沪教版九年级上册数学专题训练专题07实际问题与二次函数重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题07实际问题与二次函数重难点专练(原卷版+解析)，共95页。试卷主要包含了解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．(2023·上海九年级专题练习）某淘宝店购进苹果若干箱，物价部门规定其销售单价不高于80元/箱，经市场调查发现：销售单价定为80元/箱时，每日销售20箱；如调整价格，每降价1元/箱，每日可多销售2箱．
（1）已知某天售出苹果70箱，则当天的销售单价为________元/箱；
（2）该淘宝店现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天100元，每天平均支付运费及其它费用250元，当某天的销售价为45元/箱时，收支恰好平衡．
①求苹果的进价；
②若淘宝店每天的纯利润（收入—支出）全部用来偿还一笔15000元的借款，则至少需多少天才能还清借款．
2．(2023·上海中考模拟）如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于C点，其中.
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15º，求线段CD的长度；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，求点的坐标.
3．(2023·上海市行知实验中学）已知正方形ABCD的边长为6，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（均不与正方形顶点重合）且PE=PF,PE⊥PF.
（1）求证：AE+DF=6
（2）设AE=，五边形EBCFP的面积为，求与的函数关系式，并求出的取值范围.
4．(2023·上海市市西初级中学八年级期中）水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x千克时，在甲、乙两家商店所花的钱分别为y1元和y2元，已知y1、y2关于x的函数图象分别为如图所示的折线OAB和射线OC．
（1）当x的取值为 时，在甲乙两家店所花钱一样多？
（2）当x的取值为 时，在乙店批发比较便宜？
（3）如果批发30千克该水果时，在甲店批发比在乙店批发便宜50元，求射线AB的表达式，并写出定义域．
5．(2023·上海九年级专题练习）如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1 = x2 + 2x + 2与y2 = x2 - 2x + 2是“关于y轴对称二次函数”．
（1）二次函数y = 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ；
（2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．
（3）在第（2）题的情况下，如果M是两个抛物线上的一点，以点A，O，C，M为顶点能否构成梯形. 若能，求出此时M坐标；若不能，说明理由.
6．(2023·上海奉贤区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为.
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）点关于抛物线对称轴的对应点为点，联结，求的正切值；
（3）将抛物线向上平移个单位，使顶点落在点处，点落在点处，如果，求的值.
7．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y＝a（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，a）和点B（﹣1，﹣a）．
（1）求直线AB与y轴的交点坐标；
（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着x的增大而增大，求a应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当Q在以AB为直径的圆上时，求a的值．
8．(2023·上海九年级专题练习）如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．
（1）求a、b的值；
（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；
（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．
9．(2023·上海九年级专题练习）如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且∠ACO＝∠CBO．
（1）求线段OC的长度；
（2）若点D在第四象限的抛物线上，连接BD、CD，求△BCD的面积的最大值；
（3）若点P在平面内，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P的坐标．
10．(2023·上海奉贤区·九年级期中）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件）（x为正整数）之间满 足如图所示的函数关系．
（1）直接写出 y与 x之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；
（2）若一次性批发量不低于 20 且不超过 60 件时，求获得的利润 w 与 x 的函数 关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
11．(2023·上海）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．
（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式；
（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；
（3）如果∠OAC=135°，求m的值．
12．(2023·上海九年级专题练习）如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且ctα＝3，求水面上升的高度．
13．(2023·上海九年级二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，6），其顶点为D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．
14．(2023·上海华二紫竹双语学校或华二双语学校九年级月考）已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2，
（1）如图：P为AD上的一点，满足；
① ；
② 求AP的长
（2）如果点P在AD上移动（点P与点A、D不重合），且满足，PE交直线与BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
① 当点Q在线段DC的延长线上时，设AP = x，CQ = y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
② 当CE = 1时，写出AP的长（不必写出解题过程）
15．(2023·上海九年级专题练习）二次函数的图象过点（4，－5）和（0，3），且与x轴交于点M（－1，0）和N，
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如果这二次函数的图像的顶点为点P，点O是坐标原点，求△OPN的面积．
（3）如果点R与点P关于x轴对称，判定以M、N、P、R为顶点的四边形的边之间的位置与度量关系．
16．(2023·上海大学附属学校九年级三模）已知二次函数图象的顶点坐标为（3，8），该二次函数图像的对称轴与轴的交点为A，M是这个二次函数图像上的点，是原点
（1）不等式是否成立？请说明理由；
（2）设是△AMO的面积，求满足的所有点M的坐标．
（3）将（2）中符号条件的点M联结起来构成怎样的特殊图形？写出两条这个特殊图形的性质．
17．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x(元）满足一次函数m=-2x+160．
（1）写出商场买出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数解析式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，那么每件商品的售价定位多少元最合适？最大的销售利润为多少元？
18．(2023·上海民办兰生复旦中学九年级月考）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是：，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？
19．（江西省吉安市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题）如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
20．(2023·上海）商场购进某种新商品在试销期间发现，当每件利润为10元时，每天可销售70件；当每件商品每涨价1元，日销售量就减少1件，但每天的销售量不得低于35件．据此规律，请回答下列问题．
（1）设每件涨了x元时，每件盈利_________元，商品每天可销售______件；
（2）在商品销售正常的情况下，每件商品涨价多少元时，商场每天盈利为1500元？
（3）若商场的每天盈利能达到最大，请直接写出每天的最大盈利为______________．
21．(2023·上海九年级专题练习）某电动机加工厂以400元/个的价格新接了一批电动机加工业务．根据工厂以往的制造能力，该工厂每天制造电动机的数量为x（个）(200≤x≤500)，且每个电动机的制造成本y(元)与每天制造电动机的数量x(个)之间的函数关系的图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知该工厂每天各项消耗的费用是2万元，每天的利润为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并求出当x为多少时，w最大，最大日利润是多少．
22．(2023·上海中考模拟）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，顶点为.
（1）求这条抛物线表达式；
（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为，它与轴交点为，联结、，设点的纵坐标为，用含的代数式表示的正切值；
（3）联结，在（2）的条件下，射线平分，求点到直线的距离.
23．(2023·河南郑州市·郑州外国语中学九年级其他模拟）如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4,3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接，设运动时间为（秒）.
①当为何值时，得面积最小？
②是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.
24．(2023·上海中考真题）已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
25．(2023·上海市市八初级中学八年级期中）一仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施，该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=米，上部△CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点。△EMN是由电脑控制其变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN（MN可与CD重合）是可以沿设施边框上下滑动且始终保持与AB平行的伸缩横杆。（当MN在DC上方时，MD的长度是MN到DC距离的倍）
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时 △EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，求△EMN的面积S（平方米）与x的函数关系式；
（3）探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，求出这个最大值；若无，请说明理由。
26．(2023·上海市鲁迅初级中学八年级月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上的一个动点。过点P作AB的垂线交AC边于点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边于点E。
（1）以点D为AC边的中点时，求BE的长
（2）当PD=PE时，求AP的长；
（3）设AP的长为x，四边形CDPE的面积为y，求出y与x的函数解析式及自变量的取值范围。
27．(2023·上海）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．
（1）求抛物线表达式；
（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；
（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．
28．(2023·上海浦东新区·八年级期末）如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y．
（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；
（2）求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由．
29．(2023·上海上外附中八年级期中）如图，在梯形中，，，，是的中点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．
（1）当运动时间为多少秒时，；
（2）当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；
（3），，求的面积关于运动时间的函数关系和自变量的取值范围．

30．(2023·上海）如图，已知在中，，，，点、分别在边、射线上，且，过点作，垂足为点，联结，以、为邻边作平行四边形，设，平行四边形的面积为．
（1）当平行四边形为矩形时，求的正切值；
（2）当点在内，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当过点且平行于的直线经过平行四边形一边的中点时，直接写出的值．
31．(2023·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知经过点A（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+2ax﹣3与y轴交于点C，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，D为该抛物线的顶点．
（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B的坐标、点C的坐标、点D的坐标；
（2）联结AD、DC、CB，求四边形ABCD的面积；
（3）联结AC．如果点E在该抛物线上，过点E作x轴的垂线，垂足为H，线段EH交线段AC于点F．当EF＝2FH时，求点E的坐标．
32．(2023·上海九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．
33．(2023·山东九年级一模）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．
（1）当AM＝时，求x的值；
（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出该定值；
（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．
34．(2023·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过三点，点A的坐标是，点C的坐标是．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求以点A、点C及点D围成的的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的横坐标．若不存在，请说明理由．
35．(2023·上海九年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段AB上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若∠BMP=∠AOB，求点P的坐标；
（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，求的值．
36．(2023·上海杨浦区·）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．
37．(2023·江苏九年级期末）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
二、填空题
38．(2023·上海九年级专题练习）二次函数y＝x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…∁n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAn∁n都是正方形，则正方形An﹣1BnAn∁n的周长为_____．
39．(2023·上海）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解式是______．
40．(2023·上海黄浦区·九年级期末）如图，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE，矩形DEFG的面积为，那么关于的函数关系式是______． （不需写出x的取值范围）．
专题07实际问题与二次函数重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．某淘宝店购进苹果若干箱，物价部门规定其销售单价不高于80元/箱，经市场调查发现：销售单价定为80元/箱时，每日销售20箱；如调整价格，每降价1元/箱，每日可多销售2箱．
（1）已知某天售出苹果70箱，则当天的销售单价为________元/箱；
（2）该淘宝店现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天100元，每天平均支付运费及其它费用250元，当某天的销售价为45元/箱时，收支恰好平衡．
①求苹果的进价；
②若淘宝店每天的纯利润（收入—支出）全部用来偿还一笔15000元的借款，则至少需多少天才能还清借款．
【来源】专题2.1 一元一次方程-备战2021年中考数学精选考点专项突破题集（上海专用）
答案:（1）55；（2）①苹果的进价为40元/箱；②淘宝店至少需19天才能还清借款.
