专题06 分式（解析版讲义）

这是一份专题06 分式（解析版讲义），共45页。试卷主要包含了分式中的系数化整问题，解决分式中的变号问题，处理分式中的恒等变形问题，分式的化简求值，分式方程的增根，由实际问题抽象出分式方程，分式方程的应用，先化简，再求值等内容，欢迎下载使用。

知识点1：分式的定义
（1）一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
知识点2：分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
知识点3：分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
知识点4：分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
知识点5：分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
知识点6：分式的约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
知识点7：最简分式与最简公分母
1. 最简分式的定义：
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
2. 最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
知识点8：分式的运算
1．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
2．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
3．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
4．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
知识点9：列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
知识点10：分式方程
1．分式方程
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
2．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
3．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
4．换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
5．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
6．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
7．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
题型归纳
【题型1 分式有意义的条件】

1．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）要使分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得，，即可求解．
【详解】解：由题意可得，，
解得
故选：C
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，分母不能为零，解题的关键是熟练掌握分式的有关性质．
2．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）若分式的值为，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】根据分式的值为，分子为，分母不为，进行求解即可．
【详解】解：根据题意，得：
，
解得：．
故选：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为，分子为，分母不为，是解答本题的关键．
3．（2024七年级下·安徽·专题练习）若分式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【题型2 分式值为零的条件】
4．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）分式的值是零，则的值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分式值为零的条件可得且，再解即可．
【详解】解：由题意得，且，
解之得．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子的值为0；（2）分母的值不为0．这两个条件缺一不可．
5．（22-23七年级下·安徽滁州·期末）如果分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得，
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
6．（22-23七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知分式的值为，则 ．
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件：分子且分母，即可求出结论．
【详解】解：分式的值为零，
，
解得：．
故答案为：7．
【点睛】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子且分母是解决此题的关键．
【题型3 分式的求值】
7．（22-23七年级下·安徽阜阳·阶段练习）若，则值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8．（22-23七年级下·安徽安庆·阶段练习）若，则的值是（ ）
A．10B．C．D．23
【答案】D
【分析】将已知等式变形为，再将所求式子利用分式的性质和完全平方公式变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握整体思想的运用，以及完全平方公式的变形．
9．（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
，
当时，
∴原式=．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
【题型4 判断分式变形是否正确】
10．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）下列式子从左到在变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
11．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、，错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式中分子与分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变是解题的关键．
12．（22-23七年级下·安徽·阶段练习）分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案；
【详解】解：原式；
故选D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质是：分子分母同时乘以或除以同一个因式，分式的值不变；解题的关键是熟练运用分式的基本性质，解答时要特别注意结合所给选项一起判断如何变形．
【题型5 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
13．（22-23七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的2倍C．缩小为原来的D．缩小为原来的
【答案】C
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：x，y同时扩大为原来的2倍，
则有，
∴该分式的值是原分式值的，故C正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，给分子分母同时乘以一个整式（不为0），不可遗漏是解答本题的关键．
14．（22-23七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若把分式中和的值都扩大为原来的倍，则分式的值 （ ）
A．扩大为原来的倍B．缩小为原来的
C．缩小为原来的D．扩大为原来的倍
【答案】A
【分析】，都扩大成原来的2倍就是分别变成原来的2倍，变成和．用和代替式子中的和，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：用和代替式子中的和得：，
则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
15．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）把分式中的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．不变
C．扩大为原来的2倍D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【分析】本题考查的是分式的性质，先把分式中的x、y用，代替，再把所得式子与原式相比较即可．
【详解】解：把分式中，的值都扩大为原来的2倍，
则分式变为，
即分式的值缩小为原来的，
故选：A．
16．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）若将中的x与y都扩大2倍，则这个代数式的值（ ）
A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小到原来的
【答案】C
【分析】根据分式的性质，即可求解．
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查分式的性质，分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键．
【题型6 约分】
17．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）下面的约分，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质作答．
【详解】解：A．，故该选项正确；
B．，故该选项错误；
C．，故该选项错误；
D．，故该选项错误．
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
18．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了约分的方法，熟练掌握约分的方法是解决此题的关键．
约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数就继续约去，直到公约数为1为止，据此判断即可．
【详解】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项符合题意；
D、已经为最简形式，故D选项不符合题意．
故选：C．
19．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）已知，则的值（ ）
A．B．2C．1D．3
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根非负性的应用，根据算术平方根有意义的条件得出，进而得出，得出代入代数式，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴
∴
∴原式可化为：
∴
即
∴，
故选：C．
【题型7 异分母分式加减法】
20．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）计算的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则，先通分再加减，最后化简即可．
【详解】解：原式，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，分母不同时，先通分再加减．
21．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）若，，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，异分母分式加法，根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，求出，再将分式化为，代入求解即可．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
22．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）作差法是一种比较两个数或代数式大小的常用方法．
(1)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
(2)已知，，试比较与的大小
【答案】(1)；理由见解析
(2)
【分析】本题考查了分式的加减，不等式的性质，完全平方公式的应用等知识点，能灵活运用作差法进行计算是解此题的关键．
（1）先求出，再比较大小即可；
（2）先求出，再比较大小即可；
【详解】（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
（2）
∵，，
∴，
∴,
∴.
