2022-2023学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算： 9=( )
A. 3B. −3C. ±3D. 9
2.菱形不具有的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 每一条对角线平分一组内角
3.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. − 2B. 12C. 15D. a2
4.x取下列各数时，使得1 x+1有意义的是( )
A. −3B. −2C. −1D. 0
5.下列计算正确的是( )
A. 4=±2B. 4+ 2= 6C. 3× 6=3 2D. (−2)2=−2
6.要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是( )
A. 任选两个角，测量它们的角度B. 测量四条边的长度
C. 测量两条对角线的长度D. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离
7.两个矩形的位置如图所示，若∠1=124°，则∠2的度数为( )
A. 34°
B. 56°
C. 79°
D. 146°
8.在矩形ABCD中，AD=2 6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AC=4BE.则AE的长为( )
A. 4
B. 6
C. 2 3
D. 3
9.把(x−1) −1x−1根号外的因式移入根号内，化简的结果是( )
A. 1−xB. x−1C. − x−1D. − 1−x
10.如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．给出下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积大小等于EF⋅BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
11.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=6，AD=8，则四边形ABOM的周长是( )
A. 14B. 19C. 18D. 16
12.如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，则下列命题：①若AP=5，则EF=5；②若AP⊥BD，则EF//BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确命题的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.计算− (−1)2的结果是 ．
14.菱形的周长为24cm，相邻两内角比为1：2，则其较短对角线长为______cm．
15.若 a−2+|1−b|=0，则ab的值为______．
16.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于______．
17.根据a=1，b=10，c=−15.可求得代数式−b+ b2−4ac2a的值为 ．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=3，F是DC边的中点，E是BC边上一动点，则AE+EF的最小值是______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：
(1)(3 3+2 6)2；
(2)2x 1x+ 9y− x2+y 1y．
20.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是线段AC延长线上的一点，在线段CA的延长线上截取AF=CE，连接DF，BF，DE，BE.试判断四边形FBED的形状，并说明理由．
21.(本小题10分)
阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S= p(p−a)(p−b)(p−c).这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦−秦九韶公式”.解答下列问题：如图，在△ABC中，a=7，b=5，c=6．
(1)△ABC的面积；
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．
22.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC与BD相交于点O，E，F分别是AC，BD的中点，连接EF．
(1)求证：EF⊥BD；
(2)若EF=3，BD=8，求AC的长．(简述过程)
23.(本小题12分)
如图，正方形ABCD中，AB=6，点E是对角线AC上的一点，连接DE.过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．
(1)求证：矩形DEFM是正方形；
(2)求CE+CM的值．
24.(本小题12分)
阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将2 5− 3分母有理化．
解：原式=2( 5+ 3)( 5− 3) 5+ 3= 5+ 3．
运用以上方法解决问题：
(1)将1 3+2分母有理化；
(2)比较大小：(在横线上填“>”、“<”或“=”)
1 6− 5 ______1 7− 6；
1 n− n−1 ______1 n+1− n(n≥2，且n为整数)；
(3)化简：1+11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+…+1 2021+ 2022．
25.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG、BG、DG．
(1)求证：BC=DF；
(2)求证：△DCG≌△BEG；
(3)求证：AC= 2BG．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵32=9
∴ 9=3
故选：A．
9表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解．
本题主要考查了算术平方根的定义，是一个基础题目．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，解题的关键是牢记菱形的性质，难度不大．根据菱形的性质直接作出判断即可确定正确的答案．
【解答】
