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华东师大版初中数学九年级上册期末素养综合测试(二)课件
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这是一份华东师大版初中数学九年级上册期末素养综合测试(二)课件，共57页。
期末素养综合测试（二）
(满分120分, 限时100分钟)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2024四川遂宁船山期末)下列各式中,属于最简二次根式 的是 ( )A. B. C. D.
2.(设参法)(2024福建泉州晋江期末)若 = ,则 的值为 ( )A. B. C. D.
3.(2024河南郑州十校联考期末)如图,∠α的顶点在正方形网 格的格点上,若tan α= ,则满足条件的∠α是 ( ) A B C D
解析 设小正方形的边长均为1,如图1所示,在Rt△ABC中, tan α= = ,故A选项不符合题意;如图2所示,在Rt△ABC中,tan α= = ,故B选项不符合题意;如图3所示,在Rt△ABC中,tan α= = ,故C选项不符合题意;如图4所示,在Rt△ABC中,tan α= = ,故D选项符合题意. 图1 图2 图3 图4
4.(2024吉林长春南关期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB边 上的中线CD长为 ,点A在数轴上,且表示的数为-1.以点A为圆心,AB长为半径作圆弧,交数轴于点E,则点E表示的数是 ( )
A.1或-3 B.2 -1C.-1+ 或-1- D.-1+2 或-1-2
解析 ∵在Rt△ABC中,AB边上的中线CD长为 ,∴AB=2CD=2 ,∴点E表示的数为-1+2 或-1-2 .
5.(2024山西长治清华机械厂中学月考)某陈醋专卖店销售一 种陈醋,这种陈醋每瓶的进价为60元,若以每瓶100元的价格 出售,每天可售出40瓶.为了促进销售,店长决定采取适当的 降价措施.经市场调查发现,当这种陈醋每瓶每降价1元时,每 天可多售出2瓶.若为了让利于消费者,且日销售利润要达到1 600元,则这种陈醋的销售单价为 ( )A.100元 B.80元C.80元或100元 D.无法确定
解析 设这种陈醋的销售单价为x元,则每瓶陈醋的销售利 润为(x-60)元,由题意得(x-60)[40+2(100-x)]=1 600,整理得x2-180x+8 000=0,解得x1=80,x2=100(不符合题意,舍去),即这种陈 醋的销售单价为80元.
6.(情境题·中华优秀传统文化)(2024山西临汾安泽期末)《宋 人扑枣图轴》是创作于宋朝的古画,该作品描绘了古人扑枣 的场景.院角枣树果实累累,小孩群来攀扯,有的牵起衣角,有 的捧着盘子拾取,一片兴高采烈之情跃然于绢帛之上.在某晚 会上,某剧团准备根据该图编排一个舞蹈,舞蹈中甲、乙两人 分别模仿图中小孩扑枣的攀、牵、捧、拾中的一个动作 (甲、乙模仿的动作不同),他俩模仿的动作恰好是“攀”和 “牵”的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析 由于甲、乙模仿的动作不同,故根据题意画出树状图 如下,由图可知共有12种等可能的结果,其中恰好是“攀”和 “牵”的结果共有2种,所以他俩模仿的动作恰好是“攀” 和“牵”的概率是 = .
7.(2024河南鹤壁淇滨期末)如图,小明先在凉亭A处测得湖心 岛C在其北偏西15°的方向上,又从A处向正东方向行驶200米 到达凉亭B处,测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上,则凉亭 B与湖心岛C之间的距离为 ( ) A.400米 B.(100 +100)米
C.(100 +100)米 D.(100 -100)米
解析 如图,过点A作AD⊥BC于点D.由题意可得∠ABD=30°,∴∠ACB=180°-15°-90°-30°=45°,在Rt△ABD中,AB=200米,∠ABD=30°,∴sin 30°= = = ,cs 30°= = = ,∴AD=100米,BD=100 米,在Rt△ACD中,∠ACB=45°,∴CD=AD=100米,∴BC=BD+CD=(100 +100)米.
