苏科版九年级下册6.7用相似三角形解决问题课后练习题

这是一份苏科版九年级下册6.7用相似三角形解决问题课后练习题，共35页。试卷主要包含了单选，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 .如图，夜晚，小亮从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间的函数关系的图象大致为（ ）．
A.
B.
C.
D.
2 .如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）．
A.米
B.米
C.米
D.米
3 .已知小明同学身高米，经太阳光照射，在地面的影长为米，若此时测得一塔在同一地面的影长为米，则塔高应为（ ）．
A.米
B.米
C.米
D.米
4 .如图，在中，，，，、的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ）．
A.
B.
C.
D.
5 .如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为米，继续往前走米到达处时，测得影子的长为米，已知王华的身高是米，那么路灯的高度等于( )
A.米
B.米
C.米
D.米
二、填空
1 .如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中的图形的高度为，则屏幕上图形的高度为 ．
2 .为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为米，树的底部与平面镜的水平距离为米，若小文的眼睛与地面的距离为米，则树的高度约为 米（注：反射角等于入射角）．
3 .如图，、两地间有一池塘阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、的中点、．若的长度为，则、两地的距离为 ．
4 .为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高的小明在阳光下的影长是，在同一时刻测得这棵大树的影长是，则此树的高度是 ．
5 .如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是 ．
6 .如图，中，，，，点从点出发，在边上以的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在边上以的速度向点运动，过的中点作的垂线，则当点运动了 时，以点为圆心，为半径的圆与直线相切．
7 .我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走步到 处正好看到处的树木，则正方形城池的边长为 步．
8 .如图，在中，，是上的一点（不与点、重合），，交于点，则的最大值为 ．
三、解答题
1 .如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，．若测得，，，楼高是多少？
2 .如图，中，．
( 1 )用直尺和圆规在的内部作射线，使（不要求写作法，保留作图痕迹）．
( 2 )若（）中的射线交于点，，，求的长．
3 .如图，水坝的横截面是梯形，，坝顶，背水坡的坡度（即）为，坝底．
( 1 )求坝高．
( 2 )如图，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得，，求的长．（参考数据：，，）
4 .如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，轴于点，点与点关于原点对称，轴于点，的面积为．
( 1 )求，的值．
( 2 )若直线经过点，且与轴，轴的交点分别为点，，当时，求点的坐标．
5 .某兴趣小组开展课外活动．如图，，两地相距米，小明从点出发沿方向匀速前进，秒后到达点，此时他（）在某一灯光下的影长为，继续按原速行走秒到达点，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为米，然后他将速度提高到原来的倍，再行走秒到达点，此时他（）在同一灯光下的影长为（点，，在一条直线上）．
( 1 )请在图中画出光源点的位置，并画出他位于点时在这个灯光下的影长（不写画法）．
( 2 )求小明原来的速度．
6 .有一只拉杆式旅行箱（图），其侧面示意图如图所示，已知箱体长 ，拉杆的伸长距离最大时可达，点、、在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒，与水平地面切于点，在拉杆伸长至最大的情况下，当点距离水平地面 时，点到水平面的距离为．设．

( 1 )求 的半径长．
( 2 )当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在端拉旅行箱时，为，．求此时拉杆的伸长距离．
（精确到 ，参考数据： ， ， ）
7 .在一个三角形中，若一条边等于另一条边的两倍，则称这种三角形为“倍边三角形”．
( 1 )下列三角形是倍边三角形的是（ ）．
A.顶角为的等腰三角形
B.底角为的等腰三角形
C.有一个角为的直角三角形
D.有一个角为的直角三角形
( 2 )如图①，在中，，延长到，使，是的中点．求证：是倍边三角形．
( 3 )如图②，中，，，，若点在边上（点不与、重合），且是倍边三角形，求的长．
8 .已知，，轴于点，连接．
( 1 )画图操作：在正半轴上求作点，使得．（尺规作图，保留作图痕迹）
( 2 )理解应用：在（1）的条件下，
① 若，求点的坐标．
② 当点的坐标为 时，最大．
( 3 )拓展延伸：若在直线上存在点，使得最大，求点的坐标．
9 .如图，已知平行四边形 的三个顶点 、 、 ，平行四边形关于直线 的对称图形．
( 1 )若 ，试求四边形 面积的最大值．
( 2 )若点 恰好落在 轴上，试求的值．
10 .如图①，矩形中，，，点是边上一定点，且．
( 1 )当时，上存在点，使与相似，求的长度．
( 2 )如图②，当时，用直尺和圆规在上作出所有使与相似的点．
（不写作法，保留作图痕迹）
( 3 )对于每一个确定的值，边上存在几个点，使得与相似？
6.7 用相似三角形解决问题练习
一、单选
