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人教版八年级数学上册 第十一章 三角形（知识清单）解析版+原卷版
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这是一份人教版八年级数学上册 第十一章 三角形 章节达标检测（单元测试）解析版，共16页。
第十一章 三角形 章节达标检测一、单选题：1．下列图形中具有稳定性的是（ ） A． B． C． D．【答案】B【知识点】三角形的稳定性【解析】【解答】解：根据三角形具有稳定性，长方形、五边形都不具有稳定性，可知B答案符合题意要求．故答案为：B．【分析】根据几何图形中三角形具有稳定性可知B答案正确．2．如图所示，以线段BC为一边的三角形共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】三角形相关概念【解析】【解答】解：以线段BC为一边的三角形共有， △ABC，△BEC，△DBC 共计3个故答案为：C. 【分析】根据题意，选取边为线段BC的三角形进行计数即可。3．下列多边形中，对角线是5条的多边形是（ ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【答案】B【知识点】多边形的对角线【解析】【解答】解：n边形对角线条数为 ∴A. 四边形有2条对角线，故错误；B. 五边形有5条对角线，正确； C. 六边形有9条对角线，故错误； D. 七边形有14条对角线，故错误；故答案为：B.【分析】根据n变形的对角线条数公式一一算出答案，判断即可.4．七边形的内角和为（ ） A．720° B．900° C．1080° D．1440°【答案】B【知识点】多边形内角与外角【解析】【解答】解：七边形的内角和为：（7-2）×180°=900°，故答案为：B.【分析】n边形内角和等于（n-2）×180°，据此计算即可.5．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（ ）A．AD⊥BC B．BF=CF C．BE=EC D．∠BAE=∠CAE【答案】C【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，∴AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF，∴A、B、D正确，C错误.故选C.【分析】根据三角形的中线，高线，角平分线的定义即可一一判断。6．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是（ ） A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高【答案】D【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】解：A、DE不是△ACE的高，不符合题意；B、BD不是△ADE的高，不符合题意；C、AB不是△BCD的高，不符合题意；D、DE是△BCD的高，符合题意．故答案为：D．【分析】利用三角形高的定义，再结合图形求解即可。7．把直尺与一块三角板如图放置，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D．【答案】D【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质【解析】【解答】解：∵∠1＝47°，∴∠3＝90°−∠1＝90°−47°＝43°，∴∠4＝180°−43°＝137°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠4＝137°．故答案为：D．【分析】先求出∠3=43°，再求出∠4=137°，最后求解即可。8．如图，在 △ABC中，AD，AE 分别是 △ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（ ） A． B．C． D．【答案】A【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵AE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，∴∠EAC=90°-∠C，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAB= ∠BAC．∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∴∠DAB= （180°-∠B-∠C），∴∠DAE=∠DAB-∠BAC= （180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）= （∠B-∠C）．即 故答案为：A.【分析】由直角三角形的性质得出∠EAC=90°-∠C，由角平分线定义得出∠DAC= ∠BAC，再由三角形内角和定理即可得出结论．9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F.已知BC＝10，△ABD的面积为12，则EF的长为( ) A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8【答案】B【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理【解析】【解答】过点A作AM⊥BC于点M，∵D是BC中点，∴BD= BC= =5，∵S△ABD= =12，∴AM=4.8，又∵EF⊥BC，E为AD中点，∴EF是△ADM的中位线，∴EF= AM=2.4，故答案为：B.【分析】过点A作AM⊥BC于点M，根据AD是BC边上的中线以及S△ABD=12，根据三角形面积公式可得AM=4.8，再根据EF⊥BC，E为AD中点，根据三角形中位线定理即可求得EF的长.10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法：①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中正确的是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【答案】B【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的外角性质【解析】【解答】∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故答案为：B． 【分析】 根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC= ∠DAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD=∠ACB，再根据角平分线的定义可对③进行判断．二、填空题：11．已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ．【答案】【知识点】三角形三边关系【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得5-3＜m＜5+3，∴2＜m＜8．故答案为： ．【分析】只需根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．