8.(2023浙江丽水中考,10)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC, ∠C=45°,以AB为腰作等腰直角三角形BAE,顶点E恰好落在 CD边上,若AD=1,则CE的长是( ) A. B. C.2 D.1
解析 如图,过点E作EF⊥CD交BC于F, ∵∠C=45°,∴△EFC是等腰直角三角形,∴EF=CE,∠CFE=45°,∴∠BFE=180°-45°=135°,∵∠CFE=∠FBE+∠BEF=45°,∠AED+∠BEF=90°-45°=45°,∴∠AED=∠FBE,
∵△ABE是等腰直角三角形,∴ = ,∵AD∥BC,∴∠C+∠D=180°,∴∠D=180°-45°=135°,∴∠D=∠BFE,∴△ADE∽△EFB,∴ = = ,∵AD=1,∴EF= ,∴CE=EF= .
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.(跨学科·物理)(2024重庆渝中期末)某品牌花生油的密度约 为0.92×103 kg/m3,且不溶于水.若将该品牌花生油滴入水中, 则花生油浮在水面上.这一事件是 事件.(填“必 然”“不可能”或“随机”)
解析 ∵花生油的密度约为0.92×103 kg/m3,且不溶于水,水的 密度为1.0×103 kg/m3,∴将该品牌花生油滴入水中,则花生油 浮在水面上,这一事件是必然事件.
10.(2024四川乐山沐川期末)已知实数a,b在数轴上对应点的 位置如图所示,化简 + -2的结果为 .
解析 由a,b在数轴上对应点的位置可知-10,b-1<0,∴原式=a+1-(b-1)-2=a+1-b+1-2=a-b.
11.(易错题)(2024吉林长春德惠期末)若关于x的一元二次方 程mx2+(2m-1)x+m+3=0有两个不相等的实数根,则m的取值范 围是 .
12.(跨学科·天文)(2024四川宜宾翠屏二模)天文学家以流星 雨辐射所在的天空区域中的星座给流星命名,狮子座流星雨 就是流星雨辐射点在狮子座中.如图,把狮子座的星座图放在 正方形网格中.若点A的坐标是(2,6),点B的坐标是(3,2),则点C 的坐标是 .
解析 依题意建立平面直角坐标系如下,故点C的坐标是(-1, 3).
13.(情境题·中华优秀传统文化)(2024河南南阳卧龙期末)剪 纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,很多剪纸作品体现了 数学中的对称美.如图,蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形,将其放 在平面直角坐标系中,如果图中点E的坐标为(2m,-n),其关于y 轴对称的点F的坐标为(3-n,-m+1),则(m-n)2 024的值为 .
解析 ∵E(2m,-n),F(3-n,-m+1)关于y轴对称,∴ 解得 ∴(m-n)2 024=(-4+5)2 024=1.
14.(2023四川攀枝花中考)如图,在正方形ABCD中,分别以四 个顶点为圆心,以边长的一半为半径画圆弧,若随机向正方形 ABCD内投一粒米(米粒大小忽略不计),则米粒落在图中阴影 部分的概率为 .
解析 设正方形的边长为2a,则4个扇形的半径为a,则米粒落 在阴影部分的概率为 = .
15.(2024四川达州通川六校联考期末)如图,E是△ABC的中 线AD上一点,CE的延长线交AB于点F,若AF=2,ED=3AE,则 AB的长为 .
解析 如图,过D点作DH∥CF交AB于H,∵EF∥DH,∴ = = ,∴FH=3AF=3×2=6,∵AD为中线,∴BD=CD,∵DH∥CF,∴ = =1,∴BH=FH=6,∴AB=AF+FH+HB=2+6+6=14.
16.(2024甘肃陇南康县期末)关于x的方程ax2+bx+c=0有两个 不相等的实数根x1,x2,若x2=2x1,则4b-9ac的最大值是 .
三、解答题(共64分)
17.[答案含评分细则](6分)计算:(1)(-1)2 023+2sin 45°-cs 30°+sin 60°+tan260°;(2)(2 +3)2 023(2 -3)2 024-4 - .
解析 (1)原式=-1+2× - + +( )2 1分=-1+ +3=2+ . 3分(2)原式=[(2 +3)(2 -3)]2 023·(2 -3)- -|1- | 4分=(8-9)2 023·(2 -3)- +1- =-(2 -3)- +1- 5分=-2 +3- +1- =4-4 . 6分
18.[答案含评分细则](新考向·新定义试题)(2024河南南阳桐 柏期末)(6分)定义:若一个三角形一边上的中线、高线与这 条边有两个交点,则这两个交点之间的距离称为这条边上的 “中高距”.如图,△ABC中,AD为BC边上的中线,AE为BC边 上的高线,则DE的长称为BC边上的“中高距”.
