人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题11利用三角函数解决实际问题(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题11利用三角函数解决实际问题(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了利用三角函数解决仰角俯角问题，利用三角函数解决坡度坡比问题，利用三角函数解决方位角问题，利用三角函数测高问题，生活中抽象出图形并求有关的问题等内容，欢迎下载使用。
考点一 利用三角函数解决仰角俯角问题 考点二 利用三角函数解决方位角问题
考点三 利用三角函数解决坡度坡比问题 考点四 利用三角函数测高问题
考点五 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 考点六 生活中抽象出图形并求有关的问题
考点一 利用三角函数解决仰角俯角问题
例题：（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高米，已知，E、F、G在一条直线上，求树高 是多少？（结果保留根号）
【变式训练】
1．（2022·山东·利津县东津实验中学九年级阶段练习）为了测量教学楼的高度，某同学先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为，再沿方向前行米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为，已知测角仪的高为1.5米，求此楼的高为多少米？（结果精到0.1米，）
2．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．
(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；
(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？
考点二 利用三角函数解决方位角问题
例题：（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
【变式训练】
1．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）
(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
2．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为千米，灯塔B到航线l的距离为千米，灯塔B位于灯塔A南偏东方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：，，， ）
(1)求两个灯塔A和B之间的距离；
(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．
考点三 利用三角函数解决坡度坡比问题
例题：（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m．
(1)求点B距水平面AE的高度BH．
(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414 ,≈1.732 ）
【变式训练】
1．（2022·上海·九年级专题练习）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．
(1)求水平平台DE的长度
(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．
（参考数据：取sin370.60，cs370.80，tan370.75）
2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：
(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；
(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，
考点四 利用三角函数测高问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，－楼房AB后有一－假山CD，CD的坡度为，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．
(1)求点E到水平地面的距离；
(2)求楼房AB的高．
【变式训练】
1．（2022·河南·九年级专题练习）如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退10米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
2．（2022·全国·九年级课时练习）某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）
（1）求点到点的水平距离的长；
（2）求楼的高度．
考点五 构造直角三角形求不规则图形的高度
例题：（2022·海南·九年级专题练习）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，
(1)求的距离；
(2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，）
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，）
2．（2022·上海·九年级专题练习）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）
考点六 生活中抽象出图形并求有关的问题
例题：（2022春·山东烟台·九年级期末）图1是新冠疫情期间，测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄和手臂始终在同一条直线上，枪身与额头F保持垂直．胳膊，，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即的长度），枪身．
(1)求的度数；
(2)测温时规定枪身端点E与额头规定范围为．在图2中若，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．（结果保留小数点后两位．参考数据：，）
【变式训练】
1．（2021春·山西太原·九年级山西大附中校考阶段练习）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板．上，图②是其侧面结构示意图，托板长，支撑板长，板固定在支撑板顶点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，当时，求：
(1)求点到直线的距离（计算结果保留根号）；
(2)若时，求点到直线的距离（计算结果精确到个位）．
一、选择题
1．（2022春·山东烟台·九年级期末）我国航天事业捷报频传，神州十五号于2022年11月29日晚11点08分在酒泉卫星发射中心成功发射升空，震撼人心．当神州十五号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为30°，A与Р两点的距离为12千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在Р处测得B点的仰角为45°，则神州十五号从A处到B处的距离的长为（ ）千米．
A．B．C．D．
2．（2022春·山东烟台·九年级统考期中）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西方向上，终点B位于点P的北偏东方向上，米，求点P到赛道AB的距离（ ）（结果保留整数，参考数据：）
A．B．C．87D．173
二、填空题
