专题01 实数（解析版讲义）

这是一份专题01 实数（解析版讲义），共30页。试卷主要包含了定义，表示，平方根的性质，立方根的性质，02B．190等内容，欢迎下载使用。

知识点1：平方根
1.定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2.表示：一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
3.平方根的性质：
（1）正数a有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0的平方根是0；
（3）负数没有平方根．
知识点2：算术平方根
1.定义：非负数的非负平方根叫做的算术平方根．
2.表示：非负数的算术平方根记作：.
3.算术平方根的性质：
（1）正数的算术平方根是一个正数；
（2）0的算术平方根是0；
负数没有算术平方根．
注意：具有双重非负性：①被开方数是非负数；②算术平方根本身是非负数．
知识点3：立方根
1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2.表示：a的立方根记作（a为任意实数），读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方.
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
4.立方根的性质：
（1）正数的立方根是正数；
（2）负数的立方根是负数；
（3）0的立方根是0．
知识点4：无理数
1.定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
2.无理数与有理数的区别：
（1）把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．
（2）所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
【规律方法】无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
知识点5：实数
1.实数的定义：有理数和无理数统称实数．
2.实数的分类：
实数： 或 实数：
3．实数的性质
（1）绝对值：在数轴上实数对应的点与原点的距离．
（2）倒数：乘积为1的两个实数互为倒数.注意的是0没有倒数．
（3）相反数：表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等.
4．实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．
注意：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
5．实数大小比较
（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴比较大小：在数轴右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
6．估算无理数的大小：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
7．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
题型归纳
【题型1 平方根】

1．（2023秋•泗县期末）4的平方根是
A．2B．C．16D．
【答案】
【考点】平方根
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：，
的平方根是，
故选：．
【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
2．（2024春•瑶海区期中）0的平方根是 0 ．
【考点】21：平方根
【分析】根据如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根进行解答即可．
【解答】解：0的平方根是0，
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握平方根的定义．
3．（2024春•宣州区校级期中）的平方根是 ．
【考点】平方根
【分析】由，再根据平方根定义求解即可．
【解答】解：，
的平方根是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平方根与算术平方根，掌握平方根定义是关键．
4．（2024春•黄山期中）解方程：．
【考点】平方根
【分析】依据平方根的性质可得到的值，然后解关于的一元一次方程即可．
【解答】解：，
，
，
解得：或．
【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
【题型2算术平方根】
5．（2024春•金安区校级期中）的算术平方根是
A．4B．2C．D．
【答案】
【分析】利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：，4的算术平方根为2，
的算术平方根是2，
故选：．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
6．（2024春•安庆期中）的算术平方根是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先计算出，再计算结果的算术平方根即可．
【解答】解：的算术平方根是：，
故选：．
【点评】本题考查算术平方根的求解，仔细审题，读懂题意是解题关键．
7．（2024春•太湖县期中）按如图所示程序框图计算，若输入的值为，则输出结果为
A．B．C．4D．
【答案】
【分析】根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可．
【解答】解：第一次运算，输入16，取算术平方根为4，返回继续运算，
第二次运算，输入4，取算术平方根为2，返回继续运算，
第三次运算，输入2，取算术平方根为，是无理数，输出结果．
故选：．
【点评】题目主要考查算术平方根及程序图的计算，理解程序图的运算是解题关键．
8．（2024春•合肥期中）“的平方根是”，下列各式表示正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用平方根的意义解答即可．
【解答】解：的平方根是，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了平方根的意义，熟练掌握平方根的表示方法是解题的关键．
9．（2024•瑶海区校级一模）计算： ．
【答案】．
【分析】直接根据算术平方根的运算法则计算即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】此题考查的是算术平方根，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．
10．（2024•萧县二模）观察下列各等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
（1）根据你发现的规律，请写出第4个等式： ．
（2）请写出你猜想的第个等式为正整数，用含的式子表示），并证明．
【答案】（1）；
（2），证明见解析．
【分析】（1）根据题中给出的等式的规律即可写出第5个等式；
