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新高考数学一轮复习导学案第45讲 数列的综合运用（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学一轮复习导学案第45讲 数列的综合运用（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考一轮复习导学案第45讲数列的综合运用原卷版doc、新高考一轮复习导学案第45讲数列的综合运用解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
数列在实际问题中的应用
2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
1．数列实际应用中的常见模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．
1、（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 SKIPIF 1 < 0 ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的所有项的和为 ．
【答案】48；384．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的后7项成等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 公比 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
又该数列的前3项成等差数列，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的所有项的和为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：48；384．
2、（2023•新高考Ⅱ）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故原式得证．
3、（2022•新高考Ⅰ）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，①，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 （首项符合通项）．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
证明：（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
4、（2021•乙卷（文））设 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的等比数列，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是首项为1的等比数列，设其公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，②
① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
1、 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分
钟多走1 m，乙每分钟走5 m．甲、乙开始运动后，相遇的时间为________分钟．
A. 3B. 7C. 11D.14
【答案】：B
【解析】：设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋eq \f(n（n－1）,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7或n＝－20(舍去)．
2、（2023·黑龙江大庆·统考三模）定义 SKIPIF 1 < 0 ，已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．±4C．8D．±8
【答案】C
【详解】依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
3、对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝________．
【答案】：－2
【解析】：利用导数求得曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，
即y＝(n＋1)x－n，它与x轴交于点(xn，0)，则有(n＋1)xn－n＝0xn＝eq \f(n,n＋1)，∴ an＝lgxn＝lgeq \f(n,n＋1)＝lgn－lg(n＋1)，∴ a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2．
4、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 SKIPIF 1 < 0 个球，第二层有 SKIPIF 1 < 0 个球，第三层有 SKIPIF 1 < 0 个球，…，设各层球数构成一个数列 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：BC
考向一 数列在数学文化与实际问题中的应用
例1、（1）（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列 SKIPIF 1 < 0 时，发现其递推公式 SKIPIF 1 < 0 就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即 SKIPIF 1 < 0 ，如果该数列 SKIPIF 1 < 0 的前两项分别为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和记为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
（2）（2023·湖南邵阳·统考三模）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．130B．132C．134D．141
【答案】B
【详解】由题可知，2到20的全部整数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
2到20的全部素数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
（3）（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22B．24C．25D．26
【答案】B
【详解】设该数列为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为奇数；
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为偶数数；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:B.
变式1、（1）(2022·青岛期初考试)《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为
A．8 B．11 C．14 D．16
【答案】B
【解析】由题意可知，这位公公9个儿子的年龄从小到大构成等差数列，则可设年龄最小的儿子年龄为a1，则公差为d＝3，由题意，eq S\s\d(9)＝9a\s\d(1)＋\f(9×8,2)×d＝9a\s\d(1)＋36×3＝207，求得a1＝11，即这位公公最年幼的儿子的岁数为11，故答案选B．
（1）、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ）
A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺
【答案】D
【解析】
【分析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为d，根据题意列出方程组求解即可.
【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，设其首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为d，根据题意 SKIPIF 1 < 0 ，∴立秋的晷长为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
（3）、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）
A．6天B．7天C．8天D．9天
【答案】C
【解析】设该女子第一天织布 SKIPIF 1 < 0 尺，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 天织布的尺数为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为8．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
考向二 数列中的含参问题
例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入上式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
代入不等式 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，不等式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，不等式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 为奇数且 SKIPIF 1 < 0 ），易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，公差 SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）法一：由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 （舍），
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
SKIPIF 1 < 0 满足条件的 SKIPIF 1 < 0 有三组.
法二：由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
存在满足条件的 SKIPIF 1 < 0 有三组.
变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．给定 SKIPIF 1 < 0 ，记集合 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求最小自然数n的值，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，集合 SKIPIF 1 < 0 中元素个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，集合 SKIPIF 1 < 0 中元素个数为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 =2001<2022， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 =4039>2022，
记 SKIPIF 1 < 0 ，显然数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，
所以所求 SKIPIF 1 < 0 的最小值是11.
考向三 数列中的“定义型问题”
例3、（2023·辽宁大连·统考三模）定义：对于各项均为整数的数列 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”；不论数列 SKIPIF 1 < 0 是否具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”，如果存在数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不是同一数列，且 SKIPIF 1 < 0 满足下面两个条件：
（1） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个排列；
（2）数列 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”，则称数列 SKIPIF 1 < 0 具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”.给出下面三个数列：
①数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
②数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，2，3，4，5；
③数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，2，3，4，5，6.