3．（北京市石景山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为___________m．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知， ，，，，自行车坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子半径等于，则A点到所在直线的距离为___，坐垫到地面的距离为___．（已知 ，结果保留根号）
三、解答题
5．（2023·全国·九年级专题练习）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点转动，测得．
(1)在图2中，过点作，垂足为．填空： ；
(2)求点到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：）
6．（2022春·山东菏泽·九年级期中）如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡比，高为，在斜坡下的点处测得楼顶的仰角为64°，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为45°，其中、、在同一直线上．
(1)求斜坡的高度；
(2)求大楼的高度．（参考数据∶，）
7．（2022春·上海浦东新·九年级校考期中）某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动．如图，她在山坡坡脚A处测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°，小红沿着山坡往上走到C处且测得楼顶B在小红的北偏西45°方向，测得坡脚A在小红的南偏西71.6°方向．已知，且O、A、D在同一条直线上，
(1)求楼房的离度；
(2)小红在山坡上点C和坡脚A的高度差．（计算过程和结果均保留根号）
8．（2022·浙江·九年级专题练习）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高m，坡面的坡比为（注：坡比是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比），点、与河岸，在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角，分别为，．（参考数据：，，）
(1)求山脚到河岸的距离；
(2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到0.1m）
9．（2022·浙江·九年级专题练习）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且．（结果精确到1cm，参考数据，，）
(1)求下管的长；
(2)若后下叉与地面平行，座管伸长到，求座垫E离地面的距离．
10．（2023·全国·九年级专题练习）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂）．已知基座高度为米，主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：．当时（如图3），伸展臂恰好垂直并接触地面．
(1)伸展臂长为 __________米；
(2)挖掘机能挖的最远处距点N的距离为________米．
11．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，一条宽为的河的两岸，互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥，．测得公路的长为，公路，与河岸的夹角分别为，，公路，与河岸的夹角分别为，．
(1)求两座桥，之间的距离（精确到）；
(2)比较路径①：和路径②：的长短，则较短路径为 （填序号），两路径相差 km（精确到）．（参考数据：，，，．）
12．（2022春·辽宁沈阳·九年级沈阳市育源中学期末）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．和是两根相同长度的活动支撑杆，点是它们的连接点，，（cm）表示熨烫台的高度．
(1)如图2．若，，求的长（结果保留根号）；
(2)爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为时，两根支撑杆的夹角是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆的长度．（参考数据：，，，）
专题11 利用三角函数解决实际问题
考点一 利用三角函数解决仰角俯角问题 考点二 利用三角函数解决方位角问题
考点三 利用三角函数解决坡度坡比问题 考点四 利用三角函数测高问题
考点五 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 考点六 生活中抽象出图形并求有关的问题
考点一 利用三角函数解决仰角俯角问题
例题：（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高米，已知，E、F、G在一条直线上，求树高 是多少？（结果保留根号）
【答案】树的高是米
【分析】先证明得到，解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴（米），
在中，∵，
∴米，
∴米，
答：树的高是米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，求出的长是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·利津县东津实验中学九年级阶段练习）为了测量教学楼的高度，某同学先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为，再沿方向前行米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为，已知测角仪的高为1.5米，求此楼的高为多少米？（结果精到0.1米，）
【答案】的高约为米
【分析】根据正切的定义用表示出，根据等腰直角三角形的性质得到，根据题意列方程，解方程得到答案．
【详解】解：由题意知：，，，，
在中，，
则，
在中，，
则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：的高约为米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．
(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；
(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？
【答案】(1)7.0
(2)建筑物高约为米
【分析】（1）先利用勾股定理解直角求出，，再证，推出，代入数值即可求解；
（2）过点作，垂足为，利用矩形的性质求出，，，解可得，进而得出，再解，列等式求出，则．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
∴设，则，
由勾股定理得：，即，
解得，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
由题意，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴米；
则平台的长为，
（2）解：过点作，垂足为．
在矩形中，
，，
∴．
在矩形中，
，，
在中，，
∴，
，
，
解得：，
（米），
即建筑物高约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．
考点二 利用三角函数解决方位角问题
例题：（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
【答案】此时船C与船B的距离是海里．
【分析】过点B作于点D，进而利用，，求出即可．
【详解】解：过点B作于点D，
由题意可知：，
则，
在中，，
在中，．
答：此时船C与船B的距离是海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
