沪教版九年级上册数学专题训练专题11相似三角形-动点问题重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题11相似三角形-动点问题重难点专练(原卷版+解析)，共123页。试卷主要包含了解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、解答题
1．如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．
2．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．
（1）求b、c的值和直线BC的表达式；
（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；
（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．
3．已知，如图，中，，，，，连接，．
（1）如图1，当点D恰好在AC上时，则_______；
（2）如图2，如果绕点A顺时针旋转一周，在旋转的过程中（1）的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若，在旋转的过程中，请直接写出CE的最大值和最小值．
4．如图，矩形中，是边上的一动点，联结、，过点作射线交线段的延长线于点，交边于点，且使得，如果，，，
（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当时，求 ；
（3）如果是以为底角的等腰三角形，求的长
5．己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．
（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；
（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）
6．如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．
7．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）直接写出点的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）设点在轴上，且，直线与抛物线的另一个交点为点．
①求点、的坐标；
②将抛物线沿着射线的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段上；点的对应点为点．设线段与轴的交点为点，如果与相似，求点的坐标．
8．如图，在矩形中，，，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设，．
（1）求证：，并求的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接BG，当与相似时，求x的值．
9．已知，在中，，，，点是边上的一个动点，点在的延长线上，且，设，．
（1）当平分（如图1）时，求的值；
（2）当时，求的正弦值；
（3）求关于的函数关系式，并写出定义域．
10．如图，在中，，，，为的中点；在上有一点，直线和直线交于点，．
（1）当在的延长线上时，记，试求关于的解析式，并求出的取值范围．
（2）当取什么值的时候，和相似？
11．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=3，BC=2，DB=DC=5，点P由点D出发沿着DB方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点M由点B出发沿着BA方向匀速运动，速度也是为每秒1个单位长度，且MN∥BC，交DB于点Q，交DC于点N，运动时间为x秒（0（1）求证：△BMQ∽△DCB；
（2）设△PMQ的面积为y，求y与x的函数关系式；
（3）联结PN在上述运动过程中，五边形PNCBM的面积是否发生变化？
①请直接写出结论 （改变或不改变）
②如果“不变”，那么五边形PNCBM的面积是多少？（直接写出结果，不需要证明）
12．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．
13．如图，已知梯形ABCD中，，，AB=4，AD=CD=5，．点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E．联结PD，若以点A、P、D为顶点的三角形与相似，试求BP的长度．
14．在中，，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．
（1）如图①，当点在线段上运动时，交于．
①求证：．
②当是等腰三角形时，直接写出的长．
（2）如图②，当点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出点的位置；若不存在，请简要说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，.点从点出发，沿轴以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是t秒.将线段的中点绕点按顺时针方向旋转，得点，点随点的运动而运动，连接.
(1)请用含t的代数式表示出点的坐标.
(2)求为何值时，的面积最大，最大为多少?
(3)在点从向运动的过程中，能否成为直角三角形?若能，求的值:若不能，请说明理由.
(4)请直接写出整个运动过程中，点所经过的长度.
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=10，CD=4，AD=6．点P是线段BD上的动点，点E、Q分别是线段DA、BD上的点，且DE=DQ=BP，联结EP、EQ．
（1）求证：EQ∥DC；
（2）如果△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，求线段BP的长；
（3）当BP=m（017．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是AB上一点，且AO＝2．
（1）求点O到直线AC的距离OH的长；
（2）若P是边AC上一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合），设AP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使△OPQ与△CPQ相似．
18．如图，在直角坐标平面xOy内，点A（6，0）、C（﹣4，0），过点A作直线AB，交y轴的正半轴于点B，且AB＝10，点P是直线AB上的一个动点．
（1）求点B的坐标和直线AB的表达式；
（2）若以A、P、C为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐标．
19．如图，线段，，点为射线上一点，平分交线段于点（不与端点重合）.
（1）当为锐角，且时，求四边形的面积；
（2）当与相似时，求线段的长；
20．如图,已知,,,点是射线上的一个动点(点与点不重合),点是线段上的一个动点(点与点不重合),连接,过点作的垂线，交射线于点连接.设
(1)当时，求关于的函数关系式，并写出它的定义域；
(2)在(1)的条件下，取线段的中点,连接,若,求的长；
(3)如果动点在运动时,始终满足条件那么请探究：的周长是否随着动点的运动而发生变化?请说明理由。
21．如图，在中，，，，把线段沿射线方向平移（点始终在射线上）至位置，直线与直线交于点，又联结与直线交于点.
（1）当时，求证：；
（2）当点位于线段上时（不含端点、），设，，试求关于的函数解析式，并写出定义域；
（3）当以、、为顶点的三角形与相似时，求的长.
22．如图，在直角三角形ABC中，直角边，，设P、Q分别为AB，BC上的动点，点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动且速度为每秒2cm，同时点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动且速度为每秒1cm，当P点到达B点时，Q点就停止移动.设P，Q移动的时间t秒.
（1）写出的面积S（）与时间t（s）之间的函数表达式，并写出t的取值范围.
（2）当t为何值时，为等腰三角形？
23．如图，，，，，，一动点P从B向D运动，问当点P离B多远时，与是相似三角形？试求出所有符合条件的p点的位置.
24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣2，0）
（1）直接写出：a＝
（2）如图1，点P在第一象限内抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线交CB的延长线于点D，交AC的延长线于点Q，当△QAP与△QCD相似时，求P点的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点M，N为第二象限内抛物线上的一点，直线NA，NB分别交y轴于D，E两点，分别交抛物线的对称轴于F，G两点．
①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值；
②若，求N点的坐标．
25．已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，联结AE．
（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；
（2）当扇形的半径长为5，且AC＝6时，求线段DE的长；
（3）联结BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
26．已知：平行四边形，对角线点P为射线BC上一点，，（点M与点B分别在直线AP的两侧），且联结MD．
（1）当点M在内时，如图一，设求关于的函数解析式.
（2）请在图二中画出符合题意得示意图，并探究：图中是否存在与相似的三角形？若存在，请写出证明过程，若不存在，请说明理由
（3）当为等腰三角形时，求的长.
27．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC上一动点，以P为圆心，BP长为半径作⊙P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G，⊙P与线段BD、AQ分别相交于点E、F．
（1）如果BE＝FQ，求⊙P的半径；
（2）设BP＝x，FQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．
28．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC分别交射线AB、射线CB于点E、F．
（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；
（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE的正切值；若不确定，则设AE＝x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．
29．将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1 位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点 D、E 分别在大三角尺的直角边 AC、BC 上，此时小三角尺的斜边 DE 恰好经过大三角尺的重心G .已知A  CDE  30°， AB 12 .
（1）求小三角尺的直角边CD 的长；
（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边 AB 上时（如图2），求点 B 、 E 之间的距离；
（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线 DE 经过点 A 时，求BAE 的正弦值.
30．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
31．如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．
（1）求证：AM2＝MF.MH
（2）若BC2＝BD．DM，求证：∠AMB＝∠ADC．
32．已知，如图，在△ABC中，AE平分∠CAB交BC于点E，AC=6，CE=3，，BE=5，点F是边AB上的动点（点F与点A，B不重合），联结EF，设BF＝x，EF＝y．
（1）求AB的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△AEF为等腰三角形时，直接写出BF的长．
33．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P在线段BA上以每秒cm的速度由点B向点A运动．同时，动点Q在线段AC上由点N向点C运动，且始终保持MQ⊥MP．一个点到终点时两个点同时停止运动，设运动的时间为t秒(t＞0)．
(1)求证：△PBM∽△QNM．
(2)若∠ABC＝60°，AB＝4cm，
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S(cm2)，求S与t的等量关系式(不必写出t的取值范围)．
34．已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC=．
（1）求点C的坐标；
（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使得2S△ABM=S△ABC，求点M的坐标．
35．如图，已知四边形ABCD是矩形，ct∠ADB＝，AB＝16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF＝∠ADB．
（1）求线段BD的长；
（2）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．
36．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．
（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；
（2）求出线段BC、BE、ED的长度；
（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；
（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．
37．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．
38．如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q.
（1）求AG的长；
（2）当∠APQ=90º时，直线PG与边BC相交于点M.求的值；
（3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域.
