2022-2023学年山东省泰安市新泰市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省泰安市新泰市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省泰安市新泰市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若x>y，则下列等式不一定成立的是(    )
A. x+5>y+5 B. −3x<−3y C. x2>y2 D. x7>y7
2. 如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是(    )


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC，若∠ABC=70°，则∠1的大小为(    )
A. 40°
B. 35°
C. 50°
D. 70°
4. 如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，尺规作图如下：分别以点B、点C为圆心，大于12BC为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为(    )

A. 45° B. 65° C. 60° D. 75°
5. 下列事件中，不是必然事件的是(    )
A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B. 三角形任意两边之和大于第三边
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
6. 如图，已知一次函数y=x+1和一次函数y=ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，那么方程y=x+1和方程y=ax+3的公共解为(    )
A. x=1y=3
B. x=1y=2
C. x=2y=3
D. x=2y=1
7. 能说明命题“对于任意实数a，|a|>−a”是假命题的一个反例可以是(    )
A. a=−2 B. a=13 C. a= 2 D. a=2
8. 如果从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是3的整数倍的概率是(    )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 16
9. 如图，已知AO平分∠DAE，AD=AE，AB=AC，图中全等三角形有(    )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
10. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为(    )
A. x+y=1003x+3y=100 B. x+y=100x+3y=100
C. x+y=1003x+y=100 D. x+y=1003x+13y=100
11. 已知关于x的不等式x−m<05−2x≤1整数解共有2个，若m为整数，则m=(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
12. 已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=(    )
A. 80° B. 90° C. 60°或100° D. 40°或90°
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 如果关于x、y的二元一次方程组x+2y=6+3k2x+y=3k，则2y−2x=______．
14. 一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上)，击中阴影部分的概率为______．


15. 不等式组x+3<3x+1x>m+1的解集是x>1.则m的取值范围是______ ．
16. 小明同学非常愿意探究数学问题，他发现当n=0，1，2，3，4时，代数式n2−n+11的值分别为11，11，13，17，23，全是质数.由此小明得出一个结论，对于所有自然数n，n2−n+11的值都是质数，请你继续探究，判断小明得出的命题是______ 命题(填“真”或“假”)．
17. 如图，在△ABC中，AD是BAC的平分线，EF/​/AD，交BC于E、AB于F、CA的延长线于G，∠B=30°，∠C=70°，则∠G的度数为______ ．


18. 如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A(−0.5,0)，B(2,0)，则不等式(kx+b)(mx+n)>0的解集为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
(1)解方程组：x3+y4=42x−3y=12；
(2)解不等式组：x3>x−123(x+2)≥2x+5．
20. (本小题10.0分)
有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签(不放回)，小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．
(1)现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？
(2)若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？
21. (本小题10.0分)
已知直线AB/​/CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
(1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数；
(2)如图2，小明通过探究，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为∠CDP+∠PAB−∠APD=180°，你认为小明的判断正确吗？如正确，给出证明；如不正确，请说明理由．


22. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，D是AB的中点，点E为线段CA的延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF.过点B作BM/​/AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，若线段AE=5，EF=13，求BF的长．

23. (本小题12.0分)
“文化衫”，无形之间会凝聚一个团队的力量，更好的体现活动的愿望和个性.为使活动更具意义，某活动举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元．
(1)求甲、乙两种品牌文化衫的单价；
(2)根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍.请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．
(1)如图1，若∠BAC=40°，求∠AFE的度数．
(2)如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF=8，求DF的长．


25. (本小题12.0分)
如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO．
(1)求证：△BCO≌△DCO；
(2)若∠BAC=100°，求∠BCA的度数．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、∵x>y，
∴x+5>y+5，
故A不符合题意；
B、∵x>y，
∴−3x<−3y，
故B不符合题意；
C、∵x>y>0，
∴x2>y2，
故C符合题意；
D、∵x>y，
∴x7>y7，
故D不符合题意；
故选：C．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=2，
故选：B．
作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，
∴AC=AB，
∴∠CBA=∠BCA=70°，
∵l1/​/l2，
∴∠CBA+∠BCA+∠1=180°，
∴∠1=180°−70°−70°=40°，
故选：A．
根据平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
先根据题意得出MD是线段BC的垂直平分线，故可得出CD=BD，即∠B=∠BCD，再由∠B=30°、∠A=45°知∠ACB=180°−∠A−∠B=105°根据∠ACD=∠ACB−∠BCD可得答案．
【解答】
解：分别以点B、点C为圆心，大于12BC为半径作的弧交BC于点M，

∴MD是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD=30°．
∵∠B=30°，∠A=5=45°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=105°，
∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=105°−30°=75°，
故选：D．  
5.【答案】C 
【解析】解：A.角平分线上的点到这个角两边的距离相等为必然事件，不符合题意；
B.三角形任意两边之和大于第三边为必然事件，不符合题意；
C.面积相等的两个三角形全等为随机事件，符合题意；
D.三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等为必然事件，不符合题意；
故选：C．
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．据此判断即可解答．
本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

