专题04 整式的乘除法（解析版讲义）

这是一份专题04 整式的乘除法（解析版讲义），共35页。试卷主要包含了“墙角数枝梅，凌寒独自开，下列算式中，结果等于的是，下列各式中，计算结果等于的是，已知若，则等于，已知，，，，则的值为 　4　等内容，欢迎下载使用。

知识点1：科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
注意：a的取值范围是1≤a＜10，n为正整数．
（2）科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
知识点2：有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
知识点4：同底数幂的运算法则
1. 同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
2. 同底数幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）
3. 同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
知识点5：整式的乘除法
1. 单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
2. 单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
3. 多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
4. 整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
知识点6：零指数幂与负整数指数幂
（1）零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
（2）负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
题型归纳
【题型1 科学记数法】
1．（2023秋•谢家集区期末）2023年9月9日，上海微电子研发的浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
2．（2023秋•颍州区期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为
A．B．C．4D．5
【答案】
【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：，
则，
故选：．
【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（2023春•金安区校级期中）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数0.00 000 0007用科学记数法表示为．
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（2023秋•太和县期末）随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是，用科学记数法表示0.0000034是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示0.0000034是．
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．（2024春•泗县期中）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度是约0.000326毫米，用科学记数法表示为
A．毫米B．毫米
C．毫米D．毫米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000326毫米毫米．
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【题型2 同底数幂的乘法】
6．（2023春•埇桥区校级期中）下列算式中，结果等于的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则分析判断即可．
【解答】解：、，符合题意；
、，不符合题意；
、无法合并，不符合题意；
、，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的运算，熟练掌握同底数幂的运算法则是关键．
7．（2023春•临泉县期末）下列各式中，计算结果等于的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】．应用整式加减法则进行求解即可得出答案；
．应用整式加减法则进行求解即可得出答案；
．应用整式乘法法则进行求解即可出答案；
．应用整式加减法则进行求解即可出答案．
【解答】解：．因为与不是同类项，所以不能合并，故选项不符合题意；
．因为，所以选项结果等于，故选项符合题意；
．，计算结果等于，故选项符合题意；
．因为，所以选项结果不等于，故选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了同底数幂乘除法，整式加减，熟练掌握同底数幂乘除法，整式加减运算法则进行求解是解决本题的关键．
8．（2023春•凤阳县期末）已知若，则等于
A．3B．4C．5D．6
【答案】
【分析】根据乘方运算法则，，所以，据此解关于的方程即可．
【解答】解：，
，
，
，
解得：．
故选：．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9．（2024春•蜀山区校级期中）已知，，，，则的值为 4 ．
【答案】4．
【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则计算即可．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
10．（2023秋•太和县期末）若，，则的值是 30 ．
【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：，，
．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
11．（2023春•霍邱县期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以
（1）根据上述规定，填空：
3 ， ；
（2）记，，．求证：．
【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；
（2）根据已知得出，，，求出，即可得出答案．
【解答】解：（1），，，
故答案为：3，0，；
（2）证明：，，，
，，，
，
，
．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算等知识点，能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键．
【题型3 幂的乘方与积的乘方】
12．（2024春•蜀山区校级期中）计算的结果等于
A．1B．C．D．
【答案】
【分析】先利用乘方的意义化简符号，再逆用同底数幂乘法将转化成，再逆用积的乘方公式即可．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查了幂的乘方逆用与积的乘方的逆用．
13．（2024春•埇桥区期中）计算等于
A．B．4C．1D．
【答案】
【分析】根据幂的乘方与积的乘方将原式化为，进而得到进行计算即可．
【解答】解：原式
．
故选：．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的关键．
14．（2024春•泗县期中）下列各式计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分别根据同底数幂的乘法的法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则逐一判断即可．