具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”的为________；具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”的为_________.
【答案】 ① ②
【详解】解：对于①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，2，3， SKIPIF 1 < 0 为完全平方数
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”；
对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”，数列 SKIPIF 1 < 0 为3，2，1，5，4，具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”；
对于③， SKIPIF 1 < 0 ，1都只有与3的和才能构成完全平方数， SKIPIF 1 < 0 ，2，3，4，5，6，不具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”．
故答案为：①；②．
变式1、(2022·江苏如皋中学高三10月月考)已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，定义使 SKIPIF 1 < 0 为整数 SKIPIF 1 < 0 叫做“幸福数”，求区间 SKIPIF 1 < 0 内所有“幸福数”的和.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而分奇、偶数项求通项公式，再合并即可得答案；
（2）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，故设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，再解不等式 SKIPIF 1 < 0 即可得区间 SKIPIF 1 < 0 内的“幸福数”，再求和即可得答案.
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ①，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ②
当 SKIPIF 1 < 0 时，①﹣②得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的奇数项与偶数项各自成等差数列，且公差均为2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为奇数)
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为偶数)
∴ SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴区间 SKIPIF 1 < 0 内的“幸福数”为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0
∴所有“幸福数”的和为 SKIPIF 1 < 0 .
变式2、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*)，则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数．已知an＝2n，且f(m)＝m，数列{bm}的前m项和Sm，若Sm＝30，则m的值为( )
A．9 B．11 C．12 D．14
【答案】B
【解析】由题意可知，当m为偶数时，可得2n≤m，则bm＝eq \f(m,2)；当m为奇数时，可得2n≤m－1，则eq b\s\d(m)＝\f(m－1,2)，所以bm＝EQ \B\lc\{(\a\al(\F(m－1,2)(m为奇数),\F(m,2)(m为偶数)))，则当m为偶数时，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝eq \f(1,2)(1＋2＋…＋m)－eq \f(1,2)×eq \f(m,2)＝EQ \F(m\S(2),4)，则EQ \F(m\S(2),4)＝30，因为m∈N*，所以无解；当m为奇数时，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝Sm＋1－bm＋1＝EQ \F((m＋1)\s\up3(2),4)－eq \f(m＋1,2)＝EQ \F(m\S(2)－1,4)，所以EQ \F(m\S(2)－1,4)＝30，因为m∈N*，所以m＝11，故答案选B．
考向四 数列与不等式等知识点的结合
例4（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）因为数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
又 SKIPIF 1 < 0 适合上式，故 SKIPIF 1 < 0 ．
另解：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
故 SKIPIF 1 < 0 为常数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
变式1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
因此， SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得 SKIPIF 1 < 0 ．
1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105B．107C．1012D．1015
【答案】C
【解析】64个格子放满麦粒共需 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 麦子大约20000粒，1吨麦子大约 SKIPIF 1 < 0 粒，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故选：C.
2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值 SKIPIF 1 < 0 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为 SKIPIF 1 < 0 ．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 元B． SKIPIF 1 < 0 元
C． SKIPIF 1 < 0 元D． SKIPIF 1 < 0 元
【答案】A
【解析】设每月还 SKIPIF 1 < 0 元，按复利计算，则有
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
解之得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.
【答案】6
【解析】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，其公比 SKIPIF 1 < 0 ，令数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以此人在第六天行走的路程 SKIPIF 1 < 0 （里）.
