2022-2023学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．计算：＝（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．9
2．菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．每一条对角线平分一组内角
3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．﹣B．C．D．
4．x取下列各数时，使得有意义的是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是（ ）
A．任选两个角，测量它们的角度
B．测量四条边的长度
C．测量两条对角线的长度
D．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离
7．两个矩形的位置如图所示，若∠1＝124°，则∠2的度数为（ ）
A．34°B．56°C．79°D．146°
8．在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AC＝4BE．则AE的长为（ ）
A．4B．C．D．3
9．把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．给出下列结论：①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积大小等于EF⋅BD；④∠ADE＝∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是（ ）
A．14B．19C．18D．16
12．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
13．计算的结果是 ．
14．菱形的周长为24cm，相邻两内角比为1：2，则其较短对角线长为 cm．
15．若，则ab的值为 ．
16．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 ．
17．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，F是DC边的中点，E是BC边上一动点，则AE+EF的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：
（1）；
（2）．
20．如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是线段AC延长线上的一点，在线段CA的延长线上截取AF＝CE，连接DF，BF，DE，BE．试判断四边形FBED的形状，并说明理由．
21．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”．解答下列问题：如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）△ABC的面积；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．
22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E，F分别是AC，BD的中点，连接EF．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的长．（简述过程）
23．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．
（1）求证：矩形DEFM是正方形；
（2）求CE+CM的值．
24．阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化．
解：原式＝．
运用以上方法解决问题：
（1）将分母有理化；
（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“＝”）
；
（n≥2，且n为整数）；
（3）化简：．
25．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG、BG、DG．
（1）求证：BC＝DF；
（2）求证：△DCG≌△BEG；
（3）求证：．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．计算：＝（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．9
【分析】表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解．
解：∵32＝9
∴＝3
故选：A．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，是一个基础题目．
2．菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．每一条对角线平分一组内角
【分析】根据菱形的性质直接作出判断即可确定正确的答案．
解：菱形的四边相等，对角线互相垂直、平分且每一条对角线平分一组对角，但不一定相等，
故选：B．
【点评】考查了菱形的性质，解题的关键是牢记菱形的性质，难度不大．
3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．﹣B．C．D．
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式；对于各选项中的二次根式，根号下含有小数，分数的可以先排除，剩下的再看被开方数是否含有能开得尽方的因数即可．
解：A、该二次根式符合最简二次根式的定义，是最简二次根式；
B、12＝22×3，该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式；
C、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式；
D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数a2，所以它不是最简二次根式．
故选：A．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的相关知识，解题的关键是掌握最简二次根式的概念．
4．x取下列各数时，使得有意义的是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x+1＞0，求出x＞﹣1，再逐个判断即可．
解：要使代数式有意义，必须x+1＞0，
解得：x＞﹣1，
∵﹣3＜﹣1，﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，
∴只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据题意得出x+1＞0是解此题的关键，注意：代数式中a≥0，分式中分母B≠0．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质和加法法则，乘法法则，逐一计算判断即可．
解：A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的性质和运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
6．要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是（ ）
A．任选两个角，测量它们的角度
B．测量四条边的长度
C．测量两条对角线的长度
D．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
解：A、任选两个角，测量它们的角度，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、测量四条边的长度是否相等，能判定是否为菱形，不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量两条对角线的长度是否相等，不能判定是否为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项C不符合题意；
D、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
7．两个矩形的位置如图所示，若∠1＝124°，则∠2的度数为（ ）
A．34°B．56°C．79°D．146°
【分析】由补角的定义可得∠3＝180°﹣124°，由题意可得∠4+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，则有∠2＝∠3，即可得解．
解：如图，
由题意得：∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣124°＝56°，
