高考一轮复习第10讲 对数与对数函数（原卷及解析版）

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1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.
（3）对数式与指数式的互化：.
2．对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
（1）负数和零没有对数，即；
（2）1的对数等于0，即；
（3）底数的对数等于1，即；
（4）对数恒等式.
3．对数的运算性质
如果，那么：
（1）；
（2）；
（3）.
4．对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
（1）；
（2）；
（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).
二、对数函数及其性质
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.
2．对数函数的图象
一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：
三、对数函数的性质
一般地，对数函数的性质如下表所示：
考点一 对数概念与对数运算
1．（嘉兴市第五高级中学高二期中）已知函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】
根据函数解析式可知.
故选：C
2．（上海高一专题练习）若lg32=x，则3x+9x的值为（ ）
A．6B．3C．D．
【答案】A
【详解】
由lg32=x得3x=2，因此9x=(3x)2=4，所以3x+9x=2+4=6.
故选：A.
3．（广东高一单元测试）已知，则的值为（ ）
A．3B．6C．9D．
【答案】A
【详解】
解：由，得，
故选：A
4．（湖南娄底一中高二期中）已知函数，若，则等于（ ）
A．B．C．或D．2
【答案】A
【详解】
解：当时，，∴；
当时，，∴（舍去）．
∴．
故选：A．
5．（全国）若3x＝2，则x等于（ ）
A．lg23B．lg32C．32D．23
【答案】B
【详解】
，.
故选：B.
6．（陕西省黄陵县中学高一期末）已知，则x等于（ ）
A．B．4C．16D．2
【答案】C
【详解】
由对数与指数式运算可得.
故选：C.
7．（全国）以下对数式中，与指数式等价的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
根据指数式和对数式的关系，等价于.
故选：A.
8．（全国）已知且，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】
由指对数的互化公式，因为，所以.
故选：B.
9．（吉林延边二中高二月考（文））已知函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】
∵，
∴.
故选：B.
10．（长丰县凤麟中学高二期中（文））等于（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】C
【详解】
故选：C
11．（太原市第五十六中学校高二月考（文））下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
对于A：，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：∵,∴，故C正确，
对于D：，故D不正确，
故选： C.
12．（普宁市第二中学高三月考）已知函数，则（ ）
A．B．1C．D．0
【答案】C
【详解】
．
故选：C.
13．（全国高一专题练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
.
故选：C.
14．（长丰北城衡安学校高二月考（理））若函数．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
，则，因此，.
故选：A.
15．（北京大兴区·高一期末）等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
.
故选：B.
16．（定远县育才学校高一期末）式子的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
.
故选：A.
17．（盐城市伍佑中学高三开学考试）已知，则等于（ ）
A．1B．2C．5D．10
【答案】A
【详解】
因为，所以，，
所以，，
所以.
故选：A
18．（黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中（文））的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
原式
.
故选：B
19．（福建福州·高一期末）若，求（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：因为，所以，
所以.
故选：A.
20．（全国高一单元测试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：若，
可得，，
则
，
故选：A．
考点二 对数函数与定义域
1．（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设函数解析式为y＝lgax(a>0，且a≠1)．
由于对数函数的图像过点M(125，3)，
所以3＝lga125，得a＝5.
所以对数函数的解析式为y＝lg5x.
故选：A.
2．（全国高一课时练习）给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【详解】
①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
故选:A.
3．（全国高一课时练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（ ）
A．B．
C．或D．不确定
【答案】A
【详解】
设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．
故选：A．
4．（浙江高三专题练习）设a与b均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【详解】
解：令，
由图可知：，，
即，
解得：，
故，
故选：C.
5．（莆田锦江中学高一期末）已知函数，若图象过点，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【详解】
因为函数的 图象过点，
所以，
则，
所以，，
故选：B.
6．（全国高一课时练习）下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】
形如（且）的函数为对数函数，
故③④为对数函数，
所以共有个.
故选：B
7．（全国高一课前预习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.
故选D
8．（全国高一）函数 为对数函数，则等于
A．3B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为函数 为对数函数，
所以函数系数为1，即即或，
因为对数函数底数大于0，
所以，，
所以．
9．（全国（文））函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
由题意，有，解得.
∴函数定义域为.
故选：B.
10．（奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.
故选：C.
11．（厦门市松柏中学高二开学考试）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意可得：，解得：，
所以函数的定义域为，
故选：B.
12．（威海市第一中学高二月考）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：的定义域为，即.
故选：B
13．（天津市武清区杨村第一中学）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
依题意，，解得，
所以所求定义域为.
故选：B
14．（大庆市东风中学高二期末（文））函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
由题意得解得或.
所以原函数的定义域为.
故选：C.
15．（贵溪市实验中学）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由，得，所以函数的定义域为.
故选：C
16．（安徽省泗县第一中学（理））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为，或，
则，，
因此
故选：C.
17．（全国高一单元测试）函数的定义域为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：函数的定义域为：，即或，
所以定义域为：.
故选：D.
18．（全国高一专题练习）已知函数，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由函数的定义域满足：
解得：或
故的定义域为
故选：B
19．（射阳县第二中学高一开学考试）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由题意可得，解得，
因此，函数的定义域为.
故选：A.
20．（全国高一课时练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由解得.
