2023-2024学年山东省泰安市新泰市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省泰安市新泰市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法不一定成立的是( )
A. 若a>b，则a+c>b+cB. 若a+c>b+c，则a>b
C. 若a>b，则ac2>bc2D. 若ac2>bc2，则a>b
2.如图的四个转盘中，A，B转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是( )
A. B. C. D.
3.已知二元一次方程2x+3y=15，用含x的代数式表示y，则y=( )
A. 15−2xB. 5−2xC. 5−23xD. 15−23x
4.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，尺规作图如下：分别以点A、点C为圆心，大于12AC长为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB于点E，连接CE；以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC、BC于点G，H，分别以点G，H为半径，以大于12GH长为半径作弧，两弧交于点M，连接CM，延长交AB于点F，则∠ECF的度数为( )
A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘
5.下列命题中，属于真命题的是( )
A. 同位角相等B. 相等的角是对顶角
C. 面积相等的两个三角形全等D. 同角的补角相等
6.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为( )
A. 180∘
B. 240∘
C. 270∘
D. 360∘
7.如图，直线AB//CD，∠C=44∘，∠E为直角，则∠1等于( )
A. 132∘
B. 134∘
C. 136∘
D. 138∘
8.“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
9.如图，以∠CAB顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点D，作射线AD，则说明∠CAD=∠DAB的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
10.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，E为BC上的一点，F为AD的中点，且∠BAE=35∘，∠CDE=55∘，∠ADE=30∘，AE=3，AB=2，则EF的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
11.如图，直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组( )的解
A. x−y+1=02x−y−1=0B. 3x−y−1=02x−y−1=0
C. x−y−1=02x+y−1=0D. 2x−y+1=02x−y−1=0
12.如图，在△ABC中，AB>AC，D，E分别为边BC，AB上的点，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点F，G为AD的中点，延长BG交AC于点H，则下列结论：
①线段AD是△ACE的高；
②△ABG与△BDG面积相等；
③∠CAD+∠CBE+∠BCE=90∘；
④AB−AC=BE.
其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到______相等．
14.一个不透明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有1个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为______.
15.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺.则x+y=______尺.
16.小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实.你认为小明的判断是______(填“正确”或“错误”).
17.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90∘，D为BC中点，DE⊥DF，BE=3，CF=4，则EF=______.
18.若关于x，y的方程组2x+y=4x+2y=−3m+2的解满足x−y>−32，则m的最小整数解为______.
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1)解方程组：x3=y2+3,x−3y=12.；
(2)求不等式组2x≤3x+11−(2x+1)<3(1−x)的解集，并把它的解集表示在数轴上.
20.(本小题10分)
在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是13.
(1)求盒子中黑球的个数；
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(3)从口袋里取走x个黑球后，再放入x个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率不小于35，至少需取走多少个黑球？
21.(本小题10分)
某公司计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定优惠.各商场的优惠条件如下表所示：
(1)试写出甲、乙两商场的收费y(元)与所买电脑台数x之间的关系式；
(2)什么情况下到甲商场购买更优惠？什么情况下到乙商场购买更优惠？什么情况下两家商场的收费相同？
22.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF.
(1)判断DE与AC的位置关系，并证明你所得的结论；
(2)求证：∠C=∠EAF.
23.(本小题12分)
某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
(2)若商店计划购买甲种商品的数量要超过65件，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案.
24.(本小题12分)
如图，AB//CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E−∠F=33∘，求∠E的度数.
25.(本小题12分)
(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=CA，直线l经过点A，作BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E.请说明DE=BD+CE.
(2)组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么(1)中的结论是否会成立呢？如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=CA，D，A，E三点都在直线l上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC.请判断DE=BD+CE是否成立，并说明理由.
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题.如图3，D，E是直线l上的两动点(D,A,E三点均在直线l上且互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE.若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请说明DF=EF.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】此题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断求解.
【解答】解：若a>b，c=0，则ac2>bc2不成立.故选C.
2.【答案】D
【解析】解：A、指针落在阴影区域内的概率是48=12；
B、指针落在阴影区域内的概率是48=12；
C、指针落在阴影区域内的概率是360∘−120∘360∘=23；
D、指针落在阴影区域内的概率是360∘−60∘360∘=56；
∵56>23>12，
∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D.
故选：D.
利用指针落在阴影区域内的概率是：阴影面积比总面积，分别求出概率比较即可
本题考查了几何概率，掌握概率公式，计算阴影区域面积占总面积的比例是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：2x+3y=15，
3y=15−2x，
∴y=5−23x，
故选：C.
