2024年中考数学复习专项训练---10 几何图形的折叠、旋转及动点问题（菁讲）

这是一份2024年中考数学复习专项训练---10 几何图形的折叠、旋转及动点问题（菁讲），共56页。


热点突破
热点1 折叠问题
【例1】 （2024•靖宇县校级一模）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为 ．
【答案】．
【分析】根据折叠得到，根据得到，结合三角形内角和定理即可得到答案．
【解答】解：沿直线折叠后，点落到点处，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【例2】 （2024•沈阳模拟）如图，矩形中，，，是边上一点，且，是边上一动点，作，交边于点，将沿着所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为 ．
【答案】4或．
【分析】设，则，过作于，则．先利用，即可得出；再利用△，即可得出；在中，利用勾股定理列方程求解即可得到的值，进而得出结论．
【解答】解：设，则，
如图所示，过作于，则，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，即，
，
由折叠可得，，，，
，
，
，
又，
△，
，即，
，
，
中，，
，
解得或，
或．
故答案为：4或．
【例3】 （2024•铁东区校级模拟）如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于 ．
【答案】14．
【分析】根据矩形及折叠的性质可知，，，则，设，则．，利用勾股定理可得：，即：，求出即可求得的长度．
【解答】解：四边形是矩形，．
，，，，
，
由折叠可知，，，
，
，
设，则，．
则由勾股定理可得：，
即：，解得：．
则．
故答案为：8．
【例4】 （2024•皇姑区模拟）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则线段的长等于 ．
【答案】．
【分析】由四边形是菱形和折叠可求，过点作于点，从而把转化为两个直角三角形，进而解决问题．
【解答】解：过点作于点，
四边形是菱形，
，，
，
由折叠可知：，
，
在中，，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【例5】 （2024•朝阳区模拟）如图，在矩形中，，．将此矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积为 ．
【答案】．
【分析】作于点，设交于点，延长交于点，由矩形的性质得，，则，由，求得，因为垂直平分，所以，再证明四边形是矩形，则，由，求得，，则，，所以，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：作于点，设交于点，延长交于点，
四边形是矩形，，，
，，
，
，
解得，
由折叠得点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，
垂直平分，垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：．
热点2 旋转问题
【例1】 （2024•汉川市模拟）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值为 ．
【答案】2.5．
【分析】连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到△，可得，，由为的中点，知，求出，即可得当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时．
【解答】解：连接，如图：
将绕顶点顺时针旋转得到△，
，，
为的中点，
，
，为中点，
，
在中，，
当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时，
如图：
的最小值为，
故答案为：2.5．
【例2】 （2024•河南模拟）如图，在矩形中，，，取的中点，将线段绕点旋转得到线段，在旋转过程中，当时， ．
【答案】或．
【分析】由旋转可得，又，可得．分两种情况讨论：①若点在矩形的内部，过点作于点，根据矩形的性质可求得，从而在△中，通过解直角三角形得到，进而得到，因此根据勾股定理在△中，即可求解．②若点在矩形的外部，同①即可求解．
【解答】解：点是的中点，
，
由旋转可得
，
，
，，
，
，
①如图，若点在矩形的内部，
在矩形中，，
，
过点作于点，
，
，
，
，
，
在△中，．
②如图，若点在矩形的外部，
过点作于点，
，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
在△中，．
综上所述，或．
【例3】 （2024•昔阳县一模）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是 ．
【分析】过点和作轴和轴于点、，根据题意可得，进而可得点的对应点的坐标．
【解答】解：如图，过点和作轴和轴于点、，
，
，，
，，
，
，
将绕点逆时针旋转，点的对应点，
，，
坐标为：，．
故答案为：，．
【例4】 （2024•西华县一模）如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段与的数量关系是 ，的度数为 ；