(1)若BC边上的“中高距”为0,试判断△ABC的形状,并说明 理由;(2)若∠B=30°,∠C=45°,AB=4,求BC边上的“中高距”.
解析 (1)等腰三角形. 1分理由:∵BC边上的“中高距”为0,∴△ABC的BC边上的中 线、高线重合,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC,∴△ABC的形状 是等腰三角形. 2分
(2)∵AD为BC边上的中线,∠B=30°,∠C=45°,AB=4,∴AE= AB=2,BE=AB·cs 30°=4× =2 , 3分∴EC=AE=2,∴BC=BE+CE=2 +2, 5分∴CD= BC= (2 +2)= +1,
∴DE=CD-CE= +1-2= -1. 6分
19.[答案含评分细则](跨学科·物理)(2024吉林长春汽开区期末)(8分)已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率 是 .(提示:在一次试验中,每个电子元件的状态有两种可能:通电、断开,并且这两种状态的可能性相等)(1)如图1,求在一定时间段内,A、B之间电流能够正常通过的 概率;(2)如图2,求在一定时间段内,C、D之间电流能够正常通过的 概率.
图1 图2
解析 (1)依题意画树状图如下, 由图可知共有4种等可能的结果,其中A、B之间电流能够正 常通过的只有1种结果,所以A、B之间电流能够正常通过的
概率为 . 5分(2)由题图可知共有4种等可能的结果,其中C、D之间的两个 元件至少有一个元件能通过电流的有3种结果,∴C、D之间 电流能够正常通过的概率为 . 8分
20.[答案含评分细则](2024广西来宾兴宾期末)(8分)如图,在 平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B (1,-2).(1)以原点O为位似中心,在y轴的左侧按2∶1放大,画出△ OAB的一个位似△OA1B1.(2)画出将△OAB向右平移3个单位,再向下平移3个单位后得 到的△O2A2B2.
(3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗?若是,请在图中标出位 似中心M,并写出点M的坐标.
解析 (1)如图所示,△OA1B1即为所求. 3分(2)如图所示,△O2A2B2即为所求. 5分 (3)如图所示,△OA1B1与△O2A2B2是位似图形,点M(2,-2)是位 似中心. 8分
21.[答案含评分细则](情境题·革命文化)(2023河南焦作十七中期末)(10分)某旅行社的一则广告如下:我社推出去延安红色旅游,收费标准如下:如果组团人数不超过30,人均收费800元;如果人数超过30,那么每增加1人,人均收费降低10元,但人均 收费不得低于500元.甲公司想分批组织员工到延安红色旅游学习.
(1)如果第一批组织40人去学习,则公司应向旅行社交费 元.(2)如果公司计划用29 250元组织第一批员工去学习,则这次 旅游学习应安排多少人参加?
解析 (1)第一批组织40人去学习,则公司应向旅行社交费40 ×[800-(40-30)×10]=28 000(元). 3分(2)设这次旅游学习应安排x人参加,∵30×800=24 000<29 250,∴x>30,根据题意得x[800-10(x-30)]=29 250, 6分整理得x2-110x+2 925=0,解得x1=45,x2=65. 8分∵800-10(x-30)≥500,∴x≤60,∴x=45,即这次旅游学习应安 排45人参加. 10分
22.[答案含评分细则](2023湖北鄂州中考)(12分)鄂州市莲花 山是国家4A级风景区,元明塔造型独特(如图1),是莲花山风 景区的核心景点,深受全国各地旅游爱好者的青睐.今年端午 节,景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动.如图2,景区工作 人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E 处,挂好后,小明进行实地测量,从元明塔底部F点沿水平方向 步行30米到达自动扶梯底端A点,在A点用仪器测得条幅下端 E的仰角为30°,接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点,测得 点A和点D的水平距离为15米,且tan∠DAB= ,然后他从D点
又沿水平方向行走了45米到达C点,在C点测得条幅上端G的 仰角为45°(图上各点均在同一个平面内,且G、C、B共 线,F、A、B共线,G、E、F共线,CD∥AB,GF⊥FB).(1)求自动扶梯AD的长度;(2)求大型条幅GE的长度.(结果保留根号) 图1 图2
解析 (1)如图,过点D作DH⊥AB,垂足为H, 1分在Rt△ADH中,AH=15米,tan∠DAB= ,∴DH=AH·tan∠DAB=15× =20(米), 2分∴AD= = =25(米),∴自动扶梯AD的长度为25米. 3分
(2)如图,过点C作CM⊥AB,垂足为M, 4分由题意得DC=HM=45米,DH=CM=20米,∵DC∥AB,∴∠DCG =∠B=45°,∴在Rt△CMB中,BM= =20(米), 6分∵AF=30米,AH=15米,∴BF=AF+AH+HM+BM=30+15+45+20 =110(米), 8分
在Rt△AFE中,∠EAF=30°,∴EF=AF·tan 30°=30× =10 (米), 10分在Rt△GFB中,GF=BF·tan 45°=110米,∴GE=GF-EF=(110- 10
)米,∴大型条幅GE的长度为(110-10 )米. 12分
23.[答案含评分细则](2023吉林长春八十九中期末)(14分)如 图1,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P 从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同 时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速 运动,运动时间为t秒,连结PQ.