1 .如图，夜晚，小亮从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间的函数关系的图象大致为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 设身高，，，
当时，
在和中，
（公共角），，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵、、都是固定的常数，
∴自变量的系数是固定值，
∴这个函数图象肯定是一次函数图象，即是直线；
∵影长将随着离灯光越来越近而越来越短，到灯下的时候，将是一个点，进而随着离灯光的越来越远影长将变大．
故选．
2 .如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）．
A.米
B.米
C.米
D.米
【答案】 B
【解析】 由题意知：光线与光线，，
∴，
∴，
∴（米）．
故选．
3 .已知小明同学身高米，经太阳光照射，在地面的影长为米，若此时测得一塔在同一地面的影长为米，则塔高应为（ ）．
A.米
B.米
C.米
D.米
【答案】 C
【解析】 根据相同时刻的物高与影长成比例，
设旗杆的高度为，
则，
得米．
故选．
4 .如图，在中，，，，、的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 如图，延长交于点，作于点，作于点，
∵、，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵平分、平分，
∴，，
∴四边形是正方形，
在和中，
∵，
∴≌，
∴，
同理≌，
∴，
设，则、，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
则．
5 .如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为米，继续往前走米到达处时，测得影子的长为米，已知王华的身高是米，那么路灯的高度等于( )
A.米
B.米
C.米
D.米
【答案】 B
【解析】 解：如图，，，
，
（两个角对应相等的两个三角形相似），
，
设，则，
同理，得，
，
，
，
米．
故选：．
二、填空
1 .如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中的图形的高度为，则屏幕上图形的高度为 ．
【答案】
【解析】 ∵，
∴
∴
设屏幕上的小树高是，
则
解得．故答案为：．
2 .为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为米，树的底部与平面镜的水平距离为米，若小文的眼睛与地面的距离为米，则树的高度约为 米（注：反射角等于入射角）．
【答案】
【解析】 由题知：，
∴．
∵，，，
∴米．
3 .如图，、两地间有一池塘阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、的中点、．若的长度为，则、两地的距离为 ．
【答案】
【解析】 ∵、分别是、的中点，，
∴．
4 .为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高的小明在阳光下的影长是，在同一时刻测得这棵大树的影长是，则此树的高度是 ．
【答案】
【解析】 如图，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
5 .如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是 ．
【答案】
【解析】 抓住相似模型．
，
∴
设，，
∴
在中，
,，
∴，
正方形的面积为．
6 .如图，中，，，，点从点出发，在边上以的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在边上以的速度向点运动，过的中点作的垂线，则当点运动了 时，以点为圆心，为半径的圆与直线相切．
【答案】
【解析】 当以点为圆心， 为半径的圆与直线相切时，此时，，
∵，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
由勾股定理可知：，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
故答案为：．
7 .我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走步到 处正好看到处的树木，则正方形城池的边长为 步．
【答案】
【解析】 设正方形城池的边长为步，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
即正方形城池的边长为步．
故答案为．
8 .如图，在中，，是上的一点（不与点、重合），，交于点，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】 设，，
∵，，
∴，
∴①，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的边上的高和的边上的高相等，
∴②，
①÷②得：
∴，
∵，
∴的取值范围是，
∴，
∴的最大值为．
三、解答题
1 .如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，．若测得，，，楼高是多少？
【答案】 ．
【解析】 ∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴楼高是．
2 .如图，中，．
( 1 )用直尺和圆规在的内部作射线，使（不要求写作法，保留作图痕迹）．
( 2 )若（）中的射线交于点，，，求的长．
【答案】 (1)画图见解析．
(2)．
【解析】 (1)如图所示，射线即为所求．
(2)∵，，
∴，
∴，即，
∴．
3 .如图，水坝的横截面是梯形，，坝顶，背水坡的坡度（即）为，坝底．
( 1 )求坝高．
( 2 )如图，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得，，求的长．（参考数据：，，）
【答案】 (1)．
(2)．
【解析】 (1)作于，于．
由题意：，设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：坝高为．
(2)作于．设，设，则，，，
由，可得，
即，
解得或（舍弃），
∴，
答：的长为．