（2）探究证明
把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1），；
（2）的形状是等边三角形，理由见解析；
（3）．
【分析】（1）易证是的中位线，是的中位线，得出，，，，再求出，得出，然后由平行线的性质得出，，最后由三角形内角和定理即可得出结果；
（2）由旋转的性质得，先证，得出，，同（1）得是的中位线，是的中位线，推出，，，则是等腰三角形，再证，则是等边三角形；
（3）由（2）知是等边三角形，，得出最大时，面积最大，推出点在的延长线上，最大，此时的面积最大，求出最大时的长，得出的最大时长，然后由等边三角形面积公式即可得出结果．
【解答】解：（1）点、是、的中点，
是的中位线，
，，
点、是、的中点，
是的中位线，
，，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）的形状是等边三角形，理由如下：
由旋转的性质得：，
在和中，
，
，
，，
同（1）得：是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是等边三角形；
（3）由（2）知，是等边三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，最大，此时的面积最大，
此时，，
，
．
【例5】 （2024•鞍山模拟）问题提出
已知是等边三角形，将等边三角形，，三点按逆时针排列）绕顶点旋转，且平移线段使点与顶点重合，得到线段，连接，，．
观察发现
（1）如图1，当点在线段上，猜想的形状 ；
探究迁移
（2）如图2，当点不在线段上，（1）中猜想的结论是否依然成立，请说明理由；
拓展应用
（3）若，，在绕着点旋转的过程中，当时，求线段的长．
【答案】（1）等边三角形；
（2）当点不在线段上，（1）中的结论依然成立，理由见解答过程；
（3）的值为或．
【分析】（1）由，是等边三角形，可得，，故是等边三角形；
（2）延长交于，由，是等边三角形，得，，，而平移线段使点与顶点重合，得到线段，有，，故，，从而，即得，知，，即可得是等边三角形；
（3）设直线交于，分两种情况：①当在下方时，求出，由勾股定理可得，设，，可得，解得（负值已舍去），，故；当在上方时，同理可得．
【解答】解：（1）点在线段上时，
，是等边三角形，
，，
是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）当点不在线段上，（1）中的结论依然成立，理由如下：
延长交于，如图：
，是等边三角形，
，，，
平移线段使点与顶点重合，得到线段，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
，
，
是等边三角形；
（3）设直线交于，分两种情况：
①当在下方时，如图：
由（2）可知是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
平移线段使点与顶点重合，得到线段，
，
而，
，
；
设，，
，，
，
，
①②得：，
③，
把③代入①得：，
解得（负值已舍去），
，
，
，
；
当在上方时，如图：
同理可得，
，
设，，
，，
，
解得（负值已舍去），
；
综上所述，的值为或．
热点3 动点问题
【例1】 （2024•安徽一模）如图，正方形约边长为4，点，分别是，上的动点，且，将沿翻折，得到，连接．
（1）线段与的长度关系是 ；
（2）当点运动到的中点时，的长为 ．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据正方形的性质可得，从而证明，即可求解；
（2）根据折叠的性质得出，进而得出，即可求解．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：．
（2）当点运动到的中点时，如图，过点作于点，
，
，
折叠，
，，
，
，
，，
又，
，
，
，
设，则
故答案为：．
【例2】 （2024•秦都区校级模拟）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，是边上的一动点，连接，为的中点，则的最小值为 ．
【答案】．
【分析】取的中点连接，，，，证明出点就是与的交点，四边形是平行四边形，四边形是正方形，利用将军饮马模型得到是的最小值，再在中，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：取的中点连接，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
与的交点就是的中点，
连接，
，，，，
四边形是正方形，
，关于对称，
连接，，
则，
，
即的最小值为的长，
在中，
，，
由勾股定理，得，
故答案为：．
【例3】 （2024•南京模拟）如图，中，，，，点为上一个动点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，当点落在内部上时，的取值范围为 ．
【答案】．
【分析】当点落在上时，则，此时，则；当点落在上时，作于点，则，，因为，所以，则，所以，可求得，则，所以当点落在内部上时，，于是得到问题的答案．
【解答】解：当点落在上时，如图1，
点与点关于对称，
垂直平分，
，
，，
，
；
当点落在上时，如图2，作于点，则，
，
，
，