6.【答案】B 
【解析】解：当x=1时，y=x+1=2，即两直线的交点坐标为(1,2)，
所以方程y=x+1和方程y=ax+3的公共解为x=1y=2．
故选：B．
利用y=x+1确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．

7.【答案】A 
【解析】写出一个a的值，不满足|a|>−a即可．
解：命题“对于任何实数a，|a|>−a”是假命题，反例要满足a≤0，如a=−2．
故选：A．
本题考查了命题与定理：许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

8.【答案】B 
【解析】解：1，2，3，4，5，6这六个数中是3的倍数的数是3和6，
∴六个数中任取一个，则取到的数是3的倍数的概率是26=13，
故选：B．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．

9.【答案】D 
【解析】解：∵AO平分∠DAE，
∴∠1=∠2，
在△AOD和△AOE中，
AD=AE∠1=∠2AO=AO，
∴△AOD≌△AOE(SAS)，
∴∠D=∠E，OD=OE；
在△AOC和△AOB中，
AC=AB∠1=∠2AO=AO，
△AOC≌△AOB(SAS)；
在△COD和△BOE中，
∠D=∠EDO=EO∠DOC=∠EOB，
∴△COD≌△BOE(ASA)；
在△DAB和△EAC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△DAB≌△EAC(SAS)；
由上可得，图中全等三角形有4对，
故选：D．
根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．

10.【答案】D 
【解析】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
x+y=1003x+13y=100，
故选：D．
设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．

11.【答案】C 
【解析】解：由x−m<0，得：x 由5−2x≤1，得：x≥2，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的整数解为2、3，
∴3 又∵m为整数，
∴m=4，
故选：C．
由x−m<0得x 本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力．

12.【答案】C 
【解析】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA=12(180°−∠ADB)=12×(180°−80°)=50°，
当C点在线段DE上，∠CAD=10°时，则∠CAB=50°−10°=40°，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA=40°，
∴∠ACB=180°−40°−40°=100°；
当C′点在ED的延长线上，∠C′AD=10°时，则∠C′AB=50°+10°=60°，
∵CA=CB，
∴∠C′AB=60°，
综上所述，∠ACB的度数为60°或100°．
故选：C．
如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠DAB=∠DBA=50°，当C点在线段DE上，∠CAD=10°时，则∠CAB=40°，则
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算∠ACB=100°；当C′点在ED的延长线上，∠C′AD=10°时，则∠C′AB=60°，根据等边三角形的性质易得∠C′AB=60°．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．

13.【答案】12 
【解析】解：x+2y=6+3k①2x+y=3k②，
②−①得x−y=−6，
∴2y−2x=−2(x−y)=−2×(−6)=12，
故答案为：12．
将已知方程组中的两个方程作差，可得x−y=−6，再将其整体代入所求代数式即可求解．
本题考查二元一次方程的解，观察所求代数式，灵活变形二元一次方程，采用整体思想代入求值是解题的关键．

14.【答案】518 
【解析】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为52个小正方形的面积
∴飞镖落在阴影部分的概率是529=518，
故答案为：518．
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)，然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．

15.【答案】m≤0 
【解析】解：由x+3<3x+1，得：x>1，
由x>m+1且不等式组的解集为x>1，知m+1≤1，
解得m≤0，
故答案为：m≤0．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16.【答案】假 
【解析】解：当n=11时，原式=112−11+11=11×11，此时n2−n+11不是质数；
当n=12时，原式=122−12+11=13×11，此时n2−n+11不是质数．
∴不能得出对于所有自然数n，n2−n+11的值都是质数的结论，小明得出的命题是假命题，
故答案为：假．
由于n2−n+11=n(n−1)+11，根据乘法分配律和质数的定义得到n=11或n=12时，n2−n+11不是质数，依此即可求解．
考查了质数与合数，解题的关键是找到n=11或n=12时，n2−n+11是两个整数的乘积．

17.【答案】40° 
【解析】解：∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=80°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=40°．
∵EF/​/AD，
∴∠G=∠DAC=40°．
故答案为：40°．
根据三角形内角和定理，得∠BAC=180°−∠B−∠C=80°.根据角平分线的定义，得∠DAC=12∠BAC=40°.根据平行线的性质，由EF/​/AD，得∠G=∠DAC=40°．
本题主要考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．

18.【答案】−0.5 【解析】解：∵直线y=kx+b与直线y=mx+n分别交x轴于点A(−0.5,0)、B(2,0)，
∵(kx+b)(mx+n)>0，
∴两个正数或两个负数的积为正数，
∴不等式(kx+b)(mx+n)>0的解集为−0.5 故答案为：−0.5 看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．

