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2023-2024学年山东省济南市平阴县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)
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这是一份2023-2024学年山东省济南市平阴县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是( )
A. 笛卡尔心形线B. 赵爽弦图
C. 莱洛三角形D. 科克曲线
2.太钢不锈钢精密带钢有限公司生产的“手撕钢”宽0.6米、厚0.000015米(0.015毫米)，广泛应用于航空航天、新能源、5G通信等高精尖端设备制造行业，至今保持世界最宽、最薄“手撕钢”记录用科学记数法表示应为( )
A. 1.5×105B. 1.5×10−5C. 1.5×10−6D. 1.5×10−7
3.下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是( )
A. 黄河入海流B. 手可摘星辰C. 锄禾日当午D. 大漠孤烟直
4.下列算式正确的是( )
A. 3a⋅7a=21aB. a4a3=a12C. a8÷a2=a4D. (−a3)4=a12
5.小明有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有5根木棒供他选择，其长度分别为3cm、5cm、10cm、13cm、14cm.小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为( )
A. 25B. 12C. 35D. 1
6.如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE//DF，AB=CD，添加以下条件不能判定△AEC≌△DFB的是( )
A. AE=DF
B. ∠E=∠F
C. EC=BF
D. EC//BF
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=2，AB=10，则△ABD的面积是( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
8.如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC=60∘，∠ACP=24∘，则∠ABP是( )
A. 24∘B. 30∘C. 32∘D. 36∘
9.如图，长方形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是( )
A. 3cm2
B. 4cm2
C. 5cm2
D. 6cm2
10.如图，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90∘，点A、D、E在同一条直线上，CM平分∠DCE，连接BE.以下结论：①AD=BE；②CM⊥AE；③AE=BE+2CM；④S△COE=S△BOM.正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是______.
12.若a2−b2=−8，a+b=−4，则a−b的值为______.
13.等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为______.
14.如图是小颖同学劳动节前夕，在街上拍到的路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=31∘，∠2=66∘，则∠3的度数为______.
15.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线A→C→B运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y(cm)与点P的运动时间x(秒)的关系图象如图所示，则△ABC的面积为______.
16.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”(如3=22−12，16=52−32)“智慧数”按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，则第2024个“智慧数”是______.
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
计算：
(1)−14−(12)−2+(π−3)0；
(2)(−2x2y)2⋅3xy÷(−6x2y)；
(3)20232−2022×2024.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：[(a−4b)2+(a−2b)(a+2b)−2a2]÷2b，其中a=1，b=−2.
19.(本小题6分)
已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，∠1=∠2.求证：EF//CD.
小明给出了如下不完整的证明过程，请你帮助小明完成.
证明：
∵DG⊥BC，AC⊥BC(已知).
∴∠DGB=∠ACB=90∘(______)，
∴DG//AC(______)，
∴∠2=______(______)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=______(等量代换)，
∴EF//CD(______).
20.(本小题8分)
如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点.
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
(2)直线MN上存在一点P，CP+AP之和最短，请画出P点的位置(保留作图痕迹)；
(3)请说明△ABC的形状.
21.(本小题8分)
泉城广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级(1)班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米(注：BD⊥CE)；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米.
(1)求风筝的高度CE.
(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，求DH的长度.
22.(本小题8分)
已知一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个黑球.
(1)从中随机取出1个球是黑球的概率是多少？
(2)若向口袋中再放入5个白球和若干个黑球，从口袋中随机取出1个球是白球的概率是14，求需放入多少个黑球.
23.(本小题6分)
如图，AB=AD，∠C=∠E，∠BAE=∠DAC.求证：AC=AE.
24.(本小题10分)
小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校.以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小刚家到学校的路程是______米；小刚在书店停留了______分钟；
(2)本次上学途中，小刚一共行驶了______米；一共用了______分钟；
(3)我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度.问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请计算说明.
25.(本小题10分)
两个边长分别为a和b的正方形如图放置(图1)，其未叠合部分(阴影)面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图2)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2.
(1)用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
(2)若a+b=10，ab=20，求S1+S2的值；
(3)当S1+S2=30时，求出图3中阴影部分的面积S3.
26.(本小题12分)
(1)问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，连接AD，BE，点A、D、E在同一条直线上，则∠AEB的度数为______，线段 AD、BE之间的数量关系______；
(2)拓展探究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，连接AD，BE，点A、D、E不在一条直线上，请判断线段AD、BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)解决问题：
如图3，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=α，则直线AD和BE的夹角为______.(请用含α的式子表示)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：0.000015=1.5×10−5.