12．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ．【答案】180°或360°或540°【知识点】多边形内角与外角【解析】【解答】解： n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的边数不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°.【分析】此题分三种情况：边数增加1；所得新的多边形的边数不变；所得新的多边形的边数减少1，然后根据多边形的内角和公式即可算出答案。13．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，点D为AC边上一点，过点D作DE∥AB，交BC于点E，且DE＝BE，则∠BDE的度数是 ．【答案】40°【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠A＝70°，∠C＝30°∴∠ABC=180°−∠A−∠C=80°∵DE∥AB∴∠DEC=∠ABC=80°∵DE=BE∴∠BDE=∠DBE∵∠DEC=∠BDE+∠DBE=2∠BDE∴故答案为：40°.【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，再根据平行线段的性质可得∠DEC=∠ABC=80°，再利用∠BDE=∠DBE，∠DEC=∠BDE+∠DBE=2∠BDE，即可得到。14．如图一副直角三角板如图放置 ， ， ，则求 . 【答案】75°【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质【解析】【解答】解：∵ ， ∴∠BAF=∠F=45°，∴∠1=∠B+∠BAF=30°+45°=75°.故答案是：75°.【分析】先根据平行线的性质，可得∠BAF=∠F=45°，再利用三角形外角的性质，即可得到答案.15．如图，在△ABC 中，已知点 D、E、F 分别是边 BC、AD、CE 上的中点，且 S△ABC=4， 则 S△BEF= ．【答案】1【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积【解析】【解答】解：∵D、E分别为 、 的中点， ∴S△ABE=S△DBE=S△DCE=S△AEC= S△ABC，∴ ，∵F是边CE的中点，∴ ．故答案为：1．【分析】根据三角形中线的性质可得S△ABE=S△DBE=S△DCE=S△AEC= S△ABC，进而可根据 求出 ，再利用三角形中线的性质解答即可．16．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD= 【答案】45°【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】解：延长CH交AB于F， 在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°在△CDH中，三内角之和为180°，∴∠CHD=45°，故答案为∠CHD=45°【分析】利用三角形的三条高相交于一点可得CF⊥AB，利用三内角之和为180°，可得∠CHD的度数。17．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 . 【答案】45°或135°【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：如图，当△ABC时锐角三角形时， ∵CD是高，∠ACD=45°， ∴∠ADC=90°， ∴∠A=90°-∠ACD=90°-45°=45°； 当△ABC时钝角三角形时， ∵CD是高，∠ACD=45°， ∴∠D=90°， ∴∠BAC=∠ACD+∠D=45°+90°=135°, ∴这个等腰三角形的顶角的度数为45°或135°. 故答案为：45°或135° 【分析】当△ABC时锐角三角形时，利用三角形高的定义可得到∠ADC=90°，再利用三角形内角和定理求出顶角∠A的度数；当△ABC时钝角三角形时，利用三角形高的定义可得到∠ADC=90°，再利用三角形外角的性质，可得到∠BAC=∠ACD+∠D，代入计算可求解。18．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点 ， 的角平分线与 的平分线交于点 ，若∠A＝60°，则 的度数为 【答案】15°【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD， ∵∠A1CD=∠ACD=（∠A+∠ABC）， ∵∠A1=∠A1CD-∠A1BC=（∠A+∠ABC）-∠ABC =∠A =30°， 同理∠A2=∠A1 ∴∠A2=×30° =15°. 故答案为：15°. 【分析】由角平分线的定义，结合三角形的外角的性质推得∠A1CD=（∠A+∠ABC），然后再由三角形外角的性质推出∠A1==∠A，于是同理得出∠A2=∠A1，即可求出∠A2的度数.19．如图，蚂蚁点 出发，沿直线行走4米后左转36°，再沿直线行走4米，又左转36°，照此走下去，他第一次回到出发点 ,一共行走的路程是 . 【答案】40米【知识点】多边形内角与外角【解析】【解答】∵每次蚂蚁都是沿直线前进4米后向左转36°，∴蚂蚁走过的图形是正多边形，边数n=360°÷36°=10，∴蚂蚁第一次回到出发点M时，一共走了10×4=40米．故答案为：40米．【分析】根据题意，蚂蚁走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以4m即可．三、解答题：20．三角形的内角和为180°，已知三角形的第一个内角是第二个内角的3 倍，第三个内角比第二个内角小20°，求三角形每个内角的度数？【答案】120°，40°，20°【知识点】根据数量关系列出方程【解析】【解答】设三角形第二个角为x度，则第一个角为(3x)度，第三个角为（x-20）度，根据三角形内角和为180度，可得x+3x+(x-20)=180，求解得x=40（度），3x=120（度），x-20=20（度）．【分析】利用三角形内角和为180度列出等式，并求解是此题的关键．21．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．【答案】解：∵DE=EB∴设∠BDE=∠ABD=x，∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，∵AD=DE，∴∠AED=∠A=2x，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3x，在△ABC中，3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°，∴∠A=2x=22.5°×2=45°．【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质【解析】【分析】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设∠ABD=x，结合三角形外角的性质，则可用x的代数式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，运用三角形的内角和为180°，可求∠A的度数．22．如图， 是 的平分线， ，交 于点E， ， ，求 的度数. 