初中数学苏科版七年级上册6.2 角精练

这是一份初中数学苏科版七年级上册6.2 角精练，共21页。

考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对线段中的动点问题的理解！
1．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB=3∠AOC．

(1)如图1所示，若∠AOB=120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数；
(2)如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC-∠AOC=∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数；
(3)如图3所示，∠AOB=x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒．
①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系；
②若∠AOB=150°，当∠POQ=23∠BOP，求t的值．
2．（2023上·广东深圳·七年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α0°<α<180°．
(1)如图2，若α=26°，则∠BOP=______，∠AOM+∠BOQ=______；
(2)若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC=β．
①△AOB旋转到图3的位置，∠BON=______．（用含β的代数式表示）
②△AOB在旋转过程中，若∠AOC=2∠AOM，则此时β=______．
3．（2023上·广东茂名·七年级统考期末）如图，∠AOB=∠EOF=90°，连接AB．
(1)用尺规作图法在射线OF上作OC=OB，在射线OE上取点D使CD=AB；
(2)连接CD，找一点P使它到四边形OBCD四个顶点的距离之和最小，并说明理由；
(3)设∠AOF=α，
①当α=42°28'时，求∠BOE的大小；
②当∠AOB绕点O旋转任意角度时，请用α表示∠AOF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．
4．（2023上·福建莆田·七年级校联考期末）已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引两条射线OC，OD，且OC平分∠AOD
(1)若∠BOD∶∠AOD=4∶6，求∠AOC的度数．
(2)请在图1中画一条射线OE，使得OE平分∠BOD，并求此时∠COE的度数．
(3)将(2)中的射线OE绕O点旋转一定的角度，使得∠BOE=4∠DOE，且∠COE=75°，求此时∠BOE的度数．
5．（2023上·江苏南京·七年级校考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM= 度；
(2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明你的理由；
(3)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？
(4)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线OC绕点O以每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，旋转30秒后都停止．在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 秒．（直接写出答案）
6．（2023上·内蒙古通辽·七年级校考期末）【阅读理解】如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1:2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”（填“是”或“不是”）；
(2)若∠AOB=120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC= ．
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），直接写出当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”？
7．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）如图，∠AOB内部有一射线OC，OC⊥OA，∠AOC与∠BOC的度数比为3:2，射线OM从OA出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线ON从OC出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线ON与射线OB重合后，立即以原速逆时针旋转，当ON与OC重合后再次改变方向顺时针向OB旋转（即ON在OC与OB之间来回摆动），当OM与OC重合时，OM与ON都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．
(1)t=1时，∠MON= °；
(2)当t为何值时，OC恰好是∠MON的平分线；
(3)在旋转的过程中，作∠CON的角平分线OP，是否存在某个时间段，使得∠MOP的度数保持不变？如果存在，求出∠MOP的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．
8．（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）已知 ∠AOB=90°,∠COD=60°，按如图①所示摆放，将OA,OC边重合在直线MN上，OB,OD边在直线MN的两侧．
(1)保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图②所示的位置，则∠AOC+∠BOD= ，∠BOC-∠AOD= ；
(2)若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转时间为t分钟．
求∠MOC-∠AOD的大小（用t的代数式表示）；
(3)保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°(n≤180°)，若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．
9．（2023上·四川成都·七年级统考期末）在同一平面内，以点O为公共顶点的∠AOB和∠POQ，满足2∠AOQ=∠BOP，则称∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”．已知∠AOB=60°（本题所涉及的角均小于平角）．
(1)如图1，若∠AOQ=45°，OQ在∠AOB内，且∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，则∠AOP= ；
(2)如图2，若射线OP、OQ同时从射线OB出发绕点O旋转，射线OP以10°/秒的速度绕点O逆时针方向旋转，到达直线BO后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线OQ以6°/秒的速度绕点O逆时针方向旋转，射线OQ到达直线BO时，射线OP、OQ同时停止运动，设运动时间t秒，当t为何值时，∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”；
(3)如图3，∠POQ保持大小不变，在直线BO上方绕点O旋转，若∠POQ是∠AOB的“二倍关联角”，设∠POQ=m°，请直接用含m的代数式表示∠BOP的大小．
10．（2023上·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校考期末）【阅读材料】：
如图1，将线段OA0放在直线MN上，然后将线段OA0绕点O按如下方式旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始先顺时针旋转锐角α至OA1；第2步，从OA1开始继续同向旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．当转到ON位置时弹回，逆时针向OM位置旋转；当转到OM位置时再弹回，继续向ON位置旋转，…如此反复．