故答案为：6
4、（2023·云南玉溪·统考一模）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ． SKIPIF 1 < 0 （说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
(1)请写出你的选择，并求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
选①，由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
选②，由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
5、（2023·云南·统考一模）记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求m的最小值．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 不满足上式，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以符合题设条件的m的最小值为7．
6、（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，并求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）解：由题意，选出3个数字组成的等差数列的前三项为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
7、（2023·安徽安庆·校考一模）数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在最大的；正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意 SKIPIF 1 < 0 均有 SKIPIF 1 < 0 成立？若存在求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
（3）由于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
从而 SKIPIF 1 < 0
故数列 SKIPIF 1 < 0 是单调递增数列，又因 SKIPIF 1 < 0 是数列中的最小项，
要使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故只需 SKIPIF 1 < 0 成立即可，
由此解得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故适合条件的 SKIPIF 1 < 0 的最大值为7.第1列
第2列
第3列
第1行
7
2
3
第2行
1
5
4
第3行
6
9
8
1、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
数列在实际问题中的应用
2、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
1．数列实际应用中的常见模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．
1、（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 SKIPIF 1 < 0 ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的所有项的和为 ．
【答案】48；384．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的后7项成等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 公比 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
又该数列的前3项成等差数列，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的所有项的和为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：48；384．
2、（2023•新高考Ⅱ）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故原式得证．
3、（2022•新高考Ⅰ）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，①，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 （首项符合通项）．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
证明：（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
4、（2021•乙卷（文））设 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的等比数列，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是首项为1的等比数列，设其公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，②
① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
1、 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分
钟多走1 m，乙每分钟走5 m．甲、乙开始运动后，相遇的时间为________分钟．
A. 3B. 7C. 11D.14
【答案】：B
【解析】：设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋eq \f(n（n－1）,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7或n＝－20(舍去)．
2、（2023·黑龙江大庆·统考三模）定义 SKIPIF 1 < 0 ，已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．±4C．8D．±8
【答案】C
【详解】依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
3、对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99＝________．
【答案】：－2
【解析】：利用导数求得曲线y＝xn＋1在点(1，1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，
即y＝(n＋1)x－n，它与x轴交于点(xn，0)，则有(n＋1)xn－n＝0xn＝eq \f(n,n＋1)，∴ an＝lgxn＝lgeq \f(n,n＋1)＝lgn－lg(n＋1)，∴ a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2．
4、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)(多选题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 SKIPIF 1 < 0 个球，第二层有 SKIPIF 1 < 0 个球，第三层有 SKIPIF 1 < 0 个球，…，设各层球数构成一个数列 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：BC
考向一 数列在数学文化与实际问题中的应用
例1、（1）（2023·安徽黄山·统考三模）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列 SKIPIF 1 < 0 时，发现其递推公式 SKIPIF 1 < 0 就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即 SKIPIF 1 < 0 ，如果该数列 SKIPIF 1 < 0 的前两项分别为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和记为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
（2）（2023·湖南邵阳·统考三模）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．130B．132C．134D．141
【答案】B
【详解】由题可知，2到20的全部整数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
2到20的全部素数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
（3）（2023·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22B．24C．25D．26
【答案】B
【详解】设该数列为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为奇数；
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为偶数数；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:B.
变式1、（1）(2022·青岛期初考试)《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为
A．8 B．11 C．14 D．16
【答案】B
【解析】由题意可知，这位公公9个儿子的年龄从小到大构成等差数列，则可设年龄最小的儿子年龄为a1，则公差为d＝3，由题意，eq S\s\d(9)＝9a\s\d(1)＋\f(9×8,2)×d＝9a\s\d(1)＋36×3＝207，求得a1＝11，即这位公公最年幼的儿子的岁数为11，故答案选B．
（1）、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ）
A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺
【答案】D
【解析】
【分析】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为d，根据题意列出方程组求解即可.
【详解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，设其首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为d，根据题意 SKIPIF 1 < 0 ，∴立秋的晷长为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
（3）、（2020届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ）
A．6天B．7天C．8天D．9天
【答案】C
【解析】设该女子第一天织布 SKIPIF 1 < 0 尺，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 天织布的尺数为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为8．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
考向二 数列中的含参问题
例2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入上式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
代入不等式 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，不等式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，不等式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 为奇数且 SKIPIF 1 < 0 ），易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，公差 SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）法一：由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 （舍），
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
SKIPIF 1 < 0 满足条件的 SKIPIF 1 < 0 有三组.
法二：由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
存在满足条件的 SKIPIF 1 < 0 有三组.
变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．给定 SKIPIF 1 < 0 ，记集合 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求最小自然数n的值，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，集合 SKIPIF 1 < 0 中元素个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，集合 SKIPIF 1 < 0 中元素个数为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 =2001<2022， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 =4039>2022，
记 SKIPIF 1 < 0 ，显然数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，
所以所求 SKIPIF 1 < 0 的最小值是11.
考向三 数列中的“定义型问题”
例3、（2023·辽宁大连·统考三模）定义：对于各项均为整数的数列 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”；不论数列 SKIPIF 1 < 0 是否具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”，如果存在数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不是同一数列，且 SKIPIF 1 < 0 满足下面两个条件：
（1） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个排列；
（2）数列 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”，则称数列 SKIPIF 1 < 0 具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”.给出下面三个数列：
①数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
②数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，2，3，4，5；
③数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，2，3，4，5，6.
具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”的为________；具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”的为_________.