根据矩形的性质推出，
∠4+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝56°．
故选：B．
【点评】本题主要考查矩形的性质，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
8．在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AC＝4BE．则AE的长为（ ）
A．4B．C．D．3
【分析】根据矩形的性质，得到，根据AC＝4BE，得到点E为OB的中点，推出△AOB为等边三角形，得到∠ABD＝60°，推出∠ADB＝30°，利用含30度的直角三角形的性质，即可得解．
解：∵矩形ABCD，
∴，
∵AC＝4BE，
∴OB＝2BE，
∴E为OB的中点，
∵AE⊥BD，
∴AO＝AB，
∴AO＝AB＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠ADB＝30°，
∵AE⊥BD，
∴；
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形．解题的关键是得到△AOB为等边三角形．
9．把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由于被开方数为非负数，可确定x﹣1的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．
解：由已知可得，x﹣1＜0，即1﹣x＞0，
所以，＝﹣＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，由已知得出x﹣1的取值范围是解答此题的关键．
10．如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．给出下列结论：①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积大小等于EF⋅BD；④∠ADE＝∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．
②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．
③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．
④不正确，根据已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．
⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．
解：①正确，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴AE＝OE，
∵S△ADE＝×AE×OD＝×OE×OD＝S△EOD，
∴S△ADE＝S△EOD，
②正确，
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点，
∴EF⊥OD，OE＝OF，
∵OD＝OD，
∴DE＝DF，
同理：BE＝BF，
∴四边形BFDE是菱形，
③正确，
∵菱形ABCD的面积＝AC×BD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴EF＝AC，
∴菱形ABCD的面积＝EF×BD，
④不正确，
由已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO，
⑤正确，
∵EF⊥OD，OE＝OF，OD＝OD，
∴△DEO≌△DFO（SAS），
∴△DEF是轴对称图形，
∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力，关键是根据菱形的性质和面积解答．
11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是（ ）
A．14B．19C．18D．16
【分析】根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝10，
∵AO＝OC，
∴BO＝AC＝5，
∵AO＝OC，AM＝MD＝4，
∴OM＝CD＝3，
∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．
故选：C．
【点评】本题看成矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用中线知识解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】连接PC、AC，逐项分析：①由条件易得PECF是矩形，由正方形性质得出△ABP≌△CBP，则可证出EF＝AP，②当AP⊥BD时，可证得：PECF为正方形，则可证得；③当AP⊥BD时，AP最小，此时由正方形性质和勾股定理即可求解．
解：如图：连接PC、AC，
①∵正方形ABCD，PE⊥BC，PF⊥CD，
∴PECF是矩形，
∴PC＝EF，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP 和△CBP 中
，
∴△ABP≌△CBP（SAS）
∴AP＝PC，
∵AP＝5，
∴EF＝AP＝5，故①正确；
②当AP⊥BD时，
∵△ABP≌△CBP，
∴∠APB＝∠CPB＝90°，
即∠APB+∠CPB＝180°，
则A、P、C三点共线，则P为AC与BD的交点，即为正方形对角线的交点，
∴PE＝BE＝CE，
∴PECF为正方形，
∴AC⊥EF，
∵BD⊥AC，
∴EF∥BD，故②正确；
③由①可知：EF＝AP，则EF最小值即为AP最小值，
当AP⊥BD时，AP最小，由②可知，此时，
∴，
即EF最小值为，故③错误；
所以一共有2个正确的．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点到直线的距离最短，以及化简二次根式，掌握矩形正方形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
13．计算的结果是 ﹣1 ．
【分析】根据二次根式的性质求解即可．
解：，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答的关键，注意符号问题．
14．菱形的周长为24cm，相邻两内角比为1：2，则其较短对角线长为 6 cm．
【分析】根据已知可得较小的内角为60°，从而得到较短的对角线与菱形的一组邻边组成一个等边三角形，从而可求得较短对角线的长度．
解：如图所示：
∵菱形的周长为24cm，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝6cm，∠B+∠BAD＝180°，
∵菱形相邻两内角的度数比为1：2，
即∠B：∠BAD＝1：2，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6cm；
故答案为：6．
【点评】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定方法；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
15．若，则ab的值为 2 ．
【分析】根据算术平方根与绝对值的非负性，得出a＝2，b＝1，即可求解．
解：∵，
∴a﹣2＝0，1﹣b＝0，
解得：a＝2，b＝1，
∴ab＝21＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了算术平方根与绝对值的非负性，代数式求值，求得a＝2，b＝1是解题的关键．
16．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于 ．
【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF＝DF；易得FC＝FA，设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2＝42+（6﹣x）2，解方程求出x．
解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，
∴AE＝DC，
而∠AFE＝∠DFC，
∵在△AEF与△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF＝DF；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC＝FA，
设FA＝x，则FC＝x，FD＝6﹣x，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，即x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，