【变式训练】
1．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）
(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
【答案】(1)167.79米
(2)能，理由见解析
【分析】（1）过点M作，交AC的延长线于D，设．解，得，解，得，进而可得，解方程即可；
（2）作，交l于点F．解求出DF，进而求出AF，与AB比较大小即可．
（1）
解：过点M作，交AC的延长线于D，设．
∵在中，，
又∵在中，，
∴，
∵，
∴．
∴（米）．
即轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）
解：作，交l于点F．
在中，有：（米），
∴．
∴该轮船能行至码头靠岸．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为千米，灯塔B到航线l的距离为千米，灯塔B位于灯塔A南偏东方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：，，， ）
(1)求两个灯塔A和B之间的距离；
(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．
【答案】(1)14千米
(2)40.7千米/小时
【分析】（1）根据题意利用特殊角的三角函数值分别求出，即可得解；
（2）根据三角函数值求出CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．
（1）
解：由题意，得
，
在中，，
∴，
∴ ，
在中，，
∴，
∴，
∴千米．
答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．
（2）
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
由题意，得
∴，
∴，
∴，
设该轮船航行的速度是V千米/小时，
由题意，得，
∴ （千米/小时 ），
答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：方向角问题．解题的关键是将实际问题转化为解直角三角形．
考点三 利用三角函数解决坡度坡比问题
例题：（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m．
(1)求点B距水平面AE的高度BH．
(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414 ,≈1.732 ）
【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米
(2)广告牌CD的高度约为2.1米
【分析】（1）根据山坡AB的坡度为i=1：3，可设BH=a,则AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，则BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：在Rt△ABH中，
BH：AH=1:3，
∴设BH=a,则AH=3a，
∵AB=2，
由勾股定理得BH=2，
答:点B距水平面AE的高度BH是2米；
（2）解：在Rt△ABH中, BH=2，
∴AH =6，
在Rt△ADE中, tan∠DAE=.，
即DE=tan60 ·AE=8 ，
如图,过点B作BF⊥CE ,垂足为F，
BF= AH + AE=6+8 =14，
DF= DE- EF= DE- BH =8—2，
在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，
∴ CF= BF= 14,
∴CD=CF- DF =14—（8—2）= 14—8+2≈2.1
答:广告牌CD的高度约为2.1米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·上海·九年级专题练习）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．
(1)求水平平台DE的长度
(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．
（参考数据：取sin370.60，cs370.80，tan370.75）
【答案】(1)1.8米
(2)5：4
【分析】（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，从而可得∠EFG＝37°，四边形ADEF是平行四边形，进而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AF的长，即可解答；
（2）根据题意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而求出AD的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而求出CE的长，进行计算即可解答．
（1）
解：延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，
由题意得：AD∥EF，
∴∠A＝∠EFG＝37°，
∵DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD＝EF，DE＝AF，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴BF＝≈＝7.2（米），
∵AB＝9米，
∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），
∴水平平台DE的长度约为1.8米；
（2）
由题意得：
MN＝EG＝3米，
在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），
∴AD＝EF＝5米，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴CF＝＝＝9（米），
∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），
∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行四边形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：
(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；
(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）在中，，可得，根据解直角三角形进行求解即可；
（2）根据求解即可．
（1）
解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，，
则为坡顶B到所在直线的距离，
则，，
在中，，
∴，
∵，
∴；
（2）
由题意得，四边形是矩形，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
答：塔架高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用以及勾股定理，根据题意构造直角三角形是解本题的关键．
考点四 利用三角函数测高问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，－楼房AB后有一－假山CD，CD的坡度为，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．
(1)求点E到水平地面的距离；
(2)求楼房AB的高．
【答案】(1)8米
(2)48米
【分析】（1）过点E作EF⊥BC的延长线于F，根据CD的坡度为i=1：2得CF=2EF，再由勾股定理可得：EF∶CF∶CE＝1∶2∶，可得EF=8米，CF=16米；