先把含x的项移到方程的右边，然后把y的系数化为1即可．
本题考查了解二元一次方程，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=90∘，CF平分∠ACB，
∴∠ACF=12∠ABC=45∘，
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA=EC，
∴∠ECA=∠A=30∘，
∴∠ECF=∠FCA−∠ECA=45∘−30∘=15∘.
故选：A.
根据角平分线的定义求出∠FCA=45∘，再根据线段的垂直平分线的性质求出∠ECA=30∘，可得结论．
本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5.【答案】D
【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，是假命题，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，是假命题，不符合题意；
D、同角的补角相等，是真命题，符合题意，
故选：D.
利用平行线的性质、对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示：连接BC，
∵∠D+∠E=∠1，∠1=∠2+∠3，
∴∠D+∠E=∠2+∠3，
则∠A+∠ABC+∠ACD+∠D+∠E=∠A+∠ABC+∠ACD+∠2+∠3=∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，
故选：A.
见详解的图，根据三角形的外角定理可以把∠D+∠E转化为∠1，连接BC，∠2+∠3=∠1，所以∠D+∠E=∠2+∠3，则∠A+∠ABC+∠ACD+∠2+∠3=180∘，即可得出答案．
本题考查三角形的外角和内角和定理，借助于辅助线去把角度转移到同一个三角形中求解是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
过E作EF//AB，推出AB//CD//EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
【解答】
解：
过E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44∘，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44∘，∠BAE=∠AEF=90∘−44∘=46∘，
∴∠1=180∘−∠BAE=180∘−46∘=134∘，
故选：B.
8.【答案】A
【解析】解：根据题意可得，x的值可能为4.如果x的值是5、7、6，那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相矛盾．
故选：A.
根据必然事件的意义，进行解答即可．
本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．
9.【答案】A
【解析】解：根据作图过程可知：
AF=AE，DF=DE，
又AD=AD，
∴△FAD≌△EAD(SSS)，
∴∠CAD=∠BAD.
故选：A.
根据作图过程可得，AF=AE，DF=DE，又AD=AD，可以证明△FAD≌△EAD，即可得结论．
本题考查了作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
10.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠BAD+∠ADC=180∘，
∵∠BAE=35∘，∠CDE=55∘，
∴∠EAD+∠ADE=90∘，
∴∠AED=90∘，
∵F是AD的中点，∠ADE=30∘，
∴EF=12AD，AE=12AD，
∴EF=AE=3.
故选：B.
由平行线的性质可求得∠EAD+∠ADE=90∘，即可得∠AED=90∘，根据直角三角形的性质可证得EF=AE，即可求解．
本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，证明EF=AE是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：设l1的解析式为y=kx+b，
∵图象经过的点(−1,0)，(2,3)，
∴−k+b=02k+b=3，
解得k=1b=1，
∴l1的解析式为y=x+1，
可变形为x−y+1=0，
设l2的解析式为y=mx+n，
∵图象经过的点(2,3)，(0,−1)，
∴n=−12m+n=3，
解得m=2n=−1，
∴l2的解析式为y=2x−1，
可变形为2x−y−1=0，
∴直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组x−y+1=02x−y−1=0的解．
故选：A.
首先利用待定系数法求出l1、l2的解析式，然后可得方程组．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数解析式组成的方程组的解．
12.【答案】C
【解析】解：①∵CE⊥AD于点F，
∴线段AF为△△ACE的高，
故结论①不正确；
②∵点G为AD的中点，
∵AG=DG，
∵△ABG的边AG上的高与△BDG的边DG上的高相同，
△ABG与△BDG面积相等，
故结论②正确；
③∵∠BAD+∠CBE+∠BDA=180∘，∠BDA+∠FDC=180∘，
∴∠FDC=∠BAD+∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠FDC=∠CAD+∠CBE，
∵CE⊥AD于点F，
∴∠FDC+∠BCE=90∘，
∴∠CAD+∠CBE+∠BCE=90∘，
故结论③正确；
④∵AD平分∠BAC，
∴∠CAF=∠EAF，
∵CE⊥AD于点F，
∴∠AFC=∠AFE=90∘，
在△ACF和△AEF中，
∠CAF=∠EAFAF=AF∠AFC=∠AFE=90∘，
∴△ACF≌△AEF(ASA)，
∴AC=AE，
∴AB−AC=AB−AE=BE，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是②③④，共3个．
故选：C.