(1)若三角形BPQ与三角形ABC相似,求t的值;(2)直接写出三角形BPQ是等腰三角形时t的值;(3)如图2,连结AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值.
解析 (1)∵∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,∴AB= =10 cm.由题意知BP=5t cm,QC=4t cm,∴BQ=(8-4t)cm. 1分分两种情况讨论:①当△BPQ∽△BAC时, = ,∴ = ,解得t=1; 2分②当△BPQ∽△BCA时, = ,∴ = ,解得t= ,∴t=1或 时,△BPQ与△BCA相似. 5分(2) 或 或 . 11分
提示:分三种情况讨论:①当PB=PQ时,如图1,过P作PH⊥BQ于H,则BH= BQ=(4-2t)cm,∵∠ACB=90°,∴PH∥AC,∴ = ,即 = ,解得t= ;②当PB=BQ时,5t=8-4t,解得t= ;③当BQ=PQ时,如图2,过Q作QG⊥AB于G,则BG= PB= t cm,∵∠B=∠B,∠BGQ=∠C=90°,∴△BGQ∽△BCA,∴ =
,即 = ,解得t= .综上所述,△BPQ是等腰三角形时,t的值为 或 或 . 图1 图2 图3(3)过P作PM⊥BC于点M,设AQ,CP交于点N,如图3所示,易知 △BPM∽△BAC,∴ = ,∴ = ,∴PM=3t cm,同理可得BM=4t cm,
期末素养综合测试（二）
(满分120分, 限时100分钟)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2024四川遂宁船山期末)下列各式中,属于最简二次根式 的是 ( )A. B. C. D.
2.(设参法)(2024福建泉州晋江期末)若 = ,则 的值为 ( )A. B. C. D.
3.(2024河南郑州十校联考期末)如图,∠α的顶点在正方形网 格的格点上,若tan α= ,则满足条件的∠α是 ( ) A B C D
解析 设小正方形的边长均为1,如图1所示,在Rt△ABC中, tan α= = ,故A选项不符合题意;如图2所示,在Rt△ABC中,tan α= = ,故B选项不符合题意;如图3所示,在Rt△ABC中,tan α= = ,故C选项不符合题意;如图4所示,在Rt△ABC中,tan α= = ,故D选项符合题意. 图1 图2 图3 图4
4.(2024吉林长春南关期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB边 上的中线CD长为 ,点A在数轴上,且表示的数为-1.以点A为圆心,AB长为半径作圆弧,交数轴于点E,则点E表示的数是 ( )
A.1或-3 B.2 -1C.-1+ 或-1- D.-1+2 或-1-2
解析 ∵在Rt△ABC中,AB边上的中线CD长为 ,∴AB=2CD=2 ,∴点E表示的数为-1+2 或-1-2 .
5.(2024山西长治清华机械厂中学月考)某陈醋专卖店销售一 种陈醋,这种陈醋每瓶的进价为60元,若以每瓶100元的价格 出售,每天可售出40瓶.为了促进销售,店长决定采取适当的 降价措施.经市场调查发现,当这种陈醋每瓶每降价1元时,每 天可多售出2瓶.若为了让利于消费者,且日销售利润要达到1 600元,则这种陈醋的销售单价为 ( )A.100元 B.80元C.80元或100元 D.无法确定
解析 设这种陈醋的销售单价为x元,则每瓶陈醋的销售利 润为(x-60)元,由题意得(x-60)[40+2(100-x)]=1 600,整理得x2-180x+8 000=0,解得x1=80,x2=100(不符合题意,舍去),即这种陈 醋的销售单价为80元.