（2）过E作EH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质求出AH的长，进而可得AB的长．
（1）
解：过点E作EF⊥BC的延长线于F．
在Rt△CEF中，
∵CD的坡度i＝EF∶CF＝1∶2，
∴占（份），
∴EF∶CF∶CE＝1∶2∶，
∵CE＝8米，
∴EF＝8米，CF＝16米
∴点E到水平地面的距离为8米．
（2）
作EH⊥AB于点H，
∵AB⊥BF，EF⊥BF，
∴四边形BFEH为矩形；
∴BH＝EF＝8（米），HE＝BF
∵BC＝24（米），CF＝16（米），
∴HE＝BF＝BC＋CF＝24＋16＝40（米）
在Rt△AHE中，
∵∠HAE＝90°－45°＝45°，
∴AH＝HE＝40（米），
∴AB＝AH＋HB＝48（米）．
∴楼房AB的高为48米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南·九年级专题练习）如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退10米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
【答案】6.4米
【分析】延长，交于点，则，解，求出的长，解，求出的长，进而求出的长．
【详解】延长，交于点，则，
由题意：，，米，米，
由于四边形是矩形，
∴米，
在中，，
∴米，
∵米，
∴米，
在中，，
∵，
∴，
∴(米)．
答：显示屏的高度约为米．
【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数知识解直角三角形，构造合适的直角三角形求出相应的线段是解本题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）
【答案】20米
【分析】延长EF交AB于点G，设AB为x，利用三角函数解直角三角形用x表示出EG、AC，根据CD=EG﹣AC列出方程求出x即可．
【详解】延长EF交AB于点G，如图，
设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米，
在Rt△BGE 中，EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG= ，
在Rt△BAC 中CA=AB÷tan∠ACB=，
则CD=EG﹣AC= ，
解得：．
答：大树AB的高约为20米．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）
（1）求点到点的水平距离的长；
（2）求楼的高度．
【答案】（1）米；（2）楼的高度为米．
【分析】（1）由的坡度，可得 设 则 由勾股定理可得 再列方程 解方程可得答案；
（2）如图，过作于 先证明四边形是矩形，可得 设 证明 可得 由 建立方程，再解方程检验即可得到答案．
【详解】解：（1） 的坡度，

设 则




（2）如图，过作于

四边形是矩形，

设




由


解得：
经检验：符合题意，
所以：建筑物的高为：米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．
考点五 构造直角三角形求不规则图形的高度
例题：（2022·海南·九年级专题练习）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点、、在同一条直线上，测得，，，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，
(1)求的距离；
(2)求支撑杆上的到水平地面的距离是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据，，，）
【答案】(1)16cm
(2)105cm
【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；
（2）如图作DG⊥EF，，证明EF=EG+QC+CP，再分别运用解直角三角形求出EG、QC、CP即可．
（1）
∵，，AB=32cm
∴(cm)
（2）
如图，作DG⊥EF于点G，过点C作，交DG于点Q，交AB于点P，
∵DG⊥EF，AF⊥EF，
∴DG⊥PQ，AF⊥PQ，
∴四边形FPQG是矩形，FG=PQ，
∴(cm)，(cm)，
∵
∴∠EDG=75°-60°=15°
∴(cm)
∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC=(cm)
故E到地面的距离EF为105cm．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，作辅助线构造相等线段，熟练运用解直角三角形求线段长度是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，）
【答案】点B到桌面得距离为28.78cm
【分析】
点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，在Rt△ABC中，解直角三角形求得AB，继而求得，在Rt△AOD中，解直角三角形求得OD，继而即可求解．
【详解】
如图，过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，
由题意可知：OD⊥AC，AC=10cm，，
∵∠AOM=160°，
∴∠AOD=20°，
∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴∠OAD=70°，
∵∠OAB=115°，
∴∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴AC=BC=10cm，
在Rt△ABC中，
cs∠BAC=，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AOD中，
cs∠AOD=，
∴，
∴点B到桌面的距离为．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，熟练掌握并应用三角函数定义．
2．（2022·上海·九年级专题练习）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）
【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm．
【分析】过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，由平行线的性质可得，得出，在与中，分别利用锐角三角函数求解得出，，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出．
【详解】解：如图所示：过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为．
【点睛】题目主要考查平行线的性质，利用锐角三角函数解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用锐角三角函数是解题关键．
考点六 生活中抽象出图形并求有关的问题
例题：（2022春·山东烟台·九年级期末）图1是新冠疫情期间，测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄和手臂始终在同一条直线上，枪身与额头F保持垂直．胳膊，，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即的长度），枪身．
(1)求的度数；
(2)测温时规定枪身端点E与额头规定范围为．在图2中若，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．（结果保留小数点后两位．参考数据：，）
【答案】(1)
(2)在规定范围内， 理由见解析
【分析】（1）过点D作，证明四边形是矩形，得到，，再利用已知条件求出，所以，进进一步可得，
（2）延长交于点K，延长交于点O，利用已知条件求出，进一步求出，可知在规定范围内．
【详解】（1）解：过点D作，