【题型8 整式与分式相加减】
23．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）（1）已知，求；
（2）已知，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据分式的性质以及分式的加减，进行化简，即可求解；
（2）根据分式的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：（1）移项，得，
整理，得，
即．
∵，
∴．
（2）由已知，得，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的加减运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
24．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【阅读理解】
材料1：为了研究分式与分母的关系，小明得到数据如下表：
从表格数据观察可知，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：．
【应用新知】
（1）当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）；
当时，随着的增大，的值______（填增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
【能力提升】
（3）当时，求代数式值的取值范围．
【答案】（1）减小，减小；（2）2；（3）
【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
（1）由的变化情况，判断、的变化情况即可；
（2）由，即可求解；
（3）由，再结合的取值范围即可求解．
【详解】解：（1）∵当时，随着的增大而减小，
∴随着的增大，的值减小；
∵当时，随着的增大减小，
∵，
∴随着的增大，的值减小；
（2）∵，
∵当，随着的增大时，的值无限接近0，
∴的值无限接近2；
（3），
∵时，，
∴，
∴．
25．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）若一个分式只含有一个未知数，分式的分子未知数的次数大于分母未知数的次数，则该分式可拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分如下：
【方法一】原式；
【方法二】设，则．
原式．
(1)将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式为____________；
(2)任选上述一种方法，将拆分成一个整式和一个分式的和的形式；
(3)已知分式的值为整数，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4或2或5或1．
【分析】本题考查用整体思想以及换元思想将一个分子次数比分母大的分式拆分成整式与分式和的形式．
（1）根据方法一求解即可；
（2）根据方法一求解即可；
（3）根据方法一拆分成一个整式和一个分式的和的形式，分类讨论即可．
【详解】（1）．
故答案为：；
（2）原式
；
（3）原式
∵分式的值为整数，
∴，
∴．
【题型9 分式加减乘除混合运算】
26．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）若且a，b，c均不为0，则的值为（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查整式的加减运算和分式的混合运算，熟练掌握整式的运算和分式的混合运算的顺序和法则是解题的关键．由已知得：，，，再将所求的式子去括号后，同分母加在一起，分别将所求的式子整体代入约分即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴
=
，
，
故选：A．
27．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）已知，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
由题意知，根据，代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：D．
28．（2024七年级下·安徽·专题练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）．
如：；
解决下列问题：
(1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式化为带分式；
(3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
【答案】(1)真
(2)
(3)0，，2，
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）根据题中的方法把原式化为带分式即可；
（3）原式化为带分式，根据与分式的值都为整数，求出即可．
【详解】（1）解：∵的分子次数为0，分母次数为1，
∴分式是真分式；
故答案为：真；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵为整数，分式的值为整数，
∴，，1，3，
解得：，，0，2，
则所有符合条件的值为0，，2，．
29．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析．
【分析】此题考查的是归纳总结能力，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为，分子是，第二项是，等式右边为．代入再进行验证正确性即可．
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
则第5个等式为：；
故答案为：；
（2）解：根据题意，则：
第n个等式为：；
证明：等式左边
，
等式右边，
∴左边右边．
【题型10 分式化简求值】
30．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）若，，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】本题考查了分式的运算，幂的乘方，由，得到，进而得到，即可求解，掌握分式的运算的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
31．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于任意两个非零实数，，定义新运算“*”如下：，例如：．则
（1） ．
（2）若，则的值为 ．
【答案】 / 506
【分析】本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）按照新定义进行计算即可；
（2）根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：（1）．