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】A
【解析】解：A.黄河入海流，这是必然事件；
B.手可摘星辰，这是不可能事件；
C.锄禾日当午，这是随机事件；
D.大漠孤烟直，这是随机事件．
故选：A.
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】解：A.3a⋅7a=21a2，故该选项不正确，不符合题意；
B.a4a3=a7，故该选项不正确，不符合题意；
C.a8÷a2=a6，故该选项不正确，不符合题意；
D. (−a3)4=a12，故该选项正确，符合题意；
故选：D.
分别进行单项式乘单项式、积的乘方、同底数幂的乘除法等运算，然后选出正确选项即可．
本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：小明随手拿了一根，有五种情况，由于三角形中任意两边之和要大于第三边，任意两边之差小于第三边，故只有这根是5cm或10cm，
∴小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率=25.
故选：A.
根据构成三角形的条件，确定出第三边长，再由概率求解．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；三角形两边之和大于第三边．
6.【答案】C
【解析】解：∵AE//DF，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AC=DB，
∴A、添加条件AE=DF，可以利用SAS定理证明△AEC≌△DFB，故此选项不合题意；
B、添加条件∠E=∠F，利用AAS能证明△AEC≌△DFB，故此选项不合题意；
C、添加条件EC=BF，不能证明△AEC≌△DFB，故此选项符合题意；
D、添加条件EC//BF，可得∠ACE=∠DBF，可以利用ASA定理证明△AEC≌△DFB，故此选项不合题意；
故选：C.
根据题目条件可得AC=DB，∠A=∠D，再根据四个选项结合全等三角形的判定定理可得答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7.【答案】B
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，AP为∠BAC的平分线，
∵∠C=90∘，
∴CD=DE=2，
∴△ABD的面积是12AB⋅DE=12×10×2=10.
故选：B.
过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，AP为∠BAC的平分线，结合角平分线的性质可得CD=DE=2，利用三角形的面积公式计算可得答案．
本题考查作图-基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180∘，∠A=60∘，∠ACP=24∘，
∴3∠ABP+24∘+60∘=180∘，
解得：∠ABP=32∘.
故选：C.
根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24∘+60∘=180∘，求出方程的解即可．
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用．
9.【答案】B
【解析】本题考查正方形与长方形的性质，解题的关键是设AB=xcm，AD=ycm，利用完全平方公式求出xy的值．
设AB=xcm，AD=ycm，根据题意列出方程x2+y2=17，2(x+y)=10，利用完全平方公式即可求出xy的值．
解：设AB=xcm，AD=ycm.
∵正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17cm2，
∴x2+y2=17.
∵长方形ABCD的周长是10cm，
∴2(x+y)=10，
∴x+y=5.
∵(x+y)2=x2+2xy+y2，
∴25=17+2xy，
∴xy=4，
∴长方形ABCD的面积为：xy=4cm2，
故选：B.
10.【答案】D
【解析】解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，故①正确，
∵△DCE为等腰直角三角形，CM平分∠DCE，
∴∠CDE=∠CED=45∘，CM⊥AE，故②正确，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME.
∵∠DCE=90∘，
∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.故③正确，
∵点A，D，E在同一直线上，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴∠ADC=135∘，
∴∠BEC=135∘，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘，
∴∠AEB=∠CME=90∘，
∴CM//BE，
∴S△CMB=S△CME(同底等高)，
∴S△CMO+S△BOM=S△CMO+S△COE，
∴S△COE=S△BOM，故④正确；
故选：D.
由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得∠CDE=∠CED=45∘.CM⊥AE，可判断②，由三角形的面积公式可判断④，由线段和差关系可判断③．
本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定及性质点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
11.【答案】3或−3
【解析】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，
∴x2+2mx+9=(x±3)2=x2±6x+9，
即m=±3，
故答案为：3或−3.
根据完全平方公式得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：∵a2−b2=−8，
∴(a+b)(a−b)=−8，
又∵a+b=−4，
∴a−b=2，
故答案为：2.
根据a2−b2=(a+b)(a−b)进行计算即可．
本题考查平方差公式，掌握a2−b2=(a+b)(a−b)是正确解答的关键．
13.【答案】15
【解析】解：如图：
AB=AC=17，BC=16.
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；
则BD=DC=12BC=8；
Rt△ABD中，AB=17，BD=8；
由勾股定理，得：AD= AB2−BD2=15.