39．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
40．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．
(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．
41．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm．如图乙，△DEF从图甲的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
二、填空题
42．如图，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE，矩形DEFG的面积为，那么关于的函数关系式是______． （不需写出x的取值范围）．
43．边长为8的正方形ABCD中，点P在BC边上，CP=2，点Q为线段AP上一动点，射线BQ与正方形ABCD的一边交于点R，且AP=BR，那么____________
44．如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有______个
45．如图，点P在平行四边形ABCD的边BC上，将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上，如果AB＝5，AD＝8，tanB＝43，那么BP的长为_____．
专题11 相似三角形-动点问题重难点专练
一、解答题
1．如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．
2．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．
（1）求b、c的值和直线BC的表达式；
（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；
（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．
3．已知，如图，中，，，，，连接，．
（1）如图1，当点D恰好在AC上时，则_______；
（2）如图2，如果绕点A顺时针旋转一周，在旋转的过程中（1）的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若，在旋转的过程中，请直接写出CE的最大值和最小值．
4．如图，矩形中，是边上的一动点，联结、，过点作射线交线段的延长线于点，交边于点，且使得，如果，，，
（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当时，求 ；
（3）如果是以为底角的等腰三角形，求的长
5．己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．
（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；
（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）
6．如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于点，点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．
（1）求证：；
（2）设，，求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．
7．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点，顶点的坐标为．
（1）直接写出点的坐标，并求抛物线的表达式；
（2）设点在轴上，且，直线与抛物线的另一个交点为点．
①求点、的坐标；
②将抛物线沿着射线的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段上；点的对应点为点．设线段与轴的交点为点，如果与相似，求点的坐标．
8．如图，在矩形中，，，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作，交BC的延长线于点F，连接EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设，．
（1）求证：，并求的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接BG，当与相似时，求x的值．
9．已知，在中，，，，点是边上的一个动点，点在的延长线上，且，设，．
（1）当平分（如图1）时，求的值；
（2）当时，求的正弦值；
（3）求关于的函数关系式，并写出定义域．
10．如图，在中，，，，为的中点；在上有一点，直线和直线交于点，．
（1）当在的延长线上时，记，试求关于的解析式，并求出的取值范围．
（2）当取什么值的时候，和相似？
11．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=3，BC=2，DB=DC=5，点P由点D出发沿着DB方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点M由点B出发沿着BA方向匀速运动，速度也是为每秒1个单位长度，且MN∥BC，交DB于点Q，交DC于点N，运动时间为x秒（0（1）求证：△BMQ∽△DCB；
（2）设△PMQ的面积为y，求y与x的函数关系式；
（3）联结PN在上述运动过程中，五边形PNCBM的面积是否发生变化？
①请直接写出结论 （改变或不改变）
②如果“不变”，那么五边形PNCBM的面积是多少？（直接写出结果，不需要证明）
12．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．
13．如图，已知梯形ABCD中，，，AB=4，AD=CD=5，．点P在边BC上运动（点P不与点B、点C重合），一束光线从点A出发，沿AP的方向射出，经BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E．联结PD，若以点A、P、D为顶点的三角形与相似，试求BP的长度．
14．在中，，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．
（1）如图①，当点在线段上运动时，交于．
①求证：．
②当是等腰三角形时，直接写出的长．
（2）如图②，当点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出点的位置；若不存在，请简要说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，.点从点出发，沿轴以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是t秒.将线段的中点绕点按顺时针方向旋转，得点，点随点的运动而运动，连接.
(1)请用含t的代数式表示出点的坐标.
(2)求为何值时，的面积最大，最大为多少?
(3)在点从向运动的过程中，能否成为直角三角形?若能，求的值:若不能，请说明理由.
(4)请直接写出整个运动过程中，点所经过的长度.
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=10，CD=4，AD=6．点P是线段BD上的动点，点E、Q分别是线段DA、BD上的点，且DE=DQ=BP，联结EP、EQ．
（1）求证：EQ∥DC；
（2）如果△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，求线段BP的长；
（3）当BP=m（017．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是AB上一点，且AO＝2．
（1）求点O到直线AC的距离OH的长；
（2）若P是边AC上一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合），设AP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使△OPQ与△CPQ相似．
18．如图，在直角坐标平面xOy内，点A（6，0）、C（﹣4，0），过点A作直线AB，交y轴的正半轴于点B，且AB＝10，点P是直线AB上的一个动点．
（1）求点B的坐标和直线AB的表达式；
（2）若以A、P、C为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐标．
19．如图，线段，，点为射线上一点，平分交线段于点（不与端点重合）.
（1）当为锐角，且时，求四边形的面积；
（2）当与相似时，求线段的长；
20．如图,已知,,,点是射线上的一个动点(点与点不重合),点是线段上的一个动点(点与点不重合),连接,过点作的垂线，交射线于点连接.设
(1)当时，求关于的函数关系式，并写出它的定义域；
(2)在(1)的条件下，取线段的中点,连接,若,求的长；
(3)如果动点在运动时,始终满足条件那么请探究：的周长是否随着动点的运动而发生变化?请说明理由。
21．如图，在中，，，，把线段沿射线方向平移（点始终在射线上）至位置，直线与直线交于点，又联结与直线交于点.
（1）当时，求证：；
（2）当点位于线段上时（不含端点、），设，，试求关于的函数解析式，并写出定义域；
（3）当以、、为顶点的三角形与相似时，求的长.
22．如图，在直角三角形ABC中，直角边，，设P、Q分别为AB，BC上的动点，点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动且速度为每秒2cm，同时点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动且速度为每秒1cm，当P点到达B点时，Q点就停止移动.设P，Q移动的时间t秒.
（1）写出的面积S（）与时间t（s）之间的函数表达式，并写出t的取值范围.
（2）当t为何值时，为等腰三角形？
23．如图，，，，，，一动点P从B向D运动，问当点P离B多远时，与是相似三角形？试求出所有符合条件的p点的位置.
24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣2，0）
（1）直接写出：a＝
（2）如图1，点P在第一象限内抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线交CB的延长线于点D，交AC的延长线于点Q，当△QAP与△QCD相似时，求P点的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点M，N为第二象限内抛物线上的一点，直线NA，NB分别交y轴于D，E两点，分别交抛物线的对称轴于F，G两点．
①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值；
②若，求N点的坐标．
25．已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，联结AE．
（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；
（2）当扇形的半径长为5，且AC＝6时，求线段DE的长；
（3）联结BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
26．已知：平行四边形，对角线点P为射线BC上一点，，（点M与点B分别在直线AP的两侧），且联结MD．
（1）当点M在内时，如图一，设求关于的函数解析式.
（2）请在图二中画出符合题意得示意图，并探究：图中是否存在与相似的三角形？若存在，请写出证明过程，若不存在，请说明理由
（3）当为等腰三角形时，求的长.
27．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC上一动点，以P为圆心，BP长为半径作⊙P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G，⊙P与线段BD、AQ分别相交于点E、F．
（1）如果BE＝FQ，求⊙P的半径；
（2）设BP＝x，FQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．
28．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC分别交射线AB、射线CB于点E、F．
（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；
（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE的正切值；若不确定，则设AE＝x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．
29．将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1 位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点 D、E 分别在大三角尺的直角边 AC、BC 上，此时小三角尺的斜边 DE 恰好经过大三角尺的重心G .已知A  CDE  30°， AB 12 .
（1）求小三角尺的直角边CD 的长；
（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边 AB 上时（如图2），求点 B 、 E 之间的距离；
（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线 DE 经过点 A 时，求BAE 的正弦值.
30．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
31．如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．
（1）求证：AM2＝MF.MH
（2）若BC2＝BD．DM，求证：∠AMB＝∠ADC．
32．已知，如图，在△ABC中，AE平分∠CAB交BC于点E，AC=6，CE=3，，BE=5，点F是边AB上的动点（点F与点A，B不重合），联结EF，设BF＝x，EF＝y．
（1）求AB的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△AEF为等腰三角形时，直接写出BF的长．
33．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P在线段BA上以每秒cm的速度由点B向点A运动．同时，动点Q在线段AC上由点N向点C运动，且始终保持MQ⊥MP．一个点到终点时两个点同时停止运动，设运动的时间为t秒(t＞0)．
(1)求证：△PBM∽△QNM．
(2)若∠ABC＝60°，AB＝4cm，
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S(cm2)，求S与t的等量关系式(不必写出t的取值范围)．
34．已知一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC=90°，tan∠ABC=．
（1）求点C的坐标；
（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使得2S△ABM=S△ABC，求点M的坐标．
35．如图，已知四边形ABCD是矩形，ct∠ADB＝，AB＝16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF＝∠ADB．
（1）求线段BD的长；
（2）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．
36．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．
（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；
（2）求出线段BC、BE、ED的长度；
（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；
（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．
37．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣4ax+1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，连接BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．
38．如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q.
（1）求AG的长；
（2）当∠APQ=90º时，直线PG与边BC相交于点M.求的值；
（3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域.
39．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
40．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．
(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．
41．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图甲摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm．如图乙，△DEF从图甲的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）设三角形BQE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
二、填空题
42．如图，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE，矩形DEFG的面积为，那么关于的函数关系式是______． （不需写出x的取值范围）．
43．边长为8的正方形ABCD中，点P在BC边上，CP=2，点Q为线段AP上一动点，射线BQ与正方形ABCD的一边交于点R，且AP=BR，那么____________
44．如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有______个
45．如图，点P在平行四边形ABCD的边BC上，将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上，如果AB＝5，AD＝8，tanB＝43，那么BP的长为_____．
参考答案
1．（1）证明见解析；（2）；（3）或．
分析：
（1）根据，得，，即可得．
（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出，求出，再根据，列出函数关系式，化简即可．
（3）先证，再分3种情况讨论，分别求出AP的长．
【详解】
解：（1）∵，，
∴∠ADP+∠PDE=90°，∠EDQ+∠PDE=90°，
∴，
∵，，
∴∠A+∠B=90°，∠B+∠DEQ=90°，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵点为斜边的中点，
∴，
∴，
∵，AC=6，BC=8，
∴在中，，，
∵D为AB中点，
∴BD=5，DE=，
∴BE=，
∵，
∴，
∵=y，
∴．
（3）∵，
∴，
∵∠PDF+∠EDQ=90°，∠BDQ+∠EDQ=90°，
∴，
∴，
∴为等腰三角形时，亦为等腰三角形，
①若，则∠QDB=∠B，
∵∠QDB+∠EDQ=90°，∠B+∠DEB=90°，
∴∠DEB=∠EDQ，
∴DQ=QE，
∴点Q为BE中点，
∴y=BQ==BE=，
解得:．
②若，则=5
∴y=，
解得：．
③若，
∵连接，交线段于点
∴点Q在线段BE上，
∴∠BDQ≤90°，
∵AC∴∠B<45°，
∴，此种情况舍去．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定及三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键.