由折叠得，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
当点落在内部上时，的取值范围为．
【例4】 （2024•秦淮区校级模拟）如图，菱形中，，，点是直线上一动点，点在直线上，若，则的最小值是 ．
【答案】．
【分析】连接，作的外接圆，连接，，，．利用相似三角形的性质判断出，得出点的运动轨迹，可得结论．
【解答】解：连接，作的外接圆，连接，，，．
四边形是菱形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在上运动，
，，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【例5】 （2024•锦江区校级模拟）如图1，已知正方形的边长为4，点是射线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得，将沿翻折得，连接．
（1）求证：；
（2）在点运动过程中，△的面积是否发生变化？若不变，请求出△的面积；若变化，请说明理由；
（3）如图2，点，分别为，的中点，连接，，．当时，求的面积．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）△ 的面积不变化；
（3）或．
【分析】（1）可推出，，，从而得出结论；
（2）作于，可证明△，从而得出，进一步得出结果；
（3）当点在上时，，分别求出，，，的面积，作于，作交的延长线于，作于，可求得和的长，从而得出的面积，可求得△和△的面积，从而求得四边形的面积，根据是△的中位线，可求得的△的面积，从而求得四边形的面积，可求得的长，进而求得△的面积，进一步得出结果，当点在的延长线上时，，由低至情形得出，，可求得，进而得出，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
绕点顺时针旋转得，
，
，
沿翻折得，
，
；
（2）解：如图1，
△的面积不变化，理由如下
作于，
，
绕点顺时针旋转得，
，
由（1）知：，
△，
，
沿翻折得，
，
；
△的面积不变化；
（3）如图2，
当点在上时，
作于，作交的延长线于，作于，
由（2）知：，△，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，分别是和的中点，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
如图3，
当点在的延长线上时，
由上知：，，
，
△，
，
，
综上所述：或．
热点考题
一、填空题（共4小题）
1．（2024•碑林区校级模拟）如图，线段，点为线段延长线上一点，将线段绕点旋转得到线段，连接，为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】．
【分析】连接，取的中点，作射线，作于点，由旋转得，，则，求得，由三角形的中位线定理得，则，可知点在经过的中点且与直线的夹角等于的直线上运动，由，且，得，则线段的最小值为，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接，取的中点，作射线，作于点，则，
将线段绕点旋转得到线段，
，，
，
，
，
为的中点，为的中点，
，
，
点在经过的中点且与直线的夹角等于的直线上运动，
，且，
，
线段的最小值为，
故答案为：．
2．（2024•鸠江区一模）如图，在中，，，，点为上一点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．
（1）当点是的中点时，的最小值为 ；
（2）当，且点在直线上时，的长为 ．
【答案】或．
【分析】（1）根据勾股定理得到长，当点在上时，最小，计算即可；
（2）现根据三角形的面积求出长，然后利用勾勾股定理求出长，分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）当点是的中点时，如图所示，以为圆心，以长为半径作圆，交于点，则为最小值，
，，，
，
又是的中点，
，
又，
，
故答案为：；
（2）如图：
，
，
，
，
点、、在同一条直线上，由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上，
在中，，
；
当点在的延长线上，在中，，
，
综上所述：当时，的长为或，
故答案为：或．
3．（2024•光明区校级一模）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为 ．
【答案】．
【分析】设，连接，，则，由四边形是矩形，点为中点，得，，，，所以，由折叠得，，，，所以，，，则，再证明△，得，，可证明，则，所以，，则，由勾股定理得，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：设，连接，，
，
，
四边形是矩形，点为中点，
，，，，
，
由折叠得，，，，
，，，
，
，，，
△，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
4．（2024•随州一模）如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为 ．
【答案】．
