沪教版九年级上册数学专题训练专题03相似三角形的判定重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题03相似三角形的判定重难点专练(原卷版+解析)，共89页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海浦东新区·九年级期末）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·上海徐汇区·）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似B．两个含角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似D．两个含角的直角三角形必相似
3．(2023·上海九年级专题练习）如图，在正方形中，为中点，． 联结．那么下列结果错误的是( )
A．与相似
B．与相似
C．与相似
D．与相似
4．(2023·上海九年级专题练习）下列命题中的真命题是（ ）
A．两个直角三角形都相似
B．若一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，则这两个直角三角形相似
C．两个等腰三角形都相似
D．两个等腰直角三角形都相似
5．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
6．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1B．:1C．3:1D．:1
7．(2023·上海九年级专题练习）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（ ）．
A．B．C．D．
9．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒ADD．
10．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列能判定△ABC和△DEF相似的是（ ）
A．∠A=40°，∠B=∠E=58°，∠D=82°B．∠A=∠E，
C．∠A=∠B，∠D=∠ED．AB=BC=DE=EF
11．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB>AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ）
A．B．
C．∠ACP=∠BD．∠APC=∠ACB
12．(2023·上海民办兰生复旦中学九年级月考）下列各命题中，真命题的个数是（ ）
①两边成比例的两个直角三角形相似；
②两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似；
③两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形相似；
④三条直线被两条直线所截，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行；
⑤如果一条直线截三角形两边的延长线，所得对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
A．0个B．1个C．2个D．3个
13．(2023·上海九年级专题练习）下列命题中正确的是（ ）．
A．所有等腰三角形都相似B．两边成比例的两个等腰三角形相似
C．有一个角相等的两个等腰三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
14．(2023·上海九年级专题练习）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
15．(2023·上海）如图，四边形是正方形，是边的中点，是边上的一动点，下列条件中，，△ABP不与△ECP相似的是（ ）
A．B．
C．D．
16．(2023·上海嘉定区·）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C．四个内角都对应相等的两个四边形相似
D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
17．(2023·上海九年级专题练习）下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
18．(2023·上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）如图，在中，点、分别在边、上，平分，，与一定相似的三角形为（ ）
A．B．C．D．
19．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
20．（2017·上海宋庆龄学校九年级月考）下列命题中，说法正确的个数是（ ）
（1）两个等边三角形一定相似；（2）有一个角相等的两个菱形一定相似；
（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
（4）两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似.
A．1个B．2个C．3个D．4个
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．(2023·上海九年级专题练习）已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________
22．(2023·上海）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
23．（2017·上海）如图，在直角三角形ACB中，，D为AC中点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，点F在CB的延长线上，且，联结DF，交AB于点H，如果，，那么___________.
24．（2017·上海）如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，CD与BE交于点F，BE⊥CD，如果，，那么___________.

25．(2023·上海上外附中九年级月考）的边长分别为的边长分别，则与____________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
26．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么CF=____cm．
27．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，则=______．
28．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，D为AB上一点，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE与原三角形相似，则AE=________．
29．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE=______．
30．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，E是□ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中______对相似三角形．
31．(2023·上海九年级专题练习）如图，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和_____的比例中项．
32．(2023·上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为________．
33．(2023·上海市闵行区七宝第二中学九年级期中）在中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线将分割成两个部分，若其中的一个部分与相似，则满足条件的直线共有____________条
34．(2023·上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）中，，，点在上，且，若要在上找一个点，使与相似，则__．
三、解答题
35．(2023·上海九年级专题练习）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).
(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).
①求证：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的长.
(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：
① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.
② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.
