（人教B版2019）高一数学上学期单元测试第2章等式与不等式能力卷含解析答案

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第2章���等式与不等式能力卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是（    ）A．y1y2 D．随x值变化而变化2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．且3．已知点在直线的图象上，则的最小值为（    ）A． B． C． D．4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（    ）A． B．C． D．5．正实数满足，则的最小值为（    ）A．1 B．2 C．4 D．86．已知且，则下列说法是正确的是（    ）A． B．C． D．7．已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（    ）A． B． C． D．8．设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是（    ）A． B．C． D．二、多选题9．下列四个不等式中，解集为的是（    ）A． B．C． D．10．已知，则下列不等式成立的是（    ）A． B． C． D．11．下列不等式一定成立的有（    ）A．B．当时，C．已知，则D．正实数满足，则12．取整函数：不超过的最大整数，如，，.以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（    ）A．， B．，，，则C．，， D．，三、填空题13．已知集合，集合，则 .14．已知不等式的解集是，则 .15．不等式的解集是 .16．已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题 .四、解答题17．求不等式的解集.18．解不等式：(1)(2)．19．已知关于的一元二次不等式.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式的解集中恰有三个整数，求实数的取值范围.20．（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；（2）已知c>a>b>0，求证：；（3）观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).21．集合，．(1)当，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围．22．已知，不等式的解集为．（1）求实数，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：1．C【分析】利用作差法比较大小.【详解】y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以y1>y2.故选:C.【点睛】本题考查比较大小，考查作差法，考查运算能力，属于基础题.2．D【解析】根据题中式子列出关于的不等式组，可得的取值范围.【详解】解：根据题意，得，解得且.故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的性质及计算，考查基础的知识及计算，属于基础题.3．C【分析】将定点的坐标代入，得出到，再利用基本不等式即可求得答案．【详解】依题意得，，且，，，当且仅当，即时取等号，因此，的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式，考查基本不等式中的妙用，考查计算能力，属于基础题．4．B【解析】分别利用每车坐3人，两车空出来求出总人数以及每车坐2人，多出9人无车坐求出总人数，列出方程可得答案．【详解】根据题意可得：每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可得人数为（2x+9）人，所以所列方程为：3（x-2）=2x+9.故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查方程的应用，列方程的一般步骤为：1.审题：分析题意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的数量关系；2.设未知数：未知数有直接与间接两种，恰当的设元有利于布列方程和解方程，以直接设未知数居多；3.根据已知条件找出等量关系布列方程或方程组；4.解方程或方程组；5.检验并写出答案．5．B【分析】化简已知得，再利用基本不等式求解.【详解】由已知得，则，当且仅当时等号成立．故选：B6．C【分析】利用举实例可判断ABD是错误的，利用构造指数函数可判断C是正确的.【详解】当时，，故A错误；当时，无意义，故B错误；当时，，故D错误；因指数函数为单调递减函数，当时，，即，故C正确.故选：C.7．B【分析】特殊化的方法，取可判断A，取，可判断C，D,可排除A,C,D，可得答案B，也可利用不等式性质证明B正确.【详解】对于A，取，该不等式成立，但不满足；对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；下面证明B法一不等式等价于，而.函数在上单增，故.法二若，则，故，矛盾.故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质，函数的单调性，反证法，属于中档题.8．D【分析】根据不等式的性质，对每个选项进行证明，对选项D，进行特值检验，即可.【详解】选项A，要证，只需证即可.由题意可知，则成立，则成立.要证，只需证由题意可知，则，又因为，所以，则，即成立故选项A成立，不符合题意.选项B，要证，只需证即可.由题意可知，则，成立.所以成立，即.要证，只需证，只需证由题意可知，则，，，.所以成立，即成立.故选项B成立，不符合题意.选项C，要证，只需证即可.由题意可知则.又因为，所以.所以成立，即.要证，只需证即可由题意可知则.又因为，所以.所以成立，即成立.故选项C成立，不符合题意.