解：菱形的四边相等，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，但对角线不一定相等，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：A、该二次根式符合最简二次根式的定义，是最简二次根式；
B、12=22×3，该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式；
C、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式；
D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数a2，所以它不是最简二次根式．
故选：A．
最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式；对于各选项中的二次根式，根号下含有小数，分数的可以先排除，剩下的再看被开方数是否含有能开得尽方的因数即可．
本题主要考查了最简二次根式的相关知识，解题的关键是掌握最简二次根式的概念．
4.【答案】D
【解析】解：要使代数式1 x+1有意义，必须x+1>0，
解得：x>−1，
∵−3<−1，−2<−1，−1=−1，0>−1，
∴只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意，
故选：D．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x+1>0，求出x>−1，再逐个判断即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据题意得出x+1>0是解此题的关键，注意：代数式 a中a≥0，分式AB中分母B≠0．
5.【答案】C
【解析】解：A、 4=2，故选项A不符合题意；
B、 4+ 2=2+ 2，故选项B不符合题意；
C、 3× 6=3 2，故选项C符合题意；
D、 (−2)2=2，故选项D不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的性质和加法法则，乘法法则，逐一计算判断即可．
本题考查二次根式的性质和运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、任选两个角，测量它们的角度，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、测量四条边的长度是否相等，能判定是否为菱形，不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量两条对角线的长度是否相等，不能判定是否为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项C不符合题意；
D、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，
由题意得：∠3=180°−∠1=180°−124°=56°，
根据矩形的性质推出，
∠4+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠2=56°．
故选：B．
由补角的定义可得∠3=180°−124°，由题意可得∠4+∠3=90°，∠2+∠4=90°，则有∠2=∠3，即可得解．
本题主要考查矩形的性质，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
8.【答案】B
【解析】解：∵矩形ABCD，
∴AO=OC=OB=OD=12AC,∠BAD=90°，
∵AC=4BE，
∴OB=2BE，
∴E为OB的中点，
∵AE⊥BD，
∴AO=AB，
∴AO=AB=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADB=30°，
∵AE⊥BD，
∴AE=12AD= 6；
故选：B．
根据矩形的性质，得到AO=OC=OB=OD=12AC,∠BAD=90°，根据AC=4BE，得到点E为OB的中点，推出△AOB为等边三角形，得到∠ABD=60°，推出∠ADB=30°，利用含30度的直角三角形的性质，即可得解．
本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形．解题的关键是得到△AOB为等边三角形．
9.【答案】D
【解析】解：由已知可得，x−1<0，即1−x>0，
所以，(x−1) −1x−1=− −(1−x)2x−1=− 1−x．
故选：D．
由于被开方数为非负数，可确定x−1的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．
本题主要考查二次根式的性质与化简，由已知得出x−1的取值范围是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①正确，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴AE=OE，
∵S△ADE=12×AE×OD=12×OE×OD=S△EOD，
∴S△ADE=S△EOD，
②正确，
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点，
∴EF⊥OD，OE=OF，
∵OD=OD，
∴DE=DF，
同理：BE=BF，
∴四边形BFDE是菱形，
③正确，
∵菱形ABCD的面积=12AC×BD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴EF=12AC，
∴菱形ABCD的面积=EF×BD，
④不正确，
由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO，
⑤正确，
∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD，
∴△DEO≌△DFO(SAS)，
∴△DEF是轴对称图形，
∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，
故选：C．
①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．
②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．
③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．
④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．
⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．
此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力，关键是根据菱形的性质和面积解答．
11.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，AB=CD=6，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=10，
∵AO=OC，
∴BO=12AC=5，
∵AO=OC，AM=MD=4，
∴OM=12CD=3，
∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=18．
故选：C．
根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM即可解决问题．
本题考查矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用中线知识解决问题．
12.【答案】C
【解析】解：如图：连接PC、AC，
①∵正方形ABCD，PE⊥BC，PF⊥CD，
∴PECF是矩形，
∴PC=EF，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP 和△CBP 中
AB=BC∠ABP=∠CBPBP=BP，
∴△ABP≌△CBP(SAS)
∴AP=PC，
∵AP=5，
∴EF=AP=5，故①正确；
②当AP⊥BD时，
∵△ABP≌△CBP，
∴∠APB=∠CPB=90°，
即∠APB+∠CPB=180°，
则A、P、C三点共线，则P为AC与BD的交点，即为正方形对角线的交点，
∴PE=BE=CE，
∴PECF为正方形，
∴AC⊥EF，
∵BD⊥AC，
∴EF/​/BD，故②正确；
③由①可知：EF=AP，则EF最小值即为AP最小值，
当AP⊥BD时，AP最小，由②可知，此时PE=BE=EC=12BC=2，
∴EF=PC= PE2+EC2=2 2，
即EF最小值为2 2，故③错误；
所以一共有2个正确的．
故选：C．
连接PC、AC，逐项分析：①由条件易得PECF是矩形，由正方形性质得出△ABP≌△CBP，则可证出EF=AP，②当AP⊥BD时，可证得：PECF为正方形，则可证得；③当AP⊥BD时，AP最小，此时由正方形性质和勾股定理即可求解．
本题考查了矩形正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点到直线的距离最短，以及化简二次根式，掌握矩形正方形的判定与性质是解题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：− (−1)2=− 1=−1，
故答案为：−1．
根据二次根式的性质求解即可．
本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答的关键，注意符号问题．
14.【答案】6
【解析】解：如图所示：
∵菱形的周长为24cm，
∴AB=BC=CD=DA=6cm，∠B+∠BAD=180°，
∵菱形相邻两内角的度数比为1：2，
即∠B：∠BAD=1：2，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6cm；
故答案为：6．
根据已知可得较小的内角为60°，从而得到较短的对角线与菱形的一组邻边组成一个等边三角形，从而可求得较短对角线的长度．
本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定方法；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：∵ a−2+|1−b|=0，
∴a−2=0，1−b=0，
解得：a=2，b=1，
∴ab=21=2，
故答案为：2．
根据算术平方根与绝对值的非负性，得出a=2，b=1，即可求解．
本题考查了算术平方根与绝对值的非负性，代数式求值，求得a=2，b=1是解题的关键．
16.【答案】53
【解析】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE=AB，∠E=∠B=90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∴AE=DC，
而∠AFE=∠DFC，
∵在△AEF与△CDF中，
∠AFE=∠CFD∠E=∠DAE=CD，
∴△AEF≌△CDF(AAS)，
∴EF=DF；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=6，CD=AB=4，
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC=FA，
设FA=x，则FC=x，FD=6−x，
在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+(6−x)2，解得x=133，
则FD=6−x=53．
故答案为：53
根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6−x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+(6−x)2，解方程求出x．
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．
17.【答案】−5+2 10
【解析】【分析】
先把a、b、c的值代入，再化简二次根式，然后约分即可；
本题考查了解一元二次方程−公式法，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【解答】
解：∵a=1，b=10，c=−15．
∴b2−4ac=102−4×1×(−15)=160，
∴−b+ b2−4ac2a=−10+ 1602×1=−10+4 102=−5+2 10，
故答案为−5+2 10．
18.【答案】3 2
【解析】解：作点A关于BC的对称点A′，则：AB=A′B=2，AE+EF=A′E+EF≥A′F，
∴当A′，E，F三点共线时，AE+EF取得最小值，即为A′F的长，
过点F作FG⊥AB，
∵矩形ABCD，F是DC边的中点，
∴∠BAD=∠D=90°，DF=12CD=1，
∴四边形ADFG为矩形，
∴FG=AD=3，AG=DF=1，
∴A′G=A′B+BG=A′B+AB−AG=3，
∴A′F=3 2．
故答案为：3 2．
作点A关于BC的对称点A′，得到AE+EF=A′E+EF≥A′F，得到当A′，E，F三点共线时，AE+EF取得最小值，过点F作FG⊥AB，得到四边形ADFG为矩形，利用勾股定理进行求解．