2．（1），直线BC解析式为y＝x﹣6；（2）；（3）
分析：
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得，即可求解；
（3）过点D作DF∥AB交BC于点F，由相似三角形的性质可得，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝-2x﹣6，
当x＝0时，y＝﹣6，∴点C（0，﹣6），设直线BC解析式为y＝mx+n，
则，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣6；
（2）如图1，过点E作EH⊥OC于H，
∵点C（0，﹣6），点B（6，0），点A（﹣2，0），
∴OB＝OC＝6，OA＝2，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC＝=，
∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴，
∴CE＝，
∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，
∴EH＝HC＝，
∴OH＝，
∴点E（，﹣）；
（3）∵点D的横坐标为d，
∴点D（d，﹣2d﹣6），（0＜d＜6），
如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵，
∴．
∵点F在直线BC上，
∴点F（﹣2d，﹣2d﹣6），
∴DF＝3d﹣，
∴．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，用函数的解析式表示点的坐标，三角形的相似，勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法，灵活运用三角形相似的判定定理是解题的关键．
3．（1）；（2）成立，证明过程见解析；（3）CE的最大值为；最小值．
分析：
（1）利用等腰直角三角形的性质，证明AD=BD=DC=DE=，后勾股定理计算即可；
（2）利用，∠DAB=∠EAC，证明；
（3）构造以A为圆心，以AE为半径的圆，利用直径是最大的弦求解即可．
【详解】
（1）如图1，
∵AB=BC，，，
∴AD=BD=DC=DE=，
∴EC=，
=；
（2）连接AE
∵AD=DE，∠ADE=90°
∴∠DAE=45°
∴
∵AB=BC，∠ABC=90°
∴∠BAC=45°
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠DAB=∠EAC，
∴
∴，∠DAB=∠EAC
∴
∴
∴
（3）如图，点E在以A为圆心，以AE为半径的圆上运动，∵AC=4，∴AD=DE=2，根据勾股定理，得AE==，根据圆的性质，当点E与经过直径CA远端点M重合时，CE最大，此时为AE+AC=4+；当点E与经过直径CA近端点N重合时，CE最小，此时为AC-AN=4-；
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的相似，画圆的条件，圆的基本性质，熟记三角形相似的判定方法，灵活构造辅助圆是解题的关键．
4．（1）．定义域为；（2）；（3）4或
分析：
（1）根据条件证明，根据对应边成比例得，代入数值即可；
（2）过点M作MF⊥BP，利用△BPM的面积可求出MF的长，利用勾股定理可得PF，BF的长，从而可求的正切值；
（3）分∠EBC=∠ECB 或∠EBC=∠E两种情况讨论．
【详解】
解：（1）在矩形中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，．
∴所求函数的解析式为．定义域为．
（2）如图所示，作，垂足为点．
∵，
∴．
∵，，
∴．
由的面积，可得，即．
解得．
∵，，
∴．
∴．
∴．
（3）（i）当时，
可得，．
∴．
∴，
即．
解得或（不符合题意，舍去）
（ii）当时，可得，．
∴．
整理，得．
解得或（舍）
综上所述，的长为4或．
【点睛】
本题属于相似形综合题，难度较大，掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用及分类讨论思想解题是本题的解题关键．
5．（1）；（2）；（3）或
分析：
（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案；
（2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；
（3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可．
【详解】
解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1
易得四边形ADHM是正方形，
∵
又∠FED=∠MEA
∴△
∴
∵
∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90°
∵，
∴∠FMH+∠HMC=90°
∴∠FMH=∠HCM
∴△FMH∽△MCH
∴
∴，
∴
（2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2，
∵，
∴，
∵MH⊥DC，
∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90°
∵∠FMC=90°，
∴∠FMH+∠HMC=90°
∴∠FMH=∠HCM
∴
∴，即，
∴
∴，，
∴
∴
由 可得
∴定义域为
（3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，连接AG，AF，如图
∵
∵
∴，
∵，
∴
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
∴垂直平分
∴
∵
∴
点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，连接DM，如图
∵，
∴，
∴
∵∠，∠FMC为直角，
∴，垂直平分
∴，，
∴
综上，或
【点睛】
收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．
6．（1）证明见解析；（2）；（3）或
分析：
（1）根据，得，，即可得．
（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出，求出，再根据，列出函数关系式，化简即可．
（3）先证，再分3种情况讨论，分别求出的长．
【详解】
解：（1） ，
∴，，
∴．
（2），
∴
又点为斜边的中点，
∴ ，
又
在 中
，
又，由勾股定理得：BC=10
D为AB中点，
∴BD=5， DE=，由勾股定理得：BE=
，
可得，
，
．
（3），
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰三角形时，亦为等腰三角形．
若，
，
，
解得．
若，
，
解得．
③若，
，此种情况舍去．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．
7．（1），；（2）①，；②坐标为
分析：
（1）根据抛物线与轴的交点是当x=0时，求y的值即可，根据顶点坐标设顶点式：，再将点代入即可求解；
（2）①根据，先求出C的坐标，根据待定系数法求出直线AC的解析式，联立直线与抛物线即可得D点坐标；②先根据待定系数法求出直线BD的解析式，根据相似的性质即可求解．
【详解】
解：（1）当x=0时，y=1
∴．
∵顶点
，
将代入得：1=4a-1
解得：a=
（2）如图：
设直线AB的解析为:y=kx+1，
将B(2,-1)代入得:-1=2k+1
解得：k=-1
∴y=-x+1
当y=0时，x=1
∴Q(1,0)
故△AOQ是等腰直角三角形
∴∠BAO=45°
①
或（舍），
②
，
设，，，，
1）若
，
2）若
．
此时点横向移动距离大于点最大横向移动距离（舍）
综上，点坐标为．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象及性质，以及相似三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．
8．（1）证明见解析；；（2）；（3）和；
分析：
（1）根据垂直关系得到，根据AA即可证明，得到，再根据正切的定义即可求解；
（2）先证明，得到，代入得到，故可求解；
（3）根据题意分和，分别列出比例式求出x的值即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴
在和中
∴
∵，，
∴
∴
（2）由（1）可知
∴
∴
∵ABCD
∴，
∴
∴
∴，
（3）∵，，
过点E作EM⊥CD于M点，∴四边形AEMD为矩形
∴MH=DH-DM=DH-AE=y-x，
∴，，，
∵ABCD
∴
∴
∴
∴
∵，
若，
∴
∴
即
化简得
∵
∴
化简得
解得或(舍去)
若，则有
∴
∴
∴
综上，和时与相似．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
9．（1）5；（2）；（3）
分析：
（1）过C作CD⊥AB于D，由，设CD=4x，BD=3x，，在Rt△ACD中，BC=5，由勾股定理：9x2+16x2=25，求出x=1，AC=，由角平分线推出AP∥CE进而即可．
（2）在中，，，CE=，用勾股定理求，进而求出，在中，求，由，计算即可，
（3）如下图，作交于那么，则，利用，推导，可得，利用性质得即可求出．
【详解】
（1）过C作CD⊥AB于D，
∵，设CD=4x，BD=3x，，在Rt△ACD中，BC=5，由勾股定理：
9x2+16x2=25，
∴x=1，
∴BD=3，CD=4，
∴DA=AB-BD=6-3=3，
∴AC=，
由平分，
∴，
∴，
∴AP∥CE，
则，
那么，即．
（2）如下图，在中，，，
∴CE=，
∴，
，，
在中，，
所以．
（3）如下图，作交于，
由，
∴，，
即，
则，
由，，
那么，
因为，
所以，
则，
可得，
那么，即，
解得．
【点睛】
本题考查角平分线，直角三角形，三角函数，勾股定理，相似三角形，函数及定义域等知识，掌握并会用解决问题是解题关键
10．（1）；（2）当或时，和相似．
分析：
（1）延长MP至R，连接CR，使RC∥AB，根据题意可证明≌(AAS)，再由全等三角形对应边相等的性质，解得RC=BQ=y，根据平行判定∽，由相似三角形对应边成比例解题即可；
（2）分两种情况讨论，（i）当点Q在AB延长线上时或（ii）当点Q在BA延长线上时，根据AA及相似三角形的传递性，分别判定∽，或△ABC∽△MPC，最后根据相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【详解】
（1）如图，延长MP至R，连接CR，使RC∥AB
∵M为BC中点，
∴≌(AAS)
∴RC=BQ=y，
令∠ACB=，则∠RCM=∠QBM=90°+，
∴∠PCR=90°
∵RC//AB，
∴∽
∴ 即，整理得
（2）（i）当点Q在AB延长线上时
因为∠BMQ=∠CMP，∠QBM>90°，
∴∠QBM=∠CPM，∠Q=，
因为∠ABC=∠APQ，
∴∽，
∴，即
所以，解得
（ii）当点Q在BA延长线上时
若和相似，则∠ACB=∠Q，
所以∠QBM=∠CPM=∠APQ，
∴△ABC∽△MBQ∽△APQ∽△MPC
∴△ABC∽△MPC
所以，即，所以
综上所述，当或时，和相似．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键．
11．（1）见详解，（2）当0分析：
（1）由MN∥BC，可得NQ∽△DCB，由AB∥DC，可得△BMQ∽△DNQ，∴DNQ∽△BMQ，
（2）过点C作CE⊥BD于E，MF⊥BD于F，设BE=a，则DE=5-a，由勾股定理a=，再求CE，由△DNQ∽△DCB，可得,∵DC=DB，∴BM=BQ=x,DP=x，0（3）①不变，作BG⊥MN于G，PH⊥MN于H，则∠GBQ=∠FPQ=，用BC为底，BC边上的高BG求面积S平行四边形BCNM =2BQ•cs，以MN为底，PH为高求面积S△MNP=，把它求和S五边形PNCBM= S平行四边形BCNM+ S△MNP证明定值即可，
②过D作DK⊥BC于K，由于BD=CD，BK=CK=1，由勾股定理DK=，由DK∥PH∥BG，可推出∠BDK=∠QPH=∠GBQ=， 用三角函数定义求即可．
【详解】
（1）∵MN∥BC，∠DNQ=∠C，∠NDQ=∠CDB，
∴△DNQ∽△DCB，
∵AB∥DC，
∴∠MBQ=∠NDQ，∠NQB=∠NQD，
∴△BMQ∽△DNQ，
∴DNQ∽△BMQ；
（2）过点C作CE⊥BD于E，MF⊥BD于F，
设BE=a，则DE=5-a，由勾股定理DC2-DE2=BC2-BE2，
即25-（5-a）2=4-a2，a=，
CE=，
由△DNQ∽△DCB，，
∵DC=DB，
∴BM=BQ=x，DP=x，
2x=5，x=2.5,
当0（3）①不变，
作BG⊥MN于G，PH⊥MN于H，则∠GBQ=∠FPQ=，BG= BQ•cs，，
S平行四边形BCNM=BC×BG=2BQ•cs，
S△MNP=，
S五边形PNCBM= S平行四边形BCNM+ S△MNP=2BQ•csα+=（2BQ+PQ）•cs，
∵BQ=DP，∴2BQ+PQ=DP+PQ+QB=AB=5，
S五边形PNCBM=5 cs，与x无关，故五边形面积不变，
②过D作DK⊥BC于K，由于BD=CD，BK=CK=1，在Rt△DBK中，由勾股定理DK=，
∵DK∥PH∥BG，
∴∠BDK=∠QPH=∠GBQ=，
，
S五边形PNCBM=5 cs=．
故答案为：S五边形PNCBM=．
【点睛】
本题考查知识较多，难度比较大，涉及的知识有等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数，勾股定理等，是动点中的综合运用题型，掌握所学知识，并能灵活运用．
12．（1）y＝﹣x2﹣2x+3，所以该抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）；（2）2；（3）点D的坐标是（，）或（﹣，2）
分析：
（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；
（2）过点B作BH⊥AC于点H，构造直角和直角，利用勾股定理及两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）过点D作DK⊥x轴于点K，构造直角，设，则并由题意可知点D位于第二象限，由于是公共角，所以当与相似时，有2种情况：①，即，由锐角三角函数的定义列出比例式，即可得到D点坐标，②，即，由锐角三角函数的定义列出比例式，即可得到D点坐标.