（2）根据（1）中等式的规律即可写出第个等式，然后根据算术平方根的意义化简计算即可．
【解答】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
；
第5个等式：；
故答案为：；
（2）第个等式：，
证明：左边，
右边，
左边右边，
等式成立．
【点评】本题考查了算术平方根，规律问题，根据题意得出等式的规律是解题的关键．
11．（2024•合肥模拟）【观察思考】
如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案：
【规律发现】
请用含的式子表示：
（1）第个图案中需要长的线段的条数为 ；
（2）第个图案中需要长的线段的条数为 ；
【规律应用】
（3）若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？
【答案】（1）；
（2）；
（3）需要长的线段200条，需要长的线段220条．
【分析】（1）根据题干中所给的图案总结出规律即可；
（2）根据题干中所给的图案总结出规律即可；
（3）由题意可得此为第10个图案，然后代入（1）（2）中所得结论中计算即可．
【解答】解：（1）第1个图案中长的线段的条数为．
第2个图案中长的线段的条数为，
第3个图案中长的线段的条数为，
第个图案中长的线段的条数为，
故答案为：；
（2）第1个图案中长的线段的条数为．
第2个图案中长的线段的条数为，
第3个图案中长的线段的条数为，
第个图案中长的线段的条数为，
故答案为：；
（3）由题意得，面积为 的正方形图案为第10个图案，
当时，，，
即需要长的线段200条，需要长的线段220条．
【点评】本题考查算术平方根及图案的规律总结问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
【题型3 非负数的性质:算术平方根】
12．（2024春•潘集区期中）已知，则的值等于
A．2B．C．4D．
【答案】
【分析】直接利用偶次方的性质以及算术平方根的性质得出，的值，进而得出答案．
【解答】解：，
，，
解得：，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
13．（2024春•田家庵区校级期中）若，则 1 ．
【答案】1．
【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再代入进行计算即可．
【解答】解：由题可知，
，
解得，
则．
故答案为：1．
【点评】本题考查非负数的性质、算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
14．（2024春•蜀山区期中）已知，满足等式，则 ．
【答案】．
【分析】根据非负性的性质求出与的值，再代入进行求值即可．
【解答】解：，
，
，
解得，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查非负数的性质、算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
15．（2024春•瑶海区期中）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下：．
（1）求所捂的多项式；
（2）若，满足：，请求出所捂的多项式的值．
【分析】（1）根据题意可得捂住部分为：，利用整式的加减的法则进行求解即可；
（2）由非负数的性质可求得，的值，再代入运算即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
；
（2），
，，
解得：，，
代入
．
【点评】本题主要考查整式的加减，非负数的性质，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【题型4立方根】
16．（2024•肥东县校级模拟）的立方根是 ．
【答案】．
【分析】根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：的立方根是．
故答案为：．
【点评】本题考查的是立方根，熟知如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根是解题的关键．
17．（2024•合肥模拟）的立方根是 ．
【答案】．
【分析】运用立方根的定义进行求解．
【解答】解：，
的立方根是，
故答案为：．
【点评】此题考查了立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．
18．（2024春•田家庵区校级期中）下列选项中正确的是
A．81的立方根是3B．的平方根是
C．立方根等于平方根的数是1D．4的算术平方根是2
【答案】
【分析】根据立方根，平方根，算术平方根的定义求解．
【解答】解：．3是27的立方根，故选项不符合题意；
．的平方根是，故选项不符合题意；
．立方根等于平方根的数是0，故选项不符合题意；
．4的算术平方根是2，正确，故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，根据定义逐项进行判断即可．
19．（2024春•瑶海区期中）若，，则等于
A．19.02B．190.2C．40.98D．409.8
【答案】
【分析】根据算术平方根的性质即可求得答案．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】本题考查算术平方根及立方根，熟练掌握其性质是解题的关键．
20．（2024春•无为市期中）求下列各式中的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据平方根的定义即可求出答案．
（2）根据立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（1），
，
，
．
（2），
，
．
【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根，本题属于基础题型．
【题型5 无理数】
21．（2024春•庐江县期中）下面实数中，是无理数的是
A．B．C．3.1415D．
【答案】
【分析】无限不循环小数称为无理数，根据无理数的概念进行判断即可．
【解答】解：是无限不循环小数，它是无理数；，3.1415，是有理数；
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
22．（2024春•蜀山区校级期中）下列四个数中，属于无理数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．
【解答】解：是分数，，是整数，它们都不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
23．（2024春•太湖县期中）下列各数中：，，，，3.14159，，无理数的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可．
【解答】解：，
所以在实数，，，，3.14159，中，无理数有，，共2个．
故选：．
【点评】本题考查了无理数、算术平方根和立方根，掌握无理数的定义是关键．
24．（2024春•庐阳区校级期中）以下是无理数的是
A．B．C．D．1.010010001
【答案】
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：．是无理数，故本选项符合题意；