例如：当α=20°时， OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°．
【解决问题】：
(1)当α=15°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图3所示．
①∠A2OA3= ，∠A3OA4= ；
②求出∠A5ON的度数．
(2)当α<30°时, 且∠A2OA4=20°，则α的值为 ；
(3)若在整个旋转过程中， OA4是第一次经过弹回后而得到的位置，则α的范围是 ；（请用“＞”，“＜”，“≥”，“≤”进行表示）
11．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图1，A，O，B三点在一条直线上，且∠AOC=24°，∠BOD=78°，射线OM，ON分别平分∠AOD和∠BOD．如图2，将射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转，当射线OC与射线OB重合时，∠COD停止运动．设射线OA的运动时间为t秒．

(1)运动开始前，如图1，∠DON=______°，∠AOM=______°；
(2)旋转过程中，当t为何值时，射线OD平分∠BOM?
(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON=42°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
12．（2023下·江苏扬州·七年级阶段练习）解答下列问题．

(1)【探索新知】
如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”）
②如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ= ．（用含α的代数式表示出所有可能的结果）
(2)【深入研究】
如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当与PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．
①当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”．
②若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．
13．（2023下·上海长宁·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．

(1)如图1，∠AOB=70°，∠AOC=15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD=________；
(2)如图2，已知∠AOB=120°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α0°<α<60°得∠COD，当旋转角α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角；
(3)已知∠AOB=30°，把一块含有30°角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点O以5度/秒的速度按顺时针旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
14．（2023上·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．求t的值；并判断此时ON是否平分∠AOC？说明理由；
(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由．
15．（2023上·河南郑州·七年级郑州外国语中学校联考期末）如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．例如：当α=30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；当α=20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA5恰好与OA2重合．

解决如下问题：
(1)若α=45°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是______；
(2)若α<40°，且OA3所在的射线平分∠A2ON，求出α的值；
(3)若α<35°，是否存在对应的α值使∠A2OA4=30°？若存在直接写出对应的α值，若不存在请说明理由．
16．（2023上·河南漯河·七年级统考期末）如图，∠AOB=90°,∠COD=60°．

(1)若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
(2)渃∠BOC=114∠AOD，求∠AOD的度数；
(3)若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且017．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，点O是直线MN上一点．将射线OM绕点O逆时针旋转，转速为每秒5°，得到射线OA；同时，将射线ON绕点O顺时针旋转，转速为OM转速的3倍，得到射线OB．设旋转时间为t秒（0≤t≤12）．

(1)当t=4秒时（如图1），求∠AOB的度数；
(2)当射线OA与射线OB重合时（如图2），求t的值；
(3)是否存在t值，使得射线OB平分∠AOM？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
18．（2023上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿道时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t(t的值在0到30之间，单位：秒)．