4 .如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，轴于点，点与点关于原点对称，轴于点，的面积为．
( 1 )求，的值．
( 2 )若直线经过点，且与轴，轴的交点分别为点，，当时，求点的坐标．
【答案】 (1)，．
(2)，．
【解析】 (1)如图．
∵点的坐标为，点与点关于原点对称，
∴点的坐标为，
∵轴于点，轴于点，
∴，两点的坐标分别为，，
∵的面积为，，
∴，
解得，
∵函数的图象经过点，
∴．
(2)由（）得点的坐标为，
①如图，当时，设直线与
轴，轴的交点分别为，，
由轴于点可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
②如图，当时，设直线与轴，轴的交点分别为，，
同理可得，，
∵，
∴为线段的中点，，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为，．
5 .某兴趣小组开展课外活动．如图，，两地相距米，小明从点出发沿方向匀速前进，秒后到达点，此时他（）在某一灯光下的影长为，继续按原速行走秒到达点，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为米，然后他将速度提高到原来的倍，再行走秒到达点，此时他（）在同一灯光下的影长为（点，，在一条直线上）．
( 1 )请在图中画出光源点的位置，并画出他位于点时在这个灯光下的影长（不写画法）．
( 2 )求小明原来的速度．
【答案】 (1)画图见解析．
(2)小明原来的速度为．
【解析】 (1)如图，点为光源，为影长．
(2)∵点、、在一条直线上，，
∴，，
∴，，
则，
设小明原来的速度为，
则，
解得：．
经检验是方程的根．
答：小明原来的速度为．
6 .有一只拉杆式旅行箱（图），其侧面示意图如图所示，已知箱体长 ，拉杆的伸长距离最大时可达，点、、在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒，与水平地面切于点，在拉杆伸长至最大的情况下，当点距离水平地面 时，点到水平面的距离为．设．

( 1 )求 的半径长．
( 2 )当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在端拉旅行箱时，为，．求此时拉杆的伸长距离．
（精确到 ，参考数据： ， ， ）
【答案】 (1)．
(2) ．
【解析】 (1)作 于点，交于点．
则，．
设圆形滚轮的半径的长是．
则 ，即 ，
解得：．
则圆形滚轮的半径的长是．

(2)在 中， ．
则，
∴，
∴ ．
7 .在一个三角形中，若一条边等于另一条边的两倍，则称这种三角形为“倍边三角形”．
( 1 )下列三角形是倍边三角形的是（ ）．
A.顶角为的等腰三角形
B.底角为的等腰三角形
C.有一个角为的直角三角形
D.有一个角为的直角三角形
( 2 )如图①，在中，，延长到，使，是的中点．求证：是倍边三角形．
( 3 )如图②，中，，，，若点在边上（点不与、重合），且是倍边三角形，求的长．
【答案】 (1)C
(2)证明见解析．
(3)或或或．
【解析】 (1)顶角为的等腰三角形和底角为的等腰三角形的底与腰的关系无法确定，所以、不正确；
在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，∴正确；
有一个角为的直角三角形斜边等于直角边的倍，不正确．
故选：．
(2)∵，
∴，即，
∵是的中点，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是倍边三角形．
(3)当时；
当时，如图①，
，作于，
，
设，则，，
∴，．
在中，
∵，，
∴，
∴．
当时，如图②，作于，
，
设，则，，
∴，，
∵，
∴．
解得，．
同理，当时，
，．
综上所述，或或或．
8 .已知，，轴于点，连接．
( 1 )画图操作：在正半轴上求作点，使得．（尺规作图，保留作图痕迹）
( 2 )理解应用：在（1）的条件下，
① 若，求点的坐标．
② 当点的坐标为 时，最大．
( 3 )拓展延伸：若在直线上存在点，使得最大，求点的坐标．
【答案】 (1)见解析．
(2)①．
②
(3)．
【解析】 (1)如图所示；
(2)①如图中，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴的中点，
以为圆心为半径画圆，交轴于和，
易知，．
②当⊙与轴相切时，的值最大，
此时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
(3)如图中，当经过的园与直线相切时，最大．
∵直线交轴于，交轴于，
∵是切线，
∴，
∴，
作于．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
9 .如图，已知平行四边形 的三个顶点 、 、 ，平行四边形关于直线 的对称图形．
( 1 )若 ，试求四边形 面积的最大值．
( 2 )若点 恰好落在 轴上，试求的值．
【答案】 (1)．
(2)．
【解析】 (1)如图，∵平行四边形关于直线对称，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形 、 是平行四边形，
∴，
∴．
∵ 、 、、 ，
∴，
，
∴，
∴．
∵，
∴当时，最大值为 ．
(2)当点 恰好落在 轴上，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴ ，
由轴对称的性质可得：，
在中，，
整理得，，
∵，
∴，
∴．
10 .如图①，矩形中，，，点是边上一定点，且．
( 1 )当时，上存在点，使与相似，求的长度．
( 2 )如图②，当时，用直尺和圆规在上作出所有使与相似的点．
（不写作法，保留作图痕迹）
( 3 )对于每一个确定的值，边上存在几个点，使得与相似？
【答案】 (1)或．
(2)画图见解析．
(3)①当且时，有个点；
②当或时，有个点；
③当时，有个点．
【解析】 (1)存在．设，
①当时，
，
，
．
解得，．
∴或．
②当时，
，
，
解得．
(2)
如图，、和即为所求．
(3)，，
①当，
，
，
解得：．
②当，
，
，
，
．
若，无点；
若，有个点；
若，有个点．
而当时，①②两种情况会有重合的点．
综上：①当且时，有个点；
②当或时，有个点；
③当时，有个点．