沪科版初中九年级数学上册专项素养综合练(七)解双直角三角形应用的四种模型课件

这是一份沪科版初中九年级数学上册专项素养综合练(七)解双直角三角形应用的四种模型课件，共23页。
模型一　“背靠背”型1.(2022湖北襄阳中考)位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市 的标志性建筑,是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及 第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的 革命烈士而兴建的,某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士 塔的高度.如图,无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角 为45°,烈士塔底部点C的俯角为61°,无人机与烈士塔的水平 距离AD为10 m,求烈士塔的高度.(结果保留整数.参考数据:
sin 61°≈0.87,cs 61°≈0.48,tan 61°≈1.80)
解析　由题意得,∠BAD=45°,∠DAC=61°,在Rt△ABD中,∠BAD=∠ABD=45°,AD=10 m,∴BD=AD=10 m,在Rt△ACD中,∠DAC=61°,tan 61°= = ≈1.80,解得CD≈18,∴BC=BD+CD=10+18=28(m).∴烈士塔的高度约为28 m.
2.(2020江苏南京中考)如图,在港口A处的正东方向有两个相 距6 km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发,沿北偏东26°方 向航行至D处,在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°.求 轮船航行的距离AD.(参考数据:sin 26°≈0.44,cs 26°≈0.90, tan 26°≈0.49,sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
解析　如图,过点D作DH⊥AC于点H,在Rt△DCH中,∠C=37°,∴CH= .在Rt△DBH中,∠DBH=45°,∴BH= .∵BC=CH-BH,∴ - =6,解得DH≈18 km.在Rt△DAH中,∠ADH=26°,∴AD= ≈20 km.答:轮船航行的距离AD约为20 km.
模型二　“母抱子”型3.(2023安徽六安霍邱期末)如图,某座山AB的顶部有一座通 讯塔BC,且点A,B,C在同一条直线上,从地面点P处测得塔顶C 的仰角为42°,测得塔底B的仰角为35°,已知通讯塔BC的高度 为32 m,求这座山AB的高.(结果取整数,参考数据:tan 35°≈0.70,tan 42°≈0.90)
解析　设AP=x米,∴AB=AP·tan 35°≈0.7x(米),∵BC=32米,∴AC=AB+BC=(0.7x +32)米,∴tan 42°= = ≈0.9,∴x≈160,∴AB=0.7x=112(米),∴这座山AB的高度约为112米.
4.(2023湖北随州中考)某校学生开展综合实践活动,测量某 建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜坡,坡长CD=10米,坡 角α=30°,小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°,在D处测 得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A,B,C,D在同一平面内, B,C在同一水平线上)(1)求点D到地面BC的距离;(2)求该建筑物的高度AB.
解析    (1)如图,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,∵cs α= = =cs 30°= ,∴CE=5 (m),∴DE= =5(m).∴点D到地面BC的距离为5 m.(2)如图,过点D作DF⊥AB于点F,则BF=DE=5 m,设BC=x m,则BE=DF=(5 +x)m,在Rt△ABC中,tan 60°= = = ,解得AB= x m,
∴AF=( x-5)m,在Rt△ADF中,tan 30°= = = ,解得x=5 ,∴AB= ×5 =15(m).∴该建筑物的高度AB为15 m.
模型三　“拥抱”型5.(2020四川眉山中考)某数学兴趣小组去测量一座小山的高 度,在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB,如图所示.在山 脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°,向小山前进80米到 达点E处,测得塔顶A的仰角为60°,求小山BC的高度. 
解析　设BC为x米,则AC=(20+x)米,由题意得,∠DBC=∠AEC=60°,DE=80米.在直角△DBC中,tan 60°= = ,则DC= x米.∴CE=( x-80)米.在直角△ACE中,tan 60°= = = .解得x=10+40 .答:小山BC的高度为(10+40 )米.
6.(2023江苏南京中考)如图,为了测量无人机的飞行高度,在 水平地面上选择观测点A,B.无人机悬停在C处,此时在A处测 得C的仰角为36°52';无人机垂直上升5 m悬停在D处,此时在B 处测得D的仰角为63°26'.AB=10 m,点A,B,C,D在同一平面内, A,B两点在CD的同侧.求无人机在C处时离地面的高度.(参考数据:tan 36°52'≈0.75,tan 63°26'≈2.00)
解析　延长DC交AB的延长线于点E,如图.由题意,得DE⊥AB,CD=5 m,设BE=x m,
∵AB=10 m,∴AE=AB+BE=(10+x)m.在Rt△ACE中,∠CAE=36°52',∴CE=AE·tan 36°52'≈0.75(10+x)m.在Rt△BDE中,∠ DBE=63°26',∴DE=BE·tan 63°26'≈2x(m).∵DC+CE=DE,∴5+0.75(10+x)=2x,解得x=10,∴CE=0.75(10+x)=15(m),∴无人机在C处时离地面的高度约为15m.
模型四　“牵手”型7.(2023安徽合肥庐江二模)为响应新型城镇化战略,助力乡 村振兴,某县计划在乡镇之间增设燃气管道.如图,同一平面 上的四个点A,B,C,D为该县四个乡镇的中心点,A,C两个乡镇 之间已铺设燃气主管道AC,其长为27千米.计划在B,D两个乡 镇之间再铺设燃气主管道BD.已知AB∥CD,∠ACD=53.2°,∠ BDC=26.6°.求BD的长.(结果保留整数,参考数据:sin 53.2°≈ 0.80,tan 53.2°≈1.34,sin 26.6°≈0.45,tan 26.6°≈0.50)
解析　过A作AE⊥CD,垂足为E,过点B作BF⊥CD,交DC的延 长线于点F,如图, ∴∠BFE=∠AED=90°,∴BF∥AE,∵AB∥CD,∴四边形AEFB 是平行四边形,∴AE=BF,在Rt△ACE中,AC=27千米,∠ACD=
53.2°,∴AE=AC·sin∠ACD≈27×0.8=21.6(千米),∴BF=AE=21.6千米,在Rt△BDF中,∠BDC=26.6°,∴BD= ≈ =48(千米).答:BD的长约为48千米.
8.(2020山东聊城中考)如图,小莹在数学综合实践活动中,利 用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量,先测 得居民楼AB与CD之间的距离AC为35 m,后站在M点处测得 居民楼CD的顶端D的仰角为45°,居民楼AB的顶端B的仰角为 55°,已知居民楼CD的高度为16.6 m,小莹的观测点N距地面1. 6 m.求居民楼AB的高度(精确到1 m).(参考数据:sin 55°≈0.82,cs 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)
解析　过点N作EF∥AC交AB于点E,交CD于点F,如图,则AE=MN=CF=1.6 m,EF=AC=35 m,∠BEN=∠DFN=90°,EN= AM,NF=MC,则DF=DC-CF=16.6-1.6=15(m).在Rt△DFN中,