分析：
（1）根据销售单价定为元/箱时，每日销售20箱；如调整价格，每降价1元/箱，每日可多销售2箱，一共增加了箱，降了元，从而可得某天售出该苹果箱的销售单价为元；
（2）①根据该淘宝店现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天元，每天平均支付运费及其它费用250元，当某天的销售价为为45元/箱时，收支恰好平衡，可以列出相应的方程，从而可以求得苹果的进价； ②根据题意可以求得每天的最大利润，从而可以求得少需多少天才能还清借款．
【详解】
解：（1）某天售出苹果70箱，则当天的销售单价为元，
故答案为：55；
（2）①设苹果的进价为元/箱，
当销售价为45元/箱时，当天的销量为：（箱），
则，
解得，，
即苹果的进价为40元/箱；
②设淘宝店某天的销售单价为元/箱，每天的收入为元，
则，
∴当时，淘宝店每天的收入最多，最多收入1250元，
设淘宝店需要天还清借款，
，
解得，，
∵为整数，
∴.
即淘宝店至少需19天才能还清借款．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
2．如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于C点，其中.
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15º，求线段CD的长度；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，求点的坐标.
【来源】【区级联考】上海市宝山区2019届九年级下学期二模试卷数学试题
答案:（1），；（2）CD=或；（3）的坐标为或或或.
解析：
分析：
（1）将A、C坐标代入抛物线，结合抛物线的对称轴，解得a、b、c的值，求得抛物线解析式;
（2）求出直线BC的解析式为，得出∠CBA=45°再求出∠DBA=30°或∠DBA=60°,再求出DO即可;
（3）设点P的坐标，分别以B、C、P为直角顶点，进行分类讨论，再运用勾股定理得到方程式进行求解.
【详解】
解：（1）根据对称轴x=-1,A（1,0），得出B为(-3,0)
依题意得：，解之得：，
∴抛物线的解析式为.
（2）∵对称轴为，且抛物线经过，∴
∴直线BC的解析式为. ∠CBA=45°
∵直线BD和直线BC的夹角为15º， ∴∠DBA=30°或∠DBA=60°
在△BOD，，BO=3
∴DO=或，∴CD=或.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则即：解之得：，
②若点为直角顶点，则即：解之得：，
③若点为直角顶点，则即：解之得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
【点睛】
本题主要考查一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质是解题的关键.
3．已知正方形ABCD的边长为6，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（均不与正方形顶点重合）且PE=PF,PE⊥PF.
（1）求证：AE+DF=6
（2）设AE=，五边形EBCFP的面积为，求与的函数关系式，并求出的取值范围.
【来源】2017-2018学年上海市宝山区行知实验中学八年级第二学期期中试卷
答案:（1）证明见解析；
（2）y＝x2−6x＋36，y的取值范围是27≤y＜36．
分析：
（1）根据∠A＝∠D＝∠EPF＝90°和PE＝PF的条件，易证△AEP与△DPF全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）可以用x表示PD进而表示AP，五边形面积y等于正方形面积减去两个全等三角形的面积，写得y的函数解析式．把函数解析式写出顶点式，结合x的取值范围求出y的取值范围．,
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝6，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEP＋∠APE＝90°，
∵PE⊥PF，
∴∠EPF＝90°，
∴∠APE＋∠DPF＝90°，
∴∠AEP＝∠DPF，
在△AEP与△DPF中，
，
∴△AEP≌△DPF（AAS），
∴AE=DP AP=DF，
∴DP+AP=AD=6；
（2）∵△AEP≌△DPF，
∴S△AEP＝S△DPF，DP＝AE＝x，
∴AP＝AD−DP＝6−x，
∴y＝S正方形ABCD−S△AEP＝S△DPF＝S正方形ABCD−2S△AEP＝AB2−2•AE•AP＝36−x（6−x）＝x2−6x＋36＝（x−3）2＋27，
∵0＜x＜6，
∴x＝3时，y最小值为27；x＝0或6时，y＝（0−3）2＋27＝36，
∴27≤y＜36，
∴y＝x2−6x＋36，y的取值范围是27≤y＜36．
【点睛】
本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质．求二次函数值的范围时，要把解析式写成顶点式，再根据x的范围来确定y的范围．
4．水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x千克时，在甲、乙两家商店所花的钱分别为y1元和y2元，已知y1、y2关于x的函数图象分别为如图所示的折线OAB和射线OC．
（1）当x的取值为 时，在甲乙两家店所花钱一样多？
（2）当x的取值为 时，在乙店批发比较便宜？
（3）如果批发30千克该水果时，在甲店批发比在乙店批发便宜50元，求射线AB的表达式，并写出定义域．
【来源】上海市市西初级中学2018-2019学年八年级下学期期中数学试题
答案:(1)20;(2) 0＜x＜20;(3) y＝5x+100（x≥10）
分析：
（1）利用两个函数图像的交点坐标即可解决问题；（2）根据y2的图像在y1的下方，观察图像即可解决问题；（3）设AB的解析式为y=kx+b，由题意OC的函数解析式为y=10x，可得方程组，解方程组即可
【详解】
（1）由图象可知，x＝20千克时，y1＝y2，故答案为20千克．
（2）由图象可知，0＜x＜20时，在乙店批发比较便宜．故答案为0＜x＜20．
（3）设AB的解析式为y＝kx+b，由题意OC的函数解析式为y＝10x，
∴，
解得，
∴射线AB的表达式y＝5x+100（x≥10）．
【点睛】
本题的关键是根据图像解答问题
5．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1 = x2 + 2x + 2与y2 = x2 - 2x + 2是“关于y轴对称二次函数”．
（1）二次函数y = 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ；
（2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．
（3）在第（2）题的情况下，如果M是两个抛物线上的一点，以点A，O，C，M为顶点能否构成梯形. 若能，求出此时M坐标；若不能，说明理由.
【来源】上海卷04-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第3步中考热身卷
答案:（1）y = 2（x - 2）2 + 1 ， y = a（x + h）2 + k ；（2）y=（x-3）2+4；（3）M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）
分析：
（1）根据“关于y轴对称二次函数”的定义即可求解；
（2）根据“关于y轴对称二次函数”，菱形的面积，可得顶点坐标，图象与y轴的交点，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据题意分①若AO∥CM， ②若AC∥OM，③若OC∥AM，分别联立函数求解即可.
