初中数学2.1 锐角三角比精品练习题

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题型一 求锐角三角比
1．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍B．缩小5倍C．不变D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵，
∴的对边与斜边的比，
∵的三边都缩小5倍，
∴的对边与斜边的比不变，
∴的值不变．
故选：C．
2．如图，已知在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答．
【详解】解：在中，．
故选：C．
3．在中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本题考查了解直角三角形，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：在中，
，
，
故选：A．
4．在中，，，， ．
【答案】
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦是解题的关键．根据正弦的概念计算即可．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
故答案为：．
5．如图，在平面直角坐标系中，点与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为α，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，求角的正弦值，勾股定理，过点A作轴于B，则，由勾股定理得到，则．
【详解】解；如图所示，过点A作轴于B，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．求出图中的正弦值、余弦值和正切值．
【答案】，，．
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理解出，再由正弦、余弦、正切公式代入求值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，，．
7．如图，在中，，，，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了求角的正切值，根据勾股定理求出，由即可求解．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得.
则
8．如图，在中，，，，求，，的值．
【答案】， ，
【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理的知识；根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】∵中，，，
∴，
∴， ，．
9．如图，在中， ，求的值．
【答案】
【分析】由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，正弦、余弦、正切．熟练掌握是解题的关键．
题型二 已知锐角比求边长或锐角比
10．在中，，，，则的长为（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】A
【分析】
本题主要考查了三角函数的定义以及勾股定理，先根据三角函数的定义求出，再利用勾股定理即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
11．如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】B
【分析】
本题考查了锐角三角函数，掌握已知正切值求边长是解题的关键，根据正切的概念可得，可得，再由线段中点即可求出答案；
【详解】解：在中，，
，
D是的中点，
，
故选：B．
12．如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义成为解题的关键．
由题意可得，进而解答，然后求出即可．
【详解】解：由题意可知：
∵，
∴，即，解得：，
∴木杆折断之前高度为．
故答案为．
13．中，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形．利用三角函数值即可求出的长．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴．
故答案为：．
14．如图，在中，，，，则 ．
【答案】
【分析】考查解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．根据，求出，再由勾股定理求出斜边的长即可．
【详解】解：在中，∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，在中，，，，求的长．
【答案】．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先根据正弦的定义求出，进而利用勾股定理求出，则，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则．
∵，，
∴．
在中，由勾股定理得．
又∵，
∴，
∴．
题型三 网格中求锐角比
16．如图，是由的小正方形组成的网格，小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了求一个角的正弦，勾股定理，首先求出，然后利用正弦的概念求解即可．
【详解】解：∵
∴．
故选：B．
17．如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，求正弦，连接，根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
故答案为：．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是 ．

【答案】
【分析】本题考查了求余弦，勾股定理与网格问题，先根据勾股定理就得的长，进而根据余弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，
，
∴
故答案为：．
19．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形，设小正方形的边长为，依题意可得，，，继而得到，进而得，根据正切的定义可求出答案．解题的关键是准确识图，熟练掌握正方形的性质、平行线的判定及性质和正切的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，

∵有个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，设小正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
20．如图，在中，于点，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误；
故选C．
21．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点到的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角函数的应用、点到直线的距离等知识点，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
如图：过点C作于点D，由三角函数定义可得，即可解答．
【详解】解：如图：过点C作于点D

在中，,
∴，
∴点到的距离为，故B正确．
故选：B．
22．如图，在的正方形网格中，点A，B，C为网格线交点，，垂足为D，则的值为 ．

【答案】/0.6
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先利用勾股定理求出，再证明，然后利用利用解题即可．
【详解】解：如图，在中，，
∴，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
23．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于D，先求出，再利用等面积法求出，利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，
由网格的特点和勾股定理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
24．如图，中，，，，为直线上一动点，连接．
（1） ．
（2）线段的最小值是
【答案】 /
【分析】本题考查解直角三角形、垂直线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据勾股定理可以求得的长，然后即可求得的值；
（2）根据题意可知：当时，线段取得最小值，然后根据等面积法即可求得线段的最小值．
【详解】解：（1），，，
，
，
故答案为：；
（2）当时，线段取得最小值，
，，，，
，
即，
解得，
故答案为：．
25．如图所示，在中，，，且，求：

(1)的值；
(2)的周长及面积．
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）根据锐角三角形函数的定义求得，根据勾股定理求得，根据锐角三角形函数的定义即可求解；
（2）结合（1）中结论即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：的周长，
．
【点睛】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，三角形的面积公式等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．如图，在中，，，垂足为D，，
(1)求的长；
(2)求的正切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用勾股定理和三角形的等面积分别求解、、即可；
（2）先求得，再利用正切定义求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
由得，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴在中，．
【点睛】
本题考查勾股定理、解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解答的关键．