36．(2023·上海普陀区·）如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．
（1）求证：△GBE∽△GEF．
（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．
（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．

37．(2023·上海浦东新区·）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；
如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．
如图2，在的条件下，当时，求的值．
38．(2023·上海黄浦区·中考模拟）如图，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）．
（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积；
（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；
（3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
39．(2023·上海中考模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，csA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
40．（2017·上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中）从三角形一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．
（1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠B=50°，∠C=30°，求证：AD为△ABC的优美线；
（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三角形，求∠BAC的度数；
（3）在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是△ABC的优美线，且△ABD是等腰三角形，直接写出优美线AD的长．
41．（2014·上海普陀区·）如图，在正方形中，，点是边上的任意一点，是延长线上一点，联结，作交的平分线上一点，联结交边于点．
（1）求证：；
（2）设点到点的距离为，线段的长为，试求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点是线段延长线上一动点，那么（2）式中与的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．
42．（2014·上海）已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP//AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE=45°，AC与DE交于点O．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）设CD=x，BAE = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．
43．(2023·上海崇明区·九年级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．
44．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：CD是DF和DA的比例中项．
45．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图,DF为RtABC斜边AB的中垂线,交BC及AC的延长线于点E、F,已知CD=6,DE=4,求DF的长．
46．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．
47．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，一张长8cm，宽6cm的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C重合，求折痕EF的长．
48．(2023·上海九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．
49．(2023·上海九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，BP⊥PQ．
（1）求证：△ABP∽△DPQ；
（2）写出对应边成比例的式子．
50．(2023·上海市黄兴学校九年级月考）如图，AD⊥BC于点D，点E在边AB上，CE与AD交于点G，EF⊥AD于点F，AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，CD＝5cm，求AF、FG、GD的长．
专题03相似三角形的判定重难点专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海浦东新区·九年级期末）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·上海徐汇区·）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似B．两个含角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似D．两个含角的直角三角形必相似
3．(2023·上海九年级专题练习）如图，在正方形中，为中点，． 联结．那么下列结果错误的是( )
A．与相似
B．与相似
C．与相似
D．与相似
4．(2023·上海九年级专题练习）下列命题中的真命题是（ ）
A．两个直角三角形都相似
B．若一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，则这两个直角三角形相似
C．两个等腰三角形都相似
D．两个等腰直角三角形都相似
5．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
6．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1B．:1C．3:1D．:1
7．(2023·上海九年级专题练习）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC∽△DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（ ）．
A．B．C．D．
9．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒ADD．
10．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列能判定△ABC和△DEF相似的是（ ）
A．∠A=40°，∠B=∠E=58°，∠D=82°B．∠A=∠E，
C．∠A=∠B，∠D=∠ED．AB=BC=DE=EF
11．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB>AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ）
A．B．
C．∠ACP=∠BD．∠APC=∠ACB
12．(2023·上海民办兰生复旦中学九年级月考）下列各命题中，真命题的个数是（ ）
①两边成比例的两个直角三角形相似；
②两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似；
③两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形相似；
④三条直线被两条直线所截，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行；
⑤如果一条直线截三角形两边的延长线，所得对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
A．0个B．1个C．2个D．3个
13．(2023·上海九年级专题练习）下列命题中正确的是（ ）．
A．所有等腰三角形都相似B．两边成比例的两个等腰三角形相似
C．有一个角相等的两个等腰三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
14．(2023·上海九年级专题练习）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
15．(2023·上海）如图，四边形是正方形，是边的中点，是边上的一动点，下列条件中，，△ABP不与△ECP相似的是（ ）
A．B．
C．D．
16．(2023·上海嘉定区·）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C．四个内角都对应相等的两个四边形相似
D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
17．(2023·上海九年级专题练习）下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
18．(2023·上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）如图，在中，点、分别在边、上，平分，，与一定相似的三角形为（ ）
A．B．C．D．
19．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
20．（2017·上海宋庆龄学校九年级月考）下列命题中，说法正确的个数是（ ）
（1）两个等边三角形一定相似；（2）有一个角相等的两个菱形一定相似；
（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
（4）两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似.
A．1个B．2个C．3个D．4个
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．(2023·上海九年级专题练习）已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________
22．(2023·上海）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
23．（2017·上海）如图，在直角三角形ACB中，，D为AC中点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，点F在CB的延长线上，且，联结DF，交AB于点H，如果，，那么___________.
24．（2017·上海）如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，CD与BE交于点F，BE⊥CD，如果，，那么___________.

25．(2023·上海上外附中九年级月考）的边长分别为的边长分别，则与____________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
26．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么CF=____cm．
27．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，则=______．
28．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）在△ABC中，D为AB上一点，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE与原三角形相似，则AE=________．
29．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE=______．
30．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，E是□ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中______对相似三角形．
31．(2023·上海九年级专题练习）如图，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和_____的比例中项．
32．(2023·上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为________．
33．(2023·上海市闵行区七宝第二中学九年级期中）在中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线将分割成两个部分，若其中的一个部分与相似，则满足条件的直线共有____________条
34．(2023·上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）中，，，点在上，且，若要在上找一个点，使与相似，则__．
三、解答题
35．(2023·上海九年级专题练习）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).
(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).
①求证：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的长.
(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：
① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.
② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.