则FD＝6﹣x＝．
故答案为：
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．
17．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为 ﹣5+2 ．
【分析】先把a、b、c的值代入，再化简二次根式，然后约分即可；
解：∵a＝1，b＝10，c＝﹣15．
∴b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣15）＝160，
∴＝＝＝﹣5+2，
故答案为﹣5+2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，F是DC边的中点，E是BC边上一动点，则AE+EF的最小值是 ．
【分析】作点A关于BC的对称点A′，得到AE+EF＝A′E+EF≥A′F，得到当A′，E，F三点共线时，AE+EF取得最小值，过点F作FG⊥AB，得到四边形ADFG为矩形，利用勾股定理进行求解．
解：作点A关于BC的对称点A′，则：AB＝A′B＝2，AE+EF＝A′E+EF≥A′F，
∴当A′，E，F三点共线时，AE+EF取得最小值，即为A′F的长，
过点F作FG⊥AB，
∵矩形ABCD，F是DC边的中点，
∴∠BAD＝∠D＝90°，，
∴四边形ADFG为矩形，
∴FG＝AD＝3，AG＝DF＝1，
∴A′G＝A′B+BG＝A′B+AB﹣AG＝3，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的判定和性质，利用轴对称解决线段问题．熟练掌握矩形的性质，成轴对称的性质，是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算即可；
（2）先化简各式，再合并同类二次根式即可．
解：（1）
＝；
（2）原式＝
＝．
【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质和相应运算法则，正确的计算，是解题的关键．
20．如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是线段AC延长线上的一点，在线段CA的延长线上截取AF＝CE，连接DF，BF，DE，BE．试判断四边形FBED的形状，并说明理由．
【分析】连接BD，交AC于点O，由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，证出OF＝OE，证出四边形FBED是平行四边形，则可得出结论．
解：四边形FBED是菱形．
理由：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AF＝CE，
∴AF+OA＝CE+OC，
即OF＝OE，
∵OD＝OB，
∴四边形FBED是平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴四边形FBED是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”．解答下列问题：如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）△ABC的面积；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．
【分析】（1）先求得三角形周长的一半，即p的值，然后代入公式进行计算即可求解；
（2）根据三角形面积进行计算即可求解．
解：（1）∵a＝7，b＝5，c＝6，
∴，
∴△ABC的面积；
（2）如图，∵△ABC的面积＝，
∴，
∴．
【点评】本题考查了三角形面积公式，二次根式的应用，正确的计算是解题的关键．
22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E，F分别是AC，BD的中点，连接EF．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的长．（简述过程）
【分析】（1）连接BE，DE，根据直角三角形的性质得到BE＝DE，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
（2）根据勾股定理求出BE，根据题意计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接BE，DE，
在△ABC和△ADC中，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC中点，
∴BE＝AC，DE＝AC，
∴BE＝DE，
∵F为BD中点，
∴EF⊥BD；
（2）在Rt△BFE中，EF＝3，BF＝BD＝4，
由勾股定理得：BE＝＝＝5，
∴AC＝2BE＝10．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
23．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．
（1）求证：矩形DEFM是正方形；
（2）求CE+CM的值．
【分析】（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，根据正方形的性质得到∠ACB＝∠ACD．求得EG＝EH，根据矩形的性质得到∠GEH＝90°．∠DEF＝90°．根据全等三角形的性质得到ED＝EF．根据正方形的判定定理即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．根据全等三角形的性质得到AE＝CM．根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD．
∵EG⊥CD，EH⊥BC，
∴EG＝EH，
∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，
∴四边形EGCH是矩形，
∴∠GEH＝90°．
∵四边形DEFM是矩形，
∴∠DEF＝90°．
∴∠DEG＝∠FEH．
∵∠EGD＝∠EHF＝90°，
∴△EGD≌△EHF（ASA），
∴ED＝EF．
∴矩形DEFM是正方形；
（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．
∴∠ADE＝∠CDM．
∴△ADE≌△CDM（SAS），
∴AE＝CM．
∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化．
解：原式＝．
运用以上方法解决问题：
（1）将分母有理化；
（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“＝”）
＜ ；
＜ （n≥2，且n为整数）；
（3）化简：．
【分析】（1）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；
（2）先分母有理化，求出后进行判断即可；
（3）先分母有理化，最后合并即可．
解：（1）＝＝；
（2）∵，，
∴，
∵
∴，
故答案为：＜，＜；
（3）原式＝1+++...+
＝
＝．
【点评】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，解题的关键是能正确进行分母有理化．
25．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG、BG、DG．
（1）求证：BC＝DF；
（2）求证：△DCG≌△BEG；
（3）求证：．
【分析】（1）证明△ADF是等腰直角三角形，即可得证；
（2）在Rt△EFC，G是EF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CG＝FG＝EG，根据BC＝DF，可得BE＝CD，进而根据∠CEF＝∠FCG＝45°得出，∠BEG＝∠DCG＝135°，即可得证；
（3）连接BD，根据矩形的性质可得AC＝BD，进而证明△DGB是等腰直角三角形，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AD，
∴BC＝DF．
（2）在Rt△EFC，G是EF的中点，
∴CG＝FG＝EG，则△FCG，△CGE是等腰直角三角形，∠GCE＝45°，
∵BC＝DF，
∴BE＝CD，
∵∠CEF＝∠FCG＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
∴△DCG≌△BEG（SAS）；
（3）连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵△DCG≌△BEG，
∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，
∴∠CGD+∠AGD＝∠EGB+∠AGD＝90°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．