【解答】解：，故选项符合题意；
，故选项不合题意；
，故选项不合题意；
，故选项不合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了幂的运算以及合并同类项的法则，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
15．（2024春•庐阳区校级期中）若，，则的值为
A．6B．8C．12D．24
【答案】
【分析】首先根据，可得，然后根据，求出的值即可．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）①，是正整数）；②是正整数）；（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
16．（2023春•蜀山区期末）计算的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】解：利用幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．
【题型4 同底数幂的除法】
17．（2022秋•蜀山区校级期末）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【解答】解：．，故该选项正确，符合题意；
．，故该选项不正确，不符合题意；
．原式为最简分式，故该选项不正确，不符合题意；
．，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关键．
18．（2024春•蜀山区校级期中）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘除和积的乘方运算法则逐个判断即可．
【解答】解：．，计算错误，故此选项不符合题意；
．，计算正确，故此选项符合题意；
．，计算错误，故此选项不符合题意；
．，计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
19．（2023秋•太和县期末）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式的法则逐项计算即可．
【解答】解：．与4不是同类项，所以不能合并，原式错误，不符合题意；
．，计算正确，符合题意；
．，原式错误，不符合题意；
．，原式错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（2024春•金安区校级期中）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；
．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、积的乘方和幂的乘方法则．
21．（2024春•庐阳区校级期中）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据积的乘方与幂的乘方选项和选项进行判断；根据同底数幂的除法法则对选项进行判断；根据同底数幂的乘法法则对选项进行判断．
【解答】解：．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意；
．，所以选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方．
【题型5 单项式乘单项式】
22．（2024春•埇桥区校级期中）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；单项式乘单项式法则；积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：、，故此选项不符合题意；
、，故此选项符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
23．（2023春•宿州期中）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算、同底数幂的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
24．（2023春•金安区校级期中）计算的结果等于 ．
【答案】．
【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
25．（2024春•埇桥区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2；
（2）．
【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂以及整数指数幂的法则分别进行计算，即可得出答案；
（2）按照积的乘方法则先算乘方，再根据单项式乘除单项式法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式和有理数的加减混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式和有理数的加减混合运算法则是关键．
26．（2023秋•南陵县期末）计算：．
【答案】．
【分析】根据幂的相关运算法则即可求解．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查幂的相关运算．掌握运算法则是解题关键．
【题型6 单项式乘多项式】
27．（2024春•瑶海区期中）若计算的结果中不含有项，则的值为
A．B．C．0D．3
【答案】
【分析】首先将展开，合并同类项得；接下来根据结果中不含有项可得，至此，就能求出的值了．
【解答】解：原式
，
结果中不含有项，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查的是整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
28．（2023春•定远县期中）若 ，则括号内应填的代数式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接用多项式除以单项式即可得到答案．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题主要考查了多项式除以单项式，正确计算是解题的关键．
29．（2024春•埇桥区期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算幂的乘方和单项式乘单项式，再合并同类项即可；
（2）根据单项式乘多项式的法则计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）．
【点评】本题考查了幂的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键．
30．（2023春•龙子湖区期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
（1）求所捂的多项式；
（2）若，，求所捂多项式的值．
【分析】（1）设多项式为，则计算即可．
（2）把，代入多项式求值即可．
【解答】解：（1）设多项式为，
则．
（2），，
原式．
【点评】本题考查单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，属于基础题．
【题型7 多项式乘多项式】
31．（2024春•蜀山区校级期中）若的积中不含的一次项，那么与一定是
A．互为倒数B．互为相反数C．相等D．比大
【答案】
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含的一次项，求出与的关系即可．
【解答】解：，
由结果中不含的一次项，得到，
解得：．
则与一定是互为倒数．
故选：．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
32．（2023春•合肥期末）若，则的值为
A．B．C．5D．7
【答案】
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，求出、值，再代入求出即可．