36．(2023·上海普陀区·）如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．
（1）求证：△GBE∽△GEF．
（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．
（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．

37．(2023·上海浦东新区·）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；
如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．
如图2，在的条件下，当时，求的值．
38．(2023·上海黄浦区·中考模拟）如图，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）．
（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积；
（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；
（3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
39．(2023·上海中考模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，csA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
40．（2017·上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中）从三角形一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．
（1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠B=50°，∠C=30°，求证：AD为△ABC的优美线；
（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三角形，求∠BAC的度数；
（3）在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是△ABC的优美线，且△ABD是等腰三角形，直接写出优美线AD的长．
41．（2014·上海普陀区·）如图，在正方形中，，点是边上的任意一点，是延长线上一点，联结，作交的平分线上一点，联结交边于点．
（1）求证：；
（2）设点到点的距离为，线段的长为，试求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点是线段延长线上一动点，那么（2）式中与的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．
42．（2014·上海）已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP//AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE=45°，AC与DE交于点O．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）设CD=x，BAE = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．
43．(2023·上海崇明区·九年级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．
44．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：CD是DF和DA的比例中项．
45．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图,DF为RtABC斜边AB的中垂线,交BC及AC的延长线于点E、F,已知CD=6,DE=4,求DF的长．
46．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．
47．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，一张长8cm，宽6cm的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C重合，求折痕EF的长．
48．(2023·上海九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．
49．(2023·上海九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，BP⊥PQ．
（1）求证：△ABP∽△DPQ；
（2）写出对应边成比例的式子．
50．(2023·上海市黄兴学校九年级月考）如图，AD⊥BC于点D，点E在边AB上，CE与AD交于点G，EF⊥AD于点F，AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，CD＝5cm，求AF、FG、GD的长．
参考答案
1．B
解析：
∵EF是点B、D的对称轴，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，∵=，
∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形，∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5，∴AB=CD==，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°，
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，
∴，∴DF=，∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，∴=．
故选B．
2．D
分析：
根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．
【详解】
A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；
B、如果一个等腰三角形的顶角是，另一等腰三角形的底角是，则不相似，此项错误；
C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；
D、两个含角的直角三角形必相似，此项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键．
3．C
分析：
根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项．
【详解】
解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：，
∴，∴△AEF是直角三角形，
∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，
∠B=∠C=∠AEF=∠D，，
∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，
∴A、B、D正确，C错误，
故选C．
【点睛】
本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是解题关键．
4．D
分析：
根据相似三角形的判定逐项判断即可得．
【详解】
A、如一个直角三角形的三个内角分别为，另一个直角三角形的三个内角分别为，这两个直角三角形不相似，则此项是假命题；
B、如一个直角三角形的三边长分别为，另一个直角三角形的三个内角分别为，这两个直角三角形不相似，则此项是假命题；
C、如一个等腰三角形的三个内角分别为，另一个等腰三角形的三个内角分别为，这两个等腰三角形不相似，则此项是假命题；
D、等腰直角三角形的三个内角都是，满足三角形相似的判定定理，则此项是真命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
5．C
分析：
根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
【详解】
满足条件的直线有4条，如图所示：
如图1，过D作DE∥AC，则有△BDE∽△BAC；
如图2，过D作DE∥BC，则有△ADE∽△ABC；
如图3，过D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，则有△ADE∽△ACB；
如图4，过D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，则有△BED∽△BAC，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．
6．B
分析：
先设出原矩形的长和宽，可根据对折表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【详解】
解：设原矩形长2a，宽b，则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后的矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例．
7．B
分析：
根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．
【详解】
解：如图示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，
①
，
，
故①是不正确的；
，，，，
，
，
，
故③是正确的；
，，，，
，
，
；
故④是正确的；
∵，，，，
∴，
有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
故②是错误的；
综上所述③④是正确的，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．
8．B
分析：
由△ADC和△ABC相似，可得到，从而完成求解．
【详解】
∵△ADC和△ABC相似，且∠ACB=∠ACD=90°
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形和相似三角形的知识，求解的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