【答案】 ① ②
【详解】解：对于①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，2，3， SKIPIF 1 < 0 为完全平方数
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”；
对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”，数列 SKIPIF 1 < 0 为3，2，1，5，4，具有“ SKIPIF 1 < 0 性质”， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”；
对于③， SKIPIF 1 < 0 ，1都只有与3的和才能构成完全平方数， SKIPIF 1 < 0 ，2，3，4，5，6，不具有“变换 SKIPIF 1 < 0 性质”．
故答案为：①；②．
变式1、(2022·江苏如皋中学高三10月月考)已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，定义使 SKIPIF 1 < 0 为整数 SKIPIF 1 < 0 叫做“幸福数”，求区间 SKIPIF 1 < 0 内所有“幸福数”的和.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而分奇、偶数项求通项公式，再合并即可得答案；
（2）根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，故设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，再解不等式 SKIPIF 1 < 0 即可得区间 SKIPIF 1 < 0 内的“幸福数”，再求和即可得答案.
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ①，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ②
当 SKIPIF 1 < 0 时，①﹣②得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的奇数项与偶数项各自成等差数列，且公差均为2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为奇数)
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为偶数)
∴ SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴区间 SKIPIF 1 < 0 内的“幸福数”为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0
∴所有“幸福数”的和为 SKIPIF 1 < 0 .
变式2、(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*)，则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数．已知an＝2n，且f(m)＝m，数列{bm}的前m项和Sm，若Sm＝30，则m的值为( )
A．9 B．11 C．12 D．14
【答案】B
【解析】由题意可知，当m为偶数时，可得2n≤m，则bm＝eq \f(m,2)；当m为奇数时，可得2n≤m－1，则eq b\s\d(m)＝\f(m－1,2)，所以bm＝EQ \B\lc\{(\a\al(\F(m－1,2)(m为奇数),\F(m,2)(m为偶数)))，则当m为偶数时，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝eq \f(1,2)(1＋2＋…＋m)－eq \f(1,2)×eq \f(m,2)＝EQ \F(m\S(2),4)，则EQ \F(m\S(2),4)＝30，因为m∈N*，所以无解；当m为奇数时，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝Sm＋1－bm＋1＝EQ \F((m＋1)\s\up3(2),4)－eq \f(m＋1,2)＝EQ \F(m\S(2)－1,4)，所以EQ \F(m\S(2)－1,4)＝30，因为m∈N*，所以m＝11，故答案选B．
考向四 数列与不等式等知识点的结合
例4（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【详解】（1）因为数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
又 SKIPIF 1 < 0 适合上式，故 SKIPIF 1 < 0 ．
另解：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
故 SKIPIF 1 < 0 为常数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
变式1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知各项为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
因此， SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得 SKIPIF 1 < 0 ．
1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）
A．105B．107C．1012D．1015
【答案】C
【解析】64个格子放满麦粒共需 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 麦子大约20000粒，1吨麦子大约 SKIPIF 1 < 0 粒，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故选：C.
2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值 SKIPIF 1 < 0 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为 SKIPIF 1 < 0 ．按复利计算，则小李每个月应还（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 元B． SKIPIF 1 < 0 元
C． SKIPIF 1 < 0 元D． SKIPIF 1 < 0 元
【答案】A
【解析】设每月还 SKIPIF 1 < 0 元，按复利计算，则有
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
解之得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.” 则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.
【答案】6
【解析】将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，其公比 SKIPIF 1 < 0 ，令数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以此人在第六天行走的路程 SKIPIF 1 < 0 （里）.
故答案为：6
4、（2023·云南玉溪·统考一模）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ． SKIPIF 1 < 0 （说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
(1)请写出你的选择，并求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
选①，由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
选②，由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
5、（2023·云南·统考一模）记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求m的最小值．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 不满足上式，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以符合题设条件的m的最小值为7．
6、（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项.
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，并求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，求证 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）解：由题意，选出3个数字组成的等差数列的前三项为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
7、（2023·安徽安庆·校考一模）数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在最大的；正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意 SKIPIF 1 < 0 均有 SKIPIF 1 < 0 成立？若存在求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，
设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
（3）由于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
从而 SKIPIF 1 < 0
故数列 SKIPIF 1 < 0 是单调递增数列，又因 SKIPIF 1 < 0 是数列中的最小项，
要使 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故只需 SKIPIF 1 < 0 成立即可，
由此解得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故适合条件的 SKIPIF 1 < 0 的最大值为7.第1列
第2列
第3列
第1行
7
2
3
第2行
1
5
4
第3行
6
9
8
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