6.(情境题·中华优秀传统文化)(2024山西临汾安泽期末)《宋 人扑枣图轴》是创作于宋朝的古画,该作品描绘了古人扑枣 的场景.院角枣树果实累累,小孩群来攀扯,有的牵起衣角,有 的捧着盘子拾取,一片兴高采烈之情跃然于绢帛之上.在某晚 会上,某剧团准备根据该图编排一个舞蹈,舞蹈中甲、乙两人 分别模仿图中小孩扑枣的攀、牵、捧、拾中的一个动作 (甲、乙模仿的动作不同),他俩模仿的动作恰好是“攀”和 “牵”的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析 由于甲、乙模仿的动作不同,故根据题意画出树状图 如下,由图可知共有12种等可能的结果,其中恰好是“攀”和 “牵”的结果共有2种,所以他俩模仿的动作恰好是“攀” 和“牵”的概率是 = .
7.(2024河南鹤壁淇滨期末)如图,小明先在凉亭A处测得湖心 岛C在其北偏西15°的方向上,又从A处向正东方向行驶200米 到达凉亭B处,测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上,则凉亭 B与湖心岛C之间的距离为 ( ) A.400米 B.(100 +100)米
C.(100 +100)米 D.(100 -100)米
解析 如图,过点A作AD⊥BC于点D.由题意可得∠ABD=30°,∴∠ACB=180°-15°-90°-30°=45°,在Rt△ABD中,AB=200米,∠ABD=30°,∴sin 30°= = = ,cs 30°= = = ,∴AD=100米,BD=100 米,在Rt△ACD中,∠ACB=45°,∴CD=AD=100米,∴BC=BD+CD=(100 +100)米.
8.(2023浙江丽水中考,10)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC, ∠C=45°,以AB为腰作等腰直角三角形BAE,顶点E恰好落在 CD边上,若AD=1,则CE的长是( ) A. B. C.2 D.1
解析 如图,过点E作EF⊥CD交BC于F, ∵∠C=45°,∴△EFC是等腰直角三角形,∴EF=CE,∠CFE=45°,∴∠BFE=180°-45°=135°,∵∠CFE=∠FBE+∠BEF=45°,∠AED+∠BEF=90°-45°=45°,∴∠AED=∠FBE,
∵△ABE是等腰直角三角形,∴ = ,∵AD∥BC,∴∠C+∠D=180°,∴∠D=180°-45°=135°,∴∠D=∠BFE,∴△ADE∽△EFB,∴ = = ,∵AD=1,∴EF= ,∴CE=EF= .
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.(跨学科·物理)(2024重庆渝中期末)某品牌花生油的密度约 为0.92×103 kg/m3,且不溶于水.若将该品牌花生油滴入水中, 则花生油浮在水面上.这一事件是 事件.(填“必 然”“不可能”或“随机”)
解析 ∵花生油的密度约为0.92×103 kg/m3,且不溶于水,水的 密度为1.0×103 kg/m3,∴将该品牌花生油滴入水中,则花生油 浮在水面上,这一事件是必然事件.
10.(2024四川乐山沐川期末)已知实数a,b在数轴上对应点的 位置如图所示,化简 + -2的结果为 .
解析 由a,b在数轴上对应点的位置可知-1
11.(易错题)(2024吉林长春德惠期末)若关于x的一元二次方 程mx2+(2m-1)x+m+3=0有两个不相等的实数根,则m的取值范 围是 .
12.(跨学科·天文)(2024四川宜宾翠屏二模)天文学家以流星 雨辐射所在的天空区域中的星座给流星命名,狮子座流星雨 就是流星雨辐射点在狮子座中.如图,把狮子座的星座图放在 正方形网格中.若点A的坐标是(2,6),点B的坐标是(3,2),则点C 的坐标是 .
解析 依题意建立平面直角坐标系如下,故点C的坐标是(-1, 3).
13.(情境题·中华优秀传统文化)(2024河南南阳卧龙期末)剪 纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,很多剪纸作品体现了 数学中的对称美.如图,蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形,将其放 在平面直角坐标系中,如果图中点E的坐标为(2m,-n),其关于y 轴对称的点F的坐标为(3-n,-m+1),则(m-n)2 024的值为 .