19.【答案】解：(1)整理，得：4x+3y=48①2x−3y=12②，
①+②，得：6x=60，
解得x=10，
将x=10代入①，得：y=83，
则方程组的解为x=10y=83；
(2)解不等式x3>x−12，得：x<3，
解不等式3(x+2)≥2x+5，得：x≥−1，
∴不等式组的解集为−1≤x<3． 
【解析】(1)利用加减消元法求解即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20.【答案】解：(1)若小明获胜，则小颖需要抽到1或2或3，故小明获胜的概率是37−1=36=12，
若小颖获胜，则小颖需要抽到5或6或7，故小颖获胜的概率是37−1=36=12；
(2)∵小明已经抽到数字6，
∴若小明获胜，则小颖需要抽到1或2或3或4或5，故小明获胜的概率为：57−1=56，
若小颖获胜，则小颖需要抽到7，故小颖获胜的概率为17−1=16，
即小明、小颖获胜的概率分别是56，16． 
【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以计算出小明获胜的概率和小颖获胜的概率；
(2)根据题意和题目中的数据，可以分别计算出小明获胜的概率和小颖获胜的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．

21.【答案】解：(1)如图，过点P作PE/​/AB，

∴∠A=∠APE=50°，
∵AB/​/CD，PE/​/AB，
∴PE/​/CD，
∴∠D+∠DPE=180°，即150°+∠DPE=180°，
∴∠DPE=30°，
∴∠APD=∠APE+∠DPE=50°+30°=80°；
(2)成立，理由如下：
如图，延长BA至F，交PD于点G，

∵BF/​/CD，
∴∠CDP=∠FGP，
∴∠AGP=180°−∠FGP=180°−∠CDP，
∵∠PAB=∠APD+∠AGP，
∴∠PAB=∠APD+180°−∠CDP，
∴∠PAB+∠CDP−∠APD=180°，
即∠CDP+∠PAB−∠APD=180°． 
【解析】(1)过点P作PE/​/AB，由平行线的性质可得∠A=∠APE=50°，∠D+∠DPE=180°，则∠APD=∠APE+∠DPE；
(2)延长BA至F，交PD于点G，由平行线的性质得∠CDP=∠FGP，由平角的定义可得∠AGP=180°−∠FGP=180°−∠CDP，再利用三角形的外角性质得到∠PAB=∠APD+∠AGP，代入计算即可得到结论．
本题主要考查平行线的性质、三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键．

22.【答案】解：∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵BM/​/AC，
∴∠BMD=∠AED，
在△ADE和△BDM中，
∠ADE=∠BDM∠AED=∠BMDAD=BD，
∴△ADE≌△BDM(AAS)，
∴DM=DE，AE=BM=5，
又∵DF⊥DE，
∴EF=FM=13，
∴BF= FM2−BM2= 169−25=12． 
【解析】由“AAS”可证△ADE≌△BDM，可得DM=DE，AE=BM=5，由线段垂直平分线的性质可得EF=FM=13，由勾股定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设甲品牌文化衫的单价为x元，乙品牌文化衫的单价为y元，
依题意得：3x+2y=1905x+y=235，
解得：x=40y=35．
答：甲品牌文化衫的单价为40元，乙品牌文化衫的单价为35元．
(2)最省钱的购买方案为：购买750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫，理由如下：
设购买m件甲品牌文化衫，则购买(1000−m)件乙品牌文化衫，
依题意得：m≥3(1000−m)，
解得：m≥750．
设购买这1000件文化衫所需总费用为w元，则w=40m+35(1000−m)=5m+35000，
∵5>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=750时，w取得最小值，此时1000−m=250，
∴最省钱的购买方案为：购买750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫． 
【解析】(1)设甲品牌文化衫的单价为x元，乙品牌文化衫的单价为y元，根据“购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m件甲品牌文化衫，则购买(1000−m)件乙品牌文化衫，根据购进甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购买这1000件文化衫所需总费用为w元，利用总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．

24.【答案】解：(1)∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF=90°，
∴∠AFE=125°．
(2)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=CDB=90°，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABF=30°，
∴AF=4，
在Rt△ADF中，
DF=2． 
【解析】(1)由角平分线求出∠ABF的度数，再利用外角的性质即可；
(2)证出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等边三角形即可解决问题．
本题考查了三角形内角和定理和角平分线，以及全等三角形的判定和性质，证出△ABC是等边三角形是解决本题的关键，是一道中档题．

25.【答案】(1)证明：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ACO=∠BCO，
在△COD和△COB中，
CD=CB∠OCD=∠OCBCO=CO，
∴△COD≌△COB(SAS)，
(2)解：∵△COD≌△COB，
∴∠D=∠CBO，
∵∠BAC=100°，
∴∠BAD=80°，
∴∠BAO=50°，
∴∠DAO=130°，
∵AD=AO，
∴∠D=25°，
∴∠CBO=25°，
∴∠ABC=50°，
∴∠BCA=30°． 
【解析】(1)根据△ABC三个内角的平分线交于点O，得∠ACO=∠BCO，再由DC=BC，AD=AO，可证明△COD≌△COB；
(2)再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°．
本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决此题的关键．