【详解】
（1）二次函数y = 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为y = 2（x - 2）2 + 1；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为y = a（x + h）2 + k，
故填：y = 2（x - 2）2 + 1，y = a（x + h）2 + k ；
（2）由BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，由菱形面积公式得OA=8，
∴A点坐标为（0，8），
∵菱形ABOC
∴ - xB = xC yB = yA
∴B点的坐标为（-3，4），
设一个抛物线的解析式为y=a（x+3）2+4，将A点坐标代入，得9a+4=8，
解得a=，
∴y=（x+3）2+4关于y轴对称二次函数的函数表达式y=（x-3）2+4．
（3）①若AO∥CM，则xM = xC = 3，
把xM = 3代入上述两个抛物线解析式，解得y1 = 20， y2 = 4
∵C（3,4），∴y2 = 4舍去，
∴M1（3,20）
②若AC∥OM，
∵lAC：，∴lOM：
与抛物线联立方程或
或无解
∵B（-3,4），∴舍去，
∴M2（-6,8）
③若OC∥AM
∵lOC：，∴lAM：
同②解得
∵A（0，8）
∴M3（9,20）
综上所述，M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）
【点睛】
此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知新定义的函数性质及菱形、梯形的性质.
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为.
（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）点关于抛物线对称轴的对应点为点，联结，求的正切值；
（3）将抛物线向上平移个单位，使顶点落在点处，点落在点处，如果，求的值.
【来源】2020年上海市奉贤区九年级上学期期末（一模）数学试题
答案:（1），；（2）3；（3）
分析：
(1)根据待定系数法，即可求解；
(2)根据题意，画出图形，由OD=，OB=5，可得：∠OBD=∠ODB，即可求解；
(3)根据题意：可得：BE=，BF=t，列出关于t的方程，即可求解.
【详解】
（1）∵抛物线经过点和点，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式是：，
即：，
∴；
（2）∵抛物线的对称轴是：直线x=3，点关于抛物线对称轴的对应点为点，
∴点D的坐标（4，-3），
∴OD=，
∵OB=5，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
过点D作DE⊥x轴，则DE=3，BE=5-4=1，
∴tan∠ODB=tan∠OBD==3；
（3）∵抛物线向上平移个单位，使顶点落在点处，点落在点处，
∴E（3，-4+t），F（5，t），
∴BE==，BF=t，
∵，
∴=t，解得：t=.
【点睛】
本题主要考察二次函数的图象和平面几何图形的综合，根据题意画出图形，列出方程，是解题的关键.
7．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y＝a（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，a）和点B（﹣1，﹣a）．
（1）求直线AB与y轴的交点坐标；
（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着x的增大而增大，求a应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当Q在以AB为直径的圆上时，求a的值．
【来源】考点11 函数综合问题-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第1步小题夯基础
答案:（1）求直线AB与y轴的交点坐标（0，0）；（2）a＜0且x≤﹣；（3）a＝±．
分析：
（1）由待定系数法可求直线AB解析式，即可求解；
（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得a＜0，又由二次函数y＝a（x2+x﹣1）的对称轴为x＝﹣，可得x≤﹣时，才能使得y随着x的增大而增大；
（3）先求点Q坐标，由OQ＝OA，可得方程，即可求a的值．
【详解】
（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
由题意可得
∴b＝0，k＝a，
∴直线AB的解析式为：y＝ax，
∴当x＝0时，y＝0，
∴直线AB与y轴的交点坐标（0，0）；
（2）∵反比例函数过点A（1，a），
∴反比例函数解析式为：y＝，
∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，
∴a＜0．
∵二次函数y＝a（x2+x﹣1）＝a（x+）2﹣a，
∴对称轴为：直线x＝﹣．
要使二次函数y＝a（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x≤﹣时，才能使得y随着x的增大而增大．
综上所述，a＜0且x≤﹣；
（3）∵二次函数y＝a（x2+x﹣1）＝a（x+）2﹣a，
∴顶点Q（﹣，﹣a），
∵Q在以AB为直径的圆上，
∴OA＝OQ，
∴（﹣）2+（﹣）2＝12+a2，
∴a＝±
【点睛】
此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应用．
8．如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．
（1）求a、b的值；
（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；
（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．
【来源】热点06 二次函数综合题-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第2步大题夺高分
答案:（1）（2）当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；（3）点Q、M、N的坐标分别为，，．
分析：
（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用对称轴方程，联立方程组，解方程组求得a、b的值;
（2）设点C的坐标是（0，m）．由于没有指明直角△BCD中的直角，所以需要分类讨论：当∠CBD=90°、∠CDB=90°、∠BCD=90°时，利用勾股定理列出关于m的方程，通过解方程求得m的值；然后利用三角形的面积公式解答；
（3）利用待定系数法确定直线OA解析式为．由抛物线上点的坐标特征和两点间的距离公式求得：PQ＝x−(x2−3x)＝−x2+x＝−(x−)2+，所以利用二次函数最值的求得推知：当PQ最大时，线段BQ为定长．又因为MN=2，所以要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．利用轴对称-最短路径问题得到点Q．最后利用方程思想解答．
【详解】
解：（1）∵过点A(5， )的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，
∴ ，
解之，得；
（2）设点C的坐标是（0，m）．由（1）可得抛物线，
∴抛物线的顶点D的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（4，0）．
当∠CBD＝90°时，有BC2+BD2＝CD2．
∴ ，
解之，得，
∴；
当∠CDB＝90°时，有CD2+BD2＝BC2．
∴，
解之，得，
∴；
当∠BCD＝90°时，有CD2+BC2＝BD2．
∴，此方程无解．
综上所述，当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；
（3）设直线y＝kx过点A(5， )，可得直线．
由（1）可得抛物线，
∴PQ=x−(x2−3x)＝−x2+x＝−(x−)2+，
∴当x=时，PQ最大，此时Q点坐标是 ．
∴PQ最大时，线段BQ为定长．
∵MN＝2，
∴要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．
将点Q向下平移2个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线BQ2与对称轴的交点就是符合条件的点N，此时四边形BQMN的周长最小．
设直线y＝cx+d过点和点B（4，0），
则,
解之，得,
∴直线过点Q2和点B．
解方程组 得,
∴点N的坐标为，∴点M的坐标为，
所以点Q、M、N的坐标分别为 ， ，．
【点睛】
本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识.