【解答】解：
，
，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了多项式乘多项式法则，能正确根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．
33．（2024春•庐阳区校级期中）若的积中的二次项系数和一次项系数相等，则的值为
A．0B．C．D．
【分析】先将展开，根据积中的二次项系数和一次项系数相等，列出方程求解即可．
【解答】解：，
，
，
积中的二次项系数和一次项系数相等，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了多项式与多项式的乘法，多项式的系数的定义及解一元一次方程．
34．（2024春•蜀山区期中）已知，则的值是
A．B．8C．D．3
【答案】
【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，即可得出、、的指，然后代入代数式计算即可．
【解答】解：，
又，
，，，
，
故选：．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
35．（2015春•淮北期中）若多项式乘法的结果中不含项，则的值为
A．4B．C．2D．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算出结果，根据不含项，即项的系数为0，求出的值即可．
【解答】解：
，
结果中不含项，
，
解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
【题型8 整式的除法】
36．（2024春•长丰县期中）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；对各选项利用排除法求解即可．
【解答】解：、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项符合题意；
、，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，单项式除以单项式，积的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
37．（2016春•舒城县校级期中）下列计算中，正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方及合并同类项解答即可．
【解答】解：、，错误；
、，错误；
、，正确；
、与不是同类项，不能合并，错误；
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法则、幂的乘方，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
38．（2023秋•黄山期末）在中，多项式 ．
【分析】根据题意得，然后根据多项式除以单项式法则计算即可．
【解答】解：由题意得，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
39．长方形的面积是，宽是，那么它的长是 ．
【分析】根据长方形的面积公式可知，长面积宽．先列出求长的式子，再运用多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，计算即可．
【解答】解：依题意得：
，
长方形的长为．
【点评】本题考查多项式除以单项式的法则的实际运用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【题型9 整式的混合运算】
40．（2024•平邑县一模）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂相除法则判断选项；根据幂的乘方法则判断选项；根据平方差公式判断选项；根据完全平方公式判断选项即可．
【解答】解：．，原计算错误，不符合题意；
．，原计算错误，不符合题意；
．，原计算正确，符合题意；
．，原计算错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂相除法则、幂的乘方法则、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握各运算法则是解答本题的关键．
41．（2024春•庐江县校级期中）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】、根据同底数幂的乘法法则计算即可求解；
、根据幂的乘方计算即可求解；
、根据单项式乘多项式计算即可求解；
、根据多项式除以单项式计算即可求解．
【解答】解：、，符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关的计算法则是解题的关键．
42．（2024春•蜀山区校级期中）我们规定，例如：，已知，则代数式的值是
A．4B．5C．8D．9
【答案】
【分析】根据，可以得到，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题，运用到的数学思想是整体的数学思想．
43．（2023春•蜀山区校级期中）在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式处置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，的值是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出和，然后作差化简即可．
【解答】解：由图可得，，，
，
，
，
即，
故选：．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
44．（2024春•瑶海区校级期中）计算：．
【答案】．
【分析】先计算乘方，再计算乘除，最后合并同类项．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
【题型10 整式的混合运算—化简求值】
45．（2024春•太湖县期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，5．
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算括号内的，再按照整式加减法则和整式除法法则化简，然后代入求值，即可得到答案．
【解答】解：
，
当，时，
原式．
【点评】本题考查了整式混合运算，代数式求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及相关运算法则是解题关键．
46．（2024春•埇桥区校级期中）先化简，后求值：，其中，．
【答案】；0．
【分析】利用完全平方公式及平方差公式，多项式除以单项式法则将原式化简后代入数值计算即可．
【解答】解：原式
；
当，时，
原式．
【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
47．（2024春•大观区校级期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
48．（2024春•蜀山区校级期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，10．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，把、的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当，时，原式．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
49．（2024春•安庆期中）先化简、再求值：，其中，．
【答案】．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后求出答案即可．
【解答】解：
，
当，时，原式．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