解析 ∵E(2m,-n),F(3-n,-m+1)关于y轴对称,∴ 解得 ∴(m-n)2 024=(-4+5)2 024=1.
14.(2023四川攀枝花中考)如图,在正方形ABCD中,分别以四 个顶点为圆心,以边长的一半为半径画圆弧,若随机向正方形 ABCD内投一粒米(米粒大小忽略不计),则米粒落在图中阴影 部分的概率为 .
解析 设正方形的边长为2a,则4个扇形的半径为a,则米粒落 在阴影部分的概率为 = .
15.(2024四川达州通川六校联考期末)如图,E是△ABC的中 线AD上一点,CE的延长线交AB于点F,若AF=2,ED=3AE,则 AB的长为 .
解析 如图,过D点作DH∥CF交AB于H,∵EF∥DH,∴ = = ,∴FH=3AF=3×2=6,∵AD为中线,∴BD=CD,∵DH∥CF,∴ = =1,∴BH=FH=6,∴AB=AF+FH+HB=2+6+6=14.
16.(2024甘肃陇南康县期末)关于x的方程ax2+bx+c=0有两个 不相等的实数根x1,x2,若x2=2x1,则4b-9ac的最大值是 .
三、解答题(共64分)
17.[答案含评分细则](6分)计算:(1)(-1)2 023+2sin 45°-cs 30°+sin 60°+tan260°;(2)(2 +3)2 023(2 -3)2 024-4 - .
解析 (1)原式=-1+2× - + +( )2 1分=-1+ +3=2+ . 3分(2)原式=[(2 +3)(2 -3)]2 023·(2 -3)- -|1- | 4分=(8-9)2 023·(2 -3)- +1- =-(2 -3)- +1- 5分=-2 +3- +1- =4-4 . 6分
18.[答案含评分细则](新考向·新定义试题)(2024河南南阳桐 柏期末)(6分)定义:若一个三角形一边上的中线、高线与这 条边有两个交点,则这两个交点之间的距离称为这条边上的 “中高距”.如图,△ABC中,AD为BC边上的中线,AE为BC边 上的高线,则DE的长称为BC边上的“中高距”.
(1)若BC边上的“中高距”为0,试判断△ABC的形状,并说明 理由;(2)若∠B=30°,∠C=45°,AB=4,求BC边上的“中高距”.
解析 (1)等腰三角形. 1分理由:∵BC边上的“中高距”为0,∴△ABC的BC边上的中 线、高线重合,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC,∴△ABC的形状 是等腰三角形. 2分
(2)∵AD为BC边上的中线,∠B=30°,∠C=45°,AB=4,∴AE= AB=2,BE=AB·cs 30°=4× =2 , 3分∴EC=AE=2,∴BC=BE+CE=2 +2, 5分∴CD= BC= (2 +2)= +1,
∴DE=CD-CE= +1-2= -1. 6分
19.[答案含评分细则](跨学科·物理)(2024吉林长春汽开区期末)(8分)已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率 是 .(提示:在一次试验中,每个电子元件的状态有两种可能:通电、断开,并且这两种状态的可能性相等)(1)如图1,求在一定时间段内,A、B之间电流能够正常通过的 概率;(2)如图2,求在一定时间段内,C、D之间电流能够正常通过的 概率.
图1 图2
解析 (1)依题意画树状图如下, 由图可知共有4种等可能的结果,其中A、B之间电流能够正 常通过的只有1种结果,所以A、B之间电流能够正常通过的
概率为 . 5分(2)由题图可知共有4种等可能的结果,其中C、D之间的两个 元件至少有一个元件能通过电流的有3种结果,∴C、D之间 电流能够正常通过的概率为 . 8分
20.[答案含评分细则](2024广西来宾兴宾期末)(8分)如图,在 平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B (1,-2).(1)以原点O为位似中心,在y轴的左侧按2∶1放大,画出△ OAB的一个位似△OA1B1.(2)画出将△OAB向右平移3个单位,再向下平移3个单位后得 到的△O2A2B2.
(3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗?若是,请在图中标出位 似中心M,并写出点M的坐标.
解析 (1)如图所示,△OA1B1即为所求. 3分(2)如图所示,△O2A2B2即为所求. 5分 (3)如图所示,△OA1B1与△O2A2B2是位似图形,点M(2,-2)是位 似中心. 8分
21.[答案含评分细则](情境题·革命文化)(2023河南焦作十七中期末)(10分)某旅行社的一则广告如下:我社推出去延安红色旅游,收费标准如下:如果组团人数不超过30,人均收费800元;如果人数超过30,那么每增加1人,人均收费降低10元,但人均 收费不得低于500元.甲公司想分批组织员工到延安红色旅游学习.