9．如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且∠ACO＝∠CBO．
（1）求线段OC的长度；
（2）若点D在第四象限的抛物线上，连接BD、CD，求△BCD的面积的最大值；
（3）若点P在平面内，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P的坐标．
【来源】考点13 代数几何综合问题（一）（二次函数与其他知识综合）-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第1步小题夯基础
答案:（1）2；（2）2；（3）(2，2)，(6，﹣2)或(﹣6，﹣2)
分析：
（1）由抛物线的解析式先求出点A，B的坐标，再证△AOC∽△COB，利用相似三角形的性质可求出CO的长；
（2）先求出抛物线的解析式，再设出点D的坐标（m，m2﹣m﹣2），用含m的代数式表示出△BCD的面积，利用函数的性质求出其最大值；
（3）分类讨论，分三种情况由平移规律可轻松求出点P的三个坐标．
【详解】
（1）在抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）中，
当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
∴AO＝2，BO＝4，
∵∠ACO＝∠CBO，∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴，即，
∴CO＝2；
（2）由（1）知，CO＝2，
∴C（0，﹣2）
将C（0，﹣2）代入y＝a（x+2）（x﹣4），
得，a＝，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2，
如图1，连接OD，
设D（m，m2﹣m﹣2），
则S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△BOC
＝×2m+×4（﹣m2+m+2）﹣×4×2
＝﹣m2+2m
＝﹣（m﹣2）2+2，
根据二次函数的图象及性质可知，当m＝2时，△BCD的面积有最大值2；
（3）如图2﹣1，当四边形ACBP为平行四边形时，由平移规律可知，点C向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B，所以点A向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，因为A（﹣2，0），所以P1（2，2）；
同理，在图2﹣2，图2﹣3中，可由平移规律可得P2（6，﹣2），P3（﹣6，﹣2）；
综上所述，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为（2，2），（6，﹣2），P3（﹣6，﹣2）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积及平移规律等，解题关键是熟知平行四边形的性质及熟练运用平移规律．
10．某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件）（x为正整数）之间满 足如图所示的函数关系．
（1）直接写出 y与 x之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；
（2）若一次性批发量不低于 20 且不超过 60 件时，求获得的利润 w 与 x 的函数 关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
【来源】上海市奉贤区2019-2020学年九年级上学期期中数学试题
答案:（1）当且x为整数时，；当且x为整数时，；当且x为整数时，y=20；（2）一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元
分析：
（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数；
（2）根据利润=（售价-成本）×件数，列出利润的表达式，求出最值．
【详解】
（1）当且x为整数时，；
当且x为整数时，；
当且x为整数时，；
（2）当且x为整数时，，
∴，
∴
∴
∵
∴当x=34时，w最大，最大值为578
答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．
【点睛】
本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用性质是解决问题的关键．
11．在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．
（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式；
（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；
（3）如果∠OAC=135°，求m的值．
【来源】2021年上海市浦东新区第四教育署中考数学5月调研试题
答案:（1）；（2）；（3）m的值为2
分析：
（1）先求出m=1时点A的坐标，进而可得到这条“子抛物线”的解析式；
（2）先根据A点坐标求出“子抛物线”的解析式和AB,OB的长度，然后令x = 0求出y值即可得到C点坐标，进而可求出BC的长度，最后利用即可求解；
（3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F, 首先证明△AED≌△DFO，则有AE=DF，DE=OF，设AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED，通过OB=EF得到，然后再通过得到，将两个关于m,n的方程联立即可求出m的值．
【详解】
解：（1）∵点A在上，点A的横坐标为m，
∴A（m，m2），
当m =1时， ，
∴A（1，1），
∴这条“子抛物线”的解析式为．
（2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB=m，OB= m2．
∴“子抛物线”的解析式为．
令x = 0，，
∴点C的坐标（0，），，
∴．
在Rt△ABC中，
．
（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F．
∵∠OAC=135°，
∴∠OAD=45°．
又∵OD⊥CA，

∴∠AOD=∠OAD=45°，
∴AD=OD，
，
．
，
∴△AED≌△DFO，
∴AE=DF，DE=OF．
设AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED．
又∵OB=EF，
∴．
又，
∴∠BCA=∠ADE，
∴．
解方程组，得，（舍去）
∴ m的值为2．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的应用，子抛物线的定义，掌握全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且ctα＝3，求水面上升的高度．
【来源】考点07 锐角三角函数-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第1步小题夯基础
答案:（1）桥拱所在圆的半径长为5米；（2）水面上升的高度为1米
分析：
（1）根据点D是 中点， 知C为AB中点，联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，在Rt△ACO中，由勾股定理求出半径．
（2） 设OD与EF相交于点G，联结OE，由EF∥AB，OD⊥AB，得到OD⊥EF，进而找出EG＝3DG，设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，在Rt△EGO中根据勾股定理求出x即可．
【详解】
解：（1）∵点D是 中点，，
∴AC＝BC，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，
∵AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解之得R＝5．
答：桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）设OD与EF相交于点G，联结OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠EGD＝∠EGO＝90°，
在Rt△EGD中， ，
∴EG＝3DG，
设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，
∴EG＝6﹣3x，
在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2，
∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52，
化简得 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝2（舍去），x2＝1，
答：水面上升的高度为1米．
【点睛】
此题是关于圆的综合性试题，包含的知识点有解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等，有一定难度．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，6），其顶点为D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．
【来源】2020年上海市黄浦区中考数学二模试题
答案:（1）y＝x2+2x；（2）12；（3）点H的坐标为（﹣10，30）或（﹣，）
分析：
（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）利用两点间的距离公式：得AB，AD，BD的值，从而得BD2＝AB2+AD2，则△ABD为直角三角形，△ABD的面积＝AB×AD，即可求解；
（3）由△OCH与△ABD相似，得tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH＝＝或3，进而即可求解．
【详解】
（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x；
（2）对于y＝x2+2x，顶点D(﹣2，﹣2)，
∴AD＝，
同理：AB＝6，BD＝4，
∴BD2＝AB2+AD2，
∴△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AB×AD＝×6×2＝12；
（3）在△ABD中，tan∠ABD＝，
∵△OCH与△ABD相似，
∴tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠COH＝tan∠ADB，
即：tan∠COH＝或3，
设点C(m，m2+2m)，则tan∠COH＝＝或3，
解得：m＝﹣10或﹣（不合题意的值已舍去），
∴点H的坐标为(﹣10，30)或(﹣，)．
【点睛】
本题主要考查二次函数与相似三角形的综合，涉及二次函数的待定系数法，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质定理以及三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的性质定理以及三角函数的定义，是解题的关键．
14．已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2，
（1）如图：P为AD上的一点，满足；
① ；
② 求AP的长
（2）如果点P在AD上移动（点P与点A、D不重合），且满足，PE交直线与BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
① 当点Q在线段DC的延长线上时，设AP = x，CQ = y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
② 当CE = 1时，写出AP的长（不必写出解题过程）
【来源】上海市华师大二附中紫竹双语学校2019-2020学年九上学期第一次月考数学试题
答案:（1）① 见解析；② AP的长为1或4；（2）① y=3x-2（1 < x < 4）；② AP的长为2．
分析：
（1）①当∠BPC＝∠A时，∠A＋∠APB＋∠ABP＝180°，而∠APB＋∠BPC＋∠DPC＝180°，因此∠ABP＝∠DPC，此时三角形APB与三角形DPC相似．
②利用相似三角形的性质可得出关于AP，PD，AB，CD的比例关系式，AB，CD的值题中已经告诉，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP的长．
（2）①与（1）的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC＋CQ就能表示出DQ了．然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y的函数关系式．
②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根据CE的长，用AP表示出PD，然后根据PD，DQ，QC，CE的比例关系用AP表示出DQ，然后按①的步骤进行求解即可．
【详解】
（1）①∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝DC．
∴∠A＝∠D
∵∠ABP＋∠APB＋∠A＝180°，∠APB＋∠DPC＋∠BPC＝180°，∠BPC＝∠A
∴∠ABP＝∠DPC，
∴△ABP∽△DPC．
②∵△ABP∽△DPC，