9．D
分析：
由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．
【详解】
解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；
两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；
由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意；
而D不是夹角相等，故选项D符合题意；
故选：D
【点睛】
相似三角形的判定：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
10．A
分析：
根据相似三角形的判定方法即可判断．
【详解】
A、由∠A=40°，∠B=58°知，∠C=∠D=82º，又∠B=∠E，可判定△ABC∽△FED，符合题意；
B、由知，要使△ABC和△DEF相似，只需∠B=∠F,故此选项不能判定△ABC和△DEF相似；
C、因为∠A=∠B，∠D=∠E是分别在同一三角形中相等的角，故此选项不能判定△ABC和△DEF相似；
D、由AB=BC=DE=EF得，但还差一对角相等或AC=DF，故此选项不能判定△ABC和△DEF相似，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
11．B
分析：
A．利用对应边成比例,且夹角相等来判断即可;
B．对应边成比例,但夹角不相等,不能证ACP与ABC全等;
C．利用两角对应相等,两三角形全等,进行判定即可;
D．利用两角对应相等,两三角形全等,进行判定即可．
【详解】
解：A．∵,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
B．对应边成比例,但夹角不相等,不能证ACP与ABC全等．
C．∵∠ACP=∠B,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
D．∵∠APC=∠ACB,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定:两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似．注意:两边对应成比例必须夹角相等．
12．A
分析：
根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例定理判断选项的正确性．
【详解】
①这两条边必须是对应的直角边，错误；
②这个角必须是两边的夹角，错误；
③假如一个是锐角三角形，一个钝角三角形，错误；
④如果截得两条直线是平行关系也成比例，错误；
⑤两边的延长线应该在第三边的同侧，错误；
一个都不对．
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握这两个性质定理．
13．D
分析：
根据相似三角形进行判断即可．
【详解】
解：A、所有等腰三角形不一定都相似，原命题是假命题；
B、两边成比例的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；
C、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，是真命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
14．C
分析：
由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果．
【详解】
∵∠DAE＝∠BAC，
∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，
当时，
∵∠B不一定等于∠AED，
∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，
当时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，
综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键
15．A
分析：
由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由E是CD的中点，易得CE:AB=1:2，然后分别利用相似三角形的判定定理，判定△ABP与△ECP相似．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=BC，
∵E是CD的中点，
∴CE:CD=1:2，
即CE:AB=1:2，
A、∵BP=PC，
∴BP=PC=BC，
没办法判定△ABP与△ECP中各边成比例，故A错误；
B、∵∠APE=90°，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∴△ABP∽△PCE，故B正确；
C、∵∠APB=∠EPC，
∴△ABP∽△EPC，故C正确；
D、∵BP=2PC，
∴PC:BP=1:2，
∴PC:BP=CE:AB=1:2，
∴△ABP∽△PCE，故D正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定以及正方形的性质．注意灵活应用判定定理是解题的关键．
16．D
分析：
根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断；根据相似三角形的判定方法对B、D进行判断；利用矩形和正方形不相似可对C进行判断．
【详解】
解：A、有一个顶角（或底角）对应相等的两个等腰三角形相似，所以A选项错误；
B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所以B选项错误；
C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似(四边也必须对应成比例)，所以C选项错误；
D、斜边和一条直角边对应成比例,根据勾股定理另一条直角边也和斜边成比例,这样的两个直角三角形相似，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定,掌握相似三角形的各个判定方法是解决此题的关键.
17．B
分析：
由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】
解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意； 故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
18．B
分析：
由题意可得，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可证．
【详解】
平分，
，
又
，且
故选．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定解决问题是本题的关键．
19．D
解析：
试题分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4对，故选D．
考点：1．相似三角形的判定；2．平行线的判定．
20．D
分析：
利用相似图形的判定和性质，分别判断即可.
【详解】
解：（1）等边三角形的内角都是60°，各边相等，得到对应边的比相等．所以一定相似，正确；
（2）有一个角相等的两个菱形，其余的角也必对应相等，菱形各边相等，所以对应边的比相等，所以一定相似，正确；
（3）根据斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，可得这两个等腰三角形的顶角相等，然后由腰对应成比例可得这两个三角形必相似，正确；
（4）理由：如图，AD、A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的中线，，
延长AD到M，使DM＝AD，连结MC．
在△ABD与△MCD中，AD＝MD，∠ADB＝∠MDC，BD＝CD，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴AB＝MC，
同理延长A′D′到M′，使D′M′＝A′D′，连结M′C′，那么A′B′＝M′C′，
∴，
在△ACM与△A′C′M′中，，
∴△ACM∽△A′C′M′，
∴∠MAC＝∠M′A′C′，
同理可得∠MAB＝∠M′A′B′，
∴∠MAC＋∠MAB＝∠M′A′C′＋∠M′A′B′，即∠BAC＝∠B′A′C′．
在△ABC与△A′B′C′中，，∠BAC＝∠B′A′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似，正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查了相似多边形的定义及相似三角形的判定，判定两个三角形相似的方法有：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
21．或．
分析：
先画草图借草图分析．如图
重叠的小三角形为，由对折知，所以要使△ABC和相似，只需，此时和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值．
【详解】
由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论：
第一种情况
如图1
当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点．
∵∠BCA=90°
∴∠MNC=∠BCA
又由对折知：∠MCN=∠A
∴△MCN∽△ABC
由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得
（㎝）；
第二种情况
如图2
当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点．
∵∠C=90°
∴∠C=∠NMB
又由对折知∠A=∠NBM
∴△ABC∽△BNM
∴
又由对折知
∴（㎝）．
综上分析得MN=㎝或㎝．
故答案为：或．
【点睛】
本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之．
22．145
分析：
先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.