【答案】解：∵DE∥CB， ∴∠BED+∠ABC=180°，∵∠BED=150°，∴∠ABC=30°，∵BD是∠ABC的平分线，∴ ，∵∠BDC=60°，∴∠C=105°，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=45°.【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义【解析】【分析】由平行线的性质可得∠BED+∠ABC=180°，结合已知条件可求得∠ABC的度数，然后利用角平分线的概念求得∠CBD的度数，由三角形内角和定理求出∠C的度数，接下来在△ABC中应用三角形内角和定理求解即可.23．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数【答案】解：延长ED，BC相交于点G． 在四边形ABGE中，∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E）=50°，∴∠P=∠FCD-∠CDP= （∠DCB-∠CDG）= ∠G= ×50°=25°．【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角【解析】【分析】延长ED，BC相交于点G．由四边形内角和可求∠G=50°，由三角形外角性质可求∠P度数．24．已知a，b，c是三角形的三边长．（1）化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；（2）在（1）的条件下，若a=5，b=4，c=3，求这个式子的值．【答案】（1）解：∵a、b、c是三角形的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b=a+b+c；（2）解：当a=5，b=4，c=3时，原式=5+4+3=12．【知识点】代数式求值；三角形三边关系；绝对值的非负性【解析】【分析】（1）根据三角形三边长的关系以及绝对值的非负性化简原式。 （2）将a、b、c代入第（1）问化简得到的式子，求出代数式的值。25．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数.【答案】解：∵AD是高, 中, ∴△ABC中, ∵AE，CF是角平分线，∴△AOC中, 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余得出∠BAD=40°，∠ACB=40°，根据角平分线的定义得出∠CAE=45°，∠ACF=20°，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠AOC的度数.26．已知:如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系: ； （2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)； （3）如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可). 【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C（2）解：由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B， ∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P-∠D=∠B-∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）解：由（2）的解题步骤可知，∠P与∠D、∠B之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D． 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．（3）参照（2）的解题思路.
第十一章 三角形 章节达标检测一、单选题：1．下列图形中具有稳定性的是（ ） A． B． C． D．【答案】B【知识点】三角形的稳定性【解析】【解答】解：根据三角形具有稳定性，长方形、五边形都不具有稳定性，可知B答案符合题意要求．故答案为：B．【分析】根据几何图形中三角形具有稳定性可知B答案正确．2．如图所示，以线段BC为一边的三角形共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】三角形相关概念【解析】【解答】解：以线段BC为一边的三角形共有， △ABC，△BEC，△DBC 共计3个故答案为：C. 【分析】根据题意，选取边为线段BC的三角形进行计数即可。3．下列多边形中，对角线是5条的多边形是（ ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【答案】B【知识点】多边形的对角线【解析】【解答】解：n边形对角线条数为 ∴A. 四边形有2条对角线，故错误；B. 五边形有5条对角线，正确； C. 六边形有9条对角线，故错误； D. 七边形有14条对角线，故错误；故答案为：B.【分析】根据n变形的对角线条数公式一一算出答案，判断即可.4．七边形的内角和为（ ） A．720° B．900° C．1080° D．1440°【答案】B【知识点】多边形内角与外角【解析】【解答】解：七边形的内角和为：（7-2）×180°=900°，故答案为：B.【分析】n边形内角和等于（n-2）×180°，据此计算即可.5．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（ ）A．AD⊥BC B．BF=CF C．BE=EC D．∠BAE=∠CAE【答案】C【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，∴AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF，∴A、B、D正确，C错误.故选C.【分析】根据三角形的中线，高线，角平分线的定义即可一一判断。6．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是（ ） A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高【答案】D【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】解：A、DE不是△ACE的高，不符合题意；B、BD不是△ADE的高，不符合题意；C、AB不是△BCD的高，不符合题意；D、DE是△BCD的高，符合题意．故答案为：D．【分析】利用三角形高的定义，再结合图形求解即可。7．把直尺与一块三角板如图放置，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D．【答案】D【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质【解析】【解答】解：∵∠1＝47°，∴∠3＝90°−∠1＝90°−47°＝43°，∴∠4＝180°−43°＝137°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠4＝137°．故答案为：D．【分析】先求出∠3=43°，再求出∠4=137°，最后求解即可。8．