∴，即：，
解得：AP＝1或AP＝4．
（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ
∴，即：，
∴y＝−x2＋x−2（1＜x＜4）．
②当CE＝1时，
∵△PDQ∽△ECQ，
∴，即或，
∵y＝−x2＋x−2，
解得：x＝2或3−，
∴PA＝2或3−．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了图形的性质，相似三角形的判定和性质，二元二次方程组等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
15．二次函数的图象过点（4，－5）和（0，3），且与x轴交于点M（－1，0）和N，
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如果这二次函数的图像的顶点为点P，点O是坐标原点，求△OPN的面积．
（3）如果点R与点P关于x轴对称，判定以M、N、P、R为顶点的四边形的边之间的位置与度量关系．
【来源】热点08 二次函数-2021年中考数学【热点�重点�难点】专练（上海专用）
答案:（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）6；（3）该四边形（两组）对边（分别）平行，四条边都相等
分析：
（1）将已知的三点代入，利用待定系数法即可解答；
（2）先求得点P和点N的坐标，再得出线段ON的长度以及ON边上的高，最后运用三角形面积公式解答即可；
（3）先画出图形，再说明四边形MRNP是菱形，然后运用菱形的性质解答即可．
【详解】
解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
∴，
可以解得a＝－1，b＝2，c＝3 ．
∴y＝－x2＋2x＋3；
（2）如图：由题意可知二次函数的图像的顶点为点P（1，4），点N（3，0），
∴ON＝3, ON边上的高为4
∴S△OPN＝3×4÷2=6 ．
（3）如图:∵点R与点P关于x轴对称
∴MN垂直平分PR
∵PR是二次函数的图像对称轴
∴PR垂直平分MN
∴PR互相MN垂直平分，
∴PMRN为菱形
∴该四边形（两组）对边（分别）平行，四条边都相等
【点睛】
本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积以及菱形的判定和性质等知识点，确定二次函数解析式以及点N和点P的坐标是解答本题的关键．
16．已知二次函数图象的顶点坐标为（3，8），该二次函数图像的对称轴与轴的交点为A，M是这个二次函数图像上的点，是原点
（1）不等式是否成立？请说明理由；
（2）设是△AMO的面积，求满足的所有点M的坐标．
（3）将（2）中符号条件的点M联结起来构成怎样的特殊图形？写出两条这个特殊图形的性质．
【来源】2020年上海大学附属学校九年级中考三模数学试题
答案:（1）成立，理由见解析；（2） ；（3）这是一个等腰梯形，性质1：等腰梯形同一底的两个底角相等；性质2：等腰梯形是一个轴对称图形．
分析：
（1）求出函数解析式，确定b，c的值，即可做出判断；
（2）表示出点A、M坐标，根据三角形面积公式计算即可；
（3）连接四个点，结合四个点的坐标以及抛物线的轴对称性即可得．
【详解】
（1）由题意得，
∴
把（3,8）代入中，解得
∴解析式为，
∴，
∴不等式成立；
（2）由题意得点A坐标为(3,0)，设M()
即
∴
∴
①当
解得
∴
②当
解得
∴满足条件的点M的坐标为： ；
（3）如图，顺次链接（2）中四个点，由（2）得M1M2∥M3M4，根据抛物线的对称性得M1M4=M2M3，∴四边形M1M2M3M4是一个等腰梯形，
性质1：等腰梯形同一底的两个底角相等；
性质2：等腰梯形是一个轴对称图形．
【点睛】
本题考查了求函数解析式方法和二次函数与面积问题，求出二次函数解析式是解题关键，解题时注意表示出点M的坐标后，求面积时三角形的高为，这是易错点．
17．某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x(元）满足一次函数m=-2x+160．
（1）写出商场买出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数解析式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，那么每件商品的售价定位多少元最合适？最大的销售利润为多少元？
【来源】上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十六章26.3二次函数的图像
答案:（1）y与每件的销售价x之间的函数解析式是；（2）每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元．
分析：
（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价−进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围；
（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【详解】
（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x-40）元，那么m件的销售利润为y＝m（x-40），又∵m＝−2x+160，
∴，
∴y与每件的销售价x之间的函数解析式是；
（2）由（1可得），
可得每件商品的售价定位60元最合适，最大的销售利润为800元．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润＝（销售价−进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．
18．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是：，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？
【来源】上海市兰生复旦2018-2019学年九年级上学期 9月月考数学试题
答案:2米；6米．
分析：
根据题目所给的函数解析式，用配方法求出当x等于何值时函数有最大值以及最大值是多少．
【详解】
解：由题意得，，
又因为，
所以当时，，
答：当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米，最大高度是6米．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握求二次函数最值的方法．
19．如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
【来源】江西省吉安市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
答案:（1）；（2），当x＝4时，S有最大值20
分析：
（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解；
（2）根据相似三角形的性质求出GF＝10−x，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题．
【详解】
（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，
∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴AK：AH＝GF：BC，
∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，
∴(8﹣y)：8＝y：10，
解得：y＝；
（2）设EF＝x，则KH＝x．
∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，
由（1）可知：，
解得：GF＝10﹣x，
∴s＝GF•EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，
∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
20．商场购进某种新商品在试销期间发现，当每件利润为10元时，每天可销售70件；当每件商品每涨价1元，日销售量就减少1件，但每天的销售量不得低于35件．据此规律，请回答下列问题．
（1）设每件涨了x元时，每件盈利_________元，商品每天可销售______件；
（2）在商品销售正常的情况下，每件商品涨价多少元时，商场每天盈利为1500元？
（3）若商场的每天盈利能达到最大，请直接写出每天的最大盈利为______________．
【来源】专题06 一元二次方程及其应用（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1），；（2）20；（3）1600
分析：
（1）用售价减去进价即可求得每件利润；销售量等于原来销售量减去减少的销售量即可；
（2）利用总利润=单件利润×销量列出方程求解即可；
（3）配方后即可确定最大利润；
【详解】
解：（1）设每件涨了x元时，每件盈利（10+x）元，商品每天可销售（70-x）件；
（2）根据题意得：（10+x）（70-x）=1500，
解得：x=20或x=40（不合题意，舍去），
答：每件商品涨20元时商场每天盈利可达1500元．
（3）设总利润为w元，则w=（10+x）（70-x）=-（x-30）2+1600，
∴总利润的最大值为1600元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是能够根据题意列出方程或二次函数，渗透了数学建模的数学思想．
21．某电动机加工厂以400元/个的价格新接了一批电动机加工业务．根据工厂以往的制造能力，该工厂每天制造电动机的数量为x（个）(200≤x≤500)，且每个电动机的制造成本y(元)与每天制造电动机的数量x(个)之间的函数关系的图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知该工厂每天各项消耗的费用是2万元，每天的利润为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并求出当x为多少时，w最大，最大日利润是多少．
【来源】上海卷01-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第3步中考热身卷
答案:（1）y=-x+500；（2）w=(x-100)2-25000；当x=500时，w最大，最大日利润为55000元．
分析：
（1）设函数表达式为y=kx+b，把(200，400)，(500，250)分别代入即可求解；
（2）根据题意可求得w与x的函数关系式：w=(400-y)x-20000=[400-(-x+500)]x-20000=(x-100)2-25 000，根据二次函数的性质可知，当x>100时，w随x的增大而增大，再结合200≤x≤500，可知当x=500时，w取得最大值，代入计算即可．
【详解】
解：(1)根据题意，设y=kx+b，
将(200，400)，(500，250)分别代入，
得，
解得，
故y与x之间的函数表达式为y=-x+500；
(2)根据题意，得w=(400-y)x-20000=[400-(-x+500)]x-20 000=(x-100)2-25 000，
∵>0，
∴当x>100时，w随x的增大而增大，
又∵200≤x≤500，
∴当x=500时，w取得最大值，最大值为×(500-100)2-25000=55000，
答：当x=500时，w最大，最大日利润为55000元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，顶点为.
（1）求这条抛物线表达式；
（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为，它与轴交点为，联结、，设点的纵坐标为，用含的代数式表示的正切值；
（3）联结，在（2）的条件下，射线平分，求点到直线的距离.
【来源】【区级联考】上海市静安区2019届九年级下学期二模考试数学试题
答案:（1）；（2）；（3）6
解析：
分析：
可设顶点式解析式，把点代入，求得a，从而得抛物线的解析式；
画图，把放到直角三角形中来考虑，分别用点P、点H、点B的相关坐标来表示这个直角三角形中的直角边长即可求解；
设PB与x轴交于点M，求出点A坐标，利用点P坐标，得出AP长度，利用角平分线即轴，推得，从而得出AP和AM的长度；
求出直线PB得解析式，从而求得点B的坐标，进而求出BH的长度，再利用角平分线的性质定理即可得点B到直线AP的距离就等于BH的长度．
【详解】
解：设抛物线表达式为：
把代入得，
抛物线的表达式：．
设PQ与y轴交点为H．
，，
，，
在中，．
故的正切值为：．
设PB与x轴交于点M．
由得点A坐标为．
又，
．
射线PB平分，
．
轴，，
，
，
．
设直线PB为，把点，代入，得：，
点B为．
．
射线PB平分，，
点B到直线AP的距离为6．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，分别考查了待定系数法求解析式、构造直角三角形求三角函数值、利用点的坐标表示相关线段长度，以及角平分线的性质定理来得点到直线的距离等知识点，综合性较强，难度较大．
23．如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4,3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接，设运动时间为（秒）.
①当为何值时，得面积最小？
②是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.