故答案为：15.
在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得底边上高线的长度．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
14.【答案】145∘
【解析】解：过M作MN//AB，
∵AB//CD，
∴MN//CD，
∴∠3+∠BMN=180∘，∠DMN=∠1=31∘，
∵∠BMD=66∘，
∴∠BMN=66∘−31∘=35∘，
∴∠3=180∘−35∘=145∘.
故答案为：45∘.
过M作MN//AB，得到MN//CD，推出∠3+∠BMN=180∘，∠DMN=∠1=31∘，求出∠BMN=66∘−31∘=35∘，即可得到∠3=180∘−35∘=145∘.
本题考查平行线的性质，关键是过M作MN//AB，得到MN//CD，由平行线的来解决问题．
15.【答案】6cm2
【解析】解：由图2可得，当p运动到C点时PD的长度最长，时间为3s，每秒1cm的速度，此时路程为3cm；时间为7s时，PD再一次为0，此时路程增加4cm.
∴AC=3，BC=4，
∵∠ACB=90∘，
∴S△ABC=12⋅AC⋅BC=12×3×4=6(cm2).
故答案为：6cm2.
根据图2可判断AC=3，BC=4，即可计算面积．
本题考查了函数与函数的图象，解题关键是根据图2得到AC、BC的长度，此题难度不大．
16.【答案】2701
【解析】解：将上述“智慧数”每3个分为一组，即3，5，7为一组，8，9，11为一组，12，13，15为一组⋯，
可得：从第二组开始，每一组的第一个数是4的倍数，
∴从第二组开始的第一个数可以表示为4n，(n为大于等于2的正整数)，
∵2024÷3=674⋯2，
∴第2024个“智慧数”是属于第675组的第二个数，
∴第2024个“智慧数”是：675×4+1=2701，
故答案为：2701.
先将上述“智慧数”每3个分为一组，即3，5，7为一组，8，9，11为一组，12，13，15为一组⋯，可得：从第二组开始，每一组的第一个数是4的倍数，由此规律计算即可．
本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
17.【答案】解：(1)−14−(12)−2+(π−3)0
=−1−4+1
=−4；
(2)(−2x2y)2⋅3xy÷(−6x2y)
=4x4y2y⋅3xy÷(−6x2y)
=−2x3y2；
(3)20232−2022×2024
=20232−(2023−1)(2023+1)
=20232−(20232−1)
=20232−20232+1
=1.
【解析】(1)先计算乘方、负整数指数幂和零次幂，再计算加减；
(2)先计算积的乘方，再计算单项式的乘除运算；
(3)将该算式变形后，运用平方差公式进行求解．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18.【答案】解：原式=(a2−8ab+16b2+a2−4b2−2a2)÷2b
=(−8ab+12b2)÷2b
=−4a+6b，
当a=1，b=−2时，
原式=−4×1+6×(−2)=−4−12=−16.
【解析】根据整式的四则混合运算法则即可化简，再将a=1，b=−2代入化简后的式子求值即可．
本题考查整式的四则混合运算，代数式求值．掌握整式的四则混合运算法则是解题关键．
19.【答案】垂直的性质;同位角相等，两直线平行;∠ACD;两直线平行，内错角相等;∠ACD;同位角相等，两直线平行.
【解析】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC(已知).
∴∠DGB=∠ACB=90∘(垂直的性质)，
∴DG//AC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠ACD(两直线平行，内错角相等)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠ACD(等量代换)，
∴EF//CD(同位角相等，两直线平行).