【题型11 零指数幂】
50．（2023春•萧县校级期中）若成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
故选：．
【点评】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是正确理解零指数幂的意义，本题属于基础题型．
51．（2024春•瑶海区期中）若，，，，则
A．B．C．D．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：，，，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
52．（2023春•埇桥区校级期中）若，则应满足条件 ．
【答案】．
【分析】直接利用零指数幂的定义得出答案．
【解答】解：，
则应满足条件是：，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键．
53．（2023春•定远县校级期中） 1 ．
【答案】1．
【分析】根据零指数幂运算即可．
【解答】解：．
故答案为：1．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
54．（2023春•贵池区期中）已知，则的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】零指数幂有意义的条件为：．
【解答】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：．
【点评】本题考查零指数幂有意义的条件．抓住底数不为零是解题关键．
【题型12 负整数指数幂】
55．（2022秋•宣州区校级期中）若，，，则、、三数的大小关系
是
A．B．C．D．
【分析】根据负整数指数幂的意义和得到，，，易得、、的大小关系．
【解答】解：，，，
．
故选：．
【点评】本题考查了负整数指数幂的意义：，为正整数）．也考查了．
56．（2023秋•黄山期末） ．
【答案】．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
57．（2023秋•颍州区期末）计算： ．
【答案】．
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的性质先算乘方，然后再算减法即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的性质．
58．（2023秋•铜官区期末）计算： ．
【答案】．
【分析】根据题意将每项计算出再从左到右依次计算即可得到本题答案．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是负整数指数幂、有理数乘方的法则、零指数幂，熟知以上运算法则是解题的关键．
59．（2024春•泗县期中）计算：．
【答案】8．
【分析】先各自算出负整数指数幂，乘方和零指数幂，再加减即可．
【解答】解：．
【点评】本题考查了实数的混合运算，以及负整数指数幂，零指数幂，掌握实数的混合运算法则是解题的关键．
过关检测
1．（2023春•金安区校级期中）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数0.00 000 0007用科学记数法表示为．
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（2024春•蜀山区校级期中）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘除和积的乘方运算法则逐个判断即可．
【解答】解：．，计算错误，故此选项不符合题意；
．，计算正确，故此选项符合题意；
．，计算错误，故此选项不符合题意；
．，计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3．（2024春•蜀山区校级期中）计算的结果等于
A．1B．C．D．
【答案】
【分析】先利用乘方的意义化简符号，再逆用同底数幂乘法将转化成，再逆用积的乘方公式即可．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查了幂的乘方逆用与积的乘方的逆用．
4．（2019春•宣州区期中）下列运算正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、多项式乘多项式的法则分别进行计算，即可得出答案．
【解答】解：、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项正确；
、，故本选项错误；
故选：．
【点评】此题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2023春•龙子湖区期中）有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为
A．3B．4C．5D．6
【答案】
【分析】计算，结果中项的系数即为需要类卡片的张数．
【解答】解：，
需要类卡片5张，
故选：．
【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是理解结果中，项的系数即为需要类卡片的张数．
6．（2024春•安庆期中）要使展开式中不含项，则的值等于
A．B．6C．14D．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照的降序排列，使的二次项的系数为0即可．
【解答】解：
，
展开式中不含项，
，
，
故选：．
【点评】本题考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确解答的前提，令的二次项的系数为0是正确解答的关键．
7．（2024春•埇桥区校级期中）已知，，那么 ．
【答案】．
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则计算即可．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
【解答】解：，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
8．（2024春•太湖县期中）计算： 1 ．
【答案】1．
【分析】利用积的乘方法则计算即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：1．
【点评】本题考查积的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键．
9．（2024春•蜀山区校级期中）已知，，．则的值为 0 ．
【答案】0．
【分析】先将化为，然后代入求值，最后根据零指数幂的运算法则得出答案即可．
【解答】解：，，，
，
，
故答案为：0．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．（2024春•长丰县期中）已知，则的值是 8 ．
【答案】8．
【分析】由已知得到，再将变形为，然后代入计算即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握这两个运算法则是解题的关键．
11．（2024春•太湖县期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数），甲、乙的面积分别为，．
（1）与的大小关系为： ；（用“”、“ ”、“ ”填空）
（2）若满足条件的整数有且只有4个，则的值为 ．
【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可；
（2）先计算出，根据整数有且只有4个，列出不等式，根据为正整数求得的值．
【解答】解：（1）
，
，
，
为正整数，
，
，
，
故答案为：；
（2）
，
的整数有且只有4个，
这四个整数解为2023，2022，2021，2020，
，
解得：，
为正整数，
．
故答案为：1010．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键．