【详解】
解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD，
△ABD与△DBC相似，但不全等，
∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.
又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，
∴∠ADB+∠BDC=145°，
即∠ADC=145°.
【点睛】
对于新定义问题，读懂题意是关键.
23．
解析：
解：过B作BG∥CA交DF于G．∵AC=2，D为AC的中点，∴AD=DC=1，∵BF：AD=3：1，∴BF=3．∵BG∥CA，∴BG：CD=BF：CF=3：4，∴BG=．∵AC=2，BC=1，∴AB==.∵BG∥CA，∴BG：AD=BH：AH，∴=，∴=，∴AH=.在Rt△ADE和Rt△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠C=90°，∴△ADE∽△ABC，∴AE：AC=AD：AB，∴AE：2=1：，∴AE= ，∴EH=AH-AE==.故答案为：．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用，关键是通过做辅助线BG∥CA而把所有相关线段联系起来．
24．
解析：
解：连接ED．∵D、E分别为边AB、AC的中点，∴ED∥BC，2ED=BC，∵ED∥BC，∴BF=2EF，CF=2FD．在Rt△BCF中，∵∠CBF=30°，BC=4，∴CE=2，BF=，∴EF= ．在Rt△EFC中，EC== =，∴AC=2EC=.
点睛：本题考查了三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，通过连接DE，由三角形中位线定理得出ED和CB的关系，进而得出EF的长．
25．不一定
分析：
先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
【详解】
解：∵的边长分别为的边长分别，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时，，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似，
∴与不一定相似，
故答案为：不一定．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
26．4
分析：
延长CF交AB于点H，连接DH．利用直角三角形斜边中线的性质求出CH，再根据三角形中位线定理推出DH∥AC，AC=2DH，可得，推出FG=2FH，由此即可解决问题；
【详解】
解：延长CF交AB于点H，连接DH．
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴CH是△ABC的中线，
∵∠ACB=90°，
∴CH=AB=6cm，
∵BD=CD，BH=AH，
∴DH∥AC，AC=2DH，
∴，
∴CF=2FH，
∴CF=CH=4cm．
故答案为：4
【点睛】
本题考查三角形的重心，直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识可解决问题，属于中考常考题型．
27．
分析：
根据平行线的性质得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，利用“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
28．或
分析：
根据△ADE与原三角形相似，得到∠A=∠A，故分类讨论，根据相似性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图1，当△ADE∽△ABC时，，
即：，
∴；
（2）如图2，当△ADE∽△ACB时，，
即：，
∴．
故答案为：或
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，题目中没有说明两个三角形相似的对应点，故分类讨论是解题关键．
29．4
分析：
通过证明△AED∽△ABC，可得，即可求解．
【详解】
∵AD=3，AE=2，AB=6，AC=9，
∴，
又∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
∴
∴DE=
故答案为：4
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
30．3
分析：
由□ABCD可得，，再由平行线性质推导而证明△AFE∽△CFD∽△BCE，从而完成求解．
【详解】
∵□ABCD
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴
△CFD∽△BCE
∴△AFE∽△CFD∽△BCE
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平行四边形和相似三角形的知识；求解的关键是熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质，从而得到答案．
31．AB．
分析：
利用相似三角形的判定得出△ABC∽△ACD，进而利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】
∵∠C＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC，
又∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD，
∴，即AC2＝AD•AB，
∴AC是AD和AB的比例中项，
故答案为：AB．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是利用相似三角形的判定得出△ABC∽△ACD．
32．
【详解】
解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1．又∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC，∴AB：AD=BC：DE，∴DE=，∴EC=DC﹣DE=．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例．
33．3
分析：
由于三角形ABC是直角三角形，所以必须保证直线l与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似．
【详解】
∵三角形ABC是直角三角形.
∴只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件；
①当l∥BC时，可得三角形相似；
②当l∥AC时，亦可得三角形相似；
③当l⊥AB时，三角形也相似，
故满足题中的直线L共有3条.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，对于没有图的题可根据题意画出图形，通过图形得出小三角形与△ABC有一个角是公用角（也就是相等的）是解决此题的关键.
34．5或
分析：
分两种情况讨论，由是公共角，当，即时，，当，即时，，可求的值．
【详解】
是公共角，
当，即时，
解得：
当，即时，
解得：
故答案为：5或
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定．注意分类讨论思想的应用．
35．(1)①证明见解析；②PC=2，BC=5；(2)①tan∠PEF的值不变；②x=或x=或x=.