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为：，将点，，分别代入得：
，解得：
故抛物线解析式为：
由于
所以该抛物线的顶点坐标是；
（2）如图1，过点B作BH⊥AC于点H
∵，OA＝OC＝3
∴，
∵
∴
∴
∵在直角中，，AB＝4
∴
∴
∵
∴；
（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K
设，则．并由题意知点D位于第二象限
∴，
∵∠BAC是公共角
∴当与相似时，有2种情况：
①∠AOD＝∠ABC
∴
∴＝3，解得x1＝，x2＝，经检验当x1＝，x2＝时原分式方程有意义
∵点D位于第二象限
∴x2＝舍去
∴；
②∠AOD＝∠ACB
∴
∴＝2，解得，，经检验当，时原分式方程有意义
∵点D位于第二象限
∴舍去
∴
综上所述，当与相似时，求点D的坐标是或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的解析式求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.
13．BP的长度为2或或
分析：
由对称和平行线的性质可得：∠DAP=∠EPC，若以点A、P、D为顶点的三角形与相似，则有两种情况：①∠ADP=∠C时，；②∠APD=∠C时，；分别根据相似三角形的性质即可求得BP的长度．
【详解】
解： ∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB，
由入射角等于反射角得：∠APB=∠EPC，
∴∠DAP=∠EPC，
若以点A、P、D为顶点的三角形与相似，则有如下两种情况：
①时，，
过点P作于点G，则，
又∵，
∴，则四边形ABPG为矩形，
∴，，
在梯形ABCD中，AB=4，AD=CD=5，，
∴，，
∴，即，解得：，
∴；
②时，，
∵，
∴，
∴，
∴，则，
如图，点D作于点H，同理得四边形ABHD为矩形，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，，
在中，
∴
解得：，经检验，均符合题意，
∴或；
综上所述： BP的长度为2或或时，以点A、P、D为顶点的三角形与相似．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质综合问题、勾股定理和轴对称的性质等知识点，解题的关键是要根据对应角的不同进行分类求解．
14．(1) ①证明见解析；②AE的值是1或 2或； (3)存在，D在BC的延长线上，且CD= 2
分析：
(1) ①求出∠B=45°，根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2．求出即可；
②分为三种情况，①DE=AE,②AD=AE，③AD=DE，根据等腰三角形性质(等腰三角形两边相等)，三角形全等推出即可；
(2)存在，可证 得到CD=AC=2．
【详解】
解(1) ①∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°。AB=AC,
∴∠B=∠C=45°
∵∠ADE=45°,
∴∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2,
即45°+∠1=45°+∠2．
∴∠1=∠2．
②解:当△ADE是等腰三角形时，分为以下三种情况:
第一种情况: DE=AE,
∵DE=AE,
∴∠ADE=∠DAE=45°=∠C,
∴∠AED=90°，∠ADC=90° ,
即DE⊥．AC．
∴AD= DC．
∴E为AC的中点，
∴
第二种情况: AD=AE，此时D和B重合，E和C重合,
即AE=AC=2;
第三种情况: AD=DE,
在△ABD和△DCE中．

∴ ,
∴BD=CE，AB=DC,
设BD=CE=x,
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°, AB=AC=2,
∴BC= ．
∴DC=-x．
∴-x=2,
∴x=-2,
∴AE=
综合上述: AE的值是1或 2或
(3)解:存在，理由如下：
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵ ,
∴ ，
故存在点，使是等腰三角形，此时D在BC的延长线上，且CD= 2
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识点的应用，用了分类讨论思想．
15．；；能，2或；
分析：
（1）设出P点的坐标，再求出CP的中点坐标，根据相似的性质即可求出点D的坐标；
（2）根据点D的坐标及三角形的面积公式直接求解即可；
（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；
（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等即可解决
【详解】
（1）∵点P从点出发，沿轴以每秒个单位长的速度向点匀速运动


设CP的中点为F，过点D作DE⊥OA，垂足为E，
∵

∵F绕点P顺时针旋转90°得到点D


又





（2）∵

∴当时，最大，为4
（3）能构成直角三角形
当时，
由勾股定理得，
即
解得 或（舍去）
当时，此时点D在AB上




即
∴
综上所述，或时，能成为直角三角形
（4）当点P在原点O处时，对应的
当点D运动时，直线 的斜率 ，即无论点D如何运动，直线的斜率为固定值，即点D的运动轨迹始终在直线上，

∴点D的运动路线与OB平行
当点P运动到A时， ，此时 的坐标为
即点D的运动轨迹为线段
∵点与点B,C共线
∴轴
∵四边形为平行四边形
∴点D的运动路线与OB平行且相等
∵
∴点D运动路线的长为
【点睛】
本题主要考查四边形综合问题，掌握矩形的性质，相似三角形的判定及性质，分情况讨论是解题的关键．
16．（1）见解析；（2）；（3）.
分析：
（1）利用两边成比例且夹角相等可判定△DEQ ∽△BCD，从而证得结论；
（2）设BP的长为x，则DQ=x，QP=2x-10，利用（1）的结论△DEQ ∽△BCD，求得．分类讨论：当EQ=EP、QE=QP时，分别求得答案即可；
（3）过点P作PH⊥EQ，交EQ的延长线于点H；过点B作BG⊥DC，垂足为点G，易证得△PHQ ∽△BGD，利用对应边成比例通过计算得到的值，从而求得答案.
【详解】
（1）∵AD//BC，∴∠EDQ=∠DBC．
∵，，∴．
∴△DEQ ∽△BCD．
∴∠DQE=∠BDC，
∴EQ//CD．
（2）设BP的长为x，则DQ=x，QP=2x-10．
∵△DEQ ∽△BCD，
∴，
∴．
（i）当EQ=EP时，
∴∠EQP =∠EPQ，
∵DE=DQ，∴∠EQP =∠QED，∴∠EPQ =∠QED，
∴△EQP ∽△DEQ，∴，∴，
解得 ，或（舍去）．
（ii）当QE=QP时，
∴，解得 ，
∵，∴此种情况不存在．
∴
（3）过点P作PH⊥EQ，交EQ的延长线于点H；过点B作BG⊥DC，垂足为点G．
∵BD=BC，BG⊥DC，∴DG=2，BG，
∵BP= DQ=m，∴PQ=10-2m．
∵EQ∥DC∴∠PQH =∠BDG．
又∵∠PHQ =∠BGD= 90°，
∴△PHQ ∽△BGD．
∴，∴．
∴，．
∴，
∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答第(2)小题的关键，作出辅助线构建两个相似的直角三角形是正确解答第(3)小题的关键.