如图，在 △ABC中，AD，AE 分别是 △ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（ ） A． B．C． D．【答案】A【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵AE是△ABC的高，∴∠AEC=90°，∴∠EAC=90°-∠C，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAB= ∠BAC．∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∴∠DAB= （180°-∠B-∠C），∴∠DAE=∠DAB-∠BAC= （180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）= （∠B-∠C）．即 故答案为：A.【分析】由直角三角形的性质得出∠EAC=90°-∠C，由角平分线定义得出∠DAC= ∠BAC，再由三角形内角和定理即可得出结论．9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F.已知BC＝10，△ABD的面积为12，则EF的长为( ) A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8【答案】B【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理【解析】【解答】过点A作AM⊥BC于点M，∵D是BC中点，∴BD= BC= =5，∵S△ABD= =12，∴AM=4.8，又∵EF⊥BC，E为AD中点，∴EF是△ADM的中位线，∴EF= AM=2.4，故答案为：B.【分析】过点A作AM⊥BC于点M，根据AD是BC边上的中线以及S△ABD=12，根据三角形面积公式可得AM=4.8，再根据EF⊥BC，E为AD中点，根据三角形中位线定理即可求得EF的长.10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法：①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中正确的是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【答案】B【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的外角性质【解析】【解答】∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；故答案为：B． 【分析】 根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC= ∠DAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD=∠ACB，再根据角平分线的定义可对③进行判断．二、填空题：11．已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ．【答案】【知识点】三角形三边关系【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得5-3＜m＜5+3，∴2＜m＜8．故答案为： ．【分析】只需根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．12．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ．【答案】180°或360°或540°【知识点】多边形内角与外角【解析】【解答】解： n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的边数不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°.【分析】此题分三种情况：边数增加1；所得新的多边形的边数不变；所得新的多边形的边数减少1，然后根据多边形的内角和公式即可算出答案。13．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，点D为AC边上一点，过点D作DE∥AB，交BC于点E，且DE＝BE，则∠BDE的度数是 ．【答案】40°【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理【解析】【解答】解：∵∠A＝70°，∠C＝30°∴∠ABC=180°−∠A−∠C=80°∵DE∥AB∴∠DEC=∠ABC=80°∵DE=BE∴∠BDE=∠DBE∵∠DEC=∠BDE+∠DBE=2∠BDE∴故答案为：40°.【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，再根据平行线段的性质可得∠DEC=∠ABC=80°，再利用∠BDE=∠DBE，∠DEC=∠BDE+∠DBE=2∠BDE，即可得到。14．如图一副直角三角板如图放置 ， ， ，则求 . 【答案】75°【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质【解析】【解答】解：∵ ， ∴∠BAF=∠F=45°，∴∠1=∠B+∠BAF=30°+45°=75°.故答案是：75°.【分析】先根据平行线的性质，可得∠BAF=∠F=45°，再利用三角形外角的性质，即可得到答案.15．如图，在△ABC 中，已知点 D、E、F 分别是边 BC、AD、CE 上的中点，且 S△ABC=4， 则 S△BEF= ．【答案】1【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积【解析】【解答】解：∵D、E分别为 、 的中点， ∴S△ABE=S△DBE=S△DCE=S△AEC= S△ABC，∴ ，∵F是边CE的中点，∴ ．故答案为：1．【分析】根据三角形中线的性质可得S△ABE=S△DBE=S△DCE=S△AEC= S△ABC，进而可根据 求出 ，再利用三角形中线的性质解答即可．16．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD= 【答案】45°【知识点】三角形的角平分线、中线和高【解析】【解答】解：延长CH交AB于F， 在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°在△CDH中，三内角之和为180°，∴∠CHD=45°，故答案为∠CHD=45°【分析】利用三角形的三条高相交于一点可得CF⊥AB，利用三内角之和为180°，可得∠CHD的度数。17．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 . 【答案】45°或135°【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：如图，当△ABC时锐角三角形时， ∵CD是高，∠ACD=45°， ∴∠ADC=90°， ∴∠A=90°-∠ACD=90°-45°=45°； 当△ABC时钝角三角形时， ∵CD是高，∠ACD=45°， ∴∠D=90°， ∴∠BAC=∠ACD+∠D=45°+90°=135°, ∴这个等腰三角形的顶角的度数为45°或135°. 