【来源】2020年河南省郑州外国语中学中考第四次质量检测数学试题
答案:（1）；（2）① ；②
分析：
（1）根据点B的坐标可得出点A，C的坐标，代入抛物线解析式即可求出b，c的值，求得抛物线的解析式；
（2）①过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，推出△QFA∽△CBA，△CGP∽△CBA，用含t的式子表示OF，PG，将三角形的面积用含t的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）由题意知：A(0,3),C(4,0)，
∵抛物线经过A、B两点，
∴，解得，，
∴抛物线的表达式为：．
(2)① ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90O， ∴AC2=AB2+BC2=5；
由，可得，∴D（2,3）．
过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，
∵∠FAQ=∠BAC， ∠QFA=∠CBA，
∴△QFA∽△CBA．
∴，
∴．
同理：△CGP∽△CBA，
∴∴，∴，
当时，△DPQ的面积最小.最小值为．
② 由图像可知点D的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC的解析式为：．
三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：
当时，根据勾股定理可得出：
，
整理，解方程即可得解；
当时，可知点G运动到点B的位置，点P运动到C的位置，所需时间为t=3；
当时,同理用勾股定理得出：
；
整理求解可得t的值．
由此可得出t的值为：,,,,．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键．
24．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
【来源】上海市2021年中考数学真题
答案:（1）；（2）①1；②点C的坐标是
分析：
(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
【详解】
解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．
②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】
本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
25．一仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施，该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=米，上部△CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点。△EMN是由电脑控制其变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN（MN可与CD重合）是可以沿设施边框上下滑动且始终保持与AB平行的伸缩横杆。（当MN在DC上方时，MD的长度是MN到DC距离的倍）
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时 △EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，求△EMN的面积S（平方米）与x的函数关系式；
（3）探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，求出这个最大值；若无，请说明理由。
【来源】上海市黄浦区市八初级中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题
答案:（1）0.5平方米；（2）；（3）S有最大值，最大值为平方米
分析：
（1）根据题意得出当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米,可得出三角形EMN的面积．
（2）分两种情况解答（0＜x≤；＜x＜2）．①当0＜x≤时，可直接得出三角形的面积函数；②当＜x＜时，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，先求FG，再证△MNG∽△DCG，继而得出△EMN面积与x的函数；
（3）分两种情况解答：①当0＜x≤时， S=x，由一次函数性质可得S的最大值；②当＜x＜2时，由二次函数性质可知，在对称轴时取得最大值，比较大小即可得出结论．
【详解】
解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方如图1
此时△EMN中MN边上的高为0.5米．
在ABCD是矩形中，AB=CD=MN=2米，BC=AD=米，
∴S△EMN=×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面积为0.5平方米．
（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤时，
△EMN的面积S=×2×x=x；
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即＜x＜时，
连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵E为AB中点，
∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=．
∴EG=
，
∴MN＝4-
∴△EMN的面积S=
∴
（3）①当0＜x≤时， S=x，
∴0＜S≤；
∴S的最大值=
②当＜x＜时，
S=
当时，S有最大值，且最大值为：
∴综上所述：S有最大值，最大值为平方米．
【点睛】
本题二次函数综合题，考查了相似三角形的判定与性质，学生要学会利用图形，数形相结合解答函数问题，和分类讨论的数学思想，难度较大．
26．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上的一个动点。过点P作AB的垂线交AC边于点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边于点E。
（1）以点D为AC边的中点时，求BE的长
（2）当PD=PE时，求AP的长；
（3）设AP的长为x，四边形CDPE的面积为y，求出y与x的函数解析式及自变量的取值范围。
【来源】上海市虹口区鲁迅初级中学2019-2020学年八年级上学期第二次月考数学试题
答案:（1）；（2）；（3），.
分析：
（1）根据勾股定理可求出AC和BC的长，从而知AD的长度，在中可求出AP的长，则，又因可知，根据直角三角形的性质即可得BE的长；
（2）设，由题（1）可知，在和中可以求出AP和BP的长，再根据求解即可得；
（3）由可得DP、BP的长，从而得BE和EP的长，根据面积公式可列出等式：，化简即可得，最后根据和联立求x的取值范围.
【详解】
（1）由题意可得，在中，
点D为AC的中点
在中可得，
又
在中，；
（2）设
由题（1）可知，在中，
在中，
又，即
解得
；
（3）设，则
在中，
在中，
即
化简得
由题意得，即
又，即
联立解得
故出y与x的函数解析式为，自变量的取值范围为.
【点睛】
本题考查了直角三角形的定义和性质（直角三角形中，所对直角边等于斜边的一半）、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次函数的实际应用.
27．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．
（1）求抛物线表达式；
（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；
（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点专练）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:(1) y＝x2＋2x＋3；(2) ；(3) m的值为2、或1.
分析：
（1）将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝x2＋bx＋c，化简求出b，c的值即可；
（2）根据∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB，可证△OBP ∽△BPQ，可设Q（x，x2＋2x＋3），求出直线AB的解析式，则可得P 的坐标为(x，3－x)，可得BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x，利用相似三角形的对应边成立比例即可求解；
（3）分三种情况讨论：①当BQ＝PQ时，②当BP＝PQ时，③当BP＝BQ时，然后分别求解即可.
【详解】
（1）∵将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝x2＋bx＋c得
，解之得：
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3
（2）
∵∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB
∴∠OBP ＝∠BPQ
∴△OBP ∽△BPQ
设Q（x，x2＋2x＋3）
∵P点在直线AB上，并A (3, 0)、B (0, 3)，
则直线AB的解析式为：
∴ P (x，3－x)
∴BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x
∴ 即
∴（0舍去）
∴
（3）∵M（m，0），P（m，3－m），Q（m，m2＋2m＋3）
∴BP＝m，PQ＝m2＋3m且∠BPQ＝45°
∴当△BPQ为等腰三角形时，存在如下情况：
①如图1，当BQ＝PQ时，即∠PBQ＝∠BPQ＝45°
∴△BPQ为等腰直角三角形 ∴m2＋2m＋3＝3
∴m＝2
②当BP＝PQ时,即m＝m2＋3m，即（0舍去）
③如图2，当BP＝BQ时，∠BQP＝∠BPQ＝45°
根据，，可得
则有 ，
∴m＝1
综上所述，m的值为2、或1.