根据题意得．
∵，
∴．
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：延长交于点K，延长交于点O，
由题意可知：四边形是矩形，，，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵规定范围为，
∴在规定范围内．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理和性质，解直角三角形的实际应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握这些知识点是解题关键．
【变式训练】
1．（2021春·山西太原·九年级山西大附中校考阶段练习）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板．上，图②是其侧面结构示意图，托板长，支撑板长，板固定在支撑板顶点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，当时，求：
(1)求点到直线的距离（计算结果保留根号）；
(2)若时，求点到直线的距离（计算结果精确到个位）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，利用即可得解；
（2）过点作于点，作，过点作于点，在中，求出，利用即可得解．
【详解】（1）解：过点，
在中，，
∴；
（2）过点作于点，作，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴点的距离为
∴点到直线的距离约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
一、选择题
1．（2022春·山东烟台·九年级期末）我国航天事业捷报频传，神州十五号于2022年11月29日晚11点08分在酒泉卫星发射中心成功发射升空，震撼人心．当神州十五号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为30°，A与Р两点的距离为12千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在Р处测得B点的仰角为45°，则神州十五号从A处到B处的距离的长为（ ）千米．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先解直角三角形求出的长，再解直角三角形求出的长即可求出的长即可．
【详解】解：∵在中，千米，
∴千米，千米，
∵在中，千米，
∴千米，
∴千米，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出、的长是解题的关键．
2．（2022春·山东烟台·九年级统考期中）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西方向上，终点B位于点P的北偏东方向上，米，求点P到赛道AB的距离（ ）（结果保留整数，参考数据：）
A．B．C．87D．173
【答案】D
【分析】过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点P作，垂足为C，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴点P到赛道的距离约为173米，
故选D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题
3．（北京市石景山区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷）如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为___________m．
【答案】55
【分析】过点A作于点E，可得再求出，从而可求出结论．
【详解】解：过点A作于点E，如图，
可得，四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴
故答案为：55
【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求得的长是解题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知， ，，，，自行车坐垫，平行地面，垂直地面，自行车轮子半径等于，则A点到所在直线的距离为___，坐垫到地面的距离为___．（已知 ，结果保留根号）
【答案】
【分析】①过点A作垂直的延长线于H点，求出利用锐角三角函数求解即可；
②过点D作于点M，过点C作于点N，过点K作于P，延长交地面于点Q，证明，得出，求出，在中，求出，在中，根据三角函数求出，得出，求出即可得出答案．
【详解】解：（1）过点A作垂直的延长线于H点，
故即为所求A到所在直线距离
∵， ，
∴，
在中，，
即
故；
过点D作于点M，过点C作于点N，过点K作于P，延长交地面于点Q，
故有为矩形，
∴所求到地面距离为，即，
在和中，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即到底面的距离为．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义．
三、解答题
5．（2023·全国·九年级专题练习）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点转动，测得．
(1)在图2中，过点作，垂足为．填空： ；
(2)求点到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：）
【答案】(1)20
(2)10.3cm
【分析】（1）根据垂直定义可得从而利用直角三角形的两个锐角互余可得然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
（2）过点作垂足为过点作垂足为则从而利用直角三角形的两个锐角互余可得然后在Rt中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在Rt中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：如图：

故答案为：20；
（2）解：过点作垂足为过点作垂足为

则
在Rt中，
，
在Rt中，
，
，
点到的距离约为10.3cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2022春·山东菏泽·九年级期中）如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，坡比，高为，在斜坡下的点处测得楼顶的仰角为64°，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为45°，其中、、在同一直线上．
(1)求斜坡的高度；
(2)求大楼的高度．（参考数据∶，）
【答案】(1)5米
(2)34米
【分析】（1）根据在大楼的正前方有一斜坡，米，坡度为，高为，可以求得的高度；
（2）过点D作的垂线，垂足为H，根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼的高度．
【详解】（1）解：∵在大楼的正前方有一斜坡，米，坡度为，
∴，
设米，则米，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，，
即米，米，
故斜坡的高度是5米；
（2）解：过点D作的垂线，垂足为H，
设的长为x，
由题意可知，
∴，，
在直角中，根据勾股定理可求，，，
∵，
∴，
解得，，经检验：是方程的解，
（米），
即大楼的高度是34米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用坡度和锐角三角函数解答问题．