故答案为：；
（2），
，
，
故答案为：506．
32．（2024七年级下·安徽·专题练习）请你先将代数式化简，然后从0、1、2中选择一个数作为的值，并求出式子的值．
【答案】，当时，原式
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再根据分式有意义的条件选择把代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
，
，
又因为，
当时，原式．
33．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】；4
【分析】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
【题型11 解分式方程】
34．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的分式方程：．
（1）若方程的根为，则m的值为 ；
（2）若方程的解为负数，则m的取值范围为 ．
【答案】 35 且
【分析】本题主要考查了解分式方程，已知分式方程解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分式方程中分母不等于零．
（1）将代入分式方程，然后求出m的值即可；
（2）先解分式方程，然后再根据分式方程的解为负数，列出关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）把代入得：
，
化简得：，
解得：；
故答案为：35．
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵方程的解为负数，
∴且，
解得：且．
故答案为：且．
35．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程．一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，检验．
方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，检验即可得到方程的解．
【详解】去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
36．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）解方程：．
【答案】
【分析】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键．方程两边同时乘以变为整式方程，求解即可，注意检验．
【详解】解：
，
，
解得，
经检验是原方程的解．
37．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，，；再如为十字分式方程，可化为，，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______；
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值；
(3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式，分式方程，解分式方程，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
（1）利用题干中的方法解答即可；
（2）利用题干中的方法求得，值，再将，值代入运算即可；
（3）利用（2）中的方法解答即可．
【详解】（1）为十字分式方程，
可化为：，
，．
故答案为：；；
（2）方程为十字分式方程，
可化为：，
，．
，．
；
（3）方程是十字分式方程，
可化为，
，，
，．
，．
原式．
【题型12 根据分式方程解的情况求值】
38．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数的和为（ ）
A．2B．5C．6D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，利用不等式组的解为，确定的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得值，将符合条件的值相加即可得出结论．
【详解】解：不等式组的解集为，
．
．
关于的分式方程的解为．
是原分式方程的增根，
．
．
关于的分式方程的解为正整数，
为正整数．
，4，7．
，
，4．
所有满足条件的所有整数的和为：．
故选：C．
39．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．
解分式方程，根据分式方程的解为非负数，进而列出一元一次不等式，结合分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴且，
解得：且，
故选：D．
40．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
先解不等式组得到，则，求出a的取值范围，再解分式方程得到，即可求解．
【详解】解：解不等式组得，因为这个不等式组至少有2个整数解，
∴，
∴，
∴
∵，
解方程得，
∵分式方程有整数解，，
∴，
∴，
∴满足条件的所有整数的和为4，
故答案为：4．
【题型13 分式方程无解问题】
41．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后根据分式方程无解，可得，再代入整式方程，即可求解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
因为分式方程无解，
所以，即，
把代入整式方程得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
42．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）若关于的方程有增根，则的值是 ．
【答案】
【分析】利用分式方程解法的一般步骤解分式方程，令方程的解为得到关于的方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：在方程两边同时乘以，得：
，
去括号，得：
，
移项，合并同类项得：
，
∴，
∵关于的方程有增根，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程的增根，利用分式方程增根的意义解答是解题的关键．
43．（22-23七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）①若关于的方程有增根，则增根是 ．
②若关于的方程无解，则的值为 ．
【答案】 4 2或3
【分析】根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可；
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出a的值即可．