故答案为：垂直的性质；同位角相等，两直线平行；∠ACD，两直线平行，内错角相等；∠ACD；同位角相等，两直线平行．
本题由垂直的性质得到角相等，再到两直线平行，利用的是平行线的判定，再根据平行线的性质及已知得到∠1与∠ACD的关系，最后利用平行线的判定得出EF与CD的位置关系．
本题考查了平行线的性质和判定，题目比较简单，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示△A1B1C1为所求作的三角形；
(2)如图，连接AC1，交直线MN于点P，连接CP，
此时PA+PC的长最短，最短长度为AC1的值；
(3)∵AC2=32+32=18，BC2=22+22=8，AB2=52+12=26，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90∘，
∴△ACB是直角三角形．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)连接AC1，交直线MN于点P，连接CP，此时PA+PC的长最短；
(3)根据勾股定理的逆定理即可得的答案．
本题主要考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理逆定理是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理，得：
CD= CB2−BD2= 252−152=20(米)，
所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7(米)，
答：风筝的高度CE为21.7米．
(2)由等积法知：12BD×DC=12BC×DH，
解得：DH=15×2025=12(米)，
答：DH的长度为12米．
【解析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个黑球；
∴从中随机取出1个球是黑球的概率是：47；
(2)设需放入x个黑球，
根据题意得：3+57+5+x=14，
解得：x=20，
经检验，x=20是原分式方程的解，
∴需放入20个黑球．
【解析】(1)由一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个黑球，直接利用概率公式求解即可求得答案；
(2)首先设需放入x个黑球，根据题意得：3+57+5+x=14，解此分式方程即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】证明：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
∠C=∠E ∠BAC=∠DAE AB=AD ，
∴△BAC≌△DAE(AAS)，
∴AC=AE.
【解析】由“AAS”可证△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得AC=AE.
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠BAC=∠DAE是解题的关键．
24.【答案】1500 4 2700 14
【解析】解：(1)由图象可得，
小刚家到学校的路程是1500米，小刚在书店停留了12−8=4(分钟)，
故答案为：1500，4；
(2)由图象可得，
本次上学途中，小刚一共行驶了1200+(1200−600)+(1500−600)
=1200+600+900
=2700(米)，
一共用了14分钟，
故答案为：2700，14；
(3)由图象可知，
12--14分内的速度最快，这段的速度为：(1500−600)÷(14−12)=450(米/分)，
∵450>300，
∴该速度不在安全限度内．
(1)根据图象中的数据，可以写出小刚家到学校的路程，计算出小刚在书店停留时间；
(2)根据图象中的数据，可以计算出本次上学途中，小刚一共行驶路程，写出共用的时间；
(3)根据图象可知：12--14分内的速度最快，然后计算出这段的速度，再与300比较大小即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)由图可得，S1=a2−b2，
S2=a2−a(a−b)−b(a−b)−b(a−b)=2b2−ab；
(2)S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab，
∵a+b=10，ab=20，
∴S1+S2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=100−3×20=40；
(3)由图可得，S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2=12(a2+b2−ab)，
∵S1+S2=a2+b2−ab=30，
∴S3=12×30=15.
【解析】(1)根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
(2)根据S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab，将a+b=10，ab=20代入进行计算即可；
(3)根据S3=12(a2+b2−ab)，S1+S2=a2+b2−ab=30，即可得到阴影部分的面积S3.
本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
26.【答案】90∘AD=BEα
【解析】解：(1)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC，CD=CE，∠CDE=45∘，
∴∠CDA=135∘，
∵∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠BEC=∠ADC=135∘，AD=BE，
∴∠AEB=90∘，
故答案为：90∘，AD=BE；
(2)AD=BE，AD⊥BE，理由如下，
同理可得△ACD≌△BCE，
则AD=BE，
延长AD交BE于点F，
设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45∘−α，
∴∠ABE=45∘+45∘−α=90∘−α，
∴∠AFB=180∘−∠FAB−∠ABE=180∘−α−(90∘−α)=90∘，
∴AD⊥BE；
(3)如图，延长BE交AD于点G，
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∵∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠CBA=∠CAB=12(180∘−α)=90∘−12α，
∴∠GAB+∠GBA=(∠CAD+∠CAB)+(∠ABC−∠CBE)=∠ABC+∠CAB=180∘−α，
∴∠AGB=180∘−(∠GAB+∠GBA)=α，
即直线AD和BE的夹角为α.
故答案为：α.
(1)证△ACD≌△BCE得∠BEC=∠ADC=135∘，AD=BE，继而知∠AEB=90∘；
(2)同理知△ACD≌△BCE，得AD=BE，延长AD交BE于点F，设∠FAB=α，知∠CAD=∠CBE=45∘−α，继而得∠ABE=45∘+45∘−α=90∘−α，∠AFB=180∘−∠FAB−∠ABE=90∘，从而得出答案；
(3)延长BE交AD于点G，证△ACD≌△BCE得∠CBE=∠CAD，由∠ACB=∠DCE=α知∠CBA=∠CAB=12(180∘−α)=90∘−12α，∠GAB+∠GBA=(∠CAD+∠CAB)+(∠ABC−∠CBE)=∠ABC+∠CAB=180∘−α，从而得出∠AGB=180∘−(∠GAB+∠GBA)=α.