7．（2022春·上海浦东新·九年级校考期中）某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动．如图，她在山坡坡脚A处测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°，小红沿着山坡往上走到C处且测得楼顶B在小红的北偏西45°方向，测得坡脚A在小红的南偏西71.6°方向．已知，且O、A、D在同一条直线上，
(1)求楼房的离度；
(2)小红在山坡上点C和坡脚A的高度差．（计算过程和结果均保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接解直角三角形即可得到答案；
（2）如图所示，过点C作于E，于F，则四边形是矩形，，解直角三角形得到，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，，由，得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
∴，
∴楼房的高度为；
（2）解：如图所示，过点C作于E，于F，则四边形是矩形，
∴，
由题意得，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴小红在山坡上点C和坡脚A的高度差为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知解直角三角形的相关知识是解题的关键．
8．（2022·浙江·九年级专题练习）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高m，坡面的坡比为（注：坡比是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比），点、与河岸，在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角，分别为，．（参考数据：，，）
(1)求山脚到河岸的距离；
(2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到0.1m）
【答案】(1)30m
(2)88.7m
【分析】（1）根据题意可求出的长，然后在中，求出，进行计算即可解答；
（2）在中，求出的长，然后再减去，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）由题意得：
，m，
∴m，
在中，，
∴m，
∴m，
∴山脚到河岸的距离为30m；
（2）在中，，
∴m，
∴m，
∴河宽EF的长度为88.7m．
【点睛】本题考查了解答直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．（2022·浙江·九年级专题练习）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且．（结果精确到1cm，参考数据，，）
(1)求下管的长；
(2)若后下叉与地面平行，座管伸长到，求座垫E离地面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点E作，垂足为F，根据已知可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
，
在中，，，
∴，
∴下管的长为；
（2）过点E作，垂足为F，
，
，
在中，，
，
∴座垫E离地面的距离，
∴座垫E离地面的距离约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2023·全国·九年级专题练习）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂）．已知基座高度为米，主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：．当时（如图3），伸展臂恰好垂直并接触地面．
(1)伸展臂长为 __________米；
(2)挖掘机能挖的最远处距点N的距离为________米．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点M作，垂足为Q，根据题意可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，即可求出的长；
（2）当时，过点Q作，交的延长线于点A，连接，利用平角定义可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出，然后在中，利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：过点M作，垂足为Q，
则米，
在中，，米，
（米），
米，
伸展臂长为米，
故答案为：；
（2）解：当时，过点Q作，交的延长线于点A，连接，
，
在中，，米，
（米），
米，
（米），
在中，（米），
在中，（米），
挖掘机能挖的最远处距点N的距离为米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题关键．
11．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，一条宽为的河的两岸，互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥，．测得公路的长为，公路，与河岸的夹角分别为，，公路，与河岸的夹角分别为，．
(1)求两座桥，之间的距离（精确到）；
(2)比较路径①：和路径②：的长短，则较短路径为 （填序号），两路径相差 km（精确到）．（参考数据：，，，．）
【答案】(1)两座桥，之间的距离约为
(2)①，0.5
【分析】（1）过点A作，垂足为G，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算可求出的长，即可解答；
（2）过点B作，垂足为Q，根据题意得：，根据三角形的外角可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再在中，利用勾股定理求出的长，最后分别计算出路径①和路径②的长，即可解答．
【详解】（1）解：过点A作，垂足为G，
在中，，，
∴，
，
在中，，
∴，
∴，
∴两座桥，之间的距离约为；
（2）解：过点B作，垂足为Q，
由题意得：，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴路径①的长，
路径②的长，
，
∴较短路径为：①，两路径相差，
故答案为：①，0.5．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（2022春·辽宁沈阳·九年级沈阳市育源中学期末）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．和是两根相同长度的活动支撑杆，点是它们的连接点，，（cm）表示熨烫台的高度．
(1)如图2．若，，求的长（结果保留根号）；
(2)爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为时，两根支撑杆的夹角是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆的长度．（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)160cm
【分析】（1）过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一可得出的度数及，在中，通过解直角三角形可求出的长，再结合即可求出的长；
（2）过点作，垂足为，则，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出的度数，在中，通过解直角三角形即可求出的长．
【详解】（1）解：如图2，过点作，垂足为，
∵，∴，．
在中，，
∴．
答：的长为．
（2）解：如图3，过点作，垂足为，则．
∵，，
∴．
在中，．
答：支撑杆长．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）在中，通过解直角三角形求出的长；（2）在中，通过解直角三角形求出的长．