故答案为：45°或135° 【分析】当△ABC时锐角三角形时，利用三角形高的定义可得到∠ADC=90°，再利用三角形内角和定理求出顶角∠A的度数；当△ABC时钝角三角形时，利用三角形高的定义可得到∠ADC=90°，再利用三角形外角的性质，可得到∠BAC=∠ACD+∠D，代入计算可求解。18．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点 ， 的角平分线与 的平分线交于点 ，若∠A＝60°，则 的度数为 【答案】15°【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD， ∵∠A1CD=∠ACD=（∠A+∠ABC）， ∵∠A1=∠A1CD-∠A1BC=（∠A+∠ABC）-∠ABC =∠A =30°， 同理∠A2=∠A1 ∴∠A2=×30° =15°. 故答案为：15°. 【分析】由角平分线的定义，结合三角形的外角的性质推得∠A1CD=（∠A+∠ABC），然后再由三角形外角的性质推出∠A1==∠A，于是同理得出∠A2=∠A1，即可求出∠A2的度数.19．如图，蚂蚁点 出发，沿直线行走4米后左转36°，再沿直线行走4米，又左转36°，照此走下去，他第一次回到出发点 ,一共行走的路程是 . 【答案】40米【知识点】多边形内角与外角【解析】【解答】∵每次蚂蚁都是沿直线前进4米后向左转36°，∴蚂蚁走过的图形是正多边形，边数n=360°÷36°=10，∴蚂蚁第一次回到出发点M时，一共走了10×4=40米．故答案为：40米．【分析】根据题意，蚂蚁走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以4m即可．三、解答题：20．三角形的内角和为180°，已知三角形的第一个内角是第二个内角的3 倍，第三个内角比第二个内角小20°，求三角形每个内角的度数？【答案】120°，40°，20°【知识点】根据数量关系列出方程【解析】【解答】设三角形第二个角为x度，则第一个角为(3x)度，第三个角为（x-20）度，根据三角形内角和为180度，可得x+3x+(x-20)=180，求解得x=40（度），3x=120（度），x-20=20（度）．【分析】利用三角形内角和为180度列出等式，并求解是此题的关键．21．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．【答案】解：∵DE=EB∴设∠BDE=∠ABD=x，∴∠AED=∠BDE+∠ABD=2x，∵AD=DE，∴∠AED=∠A=2x，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3x，在△ABC中，3x+3x+2x=180°，解得x=22.5°，∴∠A=2x=22.5°×2=45°．【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质【解析】【分析】根据同一个三角形中等边对等角的性质，设∠ABD=x，结合三角形外角的性质，则可用x的代数式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，运用三角形的内角和为180°，可求∠A的度数．22．如图， 是 的平分线， ，交 于点E， ， ，求 的度数. 【答案】解：∵DE∥CB， ∴∠BED+∠ABC=180°，∵∠BED=150°，∴∠ABC=30°，∵BD是∠ABC的平分线，∴ ，∵∠BDC=60°，∴∠C=105°，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=45°.【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义【解析】【分析】由平行线的性质可得∠BED+∠ABC=180°，结合已知条件可求得∠ABC的度数，然后利用角平分线的概念求得∠CBD的度数，由三角形内角和定理求出∠C的度数，接下来在△ABC中应用三角形内角和定理求解即可.23．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，CF平分∠DCB，FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P，求∠P的度数【答案】解：延长ED，BC相交于点G． 在四边形ABGE中，∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E）=50°，∴∠P=∠FCD-∠CDP= （∠DCB-∠CDG）= ∠G= ×50°=25°．【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角【解析】【分析】延长ED，BC相交于点G．由四边形内角和可求∠G=50°，由三角形外角性质可求∠P度数．24．已知a，b，c是三角形的三边长．（1）化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；（2）在（1）的条件下，若a=5，b=4，c=3，求这个式子的值．【答案】（1）解：∵a、b、c是三角形的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b=a+b+c；（2）解：当a=5，b=4，c=3时，原式=5+4+3=12．【知识点】代数式求值；三角形三边关系；绝对值的非负性【解析】【分析】（1）根据三角形三边长的关系以及绝对值的非负性化简原式。 （2）将a、b、c代入第（1）问化简得到的式子，求出代数式的值。25．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数.【答案】解：∵AD是高, 中, ∴△ABC中, ∵AE，CF是角平分线，∴△AOC中, 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余得出∠BAD=40°，∠ACB=40°，根据角平分线的定义得出∠CAE=45°，∠ACF=20°，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠AOC的度数.26．已知:如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系: ； （2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)； （3）如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可). 【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C（2）解：由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B， ∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P-∠D=∠B-∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）解：由（2）的解题步骤可知，∠P与∠D、∠B之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D． 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．（3）参照（2）的解题思路.
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