【详解】解：①∵分式方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：4；
②
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
当，即时，无解，分式方程无解；
当时，系数化为1得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是的解，
∴，
综上可知，或，
故答案为：2或3；
【点睛】本题主要考查了分式方程有增根的情况，熟知分式方程有增根的情况是分式方程分母为0．
44．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)3，55
【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；
（2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可；
（3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值．
【详解】（1）解：把，代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入，
所以原分式方程的解是；
（2）解：把代入分式方程，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
①当时，即，方程无解，
②当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，，
综上所述，或时，分式方程无解；
（3）解：把代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
整理得：，
∵，且为正整数，为整数，
∴必为65的因数，，
∵，
∴65的因数有1，5，13，65，
1，5小于11，
可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55，
满足条件的可取3，55这两个数．
【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．
【题型14 列分式方程】
45．（22-23七年级下·安徽蚌埠·期末）某市原计划在沿河地带种植树木万棵，由于青年志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵，根据题意得，
，
故选．
【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，明确题目中的数量关系和等量关系是解题的关键．
46．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）长丰县2023年第一季度生产总值（GDP）以15.1%的增速领跑合肥各区县，其中工业增速为35.9%最为抢眼．现有甲工厂加工200个零件与乙工厂加工300个零件所用时间相同，若乙工厂每小时比甲工厂多加工20个零件，求两工厂的零件加工效率？设甲工厂的零件加工效率为x个/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意设出甲工厂的零件加工效率为x个/小时，则乙工厂的零件加工效率为个/小时，根据时间=工作量÷工作效率，以甲工厂加工200个零件与乙工厂加工300个零件所用时间相同，列出分式方程即可．
【详解】解：设出甲工厂的零件加工效率为x个/小时，则乙工厂的零件加工效率为个/小时，根据题意，得
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
47．（22-23七年级下·安徽·阶段练习）某校组织九年级学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为，则所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设骑车学生的速度为，汽车的速度是，根据同时到达列出方程即可．
【详解】解：设骑车学生的速度为，汽车的速度是，根据题意列方程得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，列出方程，注意单位转换．
48．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）某河道有大小两台挖机作河底清淤泥工作，大挖机每小时比小挖机多挖，若大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同，若设小挖机每小时挖，则依题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】设小挖机每小时挖，则大挖机每小时挖，根据“大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同”列出方程即可．
【详解】解：设小挖机每小时挖，则大挖机每小时挖，由题意可得，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，根据等量关系正确列出方程是解题的关键．
【题型15 分式方程的实际应用】
49．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）巢马城际铁路某路段由甲、乙两个工程队共同承包修建，经调查，甲工程队单独完成该工程的时间是乙工程队单独完成该工程时间的2倍，若甲、乙两工程队共同完成该工程需要20天，则乙工程队单独完成该工程的时间是（ ）
A．30天B．35天C．40天D．60天
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设乙工程队单独完成该工程的时间为x天，则甲工程队单独完成该工程的时间是天，根据两个工程队共同干，每天完成整个工程的，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设乙工程队单独完成该工程的时间为x天，则甲工程队单独完成该工程的时间是天，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，
即乙工程队单独完成该工程的时间是30天，
故选：A．
50．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）冬去春来，随着天气变暖，某服装店的某款T恤衫迎来畅销．该服装店先用6400元购进该款T恤衫若干件，脱销后，又用13600元购进第二批该款T恤衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了5元．
(1)该服装店两次一共购进该款T恤衫多少件？
(2)如果这两批该款T恤衫每件的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每件售价至少是多少元？
【答案】(1)240件
(2)100元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，根据等量关系列出方程．
