2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第2章　§2.6　对数与对数函数（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1， SKIPIF 1 < 0 ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)对数换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．lgab·lgba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)， SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1，b>0)
2．如图，给出4个对数函数的图象．
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则lgaM＝lgaN.( )
(2)函数y＝lga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．( )
(3)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)是增函数．( )
(4)函数y＝lg2x与y＝ SKIPIF 1 < 0 的图象关于x轴对称．( )
2．已知xlg32＝1，则4x等于( )
A．9 B．3 C.eq \r(3) D.eq \f(1,3)
3．函数f(x)＝lga|x|＋1(a>1)的图象大致为( )

4．已知函数y＝lga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ．
题型一 对数式的运算
例1 (1)已知3a＝5b＝m，且eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，则实数m的值为 ．
(2)计算：lg535＋ SKIPIF 1 < 0 －lg5eq \f(1,50)－lg514＝ .
跟踪训练1 (1)若a>0， SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(4,9)，则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝ .
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0跟踪训练2 (1)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝ SKIPIF 1 < 0 (a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是( )

(2)若函数f(x)＝lga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是( )
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数式的大小
例3若a＝lg 0.2，b＝lg32，c＝lg64，则关于a，b，c的大小关系，下列说法正确的是( )
A．c>b>a B．b>c>a C．c>a>b D．a>b>c
命题点2 解对数方程、不等式
例4 设实数a>0，则“2a>2”是“lga(a＋eq \f(1,2))>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
命题点3 对数函数的性质及应用
例5 设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(eq \f(1,2)，+∞)上单调递增
B．是奇函数，且在(－eq \f(1,2)，eq \f(1,2))上单调递减
C．是偶函数，且在(－∞，－eq \f(1,2))上单调递增
D．是奇函数，且在(－∞，－eq \f(1,2))上单调递减
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝lg2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，0]
(2)若函数f(x)＝lga(x2－2ax＋eq \f(5,2)a－1)有最大值，则a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,2))) D．(1,2)
课时精练
一、单项选择题
1．函数y＝eq \r(lg0.54x－3)的定义域为( )
A．[1，＋∞) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
2．若函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(lg28)等于( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
3．若 SKIPIF 1 < 0 <0，则x1与x2的关系正确的是( )
A．04.已知函数f(x)＝lga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是( )
A．a>0，b<－1 B．a>0，－15．若不等式(x－1)20且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．(1，eq \r(2)] D．(eq \r(2)，2)
二、多项选择题
6．若10a＝5，10b＝20，则( )
A．a＋b＝4 B．b－a＝lg 4
C．ab<2(lg 5)2 D．b－a>lg 5
三、填空题
7．计算：lg 25＋eq \f(2,3)lg 8－lg227×lg32＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ .
8．设p>0，q>0，若lg4p＝lg6q＝lg9(2p＋q)，则eq \f(p,q)＝ .
四、解答题
9．已知f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若a＝2，求f(x)的值域；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
10．已知函数f(x)＝lg9(9x＋1)－kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝lg9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,3x)＋1))有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当0当x>1时，y<0；当00
增函数
减函数