由②得，则实数a的取值范围是

故答案为：；

13．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知实数满足，则的最小值是_______．

【答案】16

【解析】∵，则可得

∴

∵当且仅当时等号成立

∴

故答案为：16．

14．（2022·广东·模拟预测）已知，且，则之间的大小关系是__________.（用“”连接）

【答案】

【解析】解：函数的定义域为，

因为，

所以函数为偶函数，

因为函数在上递增，

所以函数在上递增，

则，

因为，所以，

，

所以，

所以，

即.

故答案为：.

15．（2022·北京·北大附中三模）对于函数和，给出下列四个结论：

①设的定义域为，的定义域为，则是的真子集.

②函数的图像在处的切线斜率为0.

③函数的单调减区间是，.

④函数的图像关于点对称.

其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】①③④

【解析】

对于①，由题意得，函数的定义域，

函数的定义域.所以是的真子集，则①正确.

对于②，，则在处的切线斜率，则②错误.

对于③，的定义域是，而函数在区间，上都是单调递减且值为正，又因为函数在其定义域上单调递增，

因此复合后得到的在这两个区间上也是单调递减，则③正确.

④只需验证：当时，，则④正确.

故答案为：①③④.

16．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，，若，且在为增函数，求实数m的取值范围.

【解】解：因为函数，，

又，且在为增函数，所以，

解得，

所以实数m的取值范围为.

17．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）已知函数.

（1）求不等式的解集;

（2）若方程在区间内有个不等实根，求的最小值.

【解】解:（1）因为，

所以，

所以为偶函数﹐

令在上递减，而函数为增函数，

所以函数在区间内单调递减，

又，

所以，

解得或

综上，原不等式的解集是

（2）设，则.

因为方程在区间内有个不等实根﹐

所以方程有个不等实根，

其中，

所以即，

解得，

则，

所以，

所以当，即时有最小值，最小值为.

【素养提升】

1．（2022·全国·高考真题）设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，因为，

当时，，当时，

所以函数在单调递减，在上单调递增，

所以，所以，故，即，

所以，所以，故，所以，

故，

设，则,

令，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

又，

所以当时，，

所以当时，，函数单调递增，

所以，即，所以

故选：C.

2．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知是奇函数，当时，，则的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为是奇函数，当时，；

所以当时，；

当时，则，所以.

因为是奇函数，所以，所以.即当时，.

综上所述：.

令，则，所以不等式可化为：.

当时，不合题意舍去.

当时，对于.

因为在上递增，在上递增，所以在上递增.

又，

所以由可解得：，即，解得：.

故选：C

3．（2022·山东临沂·模拟预测）定义“正对数”：，现有四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则，其中错误命题的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】因为定义的“正对数”：是一个分段函数 ，所以对命题的判断必须分情况讨论：

对于命题①（1）当，时，有，

从而，，所以；

（2）当，时，有，从而，，

所以；这样若，则，即命题①正确.

对于命题②举反例：当时，，，

所以，即命题②不正确.

对于命题③，首先我们通过定义可知“正对数”有以下性质：，且，

（1）当，时，，而，

所以；

（2）当，时，有，，而，

因为，所以；

（3）当，时，有，，

而，所以；

（4）当，时，，而，

所以，综上即命题③正确.

对于命题④首先我们通过定义可知“正对数”还具有性质：若，则，

（1）当，时，有，

从而，，

所以；

（2）当，时，有，

从而，

，

所以；

（3）当，时，与（2）同理，所以；

（4）当，时，，，

因为，所以，

从而，综上即命题④正确.

通过以上分析可知：错误的命题为②.

故选：A

4．（多选）（2022·山东济南·三模）已知函数，．若实数a，b(a，b均大于1)满足，则下列说法正确的是(       )

A．函数在R上单调递增

B．函数的图象关于中心对称

C．

D．

【答案】AD

【解析】对于A，，

在上恒成立，

定义域为，即的定义域关于原点对称，

，

为奇函数，

函数的图象关于点中心对称，

，，在上单调递增，

函数在上单调递增，

函数在上单调递增，故A正确；

对于B，，

，

函数的图象关于点中心对称，故B错误；

对于C，函数的图象关于点中心对称，

，，

，，

相当于向左平移1个单位，

和单调性相同，

函数在上单调递增，，，

，故C错误；

对于D，令，，

令，则

在上单调递增，

，

，

在上单调递减，

，，，故D正确．

故选：AD．

5．（2022·浙江·效实中学模拟预测）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】原不等式或，

因为,

所以（1）或（2）.

当时，（2）成立，此时.

当，时，（1）成立，

因为在（1）中，，

令，

则为单调递增函数，

所以要使（1）对，成立，

只需时成立.

又时，.

所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是：.

故答案为：

6．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数在其定义域上是奇函数，a为常数．

(1)求a的值．

(2)证明：在上是增函数．

(3)若对于上的每一个x的值，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【解】(1)解：由题意，是奇函数，

故 ，即，

即，所以，

即 ，则，

故 ，

当时，，无意义，不符合题意；

当时，满足，

故；

(2)证明：由（1）知：，

设 ，那么可以看成是由 复合而成，

因为在定义域内是减函数，

故要证明函数在上是增函数，只需证明在上是减函数即可；

不妨设 ，

则 ，

， ，

故，即，即,

所以在上是单调减函数，

故在上是增函数．

(3)解：对于上的每一个x的值，不等式恒成立，

即恒成立，只需即可；

而由（2）知在上是增函数，在上是单调减函数，

故在上是增函数，

故，

故，即 .