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理．
1.下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是( )
A. 笛卡尔心形线B. 赵爽弦图
C. 莱洛三角形D. 科克曲线
2.太钢不锈钢精密带钢有限公司生产的“手撕钢”宽0.6米、厚0.000015米(0.015毫米)，广泛应用于航空航天、新能源、5G通信等高精尖端设备制造行业，至今保持世界最宽、最薄“手撕钢”记录用科学记数法表示应为( )
A. 1.5×105B. 1.5×10−5C. 1.5×10−6D. 1.5×10−7
3.下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是( )
A. 黄河入海流B. 手可摘星辰C. 锄禾日当午D. 大漠孤烟直
4.下列算式正确的是( )
A. 3a⋅7a=21aB. a4a3=a12C. a8÷a2=a4D. (−a3)4=a12
5.小明有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有5根木棒供他选择，其长度分别为3cm、5cm、10cm、13cm、14cm.小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为( )
A. 25B. 12C. 35D. 1
6.如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE//DF，AB=CD，添加以下条件不能判定△AEC≌△DFB的是( )
A. AE=DF
B. ∠E=∠F
C. EC=BF
D. EC//BF
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=2，AB=10，则△ABD的面积是( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
8.如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC=60∘，∠ACP=24∘，则∠ABP是( )
A. 24∘B. 30∘C. 32∘D. 36∘
9.如图，长方形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是( )
A. 3cm2
B. 4cm2
C. 5cm2
D. 6cm2
10.如图，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90∘，点A、D、E在同一条直线上，CM平分∠DCE，连接BE.以下结论：①AD=BE；②CM⊥AE；③AE=BE+2CM；④S△COE=S△BOM.正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是______.
12.若a2−b2=−8，a+b=−4，则a−b的值为______.
13.等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为______.
14.如图是小颖同学劳动节前夕，在街上拍到的路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=31∘，∠2=66∘，则∠3的度数为______.
15.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线A→C→B运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y(cm)与点P的运动时间x(秒)的关系图象如图所示，则△ABC的面积为______.
16.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”(如3=22−12，16=52−32)“智慧数”按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，则第2024个“智慧数”是______.
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
计算：
(1)−14−(12)−2+(π−3)0；
(2)(−2x2y)2⋅3xy÷(−6x2y)；
(3)20232−2022×2024.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：[(a−4b)2+(a−2b)(a+2b)−2a2]÷2b，其中a=1，b=−2.
19.(本小题6分)
已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，∠1=∠2.求证：EF//CD.
小明给出了如下不完整的证明过程，请你帮助小明完成.
证明：
∵DG⊥BC，AC⊥BC(已知).
∴∠DGB=∠ACB=90∘(______)，
∴DG//AC(______)，
∴∠2=______(______)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=______(等量代换)，
∴EF//CD(______).
20.(本小题8分)
如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点.
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
(2)直线MN上存在一点P，CP+AP之和最短，请画出P点的位置(保留作图痕迹)；
(3)请说明△ABC的形状.
21.(本小题8分)
泉城广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级(1)班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米(注：BD⊥CE)；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米.
(1)求风筝的高度CE.
(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，求DH的长度.
22.(本小题8分)
已知一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个黑球.
(1)从中随机取出1个球是黑球的概率是多少？
(2)若向口袋中再放入5个白球和若干个黑球，从口袋中随机取出1个球是白球的概率是14，求需放入多少个黑球.
23.(本小题6分)
如图，AB=AD，∠C=∠E，∠BAE=∠DAC.求证：AC=AE.
24.(本小题10分)
小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校.以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小刚家到学校的路程是______米；小刚在书店停留了______分钟；
(2)本次上学途中，小刚一共行驶了______米；一共用了______分钟；
(3)我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度.问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请计算说明.
25.(本小题10分)
两个边长分别为a和b的正方形如图放置(图1)，其未叠合部分(阴影)面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图2)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2.
(1)用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
(2)若a+b=10，ab=20，求S1+S2的值；
(3)当S1+S2=30时，求出图3中阴影部分的面积S3.
26.(本小题12分)
(1)问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，连接AD，BE，点A、D、E在同一条直线上，则∠AEB的度数为______，线段 AD、BE之间的数量关系______；
(2)拓展探究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，连接AD，BE，点A、D、E不在一条直线上，请判断线段AD、BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)解决问题：
如图3，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=α，则直线AD和BE的夹角为______.(请用含α的式子表示)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：0.000015=1.5×10−5.