．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
．1.010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
25．（2024•淮北一模）下列实数为无理数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据无理数的定义和算术平方根逐项判断即可得．
【解答】解：、是无理数，符合题意；
、，是整数，不是无理数，不符合题意；
、是分数，不是无理数，不符合题意；
、是有限小数，不是无理数，不符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了无理数和算术平方根，熟记无理数的定义“无限不循环小数是无理数”是解题关键．
【题型6 实数】
26．（2024春•大观区校级期中）下列实数：3.14，，，，0.121121112，中，有理数的个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】由于，根据有理数的定义可得到在所给数中为理数的个数为3.14，，0.121121112，．
【解答】解：，
在3.14，，，，0.121121112，中，有理数有3.14，，0.121121112，，共4个．
故选：．
【点评】本题考查的是实数的分类，掌握实数的分类是解本题的关键．
27．（2023秋•和县期末）下列实数3.1415，，，，（每两个0之间依次多一个中，有理数个数有
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】根据有理数的定义解答即可．
【解答】解：3.1415，，是有理数，共3个．
故选：．
【点评】本题考查的是实数，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．
28．（2023秋•包河区期末）下列说法正确的是
①正整数和负整数统称整数；
②平方等于9的数是3；
③是精确到千位；
④一定比大；
⑤是有理数，是无理数．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】
【分析】根据实数，科学记数法与有效数字，逐一判断即可解答．
【解答】解：①正整数、负整数和0统称整数，故①不正确；
②平方等于9的数是，故②不正确；
③是精确到千位，故③正确；
④一定比大，故④正确；
⑤是有理数，也是有理数，故⑤不正确；
所以，上列说法正确的有2个，
故选：．
【点评】本题考查了实数，科学记数法与有效数字，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
29．（2024春•庐阳区校级期中）观察下列各式：
①
②
③
（1）直接写出第④个等式 ．
（2）请你将猜想到的规律用含自然数代数式表示出来，并说明理由．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据各式的规律可写出第④个等式．
（2）第个等式左边的被开方数的被减数是，减数的分子是，分母是，等式右边的系数是，被开方数的分子是，分母是，即可表示出代数式．
【解答】解：（1）根据前面三个等式的规律，
可得第④个等式为．
故答案为：．
（2）等式的规律为．
理由如下：．
【点评】本题考查规律型：数字的变化类、算术平方根，找到第个等式左边的被开方数的减数的分母是是解题的关键．
【题型7 实数的性质】
30．（2024春•大观区校级期中）下列说法正确的是
A．与2互为相反数B．与互为倒数
C．D．是无理数
【答案】
【分析】、、、分别根据实数的运算法则进行计算即可判定．
【解答】解：、与2不互为相反数，故选项错误；
、，故选项正确；
、，，故选项错误；
、是分数，是有理数，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了相反数，倒数，比较大小和无理数的定义，熟练化简和理解定义是关键．
31．（2024春•蜀山区期中）下列各组数中互为相反数的是
A．与B．与C．与D．与
【答案】
【分析】根据算术平方根、立方根，相反数、绝对值的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：、，
与互为相反数，因此选项符合题意；
、，，
，，因此选项不符合题意；
、，
与不互为相反数，因此选项不符合题意；
、，
，因此选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、相反数，掌握有算术平方根、立方根、绝对值、相反数的定义是正确解答的关键．
32．（2023春•长丰县期末）的绝对值是 ．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：的相反数是．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了绝对值的性质．
33．（2023•泗县校级模拟）的倒数是
A．B．C．D．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：的倒数是；
故选：．
【点评】此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【实数8 实数与数轴】
34．（2023春•瑶海区期中）如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，利用勾股定理求出斜边的长，即知表示的点和之间的线段的长，进而可推出的值．
【解答】解：图中直角三角形的两直角边为1，2，
斜边长为，
那么和之间的距离为，
那么的值是：，
故选：．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中主要利用了：已知两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离．
35．（2023春•淮南期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求出张方形的边长，再根据向右动就用加法计算求解．
【解答】解：正方形的边长为：，
点所表示的数为：，
故选：．
【点评】本题考查了实数与数轴，正方形是面积公式是解题的关键．
36．（2023春•谯城区期末）如图，数轴上表示1，的对应点分别为，，，则点所表示的数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求出的长，得到的长，即可得到点所表示的数．
【解答】解：表示1，的对应点分别为，，
，
，
，
点所表示的数为．
故选：．
【点评】本题考查实数与数轴，将点表示的数减去的长即可得到点表示的数是解题的关键．
【实数9 实数大小比较】
37．（2024春•黄山期中）下列各式中，正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】应用放缩法，求出的取值范围即可．
【解答】解：，，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是注意放缩法的应用．
38．（2024春•黄山期中）实数，0，，中，最小的数是
A．B．0C．D．
【答案】
【分析】先根据绝对值的性质化简，再比较与的大小，最后根据正数大于0，0大于负数，比较四个数的大小，从而得到答案即可．
【解答】解：，，，
，，
正数大于0，0大于负数，
，