17．（1）OH＝；（2）y＝﹣x2+x﹣（＜x＜4）；（3）当△OPQ与△CPQ相似时，AP为．
分析：
（1）通过证明△AOH∽△ABC，即可判断出，求出OH的长度；
（2）通过证明△AOD∽△ABC，可得：，从而求出AD、PD的长度各是多少，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△POD∽QPC，即可推得，据此求出y关于x的函数解析式．并写出函数定义域即可．
（3）根据题意，分两种情况：当OQ∥AC时；当PQ平分∠CQO时；然后根据相似三角形的性质，分类讨论，求出AP长是多少即可．
【详解】
解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC，
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AHO＝90°，
∴△AOH∽△ABC，
∴，
即，
∴OH＝；
（2）如图2，过点O作OD⊥AC，
由（1）可得OD＝，
∵∠BCA＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ABC，
∴，
∴，
∴AD＝，
∴PD＝x﹣，
∵PQ⊥OP，
∴∠OPD+∠CPQ＝90°，
又∵∠PQC+∠CPQ＝90°，
∴∠OPD＝∠PQC，且∠ACB＝∠PDO＝90°，
∴△POD∽△QPC，
∴，
∴
∴y＝﹣x2+x﹣
由题意可知：AD＜AP＜AC
∴＜x＜4
（3）如图3，当OQ∥AC时，△OPQ∽△QCP，
∵OQ∥AC，
∴，
∴＝，
∴CQ＝，
∴＝﹣x2+x﹣，
∴x＝，
∴AP＝；
如图4，作PE⊥OQ于点E，
当PQ平分∠CQO时，△OPQ∽△PCQ，
∵∠CQP＝∠PQE，PC⊥BC，PE⊥OQ，
∴PC＝PE，
∵∠POQ＝∠CPQ，∠DOP＝∠CPQ，
∴∠POQ＝∠DOP，
又∵PD⊥OD，PE⊥OE，
∴PD＝PE，
∴PC＝PD，
即点P为CD的中点，
由AP﹣AD＝AC﹣AP，
∴2AP＝AC+AD＝4+，
∴AP＝，
综上所述：当△OPQ与△CPQ相似时，AP为．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的综合，难度较大，掌握相似三角形的判定和性质及根据相似分类讨论是解决此题的关键.
18．（1）直线AB的表达式为y＝﹣x+8；（2）点P的坐标为（﹣4，）或（，）．
分析：
（1）由点A的坐标可得出OA的长，利用勾股定理可求出OB的长，结合点B在y轴正半轴上即可得出点B的坐标，由点A，B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）分△AOB∽△ACP和△AOB∽△APC两种情况考虑：①当△AOB∽△ACP时，∠ACP1＝∠AOB＝90°，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P1的坐标；②当△AOB∽△APC时，设点P2的坐标为（m，﹣m+8），利用相似三角形的性质可求出CP2的长，结合点C的坐标可得出关于m的方程，解之即可得出点P2的坐标．综上，此题得解．
【详解】
解：（1）∵点A的坐标为（6，0），
∴OA＝6，
∴OB＝＝8．
∵点B在y轴的正半轴，
∴点B的坐标为（0，8）．
设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），
将A（6，0），B（0，8）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+8．
（2）分两种情况考虑，如图所示．
①当△AOB∽△ACP时，∠ACP1＝∠AOB＝90°，
当x＝﹣4时，y＝﹣x+8＝，
∴点P1的坐标为（﹣4，）；
②当△AOB∽△APC时，设点P2的坐标为（m，﹣m+8）．
∵点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（﹣4，0），
∴AC＝10．
∵△AOB∽△AP2C，
∴＝，即＝，
∴CP2＝8，
∴＝8，
整理，得：（m﹣4）2＝0，
解得：m＝，
∴点P2的坐标为（，）．
综上所述：点P的坐标为（﹣4，）或（，）．
【点睛】
此题考查的是一次函数、相似三角形的性质和分类讨论，掌握用待定系数法求一次函数的解析式和根据相似三角形的对应顶点分类讨论是解决此题的关键.
19．（1）16；（2）2或
解析：
分析：
（1）过C作与H，在Rt中，求出CH、BH，再求出CD即可解；
（2）分两种情形①，由，得；②，延长交延长线于，得；分别求解即可；
【详解】
（1）过作与，
由，，得四边形为矩形，
在中，，得，
所以，
则四边形的面积；
（2）由平分，得，当时，
①，由，得，得，
于是在中，，
所以
②，延长交延长线于，
由，，得，得，
且，又，得，
令，则在中，，，
所以，即，解得，
综上，当时，线段的长为2或.
【点睛】
本题考查相似三角形综合题，四边形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
20．（1）；（2）；（3）的周长不变，理由见解析
分析：
（1）由△AED∽△BCE，得出其对应边成比例，进而可得出x与y的关系式；
（2）可过D点作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，进而可求解x的值；
（3）△BCE的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE=AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变．
【详解】
(1)由题中条件可得△AED∽△BCE，
∴，
∵AE=x,BC=y,AB=4,AD=1
∴BE=4−x，
∴，
∴；
(2)∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
又∵DF=FC，
∴DC=2EF=2×2.5=5，
如图所示，过D点作DH⊥BN于H，则DH=AB=4，
∴Rt△DHC中, ，
∴BC=BH+HC=1+3=4，即y=4，
∴
解得：，
∴AE=2；
(3)△BCE的周长不变. 理由如下：
，BE=4−x，
设AD=m，则DE=4−m，
∵∠A=90∘，
∴DE2=AE2+AD2即,(4−m)2=x2+m2
∴，
由(1)知：△AED∽△BCE，
∴
∴
∴△BCE的周长不变.
【点睛】
本题考查相似三角形的综合应用，需要熟练掌握相似三角形的判定和性质，得出比例关系是关键.
21．（1）见解析；（2）；（3）
分析：
（1）先根据得到，根据，，，求出，则得到，再根据相似三角形的判定即可求解；
（2）由得到，，由，得到，，，根据也得到，代入得
化简得
（3）当点在的延长线上时，设，，同样可得，根据平行得到，又必定大于，若两个三角形相似，只有，故可得到，代入得，再求解即可得到答案.
【详解】
（1）∵，
∴
∵，，，
∴，
∴
∴
又∵是公共角，
∴
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
又，得到，
∴
∴
（3）当点在的延长线上时，设，，同样可得
在和中，
∵，
∴
又∵必定大于，
∴若两个三角形相似，只有
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴（舍），
∴当和相似时，
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意找到相似三角形进行判定与列比例式进行求解.
22．（1）；（2）当t或或时，为等腰三角形.
分析：
（1）过点P作PH⊥BC，垂足为H，从而得到△BPH∽△ABC，根据相似比例求出PH的长，然后表示出三角形PBQ的面积即可；
（2）需要分BP=BQ，BQ=PQ和BP=PQ三种情况讨论三角形PBQ为等腰三角形，即最后分别求值即可.
【详解】
（1）如图1，过点P作PH⊥BC，垂足为H，
∵Rt△ABC中直角边AC=6，BC=8
∴由勾股定理可得AB=10，
∴BP=10-2t，BQ=t.
∵AC⊥C B
∴△BPH∽△ABC，
∴ 即，解得;
∴
（2）①当BP=BQ时，10-2t=t，解得t= 秒；
②如图2，当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，
∵BQ=PO，QE⊥BD，
∴
∵∠B=∠B, ∠ACB=∠QEB,
∴△BQE∽△BAC
∴，即，即得：t= 秒；
③如图3，当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F
∵BP=PQ，PF⊥BC，
∴
∵
∴△BPF∽△BAC，
∴，即：，解得：t=秒
综上：当或或时，为等腰三角形.
【点睛】
本题的属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，特别是分类讨论是解答本题的关键，也是解答本题的难点.
23．当P离B或4或6时，与是相似三角形
分析：
设BP=x，由BD-BP表示出PD，分两种情况考虑：当△PAB∽△PCD时；当△PAB∽△CPD时，分别由相似得出比例方程，解出x即可.
【详解】
解：设BP=x，BD=10，则PD=BD-BP=10-x分两种情况考虑：
假设△PAB∽△PCD时，有
又∵，
∴
解得：
假设当△PAB∽△CPD时，有
∴解得：x=4或x=6
∴当P离B或4或6时，与是相似三角形
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想，全面分析各种可能性.
24．（1）；
（2）点P的坐标为（6，4）或（，）；
（3）①tan∠FAM﹣tan∠GAM＝；②点N的坐标为（﹣4，4）．
分析：
（1）将点A代入抛物线即可．
（2）相似分两种情况，一种是AP∥CD，根据两直线平行k相等，再代入点A就可以求出此时直线AP的解析式，和抛物线联立就可以求出点P的坐标；另一种根据相似三角形对应边成比例，列方程求解即可．
（3）①设点N的坐标，表示线段长度，列比值算出数值即可．②转换题干中的比值，把斜线的比值转换为水平线的比值，表示线段长度，列式求解即可．
【详解】
解：（1）将A（﹣2，0）代入抛物线中，得
0＝4a+4a﹣2，解得．
故答案为．
（2）抛物线的解析式为，
令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0），
令x＝0，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，代入点A、C，得：
解得
∴y＝﹣x﹣2，
设直线BC的解析式为y＝k1 x+b1，代入点点B、C，得：
解得
∴y＝x﹣2，
设点P的横坐标为m，则纵坐标为，
则点D（m， m﹣2），Q（m，﹣m﹣2），
PQ＝，
DQ＝，
AQ＝，
CQ＝，
①当AP∥CD时，△APQ∽△CDQ，
设直线AP的解析式为y＝x+b3，
代入点A，0＝×（﹣2）+b3，解得b3＝1，
∴y＝x+1，
令x+1＝x2﹣﹣2，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
当x＝6时，y＝4，
∴P（6，4）．
②当∠APQ＝∠QCD时，△APQ∽△DCQ，
∴，
∴＝
解得m1＝﹣2（舍），m2＝，
当x＝时，y＝，
∴P（，）．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，）．
（3）①过点N作NK垂直x轴于点K，
设点N的坐标为（n，n2﹣n﹣2），
则NK＝n2﹣n﹣2，AK＝﹣2﹣n，BK＝4﹣n，
tan∠FAM＝tan∠NAK=＝，
tan∠GAM＝tan∠GBK=＝，
∴tan∠FAM﹣tan∠GAM＝-=．
②∵，△NED∽△NGF，
∴，
过点N向抛物线的对称轴作垂线，分别交y轴和对称轴于点J、H，
∴△NJE∽△NHG，
∴，
NJ＝﹣n，NH＝1﹣n，
∴4（1﹣n）＝﹣5n，
解得n＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝4，
∴点N的坐标为（﹣4，4）．
【点睛】
本题为二次函数综合题，比较考查逻辑分析能力以及计算能力，需对知识熟练掌握.