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】A
【解析】解：A.黄河入海流，这是必然事件；
B.手可摘星辰，这是不可能事件；
C.锄禾日当午，这是随机事件；
D.大漠孤烟直，这是随机事件．
故选：A.
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】解：A.3a⋅7a=21a2，故该选项不正确，不符合题意；
B.a4a3=a7，故该选项不正确，不符合题意；
C.a8÷a2=a6，故该选项不正确，不符合题意；
D. (−a3)4=a12，故该选项正确，符合题意；
故选：D.
分别进行单项式乘单项式、积的乘方、同底数幂的乘除法等运算，然后选出正确选项即可．
本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：小明随手拿了一根，有五种情况，由于三角形中任意两边之和要大于第三边，任意两边之差小于第三边，故只有这根是5cm或10cm，
∴小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率=25.
故选：A.
根据构成三角形的条件，确定出第三边长，再由概率求解．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；三角形两边之和大于第三边．
6.【答案】C
【解析】解：∵AE//DF，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AC=DB，
∴A、添加条件AE=DF，可以利用SAS定理证明△AEC≌△DFB，故此选项不合题意；
B、添加条件∠E=∠F，利用AAS能证明△AEC≌△DFB，故此选项不合题意；
C、添加条件EC=BF，不能证明△AEC≌△DFB，故此选项符合题意；
D、添加条件EC//BF，可得∠ACE=∠DBF，可以利用ASA定理证明△AEC≌△DFB，故此选项不合题意；
故选：C.
根据题目条件可得AC=DB，∠A=∠D，再根据四个选项结合全等三角形的判定定理可得答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7.【答案】B
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，AP为∠BAC的平分线，
∵∠C=90∘，
∴CD=DE=2，
∴△ABD的面积是12AB⋅DE=12×10×2=10.
故选：B.
过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，AP为∠BAC的平分线，结合角平分线的性质可得CD=DE=2，利用三角形的面积公式计算可得答案．
本题考查作图-基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180∘，∠A=60∘，∠ACP=24∘，
∴3∠ABP+24∘+60∘=180∘，
解得：∠ABP=32∘.
故选：C.
根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24∘+60∘=180∘，求出方程的解即可．
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用．
9.【答案】B
【解析】本题考查正方形与长方形的性质，解题的关键是设AB=xcm，AD=ycm，利用完全平方公式求出xy的值．
设AB=xcm，AD=ycm，根据题意列出方程x2+y2=17，2(x+y)=10，利用完全平方公式即可求出xy的值．
解：设AB=xcm，AD=ycm.
∵正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17cm2，
∴x2+y2=17.
∵长方形ABCD的周长是10cm，
∴2(x+y)=10，
∴x+y=5.
∵(x+y)2=x2+2xy+y2，
∴25=17+2xy，
∴xy=4，
∴长方形ABCD的面积为：xy=4cm2，
故选：B.
10.【答案】D
【解析】解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，故①正确，
∵△DCE为等腰直角三角形，CM平分∠DCE，
∴∠CDE=∠CED=45∘，CM⊥AE，故②正确，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME.
∵∠DCE=90∘，
∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.故③正确，
∵点A，D，E在同一直线上，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴∠ADC=135∘，
∴∠BEC=135∘，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘，
∴∠AEB=∠CME=90∘，
∴CM//BE，
∴S△CMB=S△CME(同底等高)，
∴S△CMO+S△BOM=S△CMO+S△COE，
∴S△COE=S△BOM，故④正确；
故选：D.
由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得∠CDE=∠CED=45∘.CM⊥AE，可判断②，由三角形的面积公式可判断④，由线段和差关系可判断③．
本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定及性质点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
11.【答案】3或−3
【解析】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，
∴x2+2mx+9=(x±3)2=x2±6x+9，
即m=±3，
故答案为：3或−3.
根据完全平方公式得出结论即可．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：∵a2−b2=−8，
∴(a+b)(a−b)=−8，
又∵a+b=−4，
∴a−b=2，
故答案为：2.
根据a2−b2=(a+b)(a−b)进行计算即可．
本题考查平方差公式，掌握a2−b2=(a+b)(a−b)是正确解答的关键．
13.【答案】15
【解析】解：如图：
AB=AC=17，BC=16.
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；
则BD=DC=12BC=8；
Rt△ABD中，AB=17，BD=8；
由勾股定理，得：AD= AB2−BD2=15.