(1)如果第一批组织40人去学习,则公司应向旅行社交费 元.(2)如果公司计划用29 250元组织第一批员工去学习,则这次 旅游学习应安排多少人参加?
解析 (1)第一批组织40人去学习,则公司应向旅行社交费40 ×[800-(40-30)×10]=28 000(元). 3分(2)设这次旅游学习应安排x人参加,∵30×800=24 000<29 250,∴x>30,根据题意得x[800-10(x-30)]=29 250, 6分整理得x2-110x+2 925=0,解得x1=45,x2=65. 8分∵800-10(x-30)≥500,∴x≤60,∴x=45,即这次旅游学习应安 排45人参加. 10分
22.[答案含评分细则](2023湖北鄂州中考)(12分)鄂州市莲花 山是国家4A级风景区,元明塔造型独特(如图1),是莲花山风 景区的核心景点,深受全国各地旅游爱好者的青睐.今年端午 节,景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动.如图2,景区工作 人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E 处,挂好后,小明进行实地测量,从元明塔底部F点沿水平方向 步行30米到达自动扶梯底端A点,在A点用仪器测得条幅下端 E的仰角为30°,接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点,测得 点A和点D的水平距离为15米,且tan∠DAB= ,然后他从D点
又沿水平方向行走了45米到达C点,在C点测得条幅上端G的 仰角为45°(图上各点均在同一个平面内,且G、C、B共 线,F、A、B共线,G、E、F共线,CD∥AB,GF⊥FB).(1)求自动扶梯AD的长度;(2)求大型条幅GE的长度.(结果保留根号) 图1 图2
解析 (1)如图,过点D作DH⊥AB,垂足为H, 1分在Rt△ADH中,AH=15米,tan∠DAB= ,∴DH=AH·tan∠DAB=15× =20(米), 2分∴AD= = =25(米),∴自动扶梯AD的长度为25米. 3分
(2)如图,过点C作CM⊥AB,垂足为M, 4分由题意得DC=HM=45米,DH=CM=20米,∵DC∥AB,∴∠DCG =∠B=45°,∴在Rt△CMB中,BM= =20(米), 6分∵AF=30米,AH=15米,∴BF=AF+AH+HM+BM=30+15+45+20 =110(米), 8分
在Rt△AFE中,∠EAF=30°,∴EF=AF·tan 30°=30× =10 (米), 10分在Rt△GFB中,GF=BF·tan 45°=110米,∴GE=GF-EF=(110- 10
)米,∴大型条幅GE的长度为(110-10 )米. 12分
23.[答案含评分细则](2023吉林长春八十九中期末)(14分)如 图1,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P 从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同 时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速 运动,运动时间为t秒,连结PQ.
(1)若三角形BPQ与三角形ABC相似,求t的值;(2)直接写出三角形BPQ是等腰三角形时t的值;(3)如图2,连结AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值.
解析 (1)∵∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,∴AB= =10 cm.由题意知BP=5t cm,QC=4t cm,∴BQ=(8-4t)cm. 1分分两种情况讨论:①当△BPQ∽△BAC时, = ,∴ = ,解得t=1; 2分②当△BPQ∽△BCA时, = ,∴ = ,解得t= ,∴t=1或 时,△BPQ与△BCA相似. 5分(2) 或 或 . 11分
提示:分三种情况讨论:①当PB=PQ时,如图1,过P作PH⊥BQ于H,则BH= BQ=(4-2t)cm,∵∠ACB=90°,∴PH∥AC,∴ = ,即 = ,解得t= ;②当PB=BQ时,5t=8-4t,解得t= ;③当BQ=PQ时,如图2,过Q作QG⊥AB于G,则BG= PB= t cm,∵∠B=∠B,∠BGQ=∠C=90°,∴△BGQ∽△BCA,∴ =
,即 = ,解得t= .综上所述,△BPQ是等腰三角形时,t的值为 或 或 . 图1 图2 图3(3)过P作PM⊥BC于点M,设AQ,CP交于点N,如图3所示,易知 △BPM∽△BAC,∴ = ,∴ = ,∴PM=3t cm,同理可得BM=4t cm,
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