（1）设第一批购进该款T恤衫x件，则第二批购进该款T恤衫件，根据第二次每件进价比第一次多了5元，列出方程，解方程即可；
（2）设每件售件是a元，根据全部售完后总利润率不低于，列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设第一批购进该款T恤衫x件，则第二批购进该款T恤衫件，
根据题意，得，
解得，
经检验：是原方程的解，
则，（件），
答：该服装店两次一共购进该款T恤衫240件．
（2）解：设每件售件是a元，
根据题意，得：，
解得：．
答：每件售价至少是100元．
51．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）为了方便师生锻炼身体，某学校准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，乙工程队每天施工，甲工程队每天比乙工程队每天多施工，甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于．求甲工程队至少单独施工多少天？
【答案】(1)300
(2)5天
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）利用工作时间工作总量工作效率，结合甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工天，根据两队完成的施工面积不少于可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为300；
（2）解：设甲工程队单独施工天，则乙工程队单独施工天，
根据题意得，解得，
所以甲工程队至少单独施工5天．
52．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）又是一年中考到，学校准备购买一些加油元素的贴纸装饰，九年级的教师经过拍选，选定了“九年磨利剑，朝试锋芒”的款和“蓄意待发，未来可期”的款两种贴纸，经过了解，款贴纸比款贴纸单价贵元，花费元购买的款贴纸与花费元购买的款贴纸数量相同．
(1)款与款两种贴纸的单价分别为多少元？
(2)学校计划花费不超过元，购买两种贴纸共张，且款贴纸数量不超过款贴纸数量的倍，问学校有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来．
【答案】(1)款贴纸的单价为元，款贴纸的单价为元
(2)有三种购买方案：方案一：购买张款贴纸，张款贴纸；方案二：购买张款贴纸，张款贴纸；方案三：购买张款贴纸，张款贴纸．
【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式组的综合运用，理解题目中数量关系，掌握分式方程一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）设款贴纸的单价为元，则款贴纸的单价元，根据数量关系列式求解即可；
（2）设购买了张款贴纸，则购买了张款贴纸，根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设款贴纸的单价为元，则款贴纸的单价元，
由题意可得，，
解得，
经检验，是原方程的解，符合题意，
，
答：设款贴纸的单价为元，则款贴纸的单价为元；
（2）解：设购买了张款贴纸，则购买了张款贴纸，
由题意可得，，
解得，
为整数，
，
有三种购买方案：
方案一：购买张款贴纸，张款贴纸；
方案二：购买张款贴纸，张款贴纸；
方案三：购买张款贴纸，张款贴纸．

过关检测
一、单选题
53．（22-23七年级下·安徽滁州·阶段练习）下列分式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的乘法和分式的乘方计算法则求解即可．
【详解】解：A．，故选项错误；
B．，故选项正确；
C．，故选项错误；
D．，故选项错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的有关计算，根据相关运算法则进行计算即可．
54．（22-23七年级下·安徽阜阳·阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将分式的分母和分子因式分解，再将除法转化为乘法，约分计算即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查分式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
55．（22-23七年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列代数式属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，判断即可．
【详解】解：A、分母中不含字母，是整式，故不符合题意；
B、是无理数，不是分式，故不符合题意；
C、是分式，故符合题意；
D、是整式，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子为分式．
56．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）代数式，，，，，中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此求解即可．
【详解】解：代数式，，，，，中是分式的有，，共2个，
故选：A．
57．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）当分式有意义时，满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件（分母不能为零）可得，，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，解得，
故选：D
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握这一知识．
二、填空题
58．（22-23七年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知正整数a，b，c满足．
（1）当，时， ；
（2）当时， （用含a的代数式表示）．
【答案】 6
【分析】将，代入，得到，可得值；再将代入，计算得到，即可求解．
【详解】解：当，时，
，则，
∴；
当时，，
∴，
∴，
故答案为：6，．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，解题的关键是正确列式，掌握减法运算法则．
59．（22-23七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若分式，则分式的值等于 ．
【答案】/
【分析】先根据题意得出，再代入分式计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解决问题的关键．
60．（22-23七年级下·安徽六安·阶段练习）已知x，y，z满足，则分式的值为 ．
【答案】2