分析：
（1）①由勾股定理求BP，利用互余关系证明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP, 再根据BC=AD=AP+DP即可求得BC的长；
（2）①tan∠PEF的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；②利用相似比求GP，再矩形性质求出BF，△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ) 当PB=PF时，根据BF=2AP求值；当BF=BP时，(Ⅱ)根据BP=求值；(Ⅲ) 当BF=PF时，根据PF=即可求出x值.
【详解】
解：(1)①如图3.2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2，
∴在Rt△ABC中，
∠1+∠2=90°，BP=.
又∵∠BPC=90°,
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3.
∴△APB∽△DCP.
②由△APB∽△DCP.
∴，即.
∴PC=2，DP=4.
∴BC=AD=AP+DP=5.
(2)①tan∠PEF的值不变.
理由如下：
如图3.1，过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形.
∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2，
∴在Rt△APE中，∠1+∠2=90°，
又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3.
∴△APE∽△GFP，
∴.
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=2.
∴tan∠PEF的值不变.
②由△APE∽△GFP.
∴.
∴GP=2AE=2x，
∵四边形ABFG是矩形.
∴BF=AG=AP+GP=2x+1.
△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：
(Ⅰ)当PB=PF时，点P在BF的垂直平分线上.
∴ BF=2AP. 即2x+1=2，
∴x=.
(Ⅱ)当BF=BP时，
BP=BP=
∴2x+1=.
∴x=.
(Ⅲ)当BF=PF时，
∵PF=，
∴(2x)2+22=(2x+1)2，
∴x=.
【点睛】
本题是综合题：熟练掌握线段垂直平分线的判定、矩形的性质和相似三角形的判定方法和性质；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系和计算线段的长；合理作平行线构建相似三角形是解决问题的关键．
36．（1）见解析；（2）y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣．
解析：
分析：
（1）先判断出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，进而得出∠BGE=∠EGF，即可得出结论；
（2）先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=
，即可得出结论；
（3）分两种情况，①△AGQ∽△CEP时，判断出∠BGE=60°，即可求出BG；
②△AGQ∽△CPE时，判断出EG∥AC，进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出结论．
【详解】
（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠F'=∠CFE，
在△BEF'和△CEF中，
，
∴△BEF'≌△CEF，
∴BF'=CF，EF'=EF，
∵∠GEF=90°，
∴GF'=GF，
∴∠BGE=∠EGF，
∵∠GBE=∠GEF=90°，
∴△GBE∽△GEF；
（2）∵∠FEG=90°，
∴∠BEG+∠CEF=90°，
∵∠BEG+∠BGE=90°，
∴∠BGE=∠CEF，
∵∠EBG=∠C=90°，
∴△BEG∽△CFE，
∴，
由（1）知，BE=CE=2，
∵AG=x，
∴BG=4﹣x，
∴，
∴CF=，
由（1）知，BF'=CF=，
由（1）知，GF'=GF=y，
∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+
当CF=4时，即：=4，
∴x=3，（0≤x≤3），
即：y关于x的函数表达式为y=4﹣x+（0≤x≤3）；
（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵△AGQ与△CEP相似，
∴①△AGQ∽△CEP，
∴∠AGQ=∠CEP，
由（2）知，∠CEP=∠BGE，
∴∠AGQ=∠BGE，
由（1）知，∠BGE=∠FGE，
∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，
∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，
∴∠BGE=60°，
∴∠BEG=30°，
在Rt△BEG中，BE=2，
∴BG=，
∴AG=AB﹣BG=4﹣，
②△AGQ∽△CPE，
∴∠AQG=∠CEP，
∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，
∴∠AQG=∠FGE，
∴EG∥AC，
∴△BEG∽△BCA，
∴，
∴，
∴BG=2，
∴AG=AB﹣BG=2，
即：当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣．
【点睛】
本题考核知识点：相似三角形综合. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.
37．当或或时，是比例三角形；证明见解析； ．
【详解】
分析：根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得；
先证∽得，再由知即可得；
作，由知，再证∽得，即，结合知，据此可得答案．
【详解】是比例三角形，且、，
当时，得：，解得：；
当时，得：，解得：；
当时，得：，解得：负值舍去；
所以当或或时，是比例三角形；
，
，
又，
∽，
，即，
，
，
平分，
，
，
，
，
是比例三角形；
如图，过点A作于点H，
，
，
，，
，
，
又，
∽，
，即，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
38．（1）16（2）当△ABE∽△EBC时，线段CD的长为2或（3）（0＜x＜4.1）
解析：
试题分析:(1) 过C作CH⊥AB与H,由∠A=90°,DP∥AB,可得得四边形ADCH为矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2, 所以CD=AH=5-2=3,
则四边形ABCD的面积=,
(2) 由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,当△ABE∽△EBC时,
∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.