故答案为：15.
在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得底边上高线的长度．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
14.【答案】145∘
【解析】解：过M作MN//AB，
∵AB//CD，
∴MN//CD，
∴∠3+∠BMN=180∘，∠DMN=∠1=31∘，
∵∠BMD=66∘，
∴∠BMN=66∘−31∘=35∘，
∴∠3=180∘−35∘=145∘.
故答案为：45∘.
过M作MN//AB，得到MN//CD，推出∠3+∠BMN=180∘，∠DMN=∠1=31∘，求出∠BMN=66∘−31∘=35∘，即可得到∠3=180∘−35∘=145∘.
本题考查平行线的性质，关键是过M作MN//AB，得到MN//CD，由平行线的来解决问题．
15.【答案】6cm2
【解析】解：由图2可得，当p运动到C点时PD的长度最长，时间为3s，每秒1cm的速度，此时路程为3cm；时间为7s时，PD再一次为0，此时路程增加4cm.
∴AC=3，BC=4，
∵∠ACB=90∘，
∴S△ABC=12⋅AC⋅BC=12×3×4=6(cm2).
故答案为：6cm2.
根据图2可判断AC=3，BC=4，即可计算面积．
本题考查了函数与函数的图象，解题关键是根据图2得到AC、BC的长度，此题难度不大．
16.【答案】2701
【解析】解：将上述“智慧数”每3个分为一组，即3，5，7为一组，8，9，11为一组，12，13，15为一组⋯，
可得：从第二组开始，每一组的第一个数是4的倍数，
∴从第二组开始的第一个数可以表示为4n，(n为大于等于2的正整数)，
∵2024÷3=674⋯2，
∴第2024个“智慧数”是属于第675组的第二个数，
∴第2024个“智慧数”是：675×4+1=2701，
故答案为：2701.
先将上述“智慧数”每3个分为一组，即3，5，7为一组，8，9，11为一组，12，13，15为一组⋯，可得：从第二组开始，每一组的第一个数是4的倍数，由此规律计算即可．
本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
17.【答案】解：(1)−14−(12)−2+(π−3)0
=−1−4+1
=−4；
(2)(−2x2y)2⋅3xy÷(−6x2y)
=4x4y2y⋅3xy÷(−6x2y)
=−2x3y2；
(3)20232−2022×2024
=20232−(2023−1)(2023+1)
=20232−(20232−1)
=20232−20232+1
=1.
【解析】(1)先计算乘方、负整数指数幂和零次幂，再计算加减；
(2)先计算积的乘方，再计算单项式的乘除运算；
(3)将该算式变形后，运用平方差公式进行求解．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18.【答案】解：原式=(a2−8ab+16b2+a2−4b2−2a2)÷2b
=(−8ab+12b2)÷2b
=−4a+6b，
当a=1，b=−2时，
原式=−4×1+6×(−2)=−4−12=−16.
【解析】根据整式的四则混合运算法则即可化简，再将a=1，b=−2代入化简后的式子求值即可．
本题考查整式的四则混合运算，代数式求值．掌握整式的四则混合运算法则是解题关键．
19.【答案】垂直的性质;同位角相等，两直线平行;∠ACD;两直线平行，内错角相等;∠ACD;同位角相等，两直线平行.
【解析】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC(已知).
∴∠DGB=∠ACB=90∘(垂直的性质)，
∴DG//AC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠ACD(两直线平行，内错角相等)，
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠ACD(等量代换)，
∴EF//CD(同位角相等，两直线平行).
故答案为：垂直的性质；同位角相等，两直线平行；∠ACD，两直线平行，内错角相等；∠ACD；同位角相等，两直线平行．
本题由垂直的性质得到角相等，再到两直线平行，利用的是平行线的判定，再根据平行线的性质及已知得到∠1与∠ACD的关系，最后利用平行线的判定得出EF与CD的位置关系．
本题考查了平行线的性质和判定，题目比较简单，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示△A1B1C1为所求作的三角形；
(2)如图，连接AC1，交直线MN于点P，连接CP，
此时PA+PC的长最短，最短长度为AC1的值；
(3)∵AC2=32+32=18，BC2=22+22=8，AB2=52+12=26，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90∘，
∴△ACB是直角三角形．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)连接AC1，交直线MN于点P，连接CP，此时PA+PC的长最短；
(3)根据勾股定理的逆定理即可得的答案．
本题主要考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理逆定理是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理，得：
CD= CB2−BD2= 252−152=20(米)，
所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7(米)，
答：风筝的高度CE为21.7米．
(2)由等积法知：12BD×DC=12BC×DH，
解得：DH=15×2025=12(米)，
答：DH的长度为12米．
【解析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个黑球；
∴从中随机取出1个球是黑球的概率是：47；
(2)设需放入x个黑球，
根据题意得：3+57+5+x=14，
解得：x=20，
经检验，x=20是原分式方程的解，
∴需放入20个黑球．
【解析】(1)由一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个黑球，直接利用概率公式求解即可求得答案；
(2)首先设需放入x个黑球，根据题意得：3+57+5+x=14，解此分式方程即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】证明：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
∠C=∠E ∠BAC=∠DAE AB=AD ，
∴△BAC≌△DAE(AAS)，
∴AC=AE.