本题考查矩形的判定和性质，利用轴对称解决线段问题．熟练掌握矩形的性质，成轴对称的性质，是解题的关键．
19.【答案】解：(1)(3 3+2 6)2=27+12 18+24
=51+36 2；
(2)原式=2 x+3 y− x2+ y
=32 x+4 y．
【解析】(1)利用完全平方公式进行计算即可；
(2)先化简各式，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质和相应运算法则，正确的计算，是解题的关键．
20.【答案】解：四边形FBED是菱形．
理由：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AF=CE，
∴AF+OA=CE+OC，
即OF=OE，
∵OD=OB，
∴四边形FBED是平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴四边形FBED是菱形．
【解析】连接BD，交AC于点O，由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，证出OF=OE，证出四边形FBED是平行四边形，则可得出结论．
本题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵a=7，b=5，c=6，
∴p=7+5+62=9，
∴△ABC的面积S= 9(9−7)(9−5)(9−6)=6 6；
(2)如图，∵△ABC的面积=12BC⋅AD，

∴12×7×AD=6 6，
∴AD=12 67．
【解析】(1)先求得三角形周长的一半，即p的值，然后代入公式进行计算即可求解；
(2)根据三角形面积进行计算即可求解．
本题考查了三角形面积公式，二次根式的应用，正确的计算是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接BE，DE，
在△ABC和△ADC中，
∵∠ABC=∠ADC=90°，E为AC中点，
∴BE=12AC，DE=12AC，
∴BE=DE，
∵F为BD中点，
∴EF⊥BD；
(2)在Rt△BFE中，EF=3，BF=12BD=4，
由勾股定理得：BE= BF2+EF2= 42+32=5，
∴AC=2BE=10．
【解析】(1)连接BE，DE，根据直角三角形的性质得到BE=DE，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
(2)根据勾股定理求出BE，根据题意计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD．
∵EG⊥CD，EH⊥BC，
∴EG=EH，
∵∠EGC=∠EHC=∠BCD=90°，
∴四边形EGCH是矩形，
∴∠GEH=90°．
∵四边形DEFM是矩形，
∴∠DEF=90°．
∴∠DEG=∠FEH．
∵∠EGD=∠EHF=90°，
∴△EGD≌△EHF(ASA)，
∴ED=EF．
∴矩形DEFM是正方形；
(2)∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DE=DM，AD=CD，∠ADC=∠EDM=90°．
∴∠ADE=∠CDM．
∴△ADE≌△CDM(SAS)，
∴AE=CM．
∴CE+CM=CE+AE=AC= AD2+CD2= 62+62=6 2．
【解析】(1)如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，根据正方形的性质得到∠ACB=∠ACD.求得EG=EH，根据矩形的性质得到∠GEH=90°.∠DEF=90°.根据全等三角形的性质得到ED=EF.根据正方形的判定定理即可得到结论；
(2)根据正方形的性质得到DE=DM，AD=CD，∠ADC=∠EDM=90°.根据全等三角形的性质得到AE=CM.根据勾股定理即可得到结论．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】< <
【解析】解：(1)1 3+2=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 34−3=2− 3；
(2)∵1 6− 5= 6+ 5,1 7− 6= 7+ 6， 5< 7，
∴1 6− 5<1 7− 6，
∵1 n− n−1= n+ n−1,1 n+1− n= n+1+ n
∴1 n− n−1<1 n+1− n，
故答案为：<，<；
(3)原式=1+ 2−1( 2+1)( 2−1)+ 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)+...+ 2022− 2021( 2022+ 2021)( 2022− 2021)
=1+ 2−1+ 3− 2+⋅⋅⋅+ 2022− 2021
= 2022．
(1)根据平方差公式先分子和分母都乘以2− 3，即可求出答案；
(2)先分母有理化，求出后进行判断即可；
(3)先分母有理化，最后合并即可．
本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，解题的关键是能正确进行分母有理化．
25.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF=AD，
∴BC=DF．
(2)在Rt△EFC，G是EF的中点，
∴CG=FG=EG，则△FCG，△CGE是等腰直角三角形，∠GCE=45°，
∵BC=DF，
∴BE=CD，
∵∠CEF=∠FCG=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
∴△DCG≌△BEG(SAS)；
(3)连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵△DCG≌△BEG，
∴DG=BG，∠CGD=∠EGB，
∴∠CGD+∠AGD=∠EGB+∠AGD=90°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
∴BD= 2BG，
∴AC= 2BG．
【解析】(1)证明△ADF是等腰直角三角形，即可得证；
(2)在Rt△EFC，G是EF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CG=FG=EG，根据BC=DF，可得BE=CD，进而根据∠CEF=∠FCG=45°得出，∠BEG=∠DCG=135°，即可得证；
(3)连接BD，根据矩形的性质可得AC=BD，进而证明△DGB是等腰直角三角形，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．