12．（2024春•大观区校级期中）若，则 ，
【答案】；9．
【分析】直接利用多项式乘法将原式展开，进而得出，，的值，再代入计算即可求解．
【解答】解：，
，
，，，
，
故答案为：，9．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
13．（2023春•金寨县期中）某班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为，已知这个长方形“学习园地”的长为，则宽为 ．
【分析】根据宽面积长列出算式，再利用多项式除以单项式的运算法则计算可得．
【解答】解：根据题意，宽为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则．
14．（2024春•瑶海区期中）已知，，．
（1）求证：；
（2）求的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）18．
【分析】（1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则证明即可；
（2）利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则计算即可．
【解答】（1）证明：，
，
．
（2）解：
．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂和乘方与积的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．
15．（2023春•花山区校级期中）阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若且，那么叫做以为底的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式，可以转化为指数式．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，，，，理由如下：
设，，则，，
，由对数的定义得
又，
．
请解决以下问题：
（1）将指数式转化为对数式 ；
（2）求证：，，，；
（3）拓展运用：计算 ．
【答案】（1）．
（2）证明见解题过程．
（3）2．
【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．
（2）根据指数与对数的关系求证．
（3）利用对数运算法则求解．
【解答】解：（1）根据指数与对数关系得：．
故答案为：．
（2）设，，则，，
．
．
．
（3）原式
．
故答案为：2．
【点评】本题考查用新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关键是求解本题的关键．
16．（2024春•太湖县期中）小马和小睿两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小睿漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．
（1）求出，的值；
（2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果．
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则即可求出与的值；
（2）正确求出与的值后，利用多项式乘以多项式法则即可求出答案．
【解答】解：（1）小马抄错了的符号，得到的结果为，
，
；
小睿漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为，
，
，
解，得，
，；
（2），，
．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式法则，本题属于基础题型．
17．（2024春•埇桥区校级期中）如图是一块长为厘米，宽为厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为厘米的小正方形．．
（1）试用含，的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？
（2）若，，请求出长方形纸片剩余面积．
【答案】（1）；
（2）700平方厘米．
【分析】 由题意可知：长方形纸片剩余面积长方形面积个边长为的正方形的面积，列出算式，进行化简即可；
（2）把，代入（1）中所求的方形纸片剩余面积，进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：
（平方厘米），
答：长方形纸片剩余面积为平方厘米；
（2）把，代入得：
（平方厘米），
答：当，，长方形纸片剩余面积为700平方厘米．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题根据是正确识别图形，列出算式，熟练掌握多项式乘多项式法则．
18．（2024春•蜀山区校级期中）计算：．
【答案】1．
【分析】直接利用单项式乘多项式、整式的除法运算法则化简，再合并同类项得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算、单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
满分技法
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
满分技法
在计算时，一定要注意“同底数”这个条件.当底数不同时，要先转化为相同的底数，再运用运算性质进行计算,在转化过程中，要注意符号问题.
满分技法
当运用幂的有关运算法则计算时，要注意区分幂的乘方和同底数幂的乘法法则的应用.若幂中含有负号，则需要先确定符号，再利用法则进行计算;若式子中同时含有乘方与乘法运算,则先算乘方，再算乘法.
当指数相同的两个或多个幂相乘时，如果底数的积容易求出，那么可先利用把底数相乘，再进行乘方运算,从而使运算更简便.
满分技法
同底数幂的除法,找准底数再运算.应用同底数幂除法的运算性质的前提是被除式与除式的底数相同.当底数互为相反数时，应先根据的符号法则，将其化为底数相同的幂，再运算.如果底数是一个多项式，可以把这个多项式作为一个整体进行计算.
满分技法
单项式与单项式相乘的三点注意：
(1)积的系数等于各系数的积,要特别注意系数的符号.
(2)凡是在单项式里出现过的字母,在它的计算结果中也应全部出现，不能漏掉.
(3)若有乘法、乘方混合运算,则应按“先乘方,再乘法”的顺序进行运算.
满分技法
单项式与多项式相乘，“先分后合”得结果，一般步骤如下:
第1步:按顺序把单项式和多项式中的每一项相乘(做到不重不漏，多项式中的每一项都包括其前面的符号)，注意符号变化;
第2步:把所得的积合并同类项，得到的结果化至最简.
满分技法
(1)运用多项式与多项式的乘法法则解题时，必须要做到不重不漏，因此,相乘时，要按照一定顺序进行,
(2)多项式与多项式相乘,仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式项数之积，这是检验有无漏项的一般方法。
满分技法
(1)多项式除以单项式的实质是转化为前面学过的单项式除以单项式进行计算.
(2)多项式中的每一项包含它前面的符号.
(3)多项式除以单项式的结果仍是一个多项式，其项数与被除式的项数相同.
(4)多项式除以单项式是单项式乘以多项式的逆运算，可用它来进行检验
满分技法
整式乘法的混合运算中的四点注意：
(1)多项式中的“1”或“-1”不要漏乘；
(2)若减去的是多项式,则要先用括号括起来,再按照去括号法则计算；
(3)为便于计算,计算过程中可以逐步合并同类项；
(4)结果必须是最简形式,即不再含有同类项.
满分技法
关于整式的化简求值题，一定要先化简再求值代入求值时，要注意括号的应用，防止出现符号错误，若所求代数式能整理成某个代数式的形式，且该代数式的结果已知或根据已知条件能直接求出，则要利用整体思想，通过整体代入进行求值.
满分技法
判断零次幂成立的条件是底数不等于0,进而转化为不等式进行求解即可.
满分技法
涉及负整数次幂的计算,要根据是正整数)，先将指数化负为正,取其倒数，再计算，