【解析】由“AAS”可证△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得AC=AE.
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明∠BAC=∠DAE是解题的关键．
24.【答案】1500 4 2700 14
【解析】解：(1)由图象可得，
小刚家到学校的路程是1500米，小刚在书店停留了12−8=4(分钟)，
故答案为：1500，4；
(2)由图象可得，
本次上学途中，小刚一共行驶了1200+(1200−600)+(1500−600)
=1200+600+900
=2700(米)，
一共用了14分钟，
故答案为：2700，14；
(3)由图象可知，
12--14分内的速度最快，这段的速度为：(1500−600)÷(14−12)=450(米/分)，
∵450>300，
∴该速度不在安全限度内．
(1)根据图象中的数据，可以写出小刚家到学校的路程，计算出小刚在书店停留时间；
(2)根据图象中的数据，可以计算出本次上学途中，小刚一共行驶路程，写出共用的时间；
(3)根据图象可知：12--14分内的速度最快，然后计算出这段的速度，再与300比较大小即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)由图可得，S1=a2−b2，
S2=a2−a(a−b)−b(a−b)−b(a−b)=2b2−ab；
(2)S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab，
∵a+b=10，ab=20，
∴S1+S2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=100−3×20=40；
(3)由图可得，S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2=12(a2+b2−ab)，
∵S1+S2=a2+b2−ab=30，
∴S3=12×30=15.
【解析】(1)根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
(2)根据S1+S2=a2−b2+2b2−ab=a2+b2−ab，将a+b=10，ab=20代入进行计算即可；
(3)根据S3=12(a2+b2−ab)，S1+S2=a2+b2−ab=30，即可得到阴影部分的面积S3.
本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
26.【答案】90∘AD=BEα
【解析】解：(1)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC，CD=CE，∠CDE=45∘，
∴∠CDA=135∘，
∵∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠BEC=∠ADC=135∘，AD=BE，
∴∠AEB=90∘，
故答案为：90∘，AD=BE；
(2)AD=BE，AD⊥BE，理由如下，
同理可得△ACD≌△BCE，
则AD=BE，
延长AD交BE于点F，
设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45∘−α，
∴∠ABE=45∘+45∘−α=90∘−α，
∴∠AFB=180∘−∠FAB−∠ABE=180∘−α−(90∘−α)=90∘，
∴AD⊥BE；
(3)如图，延长BE交AD于点G，
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∵∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠CBA=∠CAB=12(180∘−α)=90∘−12α，
∴∠GAB+∠GBA=(∠CAD+∠CAB)+(∠ABC−∠CBE)=∠ABC+∠CAB=180∘−α，
∴∠AGB=180∘−(∠GAB+∠GBA)=α，
即直线AD和BE的夹角为α.
故答案为：α.
(1)证△ACD≌△BCE得∠BEC=∠ADC=135∘，AD=BE，继而知∠AEB=90∘；
(2)同理知△ACD≌△BCE，得AD=BE，延长AD交BE于点F，设∠FAB=α，知∠CAD=∠CBE=45∘−α，继而得∠ABE=45∘+45∘−α=90∘−α，∠AFB=180∘−∠FAB−∠ABE=90∘，从而得出答案；
(3)延长BE交AD于点G，证△ACD≌△BCE得∠CBE=∠CAD，由∠ACB=∠DCE=α知∠CBA=∠CAB=12(180∘−α)=90∘−12α，∠GAB+∠GBA=(∠CAD+∠CAB)+(∠ABC−∠CBE)=∠ABC+∠CAB=180∘−α，从而得出∠AGB=180∘−(∠GAB+∠GBA)=α.
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理．
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