25．(1) 30°;(2) ;(3)能，45，理由见解析
分析：
（1）利用矩形的性质，证明△OAC是等边三角形即可得出答案
（2）作OH⊥AD于H，由△AOH∽△ADO，可求AD的值，从而可以求出CD的值，再由DE∥OA，即可求出DE
（3）连接AB、BC，即可求出答案
【详解】
（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝EC，AC＝CD，OC＝CE，∠AOD＝90°
∴AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∴∠ADO＝90°﹣∠OAD＝30°．
（2）如图2中，作OH⊥AD于H．
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴AH＝HC＝3，
∵∠OAH＝∠OAD，∠AHO＝∠AOD，
∴△AOH∽△ADO，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵DE⊥OD，
∴∠EDO＝90°，
∴∠AOD+∠EDO＝180°，
∴DE∥OA，
∴，
∴，
∴．
（3）如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD＝45°．
理由：连接AB、BC．
∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，
又∵，
∴．
【点睛】
本题的关键是做辅助线、掌握相似三角形的性质
26．（1）；（2），证明见解析；（3）7.5或3或27.
分析：
（1）作AE⊥BC于E，先在Rt△ABC中运用勾股定理求出BC=15，再解Rt△ABE，得到AE=，BE=，然后在Rt△AEP中，利用勾股定理得AP2=PE2+AE2，即可求出y关于x的函数关系式；
（2）先由两角对应相等的两三角形相似证明出△APM∽△ACD，则AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，又由∠PAM=∠CAD，得出∠PAC=∠MAD，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可得到△PAC∽△MAD；
（3）先由相似三角形的形状相同，由（2）得出△APC为等腰三角形，再分两种情况进行讨论：①点M在平行四边形内；②点M在平行四边形外；又分两种情况：（i）P在BC上，（ii）P在BC的延长线上．
【详解】
解：（1）如图，作AE⊥BC于E，
在Rt△ABC中，∵AB=9，AC=12，
∴BC=15，
∵△ABE∽△CBA，
∴BE=，AE=
∵BP= ，∴PE=，
在Rt△AEP中，
∴
(2) 存在，，
∵∠PAM=∠CAD，∠APM=∠ACD=90°，
∴△APM∽△ACD，
∴
∴
∵，
∴∠PAC=∠MAD，
∴
（3）∵△PAC∽△MAD，
∴当△AMD为等腰三角形时，△APC也为等腰三角形，
①当点M在平行四边形内时，如图1．点P只能在EC上,
∵∠APC为钝角，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
又∵∠PAB=90°-∠PAC，∠B=90°-∠PCA，
∴∠PAB=∠B，∴PA=PB，
∴PA=PB=PC=BC=，
即BP=7.5；
②当点M在平行四边形外时，
（i）若P在BC上，如图2．点P只能在BE上,
∵AP＜AC，AP＜PC，
∴CA=CP=12，则BP=15-12=3；
（ii）若P在BC的延长线上，如图3,
∵AP＞AC，AP＞PC，
∴CA=CP=12，则BP=15+12=27．
综上可知，当△AMD为等腰三角形时，BP的长为7.5或3或27．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．
27．（1）⊙P的半径为；（2）x的取值范围为；（3）BE＝或．
分析：
（1）由题意BE＝FQ可得∠BPE＝∠FPQ，进而可得∠EBP＝∠FQP.又AD∥BC，故∠ADB＝∠EBP，即∠FQP＝∠ADB，故两角的正切值相等即可求出半径.
（2）要求y关于x的函数关系式即可通过过P点做垂线PM，将QM用含x的式子表示，利用QM＝PQcs∠AQB＝，而FQ=2QM，即；根据题意圆与D点相交时，x最大，可求出x的取值范围；
（3）根据题意四边形EGFP是梯形，由于P点是动点所以产生两种情况，当GF∥EP时和GE∥FP时，故应进行分类讨论.①当GF∥EP时，可发现PE为△BGQ的中点，根据线段关系可求得BP的长度，因为△BGQ和△DGA相似，故有，可求得BG＝，所以BE=BG.②当GE∥FP时，过点P作PN⊥BG ，跟①同理，可求得BE＝2BN.
【详解】
（1）∵BE＝FQ，
∴∠BPE＝∠FPQ，
∵PE＝PB，
∴∠EBP＝（180°﹣∠EPB），
同理∠FQP＝（180°﹣∠FPQ），
∴∠EBP＝∠FQP，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBP，
∴∠FQP＝∠ADB，
∴tan∠FQP＝tan∠ADB＝，
设⊙P的半径为r，则tan∠FQP＝，
∴，
解得：r＝，
∴⊙P的半径为；
（2）过点P作PM⊥FQ，垂足为点M，如图1所示：
在Rt△ABQ中，cs∠AQB＝，
在Rt△PQM中，QM＝PQcs∠AQB＝，
∵PM⊥FQ，PF＝PQ，
∴FQ＝2QM＝，
∴，
当圆与D点相交时，x最大，作DH⊥BC于H，如图2所示：
则PD＝PB＝x，DH＝AB＝4，BH＝AD＝3，
则PH＝BP﹣BH＝x﹣3，
在Rt△PDH中，由勾股定理得：42+（x﹣3）2＝x2，
解得：x＝，
∴x的取值范围为：0＜x≤；
（3）设BP＝x，分两种情况：
①EP∥AQ时，
∴∠BEP＝∠BGQ，
∵PB＝PE，
∴∠PBE＝∠BEP，
∴∠BGQ＝∠PBE，
∴QG＝QB＝2x，
同理：AG＝AD＝3，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：42+（2x）2＝（3+2x）2，
解得：x＝，
∴QG＝QB＝2x＝，
∵EP∥AQ，PB＝PQ，
∴BE＝EG，
∵AD∥BC，
∴，
即，
解得：BG＝，
∴BE＝BG＝；
②PF∥BD时，同①得：BG＝BQ＝2x，DG＝AD＝3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+32＝（3+2x）2，
解得：x＝1或x＝﹣4（舍去），
∴BQ＝2，
∴BP＝1，
作PN⊥BG于N，则BE＝2BN，如图3所示：
∵AD∥BC，
∴∠PBN＝∠ADB，
∴cs∠PBN＝cs∠ADB＝，即＝，
∴BN＝，
∴BE＝2BN＝；
综上所述，BE=或．
【点睛】
本题考查了圆与函数，四边形的综合，已知条件较多，存在不确定的动点情况，难度较大，解决本类题目的关键因素有①找到动点问题的临界点或特殊位置来解题；②对已知条件充分把握和利用，准确进行分类讨论.
28．（1）9；（2）∠DCE的大小确定，.（3）当△AEF的面积为3时，△DCE的面积为25或73.
解析：
分析：
（1）根据AD//BC和 E为AB中点，得出 AD＝ BF，DE＝ EF，再根据AD＝3，AB＝6，求出BF＝3，再求出DF的值，最后求出CF即可；
（2）作CH⊥AD交AD的延长线于点H，再得出△AED∽△HDC再根据AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，得出CH ＝AB＝6，然后得出∠DCE的正切值；
（3）当点E在边AB上，设AE＝x，根据△AEF的面积为3得出x的值，再求出DE,DC的值，然后可以得出△DCE的面积；当点E在边AB延长线上，设AE＝y，根据△AEF的面积为3，得出，联结CE，作CH⊥AD交AD的延长线于点H，得出DC,DE的值即可.
【详解】
解：（1）∵AD//BC，∴.∵E为AB中点，∴AE＝BE. ∴AD＝ BF，DE＝ EF.
∵AD＝3，AB＝6，∴BF＝3，BE＝3. ∴BF＝BE.
∵AB⊥BC，∴∠F＝45°且EF＝.
∴DF＝2EF＝.
∵DF⊥DC，∠F＝45°，∴CF＝12.
∴BC＝ .
（2）∠DCE的大小确定，.
作CH⊥AD交AD的延长线于点H，∴∠HCD＋∠HDC＝90°.
∵DF⊥DC，∴∠ADE＋∠HDC＝90°. ∴∠HCD＝∠ADE.
又∵AB⊥AD，∴∠A＝∠CHD. ∴△AED∽△HDC.
∴.
∵AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，∴CH ＝AB＝6.
∵AD＝3，CH＝6，∴.即.
（3）当点E在边AB上，设AE＝x，
∵AD//BC，∴，即.∴.
∵△AEF的面积为3，∴.
∴.
∵AD＝3，AB⊥AD，∴DE＝5. ∵，∴DC＝10.
∵DF⊥DC，∴.
当点E在边AB延长线上，设AE＝y，
∵AD//BC，∴，即.∴.
∵△AEF的面积为3，∴.∴.
∵AD＝3，AB⊥AD，∴DE＝.
联结CE，作CH⊥AD交AD的延长线于点H，同（1）可得.
∴DC＝
∵DF⊥DC，∴.
综上，当△AEF的面积为3时，△DCE的面积为25或73.
【点睛】
本题考查的是梯形的综合运用，熟练掌握平行的性质和三角函数和相似三角形是解题的关键.
29．（1）CD=4；（2）；（3）或
解析：
分析：
(1)求出BC，AC,利用重心即可解答.
(2) 做CH⊥AB于H，根据条件求出AD，利用三角形相似即可解答.
(3)分类讨论DE在AC下方和DE在AC上方时的情况，利用勾股定理即可解答.
【详解】
解：（1）根据题意得BC=6，AC=6，
由重心性质可得,
可得CD=4.
(2)做CH⊥AB于H，
可得BH=3，CH=3，AH=9，
∵CD=4，即DH==.
