高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第13讲对数与对数函数(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第13讲对数与对数函数(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了反函数，【2020年新高考2卷等内容，欢迎下载使用。

1、对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象与性质
2、反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线
对称．
对数函数的图象与底数大小的比较
3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1、【2021年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
2、【2021年新高考2卷】已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
3、【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>bB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a
4、【2021年乙卷理科】设，，．则（ ）
A．B．C．D．
5、【2020年新课标3卷理科】已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a6、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1、函数f(x)＝lg2(－x2＋2eq \r(2))的值域为( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
2、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
3、函数y＝lga(x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．
4、已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A.aC.c5、函数f(x)＝lg2(2x＋1)的单调增区间为________．
考向一 对数函数的运算
例1 化简下列各式：
(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,4)－lg 25))÷；
(2) lg225×lg34×lg59；
(3) eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－ eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245).
变式1、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
方法总结：对数式的运算化简要注意变成同底的对数式来进行．
考向二 对数函数的性质及其应用
例1、（1）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
（2）设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x＞0，,lg\f(1,2)（－x），x＜0.))若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．
（3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．
变式1、（1）（2022·湖北·黄冈中学二模）已知函数，，则的值为（ ）
A．1B．0C．D．
（2）（2022·湖南湖南·二模）已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
变式2、（1）（2022·湖南·岳阳一中一模）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
（2）（2022·湖南·长郡中学一模）已知，，，则下列关系正确的是 （ ）
A．B．C．D．
方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．
(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．
(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数01两种情形进行分类讨论，防止错解．
考向三 对数函数的图像及其应用
例2、 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
变式1、 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0C．0(2)若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为 ．
变式2、（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知，，为正实数，满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
考向三 对数函数的综合及应用
例3、 已知函数．
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
变式1、(多选)已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．h(x)的图象关于原点对称 B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0 D．h(x)在区间(－1,1)上单调递增
变式2、已知函数f(x)＝lg eq \f(kx－1,x－1)(k∈R).
(1) 当k＝0时，求函数f(x)的值域；
(2) 当k＞0时，求函数f(x)的定义域；
(3) 若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k的取值范围．
方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．
1、（2022·湖北·黄冈中学二模）已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
2、设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
3、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的（ ）参考数据： ．
A．2.4倍B．2.5倍C．2.6倍D．2.7倍
4、（2022·广东佛山·三模）（多选题）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
5、（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)
6、 已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________；
7、已知函数f(x)＝|lg2x|，实数a，b满足0底数
a>1
0图
象
性
质
定义域：
值域：
图象过定点 ，即恒有lga1＝0
当x>1时，恒有
当0当x>1时，恒有 ；
当0在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
注
意
当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0第13讲 对数与对数函数
1、对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象与性质
2、反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
对数函数的图象与底数大小的比较
3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1、【2021年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【解析】由，当时，，
则.
故选：C.
2、【2021年新高考2卷】已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，即.
故选：C.
3、【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>bB．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a
【答案】A
【解析】由9m=10可得m=lg910=lg10lg9>1，而lg9lg11lg11lg10，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0．
又lg8lg10lg10lg9，即lg89>m，
所以b=8m−9<8lg89−9=0．综上，a>0>b．
故选：A.
4、【2021年乙卷理科】设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b综上，,
故选：B.
5、【2020年新课标3卷理科】已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则（ ）
A．a【答案】A
【解析】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
6、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
1、函数f(x)＝lg2(－x2＋2eq \r(2))的值域为( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
【答案】B
【解析】 由题意可得－x2＋2eq \r(2)>0，即－x2＋2eq \r(2)∈(0，2eq \r(2)]
得所求函数值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))).故选B.
2、当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
【答案】 C
【解析】： y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)，∵a>1，∴0则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；
对数函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.
3、函数y＝lga(x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．
【答案】 (3,2)
【解析】：∵lga1＝0，
令x－2＝1，∴x＝3，
∴y＝lga1＋2＝2，
∴原函数的图象恒过定点(3,2)．
4、已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A.aC.c【答案】 B
【解析】： 由对数函数的单调性可得a＝lg20.2由指数函数的单调性可得b＝20.2>20＝1，05、函数f(x)＝lg2(2x＋1)的单调增区间为________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
【解析】 因为y＝lg2x为单调增函数，y＝2x＋1也为单调增函数，所以f(x)的单调增区间即为函数的定义域．令2x＋1>0，解得x>－ eq \f(1,2)，故函数f(x)的单调增区间为(－ eq \f(1,2)，＋∞).
考向一 对数函数的运算
例1 化简下列各式：
(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,4)－lg 25))÷；
(2) lg225×lg34×lg59；
(3) eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－ eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245).
【解析】 (1) 原式＝lg eq \f(1,100)×10＝－2×10＝－20.
(2) 原式＝ eq \f(lg 25,lg 2)× eq \f(lg 4,lg 3)× eq \f(lg 9,lg 5)＝ eq \f(2lg 5,lg 2)× eq \f(2lg 2,lg 3)× eq \f(2lg 3,lg 5)＝8.
(3) 原式＝lg eq \f(4\r(2),7)－lg 4＋lg 7 eq \r(5)＝lg ( eq \f(4\r(2),7)× eq \f(1,4)×7 eq \r(5))＝ eq \f(1,2).
变式1、（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；
两边取常用对数，得；
；
所以.
故选：D.
方法总结：对数式的运算化简要注意变成同底的对数式来进行．
考向二 对数函数的性质及其应用
例1、（1）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
（2）设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x＞0，,lg\f(1,2)（－x），x＜0.))若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．
（3）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．
【答案】（1） D. （2）(－1，0)∪(1，＋∞)． （3） [1，2)
【解析】
（1） 由题意，，解得且，即函数的定义域为.