(1)当t=3时，求∠AOB的度数；
(2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；
(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°？如果存在，请直接写出t的值：如果不存在，请说明理由．
19．（2023上·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB的下方且互不重合，OD在OE的右侧，∠BOC=120°，∠DOE=α．
(1)如图1，α=80°，当OD平分∠BOC时，求∠AOE的度数；
(2)如图2，若∠DOC=2∠BOD，且α<80°，求∠BOE的度数；（用含α的代数式表示）
(3)如图3，点M在射线OA上，把射线OM绕点O从OA开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线ON是∠MOC的四等分线，且3∠CON=∠MON，请求出在运动过程中4∠AON+∠BOM的值．
20．（2023上·江苏泰州·七年级校考期末）已知∠AOB=2∠COD=140°，OE平分∠AOD．
(1)如图①，若∠COE=10°，求∠AOC的度数；
(2)将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．
21．（2023上·安徽黄山·七年级统考期末）如图1，把一副三角板拼在一起，边OA、OC与直线EF重合，其中∠AOB=45°，∠COD=60°．此时易得∠BOD=75°．
(1)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角尺AOB运动时间为t秒．
①当t=2时，∠BOD= °；
②求当t为何值时，使得∠AOE=2∠BOD；
(2)如图3，在（1）的条件下，若OM平分∠BOE，ON平分∠AOD．
①当∠AOE=20°时，∠MON= °；
②请问在三角板AOB的旋转过程中，∠MON的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出∠MON的度数．
22．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC:∠BOC=1:3，将一直角三角板的直角顶点放在点О处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．
(1)∠BOC=___________度；
(2)将图1中的三角板绕点О按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为___________度；
(3)在（2）旋转过程中，当旋转至图3的位置时，使得OM在∠BOC的内部，ON落在直线AB下方，试写出∠COM与∠BON之间的数量关系，并说明理由．
23．（2023上·广东广州·七年级统考期末）如图1，已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OB上的点，线段OM，ON同时开始旋转，线段OM以30度/秒的速度绕点O顺时针旋转，线段ON以10度/秒的速度绕点O逆时针旋转，当OM旋转到与OB重合时，线段OM，ON都停止旋转．设OM旋转的时间为t秒．
(1)若∠AOB=150°，则
①填空：当t=1时，∠MON=______；当t=4时，∠MON=______．
②若OC是∠AOB的平分线，当t为何值时，∠NOB与∠COM中的一个角是另一个角的2倍？
(2)如图2，若OM，ON分别在∠AOC，∠COB内部旋转时，总有∠COM=3∠CON，请填空：∠BOC∠AOB=______．
24．（2023上·广东珠海·七年级统考期末）如图1，把一副直角三角板的直角边BO和DO分别放在直线MN上，两个三角板分别在直线MN两侧，∠AOB=90°，∠COD=30°．
(1)在图1中，∠AOC=___________，∠BOC=___________；
(2)如图2，OE为射线，将三角板AOB绕点O旋转，使△AOB的一边OB恰好平分∠NOE．问：此时OA是否平分∠DOE？请说明理由；
(3)将图2中的三角板AOB绕点O旋转至图3的位置，使OA在∠DOC的内部．
①求∠COB+∠DOA的度数；
②求∠BOD-∠AOC的度数．
25．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知∠AOB=108°，∠COD=42°．OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)如图1，当OB，OC重合时，求∠AOE-∠BOF的值；
(2)如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒时（0(3)在（2）的条件下，当∠COF=18°时，求t的值．
26．（2023上·河北张家口·七年级统考期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE=140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒20°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC的度数；
(2)若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；
(3)若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒25°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
27．（2023上·江西新余·七年级统考期末）[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT=2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．
[迁移运用]
(1)如图1，射线PT_____（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；射线PS_____（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB=40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．
28．（2023上·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，已知点O为直线AB上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板的一边ON与射线OB重合，过点O在三角板的内部，作射线OC，使∠BOC:∠MOC=2:1，则∠BOC=______．
(2)由（1）中的结论，如图2，将三角板绕点O按每秒10∘的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，ON所在的直线恰好平分锐角∠BOC，求此时t的值；
(3)将如图1所示的三角板MON绕点O逆时针旋转a0∘29．（2023上·山东济南·七年级校考期末）已知直线AB过点O，∠COD=90°，OE是∠BOC的平分线．
(1)操作发现：①如图 1，若∠AOC=40°，则∠DOE= °．
②如图1，若∠AOC=50°，则∠DOE= °．
③如图1，若∠AOC=α，则∠DOE= ．（用含α的代数式表示）
(2)操作探究：将图 1 中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．
(3)如图3，已知∠COD=60°，边OC、边OD分别绕着点O以每秒10°、每秒5°的速度顺时针旋转（当其中一边与OB重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，∠COD=20°