∴AD=9-.
∵∠ACD=∠BCE，，
所以△ACD∽△BCE，
所以，即BE=3-.
(3)①DE在AC下方时：△ACD∽△BCE，
得∠BED=∠ADC=∠DCE+∠CED，，
∴∠AEB=∠DCE=90°，设BE=x,AD=x,
在Rt△ABE中，，
可得x=4-2.
所以sin∠BAE==.
②DE在AC上方时，
同理，
∠BEC+∠DEC=∠D+∠DEC=90°，
∴∠AEB=90，
设BE=x,AD=x,AE=x-8,
在直角三角形ABE中，，
解得x=4+2,
所以sin∠BAE=.
故BAE 的正弦值.为或.
【点睛】
本题考查三角形相关知识的综合运用，掌握重心，证明三角形相似等知识点是解答本题的关键.
30．（1）．
（2）存在DE是不变的．DE=
（3）．
分析：
（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长．
（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE=．
（3）由BD=x，可知，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y关于x的函数关系式．
∵，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），
∴．
【详解】
解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=．
又∵OB=2，∴．
（2）存在，DE是不变的．
如图，连接AB，则．
∵D和E是中点，∴DE=．
（3）∵BD=x，∴．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900．
∴∠2+∠3=45°．
过D作DF⊥OE，垂足为点F．∴DF=OF=．
由△BOD∽△EDF，得，即
，解得EF=x．
∴OE=．
∴．
31．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
解析：
分析：
（1）由于AD∥BC，AB∥CD，通过三角形相似，找到分别于，都相等的比，把比例式变形为等积式，问题得证．
（2）推出∽，再结合，可证得答案.
【详解】
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴， ，
∴即．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，又∵，
∴即，
又∵,
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
32．（1）AB=10；（2） ；（3）10－或．
解析：
分析：
（1）勾股定理解题,
（2）作辅助线,在Rt△FHE中,勾股定理即可求解,
（3）分为AE=AF或EF=AF两种情况,直接写出坐标即可.
【详解】
解：（1）∵AC=6，CE=3,BE=5，
∴BC=8,
∴AB=10（勾股定理）,
（2）过点F作FH垂直BE于F,
∴HF∥AC,
∵BF=x,BC=8, AC=6,BE=5,
∴BH=,HF=,(平行线分线段成比例),
EH=5-x,
在Rt△FHE中,勾股定理得：y2=()2+(5-x)2,
整理得：,
（3））当△AEF为等腰三角形时，10－或．
【点睛】
本题考查了勾股定理得应用,线段之间的函数关系,难度较大,表示出线段之间的关系是解题关键.
33．（1）见解析；（2）①Q点的运动速度为1cm/s，②S=﹣t2+8．
分析：
(1)由条件可以得出,,就可以得出;
(2)①根据直角三角形的性质和中垂线的性质BM、MN的值,再由就可以求出Q的运动速度;
②先由条件表示出AN、AP和AQ,再由三角形的面积公式就可以求出其解析式;
【详解】
（1）∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN．
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠MNQ=90°，
∴∠B=∠MNQ，
∴△PBM∽△QNM．
（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴BC=2AB=8cm．AC=12cm，
∵MN垂直平分BC，
∴BM=CM=4cm．
∵∠C=30°，
∴MN=CM=4cm．
①设Q点的运动速度为v（cm/s）．
∵△PBM∽△QNM．
∴=，
∴=，
∴v=1，
答：Q点的运动速度为1cm/s．
②∵AN=AC﹣NC=12﹣8=4cm，
∴AP=4﹣t，AQ=4+t，
∴S=AP•AQ=（4﹣t）（4+t）=﹣t2+8．
【点睛】
本题是一道运用相似的相关知识解答的综合试题,考查了相似三角形的判定与性质的运用,三角形的面积公式的运用,平行四边形的判定与性质的运用,中垂线的判定与性质的运用,解答本题时求出△PBM∽△QNM是关键.正确作出辅助线是难点.
34．（1）（4，1）（2）（1，）
【详解】
分析：（1）先求出点A、B的坐标，再求出AB、AC的长，过点C作CD⊥x轴于点D，易得△OBA∽△DAC，得出AD=2,CD=1，从而得到结论；
（2）分别求出△ABC的面积和△ABM的面积，令令直线x=1与线段AB交于点E，ME=m﹣2；分别过点A、B作直线x=1的垂线，垂足分别为F、G，得到AF+BG=OA=2，由△ABM的面积=△BME的面积+△AME的面积，得到ME的长，从而求解即可.
详解：（1）令y=0，则﹣2x+4=0，
解得x=2，
∴点A坐标是（2，0）．
令x=0，则y=4，
∴点B坐标是（0，4）．
∴AB== =2．
∵∠BAC=90°，tan∠ABC=
，
∴AC=AB= ．
如图1，
过C点作CD⊥x轴于点D，
∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠CAD=90°，
∵∴∠ABO=∠CAD，
，
∴△OAB∽△DAC．
∴= = =，
∵OB=4，OA=2，
∴AD=2，CD=1，
∴点C坐标是（4，1）．
（2）S△ABC= AB•AC= ×2×=5．
∵2S△ABM=S△ABC，
∴S△ABM= ．
∵M（1，m），
∴点M在直线x=1上；
令直线x=1与线段AB交于点E，ME=m﹣2；
如图2，
分别过点A、B作直线x=1的垂线，垂足分别是点F、G，
∴AF+BG=OA=2；
∴S△ABM=S△BME+S△AME=ME•BG+ME•AF=ME（BG+AF）
= ME•OA=×2×ME=，
∴ME=，
m﹣2=，
m=，
∴M（1，）．
点睛：此题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积求解，灵活准确的添加辅助线是解题关键.
35．（1）20；（2），定义域为0＜x≤24；（3）20或24或．
【详解】
试题分析：（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；
（2）证明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；
（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：
①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△BAD中，，AB=16，
∴AD=12∴；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DEF=∠ADB，
∴∠DEF=∠DBC，
∵∠EDF=∠BDE，
∴△EDF∽△BDE，
∴，
∵BC=AD=12，BE=x，
∴CE=|x﹣12|，
∵CD=AB=16
∴在Rt△CDE中，，
∵，
∴，
∴，定义域为0＜x≤24
（3）∵△EDF∽△BDE，
∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，
①当BE=BD时
∵BD=20，∴BE=20
②当DE=DB时，
∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，
∴BE=24；
③当EB=ED时，
作EH⊥BD于H，则BH=，cs∠HBE=cs∠ADB，
即
∴，
解得：BE=；
综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．
【考点】
四边形综合题．
36．（1）y=t2（2）4（3）t=14.5s（4）IC=
解析：
试题分析：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6在Rt△ABE中，AB===8，如图1中，作PM⊥BC于M．由△ABE∽△MPB，得，求出PM，根据△BPQ的面积y=•BQ•PM计算即可问题．
（2）观察图象（1）（2），即可解决问题．
（3）分三种情形讨论①P在BE上，②P在DE上，③P在CD上，分别求解即可．
（4）由∠BIH=∠BCG=90°，推出B、I、C、G四点共圆，推出∠BGH=∠BCI，由△GBH∽△CBI，可得，由此只要求出GH即可解决问题．
试题解析：（1）观察图象可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10﹣4=6
在Rt△ABE中，AB===8，
如图1中，作PM⊥BC于M．
∵△ABE∽△MPB，
∴，
∴，
∴PM=t，
当0＜t≤5时，△BPQ的面积y=•BQ•PM=•2t•t=t2．
（2）由（1）可知BC=BE=10，ED=4．
（3）①当P在BE上时，
∵BQ=2PB，
∴只有∠BPQ=90°，才有可能B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似，
∴∠BQP=30°，这个显然不可能，
∴当点P在BE上时，不存在△PQB与△ABE相似．
②当点P在ED上时，观察图象可知，不存在△．
③当点P在DC上时，设PC=a，
当时，∴，
∴a=，
此时t=10+4+（8﹣）=14.5，
∴t=14.5s时，△PQB与△ABE相似．
（4）如图3中，设EG=m，GH=n，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴m=，
在Rt△BIG中，∵BG2=BI2+GI2，
∴（）2=62+（8+n）2，
∴n=﹣8+8或﹣8﹣8（舍弃），
∵∠BIH=∠BCG=90°，
∴B、I、C、G四点共圆，
∴∠BGH=∠BCI，
∵∠GBF=∠HBI，
∴∠GBH=∠CBI，
∴△GBH∽△CBI，
∴，
∴，
∴IC=．
考点：二次函数综合题
37．（1）；（2）P（2，2）；（3）（﹣4，0）或（﹣2，0）．
解析：
试题分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出△PMC≌△PNB，再用PC2=PB2，建立方程求解即可；
（3）先判断出点Q只能在点O左侧，再分两种情况讨论计算即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax2﹣4ax+1，∴点C的坐标为（0，1）．
∵OB=3OC，∴点B的坐标为（3，0），∴9a﹣12a+1=0，∴a=，∴．
（2）如图，过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N．
∵∠MPC=90°﹣∠CPN，∠NPB=90°﹣∠CPN，∴∠MPC=∠NPB．
在△PCM和△PBN中，∵∠PMC=∠PNB，∠MPC=∠NPB，PC=PB，∴△PMC≌△PNB，∴PM=PN．
设点P（a，a）．
∵PC2=PB2，∴a2+（a﹣1）2=（a﹣3）2+a2．
解得a=2，∴P（2，2）．
（3）∵该抛物线对称轴为x=2，B（3，0），∴A（1，0）．
∵P（2，2），A（1，0），B（3，0），C（0，1），∴PO=，AC=，AB=2．
∵∠CAB=135°，∠POB=45°，在Rt△BOC中，tan∠OBC=，∴∠OBC≠45°，∠OCB＜90°，在Rt△OAC中，OC=OA，∴∠OCA=45°，∴∠ACB＜45°，∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q只有在点O左侧时．
（i）当时，∴，∴OQ=4，∴Q（﹣4，0）．
（ii）当时，∴，∴OQ=2，∴Q（﹣2，0）．
当点Q在点A右侧时，综上所述，点Q的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）．
考点：1．相似形综合题；2．分类讨论．
38．(1)AG=8；（2）；(3).