①根据CE⊥AD于点F及三角形高的定义可对结论①进行判断；
②根据点G为AD的中点得AG=DG，再根据△ABG的边AG上的高与△BDG的边DG上的高相同，则可对结论②进行判断；
③先证明∠FDC=∠BAD+∠CBE，再根据AD平分∠BAC得∠CAD=∠BAD，则∠FDC=∠CAD+∠CBE，然后根据CE⊥AD于点F得∠FDC+∠BCE=90∘，则∠CAD+∠CBE+∠BCE=90∘，由此可对结论③进行判断；
④根据AD平分∠BAC得∠CAF=∠EAF，根据CE⊥AD于点F得∠AFC=∠AFE=90∘，由此可依据“ASA”判定△ACF和△AEF全等，则AC=AE，进而得AB−AC=AB−AE=BE，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
13.【答案】三边
【解析】解：根据角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，可以得到三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到三边的距离相等．
故答案是：三边．
根据角的平分线的性质：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，即可确定．
本题考查了三角形的内心的性质，内心是三角形的角平分线的交点，这个点到三角形的三条边的距离相等．
14.【答案】35
【解析】解：∵盒子中有10个球，有1个黄球和3个绿球，
∴红球的数量为10−1−3=6(个)，
∴红球的概率为：610=35.
故答案为：35.
根据盒子中共有10个球，有1个黄球和3个绿球，可知红球的数量是6个，再根据概率的计算公式即可解答．
本题考查了概率的定义，概率的计算公式，理解概率的定义是解题的关键．
15.【答案】25
【解析】解：根据题意得：y−x=7x−y2=1，
解得：x=9y=16，
∴x+y=9+16=25，
故答案为：25.
根据用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16.【答案】正确
【解析】解：小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实．我认为小明的判断是正确．
故答案为：正确．
三条边分别对应相等的两个三角形全等，由此即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS.
17.【答案】5
【解析】解：延长FD至点G，使得DG=DF，连接BG，EG，
在△CDF和△BDG中，
CD=BD∠CDF=∠BDGDF=DG，
∴△CDF≌△BDG(SAS)，
∴BG=CF=4，∠C=∠DBG，
∵∠C+∠ABC=90∘，
∴∠DBG+∠ABC=90∘，即∠ABG=90∘，
∵DE⊥FG，DF=DG，
∴EF=EG= BE2+BG2= 32+42=5.
故答案为：5.
延长FD至点G，使得DG=DF，连接BG，EG，易证△CDF≌△BDG，可得BG=CF=4，∠C=∠DBG，可证明∠ABG=90∘，再根据等腰三角形底边三线合一性质可得EF=EG，即可求得EF的长，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，本题中求证△CDF≌△BDG是解题的关键．
18.【答案】−1
【解析】解：{2x+y=4①x+2y=−3m+2②，
①-②得：x−y=3m+2，
∵关于x，y的方程组2x+y=4x+2y=−3m+2的解满足x−y>−32，
∴3m+2>−32，
解得：m>−76，
∴m的最小整数解为−1.
故答案为：−1.
方程组中的两个方程相减得出x−y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
19.【答案】解：(1)原方程组可化为{2x−3y=18①x−3y=12②，
①-②得，x=6，
把x=6代入②得，6−3y=12，
解得y=2，
故方程组的解为x=6y=2；
(2){2x⩽3x+1①1−(2x+1)<3(1−x)②，
由①得，x≥−1，
由②得，x<3，
故不等式组的解集为−1≤x<3，
在数轴上表示为：
.