30．（2023上·江苏苏州·七年级校考期末）定义：从一个角的顶点出发把这个角分成1:2的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，∠BOC=2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．
(1)如图②，已知∠AOB=75°，OC、OD是∠AOB的两条三等分线，则∠COD的度数为 ；
(2)在（1）的条件下，若以点O为旋转中心将射线OD顺时针旋转n°(0①当OA恰好为∠COD'的三等分线时，求n的值；
②在旋转过程中，若∠COD'+∠AOD'>35°，求n的取值范围．
31．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
(1)如图1，若∠AOD=35°，求∠BOC的度数；
(2)如图（1），求∠BOD+∠AOC的度数；
(3)如图（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
32．（2023上·广西钦州·七年级统考期末）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)如图①，若∠AOB=120°，当OM、ON逆时针旋转到OM'、ON'处，
①若OM，ON旋转时间t=3时，则∠BON'+∠COM'= ___________ ；
②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的值；
(2)如图②，若∠AOB=3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．
(3)若∠AOC=70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON=20°，求t的值．
33．（2023上·天津·七年级天津外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
(1)求∠DPC；
(2)如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC的边PA从PN绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD,PE平分∠CPD，求∠EPF．
(3)如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），求∠CPD∠BPN的值．
(4)如图③，在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，直接写出旋转的时间．
34．（2023上·河北石家庄·七年级统考期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
(1)如图1，∠AOB=70°，∠AOC=25°，若∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD= °；
(2)如图2，已知∠AOB=60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0<α<60°）至∠COD．若∠COB是∠AOD的内半角，求α的值；
(3)把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置．使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图4，将三角板COD绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，直接写出t的值．
35．（2023上·贵州铜仁·七年级统考期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器180°刻度线重合，边AP与量角器0°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与180°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．
(1)当t=5时，∠BPD=__________°；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
36．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）如图，已知∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=2∠AOD．
(1)求∠BOC的度数；
(2)若射线OA绕点O以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒0(3)若∠AOC绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠BOD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒037．（2023上·浙江宁波·七年级统考期末）如图1, 已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度按顺时针方向向射线OB旋转；与此同时， 射线OQ以每秒4°的速度，从OB位置出发按逆时针方向向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线OP与射线OB 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）．
(1)当t=5时， 求∠POQ的度数；
(2)当OP与OQ重合时，求t的值；
(3)如图2，在旋转过程中， 若射线OC始终平分∠AOQ ，问：是否存在t的值， 使得 ∠POQ=∠COQ? 若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
38．（2023上·重庆·七年级重庆八中校考期末）一副三角板按如图1所示放置，边OA,OC在直线MN上，∠AOB=60°,∠COD=45°．
(1)求图1中∠BOD的度数；
(2)如图2，将三角板AOB绕点O顺时针旋转，转速为5°/s，同时将三角板COD绕点O逆时针旋转，转速为10°/s，当OA旋转到射线ON上时，两三角板都停止转动．设转动时间为ts．
①在0②如图3，旋转过程中，作∠BOD的角平分线OE，当∠AOE=15°时．直接写出时间t的值．
39．（2023上·广东佛山·七年级统考期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．
①t的值是_________；
②此时ON是否平分∠AOC？说明理由；
(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；
(3)在（2）的基础上，经过多长时间，∠BOC=10°？请画图并说明理由．
40．（2023上·福建厦门·七年级厦门一中校考期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，∠AOB=α，∠BOC=β．（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当α=40°，β=70°时，∠COM=______，∠CON=______，∠MON=______；
②∠MON=______（用含有α或β的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有α或β的代数式表示）
(3)如图（4），当α=40°，β=70°时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？