【点睛】
本题考查了二次函数与几何图形结合，三角形的相似，特殊角使用，以及等线段的关系转化问题，懂得综合讨论是解题的关键．
28．如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y．
（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；
（2）求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由．
【来源】上海市浦东新区第四教育署2018-2019学年八年级下学期期末数学试题
答案:（1）；（2）（0＜x＜12）；（3）能，
分析：
（1）当△BEF是等边三角形时，求得∠ABE=30°，则可解Rt△ABE，求得BF即BE的长．
（2）作EG⊥BF，垂足为点G，则四边形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF2=（BF-BG）2+EG2．即y2=（y-x）2+122．故可求得y与x的关系．
（3）当把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A'处，应有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B=A'F=AB=12，有FA′=EF-A′E=y-x=12，继而结合（2）得到的y与x的关系式建立方程即可求得AE的值．
【详解】
（1）当△BEF是等边三角形时，∠EBF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，
∴BE=2AE，
设AE=x，则BE=2x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即122+x2=(2x)2，解得x=
∴AE=，BE=，
∴BF=BE=．
（2）作EG⊥BF，垂足为点G，
根据题意，得EG=AB=12，FG=y-x，EF=y，0＜AE＜12，
在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF2=（BF-BG）2+EG2．
∴y2=（y-x）2+122，
∴所求的函数解析式为（0＜x＜12）．
（3）∵AD∥BC
∴∠AEB=∠FBE
∵折叠
∴∠AEB=∠FEB，
∴∠AEB=∠FBE=∠FEB，
∴点A′落在EF上，
∴A'E=AE，∠BA'F=∠BA'E=∠A=90，
∴要使△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B=A'F．
而A'B=AB=12，A'F=EF-A'E=BF-A'E，
∴y-x=12．
∴-x=12．
整理得x2+24x-144=0，
解得，
经检验：都原方程的根，
但不符合题意，舍去，
当AE=时，△A'BF为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了正方形综合题，涉及了等边三角形和正方形、矩形、等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，函数等知识，综合性较强，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
29．如图，在梯形中，，，，是的中点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．
（1）当运动时间为多少秒时，；
（2）当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；
（3），，求的面积关于运动时间的函数关系和自变量的取值范围．

【来源】上海市外国语大学附属外国语学校2018-2019学年八年级下学期期中数学试题
答案:（1）当运动时间为1.5秒时，；（2）当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；（3）
分析：
（1）根据、可判定四边形为平行四边形，此时，可得方程，解方程即可得解；
（2）分别从当在上时，四边形为平行四边形和当在上时，四边形为平行四边形两方面分析求解即可求得答案；
（3）分别从当在线段上时、当与重合时、当在线段上时、当在线段上时四方面进行讨论，从而确定的面积关于运动时间的函数关系和自变量的取值范围．
【详解】
解：（1）如图示，
∵，
∴四边形为平行四边形
∴
又∵，
∴．
当运动时间为1.5秒时，．
（2）由题意知，此时有两种情况，在上或在上，
①当在上时，四边形为平行四边形
此时，
又∵，
∴
∴
∴满足题意
②当在上时，四边形为平行四边形
此时．
又∵，
∴
∴
∴满足题意；
当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
（3）如图，过点作，交于点，连接，．
∵，
∴
∴．
∴
①如图（1），
当在线段上时，．
此时，，即：
．
②当与重合时，，此时不存在；
③当在线段上时，如图（2）
此时，且
即：
④当在线段上时，如图（3），联结，过作，交于点
此时，且，即：．
梯形
又∵
∴
∴
∴．
∴
综上所述，的面积关于运动时间的函数关系及自变量的取值范围为
故答案是：（1）当运动时间为1.5秒时，；（2）当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形；（3）．
【点睛】
本题考查了动点形成的几何图形综合问题，分类讨论的数学思想，难度较大属压轴题目，需灵活运用所学知识点，结合图形认真审题是解题的关键．
30．如图，已知在中，，，，点、分别在边、射线上，且，过点作，垂足为点，联结，以、为邻边作平行四边形，设，平行四边形的面积为．
（1）当平行四边形为矩形时，求的正切值；
（2）当点在内，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当过点且平行于的直线经过平行四边形一边的中点时，直接写出的值．
【来源】专题02 分类讨论-决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）
答案:（1）；（2）；（3），．
分析：
（1）当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．根据tan∠PQM＝求解即可．
（2）如图1中，延长QN交AB于K．求出MK，PM，根据y＝PM•MK求解即可．
（3）分两种情形：①如图3−1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．根据EG＝PC构建方程求解．②如图3−2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．根据PC＝GH构建方程求解即可．
【详解】
（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．
∴tan∠PQM＝＝．
（2）如图1中，延长QN交AB于K．
∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，AB=10
∴sinA=csB==,csA=sinB=，
由，得BQ＝6−x，QN＝PM＝APsinA=x，AM＝APcsA=x，KQ＝BQsinB=BQ＝，BK＝BQcsB=BQ＝，
∴MK＝AB−AM−BK＝，
∵QN＜QK，
∴x＜，
∴x＜，
∴y＝PM•MK＝x×=（0≤x＜）．
（3）①如图3−1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．
∵PD∥BC，EN∥BC，
∴PD∥NE，
∵PE∥DN，
∴四边形PDNE是平行四边形，
∴PE＝DN，
∵DN＝DM，PQ＝MN，
∴PE＝EQ，
∵EG∥PC，
∴CG＝GQ，
∴EG＝PC，
∵四边形EGHN是矩形，
∵
∴QN⊥AB
则∠ABC+∠NQH=∠NQH +∠QNH=90°
∴∠ABC=∠QNH
∴NH＝EG＝NQcs∠QNH= NQcs∠ABC =NQ＝PM＝×x =x，PC＝8−x，
∴x＝•（8−x），
解得x＝．
②如图3−2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．
∵DH＝PC，
∴8−x＝•x，
解得x＝，
综上所述，满足条件x的值为或．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
31．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知经过点A（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+2ax﹣3与y轴交于点C，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，D为该抛物线的顶点．
（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B的坐标、点C的坐标、点D的坐标；
（2）联结AD、DC、CB，求四边形ABCD的面积；
（3）联结AC．如果点E在该抛物线上，过点E作x轴的垂线，垂足为H，线段EH交线段AC于点F．当EF＝2FH时，求点E的坐标．
【来源】热点06 二次函数综合题-2021年《三步冲刺中考�数学》（上海专用）之第2步大题夺高分
答案:（1）对称轴为x＝﹣1，点B、C、D的坐标依次为（1，0），（0，﹣3），（﹣1，﹣4）；（2）9；（3）（﹣2，﹣3）．
分析：
（1）由题意可知该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，而点A（-3，0），求出点B的坐标，进而求解；
（2）根据题意将四边形ABCD的面积分解为△DAM、梯形DMOC、△BOC的面积和，即可求解；
（3）根据题意设点E（x，x2+2x-3），则点F（x，-x-1），求出EF、FH长度的表达式，即可求解．
【详解】
解：（1）∵该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，而点A（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0），
∵c＝﹣3，故点C的坐标为（0，﹣3），
∵函数的对称轴为x＝﹣1，故点D的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）过点D作DM⊥AB，垂足为M，
则OM＝1，DM＝4，AM＝2，OB＝1，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
（3）设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，
设点E（x，x2+2x﹣3），则点F（x，﹣x﹣1），
则EF＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，FH＝x+3，
∵EF＝2FH，
∴﹣x2﹣3x＝2（x+3），解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），
故m＝﹣2.
故点E的坐标为：（﹣2，﹣3）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
32．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．
【来源】2020年上海市宝山区九年级数学二模试题
答案:（1）(﹣1，0)，y＝ax+a；（2）﹣；（3）(1，﹣)或(1，﹣4)
分析：
（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=-1，x2=3，可得A（﹣1，0），B（3，0），由于直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0）可得k＝b，即得直线l：y＝kx+k，联立抛物线与直线I的解析式为方程组，可得ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，由于CD＝4AC，可得点D的横坐标为4，利用根与系数关系可得﹣3﹣＝﹣1×4，求出k＝a，即得直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），可得F（x，ax+a），从而得出EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，由S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF，利用三角形面积公式，可得S△ACE的关系式，利用二次函数的性质即可求出结论．
（3）分两种情况讨论，①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，据此分别解答即可．
【详解】
解：（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），
∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直线l：y＝kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴﹣3﹣＝﹣1×4，
∴k＝a，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a
（2）解：如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），
则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面积的最大值═a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴﹣a＝，
解得a＝﹣；
（3）解：以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，m），
①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，
则易得Q（﹣4，21a），
∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣
∴P（1，﹣）；
②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q（2，﹣3a），