∠BEC=∠BAE=90°,延长CE交BA延长线于T,由∠ABE=∠EBC,
∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,则在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,
所以,即,解得,
(3) 延长BE交CD延长线于M,因为AB∥CD,所以∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,
在△BCH中,由勾股定理可得:,
则DM=CM-CD=,又因为DM∥AB,可得,即,
即可得到:.
试题解析:（1）过C作CH⊥AB与H,
由∠A=90°,DP∥AB,得四边形ADCH为矩形,
在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,
所以CD=AH=5-2=3,
则四边形ABCD的面积=,
（2）由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,
当△ABE∽△EBC时,
∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,
于是在△BCH中,BH=,
所以CD=AH=5-3=2.
∠BEC=∠BAE=90°,延长CE交BA延长线于T,
由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,
且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.
令CD=x,则在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,
所以,即,解得,
综上,当△ABE∽△EBC时,线段CD的长为2或.
（3）延长BE交CD延长线于M,
由AB∥CD,得∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,
在△BCH中,,
则DM=CM-CD=,
又DM∥AB,得,即,
解得.
39．（1）；（2）不变；（3）或3或.
解析：
试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；
（2）过点作，，垂足分别为点、，由（1）可得DH=3，DG=4；再证，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论即可.
（1）∵，
∴
∵
∴
∵是边的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∵
∴
又∵
∴四边形是矩形
∴
∵在中，
∴
（2）不变
过点作，，垂足分别为点、
由（1）可得，
∵，
∴
又∵，
∴四边形是矩形
∴
∵
∴ 即
又∵
∴
∴
∵
∴
（3）1° 当时，易证，即
又∵，D是AB的中点
∴
∴
2° 当时，易证
∵在中，
∴设，则，
当时，易证，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
3° 在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出
当时，易证
∴设，则，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
40．（1）证明见解析；（2）113°.（3）优美线AD的长为4-4
解析：
试题分析:(1)根据三角形的优美线的定义,只要证明△ABD是等腰三角形,
△CAD∽△CBA即可解决问题,(2)如图2中,分两种情形讨论求解①若AB=AD,
△CAD∽△CBA,则∠B=∠ADB=∠CAD,则AC∥BC,这与△ABC这个条件矛盾, ②若AB=BD, △CAD∽△CBA, (3)如图3中,分三种情形讨论①若AD=BD, △CAD∽△CBA,则设BD=AD=x,CD=y,可得,解方程即可, ②若AB=AD=4,由,设BD=AD=x,CD=y,可得,解方程即可, ③若AB=AD,显然不可能.
(1)证明：
∵∠B=50°，∠C=30°，∴∠BAC=100°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=50°，
∴∠B=∠BAD=50°，∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠C=∠C，∠DAC=∠B=50°，
∴△CAD∽△CBA，
∴线段AD是△ABC的优美线．
（2）若AB=AD，舍去，
（理由若△CAD∽△CBA，则∠B=∠ADB=∠CAD，则AC∥BC，）
若AB=BD，∠B=46°，
∴∠BAD=∠BDA=67°，
∵△CAD∽△CBA，
∴∠CAD=∠B=46°，
∴∠BAC=67°+46°=113°．
（3）或.
41．（1）证明见解析；（2）；（3）改变，.
解析：
试题分析：（1）欲证利用原图无法证明，需构建三角形且使之全等，因此在边上截取线段，使，连接，证明与全等即可．
（2）由∽列式化简即可得.
（3）在延长线上取点，令，
∴是等腰直角三角形.∴.
同理，，
∵，
∴∽.
∴，即.
整理，得.
试题解析：（1）在边上截取线段，使，连接，
由正方形，得，
∵，∴.
∵，∴.
又∵，平分，∴.∴.
又∵，∴，即得.
∴，即得.
在和中，，
∴≌，
∴．
（2）在上取点，令，
∴是等腰直角三角形.∴.
同理，，
∵，
∴∽.
∴，即.
整理，得.
（3）改变，.
考点：1.正方形的性质；2. 等腰直角三角形的判定和性质；3.全等三角形的判定与性质；4.由实际问题列函数关系式.
42．(1)略；（2）y= ，定义域0＜x＜2；（3）当CD=时，△COD与△BEA相似．
解析：
试题分析：
(1)根据等腰三角形的性质，得出角相等，然后角的等量代换，得出其余角相等，即可证明三角形相似；
由（1）的结论可以得到线段成比例，解直角三角形即可求出函数解析式，并确定定义域；
先由相似得出线段比例关系，设未知数解方程即可.