所以函数的定义域为.
故选：A
考点三 对数函数的图象
1．（河北）函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
当时，，排除C、D.
当时，，排除B.
故选:A.
2．（镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
对于函数，令，可得，则，
因此，函数的图象过定点.
故选：C.
3．（全国高一专题练习）函数的图象必过的点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
，则当，即时，是与的值无关的定值，
故函数的图形必过的点是.
故选：D.
4．（全国高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当x＞0时，，则函数的图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B．又x＞0时f(x)＝ln(x＋1)，排除C.
故选：D．
5．（贵州）函数的图象经过（ ）
A．（0，1）B．（1，0）C．（0，0）D．（2，0）
【答案】C
【详解】
解方程，得.
所以函数的图象过定点.
故选：C.
6．（吉林长春·高三（理））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【详解】
解：由对数函数图象特征及与的图象关于轴对称，
可确定②不是已知函数图象.
故选：B.
7．（全国高一专题练习）函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
解：因为，所以函数的定义域为，即图象在时无值，排除B、D选项；当时，，所以A选项正确．
故选：A
8．（蚌埠田家炳中学高二月考（文））已知函数，则其大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
由题得函数的定义域为，所以选项D错误；
当时，，所以选项B正确，选项A,C错误.
故选：B
9．（浙江高一单元测试）已知函数，其图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由，知：关于原点对称，排除B、D；当时，，排除C.
故选：A
10．（全国高一专题练习）已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
令，解得，所以，因此函数的图象 过定点．
故选：C．
11．（河南漯河·高一期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中，与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
是定义域为R的增函数，
：-x>0，则x<0.
结合选项只有B符合.
故选：B
12．（浙江高一期末）幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由图象可得曲线①为对数函数，在定义域为为增函数，则，
曲线②为指数函数，为减函数，则
曲线③为幂函数，在上为减函数，则
所以
故选：A
13．（上海普陀·曹杨二中高一期末）函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
由对数和指数函数的性质可得且，
当时，过点在上单调递减，过点在单调递减，所以排除选项C，
当时，过点在上单调递增，过点在单调递增，所以排除选项AD，
故选：B.
14．（安徽宿州·高一期末）已知函数是幂函数，则函数(，且)的图象所过定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为函数是幂函数，
所以，因此，
所以，
由可得，，
所以函数(，且)的图象所过定点的坐标是.
故选：A.
考点三 对数函数的单调性
1．（广东高三月考）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
，
∴.
故选：B
2．（河南高一月考）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
，
所以.
故选：B.
3．（浮梁县第一中学高一月考）已知设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
解：∵，
，
，
∴，，的大小关系为．
故选：D．
4．（河南高三月考（文））设，， ，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由，得，
，
，
所以.
故选：D.
5．（天津河东·高二学业考试）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
，
∴.
故选：D
6．（湖北荆州·高一期中）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题意，得
，
，
则；
故选：C
7．（江西省铜鼓中学高二开学考试（文））设，，，则，，的大小是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
，，.
所以.
故选：D
8．（正阳县高级中学高三（理））已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
，
，
由，故．
故选：C．
9．（九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知，则的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为对数函数在上是增函数，反比例函数在上也是增函数，
所以在定义域上单调递增；
又是由向左平移两个单位得到，所以的单调增区间为.
故选：A.
10．（内蒙古赤峰·高一月考（文））函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题得，所以或.
函数在单调递增，在单调递减.
又函数在定义域内单调递减，
所以函数的单调递减区间是.
故选：C
11．（福建福州四中高一期中）已知函数，则函数的减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由解得或，
所以的定义域为.
函数的开口向上，对称轴为，
函数在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知函数的减区间是.
故选：C
12．（四川省南充市白塔中学高三月考（理））函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由解得，
二次函数的开口向下，对称轴为，
在上递减.
根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间为.
故选：D
13．（宁夏吴忠市·吴忠中学高三月考（理））已知函数在单调递增，则的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[5，＋∞)D．[3，＋∞)
【答案】D
【详解】
由题意，函数满足，解得或，
设，根据二次函数的性质，可得函数在单调递增，
根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为，
又由函数在上单调递增，可得，
即实数的取值范围是.
故选：D.
14．（贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
在函数中，由得或，则的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
于是得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：B
15．（静宁县第一中学高三月考（文））函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
函数的定义域需满足，解得：，
函数分为内外层函数，，，
定义域内，内层函数在区间是增函数，在区间是减函数，
根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是.
故选：B
16．（新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
对于函数，有，解得或，
故函数的定义域为，
内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数为减函数，
由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.
故选：D.
17．（海南儋州二中高一月考）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
对于函数，有，解得或，
即函数的定义域为，
令，则，
由在上递减，在上递增，
外层函数在上递增，
可得函数的单调递增区间是．
故选：D．
18．（江苏苏州·）若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
解：函数在上单调，函数的定义域为，因为，在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
要使函数在上单调，
，或，解得，或，即，
故选：．
19．（黑龙江哈尔滨·哈师大附中高二期末（文））函数的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意，，解得，
又在上是增函数，在是减函数，
在上是增函数，
所以函数的单调增区间为
故选：B图象
图象
定义域
值域
性质
过定点，即时，
在上是减函数
在上是增函数
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0