【分析】过点作于点，连接，设，，由，得到，由中点性质得到，由矩形性质得到，，，，可判定四边形和为矩形，得到，，由折叠性质得到，，，，，推出，根据的延长线过点，推出，根据，得到△，得到，，推出，，由，得到，推出，，在中，根据勾股定理得到，，解得，推出，得到．
【解答】解：设，，
，
，
是中点，
，
过点作于点，连接，则，
四边形为矩形，
，，，
四边形和四边形为矩形，
，，
由折叠知，，，，，
，
的延长线过点，
，
，
又，
△，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
即，
，
．
故答案为：．
二、解答题（共2小题）
5．（2023•延庆区一模）如图，在中，，，是边上的高，点是边上的一动点（不与点，重合），连接交于点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，当是的角平分线时，
①求证：；
②直接写出 45 ．
（2）依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①证明见解析；②45；
（2）图形见解析，，证明见解析．
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得，，再由三角形的外角性质得，即可得出结论；
②过点作于点，交的延长线于点，证是等腰直角三角形，得，，再证，即可得出结论；
（2）过点作于点，交的延长线于点，证是等腰直角三角形，得，，，再证，得，即可解决问题．
【解答】（1）①证明：在中，，，
，
是边上的高，
，
，
是的角平分线，
，
，，
，
．
②解：如图1，过点作于点，交的延长线于点，
则，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
由旋转的性质得：，，
．
，
，
，
故答案为：45；
（2）解：依题意补全图2，，证明如下：
过点作于点，交的延长线于点，
则，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，
由旋转的性质得：，，
．
，
，
，
，
，
．
6．（2023•南关区校级二模）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向点运动，到达点停止．过点作于点，作点关于的对称点，连结．将线段绕点逆时针旋转得到线段，设点的运动的时间为（秒．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）点落在内部时，求的取值范围；
（3）当到直线的距离为1时，求的值；
（4）取的中点，当点落在的中位线所在直线上时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或；
（4）或．
【分析】（1）由对称的性质可知，进而得出结论；
（2）找到临界点，当点正好落在上时，画出图形，过点作于点，再根据相似和全等得出的长，建立方程即可得出结论；
（3）分两种情况：当点在内部时，当点在外部时，作出图形，求解即可；
（4）分三种情况，画出图形，分别求解即可得出结论．
【解答】解：（1）由点的运动可知，
点关于的对称点，
；
（2）在中，，，，
，
当点正好落在上时，过点作于点，如图1，
，
由旋转可知，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
，解得；
点落在内部时，的取值范围；
（3）分两种情况：
①当点在内部时，如图，过点作于点，交于点，
，，
，即，
解得，
，
解得；
当点在外部时，如图，过点作于点，交于点，
，，
，即，
解得，
，
解得；
综上，当到直线的距离为1时，的值为或；
（4）点是的中点，过点作于点，
则，，，
；
分三种情况：
①取的中点，的中点，连接，过点作于点，交于点，过点作于点，如图，
由题可知，点是的中点，
，
，
，，
，；
，，
，；
由旋转可知，，，
，
，
，
，
，
解得；
②取的中点，的中点，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，如图，
四边形是矩形；
，
由①可知，，，
，，
，
解得；
③取的中点，的中点，作直线，过点作于点，过点作于点，如图，
四边形是矩形，
，
，，
，
；
综上，当点落在的中位线所在直线上时，的值为或
专题热度
★★★★★
命题热点
1．折叠问题
2．旋转问题
3．动点问题
热门方法
对称法、方程法、数形结合思想
热点题型
填空题、解答题
名师点拨
1．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3．在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
名师点拨
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向；③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
名师点拨
“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形函数图象等图形，通过“对称、动点的运动"等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程．在变化中找到不变的性质是解决数学“动点"探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质．