【分析】由，从而可得，，再代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了求分式的值，由已知得到，再整体代入求解是解题关键．
61．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期末）已知非零实数a，b满足，则的值等于 ．
【答案】3
【分析】由可得，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴；
故答案为：3
【点睛】本题考查的是分式的求值，熟练利用整体代入法求解分式的值是解本题的关键．
三、解答题
62．（2024七年级下·安徽·专题练习）某商家预测一种衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？
(2)若两批衬衫按相同的标价销售，如果两批衬衫全部售完利润率不低于（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？（结果保留整数）
【答案】(1)该商家购进的第一批衬衫是120件
(2)每件衬衫的标价至少是152元
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
（1）可设该商家购进的第一批衬衫是件，则购进第二批这种衬衫是件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；
（2）设每件衬衫的标价是元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
【详解】（1）解：设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件，
由题意可得：，
解得，经检验是原方程的根．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2）解：设每件衬衫的标价是元，
由（1）得第一批的进价为：（元件），
第二批的进价为：（元件）．
由题意可得：
解得，即每件衬衫的标价至少是152元．
63．（2024七年级下·安徽·专题练习）2020年6月8日，岳西县黄沙岭隧道建成通车，来榜至岳西里程由原来的23千米缩短为现在的16千米．从来榜开车到岳西，若隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高，则隧道开通后比隧道开通前少用22分钟，在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需多少分钟？
【答案】24分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需分钟，则隧道开通前，从来榜开车到岳西需要分钟，根据速度路程时间结合隧道开通后的平均速度比隧道开通前的平均速度提高，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需分钟，则隧道开通前，从来榜开车到岳西需要分钟，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：在隧道开通和平均速度提高的条件下，从来榜开车到岳西只需24分钟．
64．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”；
(2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；
②求的值．
【答案】(1)A与B是“完美分式”，且“完美值”；
(2)①；②．
【分析】（1）先计算，再根据结果可得m的值；
（2）①由“完美分式”及“完美值”的定义可得，再整理即可求出所代表的代数式；②由，可确定，再根据为正整数，分式的值为正整数，即可解答；
【详解】（1）解：∵，
∴A与B是“完美分式”，且“完美值”；
（2）解：①∵与互为“完美分式”，
∴，
，
，
∴；
②∵，
∴．
∵为正整数，分式的值为正整数，
∴．
【点睛】本题考查的是新定义运算，分式的加减运算．读懂题意，理解“完美分式”和“完美值”的定义是解题关键．
满分技法
分式有无意义取决于分母,要使分式有意义，只要保证分式的分母不为0即可.同理，要使分式无意义，只要让分母为0即可
满分技法
解分式值为零的方法：
分式的值为0的条件是分子为0、分母不为0，二者缺一不可.解题时，可以先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母为0，当分母不为0时，这个值才是所要求的字母的值.
满分技法
分式的求值，要灵活运用分式的基本性质、消元思想或者整体代还思想是解题的秘籍.
满分技法
分式变形如果是符号变形问题，可利用分式的符号法则，把负号提到分式的前面.
(2)若分式的分子或分母是多项式，则要先用括号把分子或分母括起来，再乘以(或除以)同一个不等于0的整式，避免只用分子或分母中的部分项乘以(或除以)这个不为0的整式.
满分技法
解答此类问题，关键是抓住分子、分母变化的倍数,把字母变化后的值代入式子中进行约分，再与原式比较，得出结论.
满分技法
(1)分式的约分是恒等变形，要保证约分前后分式的值相等.
(2)约分一定要约到分子与分母只有公因式1为止，即得到一个整式或最简分式为止.
满分技法
四步搞定异分母分式相加减：
第1步，通分，将异分母分式转化成同分母分式；
第2步，加减，分母不变，分子相加减；
第3步，合并，分子去括号，合并同类项；
第4步，约分，分子、分母约分，把结果化为最简分式或整式.
满分技法
整式与分式相加减，可以先把整式写成分母为1的形式，然后再与分式合并进行计算.
…
0
1
2
3
4
…
…
无意义
1
0.5
0.25
…
满分技法
分式的混合运算同分数的混合运算一样,也是先乘方，再乘除,最后加减.同一级运算,要按照从左到右的顺序进行,有括号的要先算括号里面的
满分技法
解决分式的化简与求值问题的一般思路是先化简，再将已知条件代入求值，有时也会用到整体代入的思想.化简与求值的重点是化简
满分技法
(1)解分式方程的关键是去分母，将分式方程转化为整式方程.
(2)分式方程去分母时，一定不能漏乘不含分母的项.
(3)解出未知数的值后必须检验.
满分技法
先用待定系数表示出未知数，再根据题目已知条件将分式方程的根写成特殊解的形式进行求值.
满分技法
分式方程无解有两种情况:①由分式方程转化成的整式方程无解;②所解出的整式方程的根全是增根.
满分技法
列分式方程要根据题目实际要求，往往题目中会给出两组等量关系式子（是比、分号往往是提示出），利用等量关系式子列出等量关系，再根据等量关系列出分式方程即可.
满分技法
（1）工程问题常用的等量关系：
解决工程问题时，一要抓住“工作总量＝工作效率×工作时间”，二要抓住“所有队工作量之和＝工作总量”,根据这两种关系列方程求解,有的时候工作总量没有给出，我们可以设它为单位“1”，此时独立完成的工作队的工作效率与工作时间互为倒数关系.
（2）行程问题中常用的等量关系：
行程问题属于典型应用题，其中路程、时间和速度三个量之间的关系是“路程＝速度×时间”解这类应用题，首先分析出问题中的已知量，确定待求量，然后找出反映全部题意的等量关系，从而列出方程求解.