专题01 实数的有关概念及运算-备战中考数学精品系列（解析版）

备战中考系列：

第一篇   数与式

专题01  实数的有关概念及运算

☞解读考点

☞考点归纳

归纳 1：实数及其分类

基础知识归纳：

基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数.

注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

【例1】在实数中，其中无理数的个数是（    ）

A.2     B.3     C.4     D.5

【答案】A

【解析】tan45°=1，是有理数；根据无理数的定义可知，、是无理数，共有2个，故本题选A.

归纳 2：实数的有关概念

基础知识归纳：

1、相反数

实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0；正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.

基本方法归纳：如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立；零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0

注意问题归纳：零没有倒数；一个非零的数的绝对值一定是正数

【例2】若实数x，y满足，则=       .

【答案】

归纳 3：实数的大小比较

基础知识归纳：

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.

基本方法归纳：（1）求差比较：设a、b是实数，

（2）求商比较法：设a、b是两正实数，

（3）平方法：设a、b是两负实数，则.

注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较.

【例3】用“＜”号，将、、、连接起来______

【答案】

归纳 4：科学计数法与近似数

基础知识归纳：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

基本方法归纳：利用科学计数法表示一个数，在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）

注意问题归纳：利用科学计数法表示数和转化为原数时，要注意数位的变化.

【例4】据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元，一年的经济损失约为54750000000元，用科学记数法表示这个数为

A．5.475×1011         B．5.475×1010        C．0.5475×1011       D．5475×108

【答案】B

归纳 5：实数的混合运算

基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算.同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行

基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识.

注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序.

【例5】计算：

【答案】1

[中考题组1]

1．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学计数法表示为（    ）

A．   B．     C．      D．

【答案】B

∵110000一共6位，∴110000=1.1×1015. 故选B.

考点：科学计数法

2. 的相反数是（    ）

A.        B.        C.        D.

考点：相反数

3. 下列式子中成立的是（      ）

A. ﹣|﹣5|＞4       B. ﹣3＜|﹣3|       C. ﹣|﹣4|=4      D. |﹣5.5|＜5

【答案】B

考点：绝对值；有理数的大小比较

4. 如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是(    )

A. m+n＜0        B. m＜n         C. m||n|＞0         D. 2+m＜2+n

【答案】D

【解析】

试题分析：根据M、N两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一作出判断：

由M、N两点在数轴上的位置可知：1＜m＜0，n＞2，

∵1＜m＜0，n＞2，∴m+ n＞0，故A错误.

∵m＜n，∴m＞ n，故B错误.

∵1＜m＜0，n＞2，∴|m||n|＜0，故C错误．

∵m＜n，∴2+m＜2+n，故D正确.

考点：数轴；不等式的性质

5. 计算的值等于(     )

A.   B. 0   C. 1   D. 5

【答案】A

考点：实数的运算

6. 若，则的值为        ．

【答案】．

考点：实数的非负性；负整数指数幂

7.若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则b2﹣a2=       ．

【答案】7

【解析】

试题分析：∵32＜13＜42，∴3＜＜4，即a=3，b=4.

        ∴b2﹣a2=42﹣32=7.

考点：无理数的估算

8. 规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．，按此规定，=_____________

【答案】2

【解析】

试题分析：∵9＜13＜16，∴3＜＜4.

∴2＜＜3，∴=2．

考点：新定义；无理数的估算

9. 为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是        ．

【答案】．

考点：有理数的运算；阅读理解型问题

10. 计算：

【答案】-3．

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值

[中考题组2]

1．下列运算正确的是（    ）

A．       B．       C．      D．

【答案】B.

【解析】根据有理数的乘法，有理数的减法，负整数指数幂，零指数幂运算法则逐一计算作出判断：

考点：实数的运算负整数指数幂；零指数幂

2．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和5.1，则A、B两点之间表示整数的点共有（     ）

A．6个      B．5个       C．4个      D．3个

【答案】C

考点：实数的估算；数轴

3.若|a|=﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（    ）

A．原点左侧        B．原点或原点左侧     C．原点右侧      D．原点或原点右侧

【答案】B

【解析】

试题分析：∵|a|=﹣a，∴a≤0.∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧.

故选B.　

考点：绝对值

4．的相反数是（      ）

A．﹣6     B．8   C．     D．

【答案】B

【解析】

试题分析：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0.因此，的相反数是8.故选B.

考点：有理数的乘方；相反数

5．一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，（n为不小于2的整数），则a100=（      ）

A．        B．2       C．﹣1        D．﹣2

【答案】A

考点：实数的运算；数字的变化规律

6.已知，则的值为　    　．

【答案】﹣1.

考点：绝对值的性质

7.已知，则ab=　    　．

【答案】1

考点：绝对值；负整数指数幂

8.计算：﹣　  　．

【答案】

考点：实数的运算

9．在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a﹣b|=2013，且AO=2BO，则a+b的值为　    　．

【答案】﹣671

【解析】

试题分析：如图，a＜0＜b．

∵|a﹣b|=2013，且AO=2BO，

∴b﹣a=2013①，a=﹣2b②，

由①②，解得b=671.

∴a+b=﹣2b+b=﹣b=﹣671.

考点：数轴；绝对值

10．观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是　  　．

【答案】

考点：数字的变化规律

☞1年模拟

1、下列四种运算中，结果最大的是（　　）

　A．1+（﹣2）  B．1﹣（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）

【答案】B

考点：有理数的运算

2、下列各组数中，互为相反数的是（      ）

A. 与   B. 与2    C. 与   D. 与

【答案】C

【解析】

试题分析：根据相反数的定义来解答，只有符号不同的两个数互为相反数，A选项的两个数互为负倒数，B选项的两个数相等，C选项，-2与2互为相反数，D选项的两个数相等，故本题选C.

考点：相反数；绝对值；立方根

3、的相反数的绝对值是（   ）

A.     B.     C.   D.

【答案】A

考点：相反数；绝对值

4、的倒数是（　　）

A. ﹣3      B. 3       C.     D.

【答案】A

【解析】

试题分析：，其倒数是-3，故本题选A.

考点：倒数

5、若x，y为实数，且，则的值为（   ）

A．1    B．﹣1      C．2      D.﹣2

【答案】B

考点：实数的非负性；绝对值；算术平方根

6、第六次全国人口普查公布的数据表明，登记的全国人口数量约为1 340 000 000人．这个数据用科学记数法表示为（　　）

A.     B.      C.     D.

【答案】C

【解析】

试题分析：1 340 000 000用科学计数法可表示为.

考点：科学计数法

7.计算：＝___________.

【答案】-4

考点：实数的运算

8.近似数精确到了_____位.

【答案】千

考点：科学计数法；近似数