选项D，令，，则即，所以不成立，符合题意.故选：D【点睛】本题考查不等式与不等关系，属于较难题.9．BD【解析】由一元二次不等式的性质，结合各一元二次不等式的判别式、函数开口方向即可判断各选项是否为空集.【详解】A选项，，所以的解集不可能为空集；B选项，，而开口向上，所以解集为空集；C选项，的解集为，所以不为空集；D选项，当且仅当 a = 2时等号成立，而开口向下，所以为空集；故选：BD10．AD【分析】根据不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】因，则，即，A正确；因，即有，B不正确；因当时，，故C不正确；由选项A知，，则，又，于是得，即，D正确.故选：AD11．CD【分析】利用均值不等式逐一判断即可.【详解】选项A：当时显然有，A错误；选项B：，当时，，由均值定理得，当且仅当即时等号成立，所以当且仅当时取得最小值8，B错误；选项C：因为，所以，当且仅当时等号成立，又，当且仅当即时等号成立，综上，当且仅当即时等号成立，C正确；选项D：因为，由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以，D正确；故选：CD12．ABD【解析】可取特殊值判断AC，利用不等式性质及取整函数的意义推理可判断BD．【详解】时，，，故A正确；若，设，，则，，∴，，从而，B正确；取，则，，C错误；设，则，，∴或，时，，此时，，，时，，，，，，综上，D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是把新定义转化为我们已学的知识，设，则由新定义可得，这样结合不等式的性质与新定义结合易于求解．13．【分析】先由一元二次不等式的解法可得，再结合交集的运算即可得解.【详解】解不等式得，即又，则，故答案为：.14．－2【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系求解．【详解】由题意的两根是和2，且，，解得，所以．故答案为：－2．15．【分析】分式不等式转化为一元二次不等式后再求解即可.【详解】原不等式等价于，解得：或，故答案为：.【点睛】结论点睛：本题考查分式不等式，一般地，等价于，而则等价于，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.16．①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)【解析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.【详解】已知均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①，③，则，所以.故答案为：①③推出⑤【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.17．,或.【分析】因为方程的根是函数的零点,先求出的根,再根据函数图象得到的解集.【详解】对于方程则,所以方程有两个实数根.则解得,画出二次函数的图象如下图所示:结合图象可知不等式的解集为,或【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于基础题.18．(1)(2)【分析】(1)对原式因式分解化简即可解得.(2)先将最高次前的系数化为正数再因式分解即可解得.【详解】（1）原不等式等价于：解得：所以原不等式解集为：（2）原不等式等价于：即解得：或所以原不等式的解集为：19．（1）；（2）.【解析】（1）根据题意可知，关于的一元二次方程的两根分别为、，进而可求得实数的值；（2）分和两种情况讨论，解出不等式，确定不等式解集中的三个整数，进而可求得实数的取值范围.【详解】（1）由题意可知，关于的一元二次方程的两根分别为、，则，整理得，解得；（2）不等式即为.①当时，原不等式的解集为，则解集中的三个整数分别为、、，此时；②当时，原不等式的解集为，则解集中的三个整数分别为、、，此时.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集以及解集中的整数解求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3【分析】（1）（2）根据不等式的基本性质即可得证；（3）①根据已知条件结合不等式的性质即可得出结论；②，根据已知条件直接写出结论即可.【详解】证明：（1）因为，所以，又，即，所以，所以，即≤；（2）因为，所以，，所以，所以；（3）解：①成立，证明如下：∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b321．(1)；(2).【分析】（1）分别求出集合A、B，再根据并集的定义求解作答.（2）利用必要条件的意义，结合集合的包含关系求解作答.【详解】（1）依题意，，当，，所以.（2）由“”是“”的必要条件，得，当时，则，即，满足，则，当时，则，解得，所以实数m的取值范围是.22．（1），；（2）．【分析】（1）由题为已知一元二次不等式的解集，求函数解析式，可由二次不等式的解法，先找到对应的二次方程，则和为二次方程的两个根，代入可得，，函数解析式可得；（2）由题为恒成立问题，可等价转化为最值问题，即恒成立，再利用函数，，求它的最大值可得实数的取值范围．【详解】（1）因为，所以不等式即，因为不等式的解集为，所以方程的两个为和，所以．（2）方法1：由（1）知：，所以“对任意的，不等式恒成立”等价于“对任意的，不等式恒成立”，即对任意的，不等式恒成立，所以，，令，，则，所以在上为增函数，所以，所以，故实数的取值范围为．方法2：由（1）知：，所以“对任意的，不等式恒成立”等价于“对任意的，不等式恒成立”，令，，则，，因为在上为减函数，所以，所以，故实数的取值范围为．【点睛】不等式的恒成立问题，常用的方法有两种：（1）分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图象，找参数范围即可；（2）含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理，试题有一定的难度，属于中档试题．