试题解析：
（1）证明：∵△ACB是等腰直角三角形
∴∠CAB＝∠B=45°
∵CP//AB
∴∠DCA＝∠CAB=45°
∴∠DCA＝∠B
∵∠DAE=45°
∴∠DAC+∠CAE=∠CAE+∠EAB
∴∠DAC=∠EAB
∴△DCA∽△EAB
∴
即且∠DAE=∠CAB=45°
∴△ADE∽△ACB．
（2）过点E作EH⊥AB于点H
由（1）得△DCA∽△EAB
∴
∵△ACB是等腰直角三角形，且CD=x
∴EB=x
∴EH=BH=x
∴AH=4—x
在Rt△AEH中，BAE=
即y=
定义域0＜x＜2．
（3）若△COD与△BEA相似，又△BEA与相似△DCA
即△COD与△DCA相似
∴只有△DCO∽△ACD
∴
∵∠DAO＝∠CEO
∴∠CEO＝∠EAB
∴tan∠CEO＝y
即
∴
∴
解得，
经检验都是原方程的实数根，不合题意舍去
∴当CD=时，△COD与△BEA相似．
图13
H
考点：1.相似三角形的判定和性质；2.等腰三角形的性质；3.三角函数的定义.
43．
分析：
通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴
∴CQ＝ ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法．
44．见解析．
分析：
根据如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可以证得△DCE∽△DBC，△DEF∽△DAB；根据相似三角形的对应边成比例，即可证得．
【详解】
证明：（1）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，
∴DE•DB=DA•DF，
∵∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，
∴△DEC∽△DCB，
∴，
∴DC2=DE•DB，
又∵DE•DB=DA•DF，
∴CD2=DF•DA．
∴CD是DF和DA的比例中项
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
45．DF的长为9．
分析：
先证明ACB∽BDE,得到,将DE,BE,AB代入即可得到AC的值,进而求得BC的值,再通过证ADF∽CBA,得到,即可求出DF的长．
【详解】
∵DF为RTABC斜边AB的中垂线．
∴∠BDE =90°,．
∵DE=4．
∴．
∵∠ACB= ∠BDE,∠B=∠B．
∴ACB∽BDE．
∴．
∴．
∴利用勾股定理,可得：．
同理可得ADF∽CBA．
∴．
∴DF=9．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
46．△ADE∽△BDA
分析：
先利用勾股定理求得AD=，进而有，又∠ADB=∠ADB
，利用“两组边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似”即可证得△ADE∽△BDA．
【详解】
∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE，
∴AD=，BD=2，
∴，
∵∠ADB=∠ADB，
∴△ADE∽△BDA．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
47．EF的长为
分析：
联结CF，根据翻折的图形全等得到AF=CF，再根据勾股定理计算即可；
【详解】
联结CF，
∵翻折的图形全等，
∴AF=CF，
设AF=x，则DF=8-x，
，
，
∵OC=5，
∴OF=，
可证OE=OF，
∴EF=．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的折叠问题，准确计算是解题的关键．
48．见解析．
分析：
先根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB =∠DCF =90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根据∠F为公共角即可得出结论．
【详解】
∵正方形ABCD
∴∠DCB=∠DCF=90，DC=BC
∵CE=CF
∴△DCF≌△ECB
∴∠CDF =∠CBE
∵∠CDF＋∠F=90
∴∠CBE＋∠F=90
∴∠BGF=90=∠DCF
∴△BGF∽△DCF
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
49．（1）证明见解析；（2）
分析：
（1）根据矩形的性质得到∠A=∠D=90º，再由BP⊥PQ及“同角的余角相等”证得∠ABP=∠DPQ，
然后利用“两组角相等的两个三角形相似”即可证得结论．
（2）根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】
（1）矩形ABCD，BP⊥PQ
∴ ∠A=∠D=∠BPQ=90°
∴ ∠ABP+∠APB =90°，∠DPQ+∠APB =90
∴ ∠ABP=∠DPQ
∴ △ABP∽△DPQ
（2）∵△ABP∽△DPQ，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、垂线定义、同（或等）角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
50．AF＝4cm，FG＝3cm，GD＝5cm
分析：
根据平行线得△AEF∽△ABD，得到＝，代入已知数据求出EF，根据平行线分线段成比例定理得到＝，＝，计算得到答案．
【详解】
∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，
又AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，
∴EF＝3cm，
在Rt△ABD中，AB＝15，BD＝9，
由勾股定理得，AD＝=12，
∵EF∥BC，
∴＝，
∴AF＝4，DF＝8，
∵EF∥BC，
∴＝，
∴FG＝3cm，GD＝5cm．
答：AF＝4cm，FG＝3cm，GD＝5cm．
【点睛】
本题考查的是相似三角形、平行线分线段成比例定理和勾股定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．