∴m＝5a﹣（﹣3a）＝18a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
33．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．
（1）当AM＝时，求x的值；
（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出该定值；
（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．
【来源】2021年山东省临沂市蒙阴县九年级一模数学试题
答案:（1）x＝；（2）不变，△MDP的周长为2；（3），当t＝，即x＝时，面积的最小值为
分析：
（1）利用折叠的性质得ME＝BE＝x，则AE＝1－x，在根据勾股定理列式求出x的值；
（2）连接AM、BO，过点B作BH⊥MN，垂足为H，证明△BAM≌△BHM和Rt△BHP≌Rt△BCP，可以得到△PDM的周长就等于AD＋DC，是定值；
（3）连接BM，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，证明△AMB≌△QEF，得到AM＝EQ，设AM＝a，根据勾股定理列式得到a与x的关系式，表示出CF和BE长，得到三角形面积表达式，再求出最值．
【详解】
（1）由折叠可知ME＝BE＝x，
∴AE＝1－x，
在Rt△AEM中，由AM＝，得，
解得x＝；
（2）如图，连接AM、BO，过点B作BH⊥MN，垂足为H，
∵EB＝EM，
∴∠EBM＝∠EMB，
∵∠EBC＝∠EMN，
∴∠MBC＝∠BMN，
∵∠A＝∠MHB，BM＝BM，
∴△BAM≌△BHM，
∴AM＝HM，BH＝AB，
∵BC＝AB，
∴BH＝BC，
∵BP＝BP，
∴Rt△BHP≌Rt△BCP，
∴HP＝PC，
∴△MDP的周长＝MD＋DP＋MP＝MD＋DP＋MH＋HP＝MD＋AM＋DP＋PC＝AD＋DC＝2，
∴△MDP的周长为2；
（3）如图，连接BM，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，
则QF＝BC＝AB，
∵∠BEF＋∠EBM＝90°，∠AMB＋∠EBM＝90°，
∴∠BEF＝∠AMB，
∵∠A＝∠EQF，
∴△AMB≌△QEF，
∴AM＝EQ，
设AM＝a，则，
∴a＝，
∴CF＝x－，
∴S＝(CF＋BE)×1
＝( x－＋x)
＝(2 x－) ，
设＝t，则，
，
∴当t＝，即x＝时，面积的最小值为．
【点睛】
本题考查几何动点问题，解题的关键是掌握勾股定理，折叠性质的运用，全等三角形的性质和判定，二次函数最值的求解，需要掌握数形结合的思想．
34．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过三点，点A的坐标是，点C的坐标是．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求以点A、点C及点D围成的的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的横坐标．若不存在，请说明理由．
【来源】专题3.5 二次函数-备战2021年中考数学精选考点专项突破题集（上海专用）
答案:（1），顶点（1,-4）（2）3（3）2+，2+．
分析：
（1）根据待定系数法求出函数解析式，再求出顶点坐标；
（2）根据割补法即可求解三角形的面积；
（3）根据题意作图，求出CP的倾斜角，再求出其解析式，联立二次函数即可求解．
【详解】
（1）把A,C坐标代入得
解得
∴抛物线的解析式为=
∴顶点D（1,-4）；
（2）∵A（3,0），C（0,-3），D（1,-4）
∴的面积为3×4-×2×4-×1×1-×3×3=12-4--=3
（3）①当P点在直线AC下方时，
∵OA=OC，∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OCA=45°，又∵∠PCA=15°
∴∠OCP=45°+15°=60°
故直线PC的倾斜角为90°-60°=30°，
设直线PC的解析式为y=x+b
把C（0，-3）代入得-3=b
∴直线PC的解析式为y=x-3
联立，解得x1=2+，x2=0（舍去）
②当P’点在直线AC上方时，
∵∠OCA=45°，∠P’CA=15°
∴∠OCP’=45°-15°=30°
故直线P’C的倾斜角为90°-30°=60°，
设直线P’C的解析式为y=x+n
把C（0，-3）代入得-3=n
∴直线PC的解析式为y=x-3
联立，解得x1=2+，x2=0（舍去）
综上，点P的横坐标为2+，2+．
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、割补法及二次函数的性质、一次函数的解析式求解方法．
35．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段AB上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若∠BMP=∠AOB，求点P的坐标；
（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，求的值．
【来源】专题19 二次函数（二）（考点）-备战2021年中考数学考点微专题（上海专用）
答案:（1）；（2）；（3）．
分析：
（1）过点B作 轴，垂足为点，由点B坐标与可得点A坐标，再分别代入抛物线方程即可求得；
（2）根据条件求得M坐标，进而得直线的表达式与直线的表达式，再求两直线交点即可；
（3）延长交轴于点，作，垂足为点，设，则，求得与根据关系求得最后结果．
【详解】
解：（1）
过点B作 轴，垂足为点，
，
，
，，
，
抛物线过原点 、点、，设抛物线的表达式为 ，

，
则抛物的线表达式为；
（2）
，
，
又 ，
`，
，
，
设，
在抛物线上，
，
直线经过点 、，
直线的表达式为，
且直线过点，
直线的表达式为，
直线经过点、 ，
直线的表达式为 ，

（3）延长交轴于点，作，垂足为点
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则
，


，
．
【点睛】
本题考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法与三角形有关性质是解题的关键．
36．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．
【来源】2021年上海市杨浦区中考数学二模试题
答案:（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）Q（3，﹣2）；（3）8
分析：
（1）求出A、B坐标代入y＝ax2+6x+c即可得答案；
（2）求出C坐标，设P、Q坐标，根据平行四边形两条对角线的中点重合可列方程求解；
（3）CD与AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐标，再求CN解析式及D坐标即可得出答案．
【详解】
解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣5，令y＝0得x＝5，
∴A（5，0），B（0，﹣5），
将A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）在y＝﹣x2+6x﹣5中令y＝0得x1＝1，x2＝5，
∴C（1，0），
点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，n﹣5），
则BP的中点为（，），CQ的中点为（，），
∵四边形BCPQ是平行四边形，
∴线段BP的中点即是CQ的中点，
∴，
解得或，
∴Q（3，﹣2）；
（3）设CD与AB交于N，如图：
∵B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），
∴CQ＝2，BQ＝3，
∵∠QCD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，
∴△CQN∽△BQC，
∴，即＝，
∴QN＝，
设N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），
∴＝，
∴t＝或t＝，
∵在∠QCB内作射线CD，
∴t＝，N（，﹣），
设CN解析式为y＝kx+b，将N（，﹣），C（1，0）代入得：
，
解得，
∴CN解析式为y＝﹣5x+5，
令x＝3得y＝﹣10，
∴Q（3，﹣10），
∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．
【点睛】
本题考查二次函数、平行四边形及相似三角形综合知识，解题关键是设出坐标，利用相似三角形性质求出QN的长度．
37．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【来源】江苏省淮安市2020-2021学年九年级上学期期末模拟数学试题（二）
答案:（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣，）．（3）
分析：
（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；
（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.
【详解】
解：如图：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
∴ 解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）存在．理由如下：
y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+．
∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，
∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
连接CD，∴CD∥x轴，
∴∠DCB＝∠OBC＝45°，
∴∠DCB＝∠OCB，
在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，
再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，
∴△DCB≌△GCB（SAS）
∴∠DBC＝∠GBC．
设直线BP解析式为yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得
k＝﹣，b＝1，
∴BP解析式为yBP＝﹣x+1．
yBP＝﹣x+1，y＝﹣x2+3x+4
当y＝yBP 时，﹣x+1＝﹣x2+3x+4，
解得x1＝﹣，x2＝4（舍去），
∴y＝，∴P（﹣，）．
（3） 理由如下，如图
B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线，
设N(，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)
第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,
∴4-=0-m，∴m=
∴﹣m2+3m+4=,
∴；
或∴0-=4-m，
∴m=
∴﹣m2+3m+4=,
∴；
第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，
∴
∴m=
∴﹣m2+3m+4=
∴
综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为 .
【点睛】
本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.
二、填空题
38．二次函数y＝x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…∁n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAn∁n都是正方形，则正方形An﹣1BnAn∁n的周长为_____．
【来源】热点08 二次函数-2021年中考数学【热点�重点�难点】专练（上海专用）
答案:4n
分析：
根据四边形A0B1A1C1是正方形，可得知△A0B1A1是等腰直角三角形，结合抛物线的解析式求出△A0B1A1的直角边长，同理求出直角△A1B2A2的直角边长……，找到直角三角形△An﹣1BnAn的直角边长的规律即可求出周长.
【详解】
解：∵四边形A0B1A1C1是正方形，∠A0B1A1＝90°，
∴△A0B1A1是等腰直角三角形．
设△A0B1A1的直角边长为m1，则B1（m，m）；
代入抛物线的解析式中得：（m）2＝m，
解得m1＝0（舍去），m1＝；
故△A0B1A1的直角边长为，
同理可求得等腰直角△A1B2A2的直角边长为2，
…
依此类推，等腰直角△An﹣1BnAn的直角边长为n，
故正方形An﹣1BnAn∁n的周长为4n．
故答案是：4n．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键.
39．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解式是______．
【来源】上海市静安区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题
答案:或
分析：
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出五月份的营业额，再根据题意表示出六月份的营业额，即可列出方程求解．
【详解】
解：设增长率为x，则
五月份的营业额为：，
六月份的营业额为：；
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“”．
40．如图，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE，矩形DEFG的面积为，那么关于的函数关系式是______． （不需写出x的取值范围）．
【来源】上海市黄浦区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题
答案:；
分析：
根据题意和三角形相似，可以用含的代数式表示出，然后根据矩形面积公式，即可得到与的函数关系式．
【详解】
解：四边形是矩形，，上的高，，矩形的面积为，
，
，
，
得，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．