分析：
（1）根据已知条件和重心的性质得出BD=DC=BC，AD⊥BC，再根据sinB=，求出AB、BC、AD的值，从而求出AG的长；
（2）根据∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°，得出∠MGD=∠B，再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM=CD-DM的值，在△ABC中，根据AA求出△QCM∽△QGA，即可求出的值；
（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF，得出，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根据BD=CD，求出EG=FG，即可得出CE+BE=2GD，从而得出求y关于x的函数解析式并得出它的定义域．
【详解】
（1）在△ABC中，∵AB=AC，点G是△ABC的重心,
∴，AD⊥BC.
在Rt△ADB中，∵,∴.
∵, ∴AB=15，BC=18.
∴AD="12."
∵G是△ABC的重心，∴.
（2）在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°，
同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,
∴∠MGD=∠B.
∴,
在Rt△MDG中,∵，
∴，∴
在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC,∴.
∵,
又∵,
∴,
又∵,
∴△QCM∽△QGA.
∴.
（3）过点作,过点作,分别交直线于点E、F，则.
∵,∴,即,
∴
同理可得:,即,
∴.
∵,,∴.
∴,即.
∴,.
39．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当a=时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）m的变化范围为：﹣≤m≤5
【详解】
解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）令，
∴x1= -1，x2=3，即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），
∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB
∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）；
（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，
当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，
则△MNF∽△NCH，
∴，
设FN=n，则NH=3-n，
∴，
即n2-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，
得m≥，
当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为：≤m≤5．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，二次函数的应用是中考的必考题型，考生在解此类问题时一定要注意分析求最大值和最小值所需要函数解决的问题．
40．（1）证明见解析；（2）P运动到AB中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）见解析.
分析：
(1)两边一角 AQ=AQ AB=AD=4 角DAQ=角BAQ=45度 所以两个三角形全等．
(2)做QE垂直于AD ,△DQE相似于△DPA,△ADQ面积=ADQE/2 ,正方形面积=ADAB ,△ ADQ的面积是正方形面积的1/6 ,则QE="AB/3=4/3" ,△AQE是等腰直角三角形, 则AQ=QE=4/3 ,DQ=AD-AQ=8/3,△DQE相似△DPA中, DQ/AD=QE/AP,带入数据即可，则P点正好运动到AB的中点.
(3)假设△ADQ恰好为等腰三角形,P在 ABC上运动 首先当AD=QD=4时 Q与C点刚好重合 所以P运动到C点 △ADQ为等腰三角形；当P运动到B点时，AQ="QD" △ADQ为等腰直角三角形；当AD=AQ=4时,△ADQ与△CPQ相似,则PC=CQ=AC-AQ=,则P运动到距离C点时,△ADQ为等腰三角形.
【详解】
（1）证明：在正方形中，
无论点运动到上何处时，都有
＝ ∠＝∠,
＝
∴△≌△
(2)解：△的面积恰好是正方形ABCD面积的时，
过点Q作⊥于,⊥于，则 ＝
＝＝
∴＝
由△ ∽△得解得
∴时，△的面积是正方形面积的
（3）若△是等腰三角形，则有＝或＝或＝
①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知＝
此时△是等腰三角形
②当点与点重合时，点与点也重合，
此时＝, △是等腰三角形
③解：如图，
设点在边上运动到时，有＝
∵∥∴∠＝∠
又∵∠＝∠ ∠＝∠
∴∠＝∠
∴＝＝
∵＝＝＝4
∴
即当时，△是等腰三角形
41．（1）；（2）见解析；（3）当s，点P、Q、B三点在同一条直线上．
【详解】
（1）在Rt△DEF中由勾股定理可以得到DF=10．同理，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC为等腰直角三角形；由DE⊥BC，∠ACB=45°，知△QEC也是等腰直角三角形，所以，QE=CE=t，则BE=BC﹣CE=9﹣t；则△BQE的面积y=BE•QE；
（2）在Rt△DEF中，DE=6，DF=10，所以，cs∠D=，sin∠D=；在Rt△PDG中，通过sin∠D求得PG、cs∠D解得DG，
那么GQ=DQ﹣DG；在Rt△PGQ中，利用勾股定理，求得PQ2．若△DPQ为等腰三角形时，分三种情况：①若DP=DQ；②若DP=PQ；③当DQ=PQ时；
（3）①当t=0时，点B、P、Q在同一条直线上；
②当B、Q、P在同一直线上时，过点P作DE的垂线，垂足为G，则PG∥BE，△DPG∽△DFE；然后由相似三角形的对应边成比例求得 PG、DG的值，而DQ=6﹣t，所以求得GQ=DQ﹣DG的值，根据平行线的判定定理知GP∥BE，可证△GPQ∽△QBE，所以，
GP：BE=GQ：EQ，从而解得t=，点B、Q、P在同一直线上．
解：（1）∠ACB=45°，∠DEF=90°，
∴∠EQC=45°．
∴EC=EQ=t，
∴BE=9﹣t．
∴，
即：
（2）①当DQ=DP时，∴6﹣t=10﹣3t，解得：t=2s．
②当PQ=PD时，过P作PH⊥DQ，交DE于点H，
则DH=HQ=，由HP∥EF，
∴ 则，解得s
③当QP=QD时，过Q作QG⊥DP，交DP于点G，
则GD=GP=，可得：△DQG∽△DFE，
∴，则，
解得s
（3）假设存在某一时刻t，
使点P、Q、B三点在同一条直线上．
则，过P作PI⊥BF，交BF于点I，
∴PI∥DE，
于是： ，
∴，
∴ ，则 ，
解得：s．
答：当s，点P、Q、B三点在同一条直线上．
42．；
分析：
根据题意和三角形相似，可以用含的代数式表示出，然后根据矩形面积公式，即可得到与的函数关系式．
【详解】
解：四边形是矩形，，上的高，，矩形的面积为，
，
，
，
得，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
43．或1
分析：
分两种情形：①当R在AD边上时，易得△AQR∽△PQB且相似比为1:1，从而得解；②当R在CD上时，先证明BR⊥AP，再根据等面积法计算BQ，根据线段的和差计算QR,计算比值即可得解.
【详解】
①当R在AD边上时,

∵四边形ABCD为正方形
∴∠BAR=∠ABP=90°，AR∥BP
又∵AP=BR,AB=AB,
∴△ABP≌△BAR，
∴AR=BP，
∵AR∥BP,
∴△AQR∽△PQB
∴.
②当R在CD上时，
∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABC=∠BCR=90°，AB=BC
又∵AP=BR
∴△ABP≌△BCR，
∴∠BAP=∠CBR，
∵∠CBR+∠ABR=90°，
∴∠BAP+∠ABR=90°，
∴∠AQB=90°，
∴BR⊥AP，
∵AB=8.BP=6，
∴AP=BR=，
∵⋅AB⋅BP=⋅AP⋅BQ，
∴，
∴
故答案为1或.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质.能根据题意作图，并得出需分两种情况讨论是解决此题的关键，在第②种情况中，能采用等面积法求BQ能使过程更加简单.
44．3
分析：
设AP为x，表示出PB=8-x，然后分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】
解：设AP为x，
，
，
和PB是对应边时，
与相似，
，
即，
整理得，，
解得，，
和BC是对应边时，
与相似，
，
即，
解得，
所以，当、4、时，与相似，
满足条件的点P有3个．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．
45．257或7
解析：
分析：
①如图1，过A作AH⊥BC于H，连接DB′，设AH＝4x，BH＝3x，根据勾股定理得到AB＝AH2+BH2＝5x＝5，根据旋转的性质得到AB′＝AB＝5，AM＝DM＝12AD＝4，∠AMN＝∠HNM＝90°，根据勾股定理得到MB′＝AB'2+AM2＝3，求得HN＝MN＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论；
②如图2，由①知，MN＝4，MB′＝3，BN＝7，求得NB＝NB′，推出点P与N重合，得到BP＝BN＝7．
【详解】
①如图1，过A作AH⊥BC于H，连接DB′，
设BB′与AP交于E，
AD的垂直平分线交AD于M，BC于N，
∵tanB＝AHBH=43，
∴设AH＝4x，BH＝3x，
∴AB＝AH2+BH2＝5x＝5，
∴x＝1，
∴AH＝4，BH＝3，
∵将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线MN上，
∴AB′＝AB＝5，AM＝DM＝12AD＝4，∠AMN＝∠HNM＝90°，
∴四边形AHNM是正方形，MB′＝AB'2+AM2＝3，
∴HN＝MN＝4，
∴BN＝7，B′N＝1，
∴BB′＝BN2+B'N2=52，
∴BE＝12BB′＝522，
∵∠BEP＝∠BNB′＝90°，∠PBE＝∠B′BN，
∴△BPE∽△BB′N，
∴PBBB'=BEBN，
∴PB52=5227，
∴BP＝257；
②如图2，由①知，MN＝4，MB′＝3，BN＝7，
∴NB＝NB′，
∴点N在BB′的垂直平分线上，
∵将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上，
∴点P也在BB′的垂直平分线上，
∴点P与N重合，
∴BP＝BN＝7，
综上所述，BP的长为257或7．
故答案为：257或7．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．