【解析】(1)先把方程组中的分母去掉，再用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可；
(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，熟知以上知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意得：5÷13=15，
∴黑球的个数为15−3−5=7，
答：黑球的个数是7个；
(2)由(1)可得：任意摸出一个球是黑球的概率是715；
(3)根据题意，得5+x15≥35，
解得x≥4，
所以至少需取走4个黑球．
【解析】(1)根据白球的数量及摸出白球的概率可求出盒子中球的总数，进而问题可求解；
(2)由(1)及概率公式可进行求解；
(3)根据题意可列出不等式，然后问题可求解．
本题主要考查概率及不等式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意可得，甲商场的收费y(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：y甲=6000+6000(x−1)×(1−25%)=4500x+1500；
乙商场的收费y(元)与所买电脑台数x之间的关系式是：y乙=6000x×(1−20%)=4800x；
(2)令4500x+1500>4800x，解得x<5；
4500x+1500<4800x，解得x>5；
4500x+1500=4800x，解得x=5，
∴当购买电脑小于5台时，在乙商场购买比较优惠，当购买电脑大于5台时，在甲商场购买比较优惠，当购买电脑5台时，两家商场收费相同．
【解析】(1)根据优惠方案可得y甲=6000+6000(x−1)×(1−25%)=4500x+1500；y乙=6000x×(1−20%)=4800x；
(2)结合(1)，分三种情况列不等式或方程，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22.【答案】(1)解：DE//AC，
理由：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，
∴∠BAD=∠EDA，
∴∠CAD=∠EDA，
∴DE//AC；
(2)证明：∵EF垂直平分AD，
∴EA=ED，FA=FD，
在△AEF和△DEF中，
EA=EDEF=EFFA=FD，
∴△AEF≌△DEF(SSS)，
∴∠EAF=∠EDF，
∵DE//AC，
∴∠C=∠EDF，
∴∠C=∠EAF.
【解析】(1)由角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，结合线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得∠CAD=∠EDA，进而可证得DE//AC；
(2)利用SSS证明△AEF≌△DEF可得∠EAF=∠EDF，结合平行线的性质可证明结论．
本题主要考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形性质的等知识的综合运用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得：x+y=1605x+10y=1100.
解得：x=100y=60.
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
(2)设甲种商品购进a件，则乙种商品购进(160−a)件．
根据题意得5a+10(160−a)>1260.
解不等式得65∵a为非负整数，
∴a取66，67.
∴160−a相应取94，93.
方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．
方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．
答：有两种购货方案，其中获利最大的是方案一．
【解析】(1)等量关系为：甲件数+乙件数=160；甲总利润+乙总利润=1100.
(2)设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量<4300；甲总利润+乙总利润>1260.
解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组：甲件数+乙件数=160；甲总利润+乙总利润=1100.甲进价×甲数量+乙进价×乙数量<4300；甲总利润+乙总利润>1260.
24.【答案】解：如图，过F作FH//AB，
∵AB//CD，
∴FH//AB//CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180∘−β，∠BFC=∠BFH−∠CFH=α−β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360∘−α−(180∘−β)=180∘−(α−β)=180∘−∠BFC，
即∠E+2∠BFC=180∘，①
又∵∠E−∠BFC=33∘，
∴∠BFC=∠E−33∘，②
∴由①②可得，∠E+2(∠E−33∘)=180∘，
解得∠E=82∘.
【解析】过F作FH//AB，依据平行线的性质，可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，根据四边形内角和以及∠E−∠F=33∘，即可得到∠E的度数．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
25.【答案】(1)证明：∵∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠CAE=90∘，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠AEC=90∘，∠BAD+∠ABD=90∘，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AEC=90∘AB=CA，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(2)解：DE=BD+CE成立，理由如下：
∵∠BAD+∠CAE=180∘−∠BAC，∠BAD+∠ABD=180∘−∠ADB，∠BDA=∠BAC，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AECAB=CA，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(3)证明：同(2)可得△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴FA=FA=BF，∠FBA=∠FAC=60∘，
∵∠ABD=∠CAE，
∴∠ABD+∠FBA=∠CAE+∠FAC，即∠FBD=∠FAE，
在△FBD和△FAE中，
FB=FA∠FBD=∠FAEBD=AE，
∴△FBD≌△FAE(AAS)，
∴DF=EF.
【解析】(1)根据AAS证明△ABD≌△CAE，得出BD=AE，AD=CE，等量代换可得DE=AE+AD=BD+CE；
(2)根据∠BDA=∠BAC可证∠ABD=∠CAE，再根据AAS证明△ABD≌△CAE，得出BD=AE，AD=CE，等量代换可得DE=AE+AD=BD+CE；
(3)同(2)可得△ABD≌△CAE，推出BD=AE，再根据△ABF和△ACF均为等边三角形，推出FA=FA=BF，∠FBA=∠FAC=60∘，进而可得∠FBD=∠FAE，根据SAS证明△FBD≌△FAE，即可得出DF=EF.
本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，熟练运用“一线三等角”模型．商场
优惠条件
甲商场
第一台按原报价收费，其余每台优惠25%
乙商场
每台优惠20%
甲
乙
进价(元/件)
15
35
售价(元/件)
20
45