实数，0，，中，最小的数是，
故选：．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握两个负数如何比较大小．
39．（2024春•庐阳区校级期中）比较大小： ．（填“、、或”
【分析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
【解答】解：，，
而，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较次方的方法等．
40．（2023春•蒙城县校级期中）比较大小： ．
【答案】．
【分析】将两数平方后比较大小，可得答案．
【解答】解：，，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了比较无理数的大小，掌握用平方法比较无理数的大小是关键．
【题型10 估算无理数的大小】
41．（2024春•芜湖期中）若整数满足，则的值是
A．8B．9C．10D．11
【分析】根据算术平方根的定义得到，，则，，然后把、9、10、11代入进行检验可得到时满足两个条件．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
整数为10．
故选：．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
42．（2024春•庐阳区校级期中）已知，在两个相邻整数之间，则这两个整数是
A．2和3B．3和4C．4和5D．5和6
【答案】
【分析】先求出的取值范围，即可得出结果．
【解答】解：，
，
，
，在两个相邻整数之间，
，
这两个整数为3和4，
故选：．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
43．（2023春•和县校级期末）估计的值在
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
【答案】
【分析】直接利用估算无理数的方法得出的取值范围进而得出答案．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
44．（2024春•黄山期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ．
【答案】．
【分析】由于，由此可得的整数的值；由于，根据算术平方根的定义可求，再代入计算，进一步求得平方根．
【解答】解：，
，
，
，
，
的平方根是；
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根与平方根的定义以及估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
【题型11 实数的运算】
45．（2023•安徽）计算： 3 ．
【答案】3．
【分析】直接利用立方根的性质化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确掌握立方根的性质是解题关键．
46．（2024春•无为市期中）已知，、是有理数，且，则 4 ．
【答案】4．
【分析】先根据偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得，，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，，
，，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查了实数的运算，偶次方和算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
47．（2023春•怀宁县期末）圆的面积比原来增加倍，则它的半径是原来的 倍．
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设圆的面积为，半径为，原来面积为，半径为，列等式计算．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了实数的运算和算术平方根，解题的关键是掌握实数的运算法则和算术平方根的定义．
48．（2024春•瑶海区期中）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，，等等；按照这个规定，若，，则的值是
A．5B．5或C．或D．5或
【答案】
【分析】根据题意，分两边情况（1）时，，；（2）时，，，据此分别求出的值即可．
【解答】解：，表示，中的较大值，，，
（1）时，，，
，
解得或，舍去）．
（2）时，，，
，
解得或，舍去）．
综上，可得若，，则的值是5或．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及实数的运算，解答此题的关键是注意分两种情况讨论．
49．（2023春•青阳县期末）如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．
【答案】．
【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、立方根等知识分别化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：，，，
故原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
50．（2024春•田家庵区校级期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式： ；
（2）请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
（3）请利用你发现的规律，计算：
．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可得出第四个式子；
（2）根据（1）找的规律进行计算即可；
（3）根据规律得出算式，最后求解即可．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）
；
（3）
．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，以及找规律，解题关键在于通过仔细观察找出式子和数之间的关系，并用关系式表示出来．
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1．（2023春•霍山县校级期中）9的算术平方根是
A．3B．C．D．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：．
【点评】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．（2023春•贵池区期中）9的平方根是
A．B．3C．D．
【答案】
【分析】根据平方根的定义计算即可得出结论．
【解答】，
的平方根是，
故选：．
【点评】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的运算是求平方根的关键．
3．（2023春•长丰县期末）的平方根是
A．3B．C．D．
【答案】
【分析】如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为，如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，由此即可得到答案．