故选：D.
（2）由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞0，,lg2a＞－lg2a))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＜0，,lg\f(1,2)（－a）＞lg2（－a），))解得a＞1或－1＜a＜0．
∴a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．
（3）．令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴x＝a，要使函数在上(－∞，1]递减，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（1）＞0，,a≥1，))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－a＞0，,a≥1，))，解得1≤a＜2，即a∈[1，2)．
变式1、（1）（2022·湖北·黄冈中学二模）已知函数，，则的值为（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，则，故函数为奇函数.
又，∴，∴.
故选：B
（2）（2022·湖南湖南·二模）已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：依题意得，，由，即，得，所以当时，所以.
故选：D
变式2、（1）（2022·湖南·岳阳一中一模）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】,
所以，
，而，
所以．
故选：A．
（2）（2022·湖南·长郡中学一模）已知，，，则下列关系正确的是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，所以；
，所以；
，所以.
综上，.
故选：D.
方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．
(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．
(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时须分底数01两种情形进行分类讨论，防止错解．
考向三 对数函数的图像及其应用
例2、 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
【答案】 (1，＋∞)
【解析】如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.
变式1、 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0C．0【答案】 A
【解析】 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，lgab)，由函数图象可知－1(2)若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为 ．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
【解析】 若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则函数y＝4x和函数y＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有交点，
由图象知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0变式2、（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知，，为正实数，满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
设， ，，，在同一坐标系中作出函数 的图象，可得答案.
【详解】
设， ，，
在同一坐标系中作出函数 的图象，如图
为函数的交点的横坐标
为函数的交点的横坐标
为函数的交点的横坐标
根据图像可得：
故选：D
方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
考向三 对数函数的综合及应用
例3、 已知函数．
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
【解析】（1）令，，则，
则在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
所以当时，求该函数的值域为.
（2）不等式可化为，
分解因式得，
所以或，
所以或.
所以不等式的解集为或
变式1、(多选)已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．h(x)的图象关于原点对称 B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0 D．h(x)在区间(－1,1)上单调递增
【答案】 BC
【解析】 函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，
∴f (x)＝lg2x，h(x)＝lg2(1－|x|)，为偶函数，不是奇函数，
∴A错误，B正确；
根据偶函数性质可知D错误；
∵1－|x|≤1，∴h(x)≤lg21＝0，故C正确．
变式2、已知函数f(x)＝lg eq \f(kx－1,x－1)(k∈R).
(1) 当k＝0时，求函数f(x)的值域；
(2) 当k＞0时，求函数f(x)的定义域；
(3) 若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是单调增函数，求实数k的取值范围．
【解析】 (1) 当k＝0时，f(x)＝lg eq \f(－1,x－1)，则 eq \f(－1,x－1)>0，解得x<1.
因为y＝ eq \f(－1,x－1)在(－∞，1)上的值域为(0，＋∞)，
所以f(x)的值域为R.
(2) 当k>0时，f(x)＝lg eq \f(kx－1,x－1)，则 eq \f(kx－1,x－1)>0，
即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,k)))(x－1)>0.
①当 eq \f(1,k)＝1，即k＝1时，(x－1)2>0，
解得x≠1，
所以f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)；
②当 eq \f(1,k)>1，即0 eq \f(1,k)；
③当 eq \f(1,k)<1，即k>1时，则x< eq \f(1,k)或x>1.
综上，当01时，f(x)的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,k)))∪(1，＋∞).
(3) 设g(x)＝ eq \f(kx－1,x－1)＝ eq \f(k－1,x－1)＋k.
因为f(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，且y＝lg x在区间[10，＋∞)上单调递增，
所以g(x)在区间[10，＋∞)上单调递增，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－1<0，,g(10)>0，))解得 eq \f(1,10)所以实数k的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，1)).
方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．
1、（2022·湖北·黄冈中学二模）已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】试题分析：因为所以选C
2、设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．故选D
3、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率C会提升到原来的（ ）参考数据： ．
A．2.4倍B．2.5倍C．2.6倍D．2.7倍
【答案】B
【解析】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则
由题意可知，，
，
所以
倍.
所以最大信息传递率C会提升到原来的倍.
故选：B.
4、（2022·广东佛山·三模）（多选题）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】选项A：
由，可得，
则，，
则，则.判断错误；
选项B：由，可得为上减函数，
又，则.判断正确；
选项C：由，可知为R上减函数，又，则
由，可知为上增函数，又，则，则
又为上增函数，则，则.判断正确；
选项D：令，则，
，
则，即.判断错误.
故选：BC
5、（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)
【答案】型的都对
【解析】：对于任意实数，，当时，都有，说明该函数在上单调递增，
又对数函数满足运算性质：，
故可选一个递增的对数函数：．
故答案为：．
6、 已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________；
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(8,3)))
【解析】 当a>1时，f(x)＝lga(8－ax)在区间[1，2]上单调递减．由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(2)＝lga(8－2a)>1，且8－2a>0，解得11在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(1)＝lga(8－a)>1，且8－2a>0，无解．综上可知，实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(8,3))).
7、已知函数f(x)＝|lg2x|，实数a，b满足0【答案】4
【解析】 如图，画出f(x)＝|lg2x|的图象．因为f(a)＝f(b)，且01，且ab＝1，所以a2底数
a>1
0图
象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有lga1＝0
当x>1时，恒有y>0；
当0当x>1时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
注
意
当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0