【解答】解：，
的平方根是．
故选：．
【点评】本题考查平方根、算术平方根，关键是掌握平方根、算术平方根的定义．
4．（2023春•庐阳区校级期末）的立方根是
A．8B．C．4D．
【答案】
【分析】利用立方根定义求解即可．
【解答】解：，
的立方根是．
故选：．
【点评】本题考查了立方根的理解，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
5．（2023春•裕安区校级期末）的算术平方根是 3 ．
【分析】如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
【解答】解：，
的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
6．（2024春•庐阳区校级期中）计算： 3 ．
【答案】3．
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．
7．（2023春•淮南期中）若实数的位置如图所示，则、、、，的大小关系是 （用号连接）
【答案】．
【分析】根据实数在数轴上的位置将表示在数轴上，比较大小即可．
【解答】解：，
．
又，两边同时乘以，
．
，两边同时除以，
．
综上所述：．
故答案为：．
【点评】本题考查了求一个实数的相反数，倒数，实数大小的比较，数形结合是解题的关键．
8．（2024春•黄山期中）已知，则 ．
【答案】．
【分析】等式两边先平方去根号，再进行计算．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根，关键是正确计算．
9．（2023春•天长市校级期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值；
（2）将、、的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：（1）的立方根是3，的算术平方根是4，
，，
，，
是的整数部分，
．
（2）将，，代入得：，
的平方根是．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
10．（2024春•黄山期中）计算：．
【答案】．
【分析】利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质，有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解：原式．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
11．（2022春•宣州区校级期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为，
（1）求的值．
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）5．
【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出的值；
（2）主要将的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．
【解答】解：（1）蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位到达点，
点所表示的数比点表示的数大2，
点表示，点所表示的数为，
；
（2）
．
【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，根据已知得出的值是解题关键．
12．（2024春•田家庵区校级期中）已知的平方根是，的立方根是3．
（1）求的平方根；
（2）若的算术平方根是4，求的立方根．
【答案】（1）的平方根为；
（2）的立方根．
【分析】分别运用平方根和立方根知识进行求解．
【解答】解：（1）由题意得，，，
解得，，
，
，
的平方根为；
（2）的算术平方根4，
，
即，
解得；
，
的立方根为，
的立方根．
【点评】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．
满分技法
一个正数的平方根有两个，同学们往往容易遗漏负的平方根.做题时一定要核对是否正负的平方根都有.
满分技法
(1)求一个数的算术平方根和求一个数的平方根的方法一样，但要注意算术平方根是非负数.
（2）对于带分数，要先化成假分数，再求它的算术平方根.
满分技法
关于几个非负数的和为0的问题的求解方法：
目前学习过的非负数有三种:①;②;③.求解几个非负数的和为0的问题时,要先根据非负数的性质得到方程组，求得方程组的解，再代入求值。
满分技法
任何一个数都可以开立方.(2)开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号。
两个与立方根有关的常用公式：
,该式成立的依据是立方与开立方互为逆运算，应用时能去掉根号，起到化简的作用.
(ii),可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.
（3）解立方根方程破题思路:先利用等式的性质将所给式子化为的形式,再利用开立方运算求出的值,
满分技法
(1)对于无理数，要抓住“无限”“不循环”“小数”三个特征,缺一不可.
(2)用根号形式表示的数并不都是无理数,如,.
(3)无理数不能化成分数.
满分技法
实数分类要注意的两点：
(1)0既不是正实数，也不是负实数.
(2)对于实数的分类,不能只看表面形式，还要注意对于可以化简的实数,要先对其进行化简，再分类.
满分技法
(1)任何一个实数都有相反数.
(2)只有非零实数才有倒数.
(3)正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.
满分技法
数轴上的点与实数是一一对应的，但与有理数不是一一对应的，即有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数.
满分技法
实数比较大小的常用方法：
实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数;两个正数，绝对值大的数较大;两个负数，绝对值大的数反而小；
数形结合法：数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数；
估算法：利用估算来确定某一实数的大致范围，从而比较大小；
平方法:把两个含根号的无理数同时平方，根据平方数来比较大小；
作差法:对于实数,可求出a与b的差,若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a作商法:对于实数，若则；若则；若则.
满分技法
在计算中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法“夹逼法”；
对于形如的无理数,常有估计它介于哪两个整数之间、比较实数的大小、表示这个数的整数部分和小数部分等考查形式.
满分技法
（1）在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用.实数混合运算的顺序:先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的；
（2）去绝对值符号时，一定要先判断式子的正负，再去掉绝对值符号.