人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题09相似三角形中动点问题(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题09相似三角形中动点问题(原卷版+解析)，共65页。试卷主要包含了相似三角形动点中求时间问题，相似三角形动点中求线段长问题等内容，欢迎下载使用。

考点一 相似三角形动点中求时间问题（利用分类讨论思想）
考点二 相似三角形动点中求线段长问题（利用分类讨论思想）
考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题
考点四 相似三角形中的动点问题与几何及函数综合问题
考点一 相似三角形动点中求时间问题（利用分类讨论思想）
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，中，，，，动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，分别与交于点E，F，连接，设动点P与动直线同时出发，运动时间为t秒．当t为__________时，与相似．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．
2．（2022·全国·九年级课时练习）在中，，过点B作射线．动点D从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作交射线于F，G是中点，连接．设点D运动的时间为t，当与相似且点D位于点E左侧时，t的值为_____________．
3．（2022·山东·测试·编辑教研五九年级阶段练习）如图所示，在矩形中，，，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿、向终点B，C方向前进，小虫P每秒走，小虫Q每秒走，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则_____秒．
4．（2022·云南·一模）在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（05．（2022·山东潍坊·八年级期末）如图，在中，，，，，垂足为，线段上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，以线段为边向上作正方形，设点运动的时间为，当点落在的边上时，的值为________．
6．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(2)当t为何值时，△APQ的面积为？
7．（2021·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)如图1，EF与CD交于点M，当DM=2CM时，求此时t的值；
(2)当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，求出所有符合条件的t的值．
8．（2022·全国·九年级课时练习）阅读与思考
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
解决问题：
(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答．
拓展延伸：
(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
考点二 相似三角形动点中求线段长问题（利用分类讨论思想）
例题：（2022·河南·郑州市树人外国语中学九年级期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 D、E 为 AC、BC 上两个动点， 若将∠C 沿 DE 折叠，使点 C 的对应点 C′落在 AB 上，且△ADC′恰好为直角三角形， 则此时 CD 的长为（ ）
A．B．C．或 D．或
【变式训练】
1．（2022·山东·济南外国语学校九年级阶段练习）在中，，点P在上，且，点Q是边上一个动点，当______时，与相似．
2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，AE＝__________．
3．（2022·河南·泌阳县光亚学校九年级阶段练习）如图，边长为2的正方形中，点为边中点，点为射线上一动点，过点作，当与相似时，的长度为 ___________．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，有一正方形，边长为，是边上的中点，对角线上有一动点，当与相似时，的值为__________．
5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为_________．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP=__________．
考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题
例题：（2021·湖南永州·一模）如图已知中，，，，P是线段BC上的动点，则的最小值是______．
【变式训练】
1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
2．（2022·陕西·西安滨河学校三模）如图半径为，为直径，弦，点是半圆弧上的动点（不与A、重合），过点作的垂线交的延长线于点，则面积的最大值为______．
3．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上的一动点，以点为直角顶点构造直角三角形（点A，B，C按顺时针排列），使，已知点D的坐标是，连接DB，则的最小值为___________．
4．（2020·全国·九年级专题练习）在中，，点D是内一动点，且满足，则的最小值____________．的最小值_______
5．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________．
6．（2022·福建· 九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，AC＝5．设AP的长为x．
(1)AB＝_______；当x＝1时，＝______；
(2)试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．
考点四 相似三角形中的动点问题与几何及函数综合问题
例题：（2022·上海对外经贸大学附属松江实验学校花园分校九年级阶段练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
(1)求证：AE＝2PE；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
【变式训练】
1．（2022·湖南·衡东县杨山实验中学九年级期中）如图中，厘米，厘米，是的中点，点从出发，以厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为秒．
(1)若，，求的值；
(2)设点在上，四边形为平行四边形，若，求的长．
2．（2022·山东·青岛三十九中九年级期中）如图，在矩形中，是对角线，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；点从点出发，沿方向匀速运动，速度是1．两点同时出发，设运动时间为，请回答下列问题：
(1)当t为何值时，?
(2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)当为何值时，四边形的面积等于矩形面积的？
(4)当为时，是等腰三角形．
3．（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校九年级阶段练习）如图，Rt△ABC的两条直角边cm，cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/s，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2 cm/s．动点E到达点C时运动终止．连结DE、CD、AE，设运动时间为（s）．
(1)当为何值时，△BDE与△ABC相似?
(2)设△ADE的面积为S，求S与的函数解析式；
(3)在运动过程中是否存在某一时刻，使?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
4．（2022·上海市罗南中学九年级阶段练习）在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP = x,CE = y
(1)如图，当点P在边BC上时（P点与点B、C不重合），求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)当x = 3时，求CF的长；
(3)当时，求BP的长
5．（2022·山东·济南阳光100中学九年级阶段练习）如图1，在中，，点P为斜边上一点，过点P作射线，分别交、于点D，E．
(1)问题产生∶若P为中点，当时， ；
(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决：如图3，连接，若与相似，求的值．
6．（2021·福建·漳州市第七中学九年级阶段练习）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，且点G在线段AB的左侧，连接BG．
(1)求证：△ADE∽△ABF；
(2)若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y．
①求y与x的函数关系式；
②当时，求x的值；
(3)如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当时，直接写出的值．
专题09 相似三角形中动点问题
考点一 相似三角形动点中求时间问题（利用分类讨论思想）
考点二 相似三角形动点中求线段长问题（利用分类讨论思想）
考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题
考点四 相似三角形中的动点问题与几何及函数综合问题
考点一 相似三角形动点中求时间问题（利用分类讨论思想）
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，中，，，，动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，分别与交于点E，F，连接，设动点P与动直线同时出发，运动时间为t秒．当t为__________时，与相似．
【答案】6或
【分析】分别用t表示OP与OE的长度，根据与都是直角，当与相似时，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论,根据相似列方程解之即可．
【详解】解：∵动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，，
∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，
又∵动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，
∴OE=tcm，
根据与都是直角，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论，
当∽，即时，，
解得：，
当∽，即时，，
解得：，
综上所述：当t=6或时，与相似，
故答案时：6或．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似进行讨论分析是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．
【答案】或##或
【分析】设经过t秒时，与相似，则,,,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，
则,,,
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
2．（2022·全国·九年级课时练习）在中，，过点B作射线．动点D从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作交射线于F，G是中点，连接．设点D运动的时间为t，当与相似且点D位于点E左侧时，t的值为_____________．
【答案】3或##或3
【分析】若与相似，分情况讨论，则或，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：如下图：
，是的中点，
．
点D位于点E左侧时，即，
，
解得：，
，
若与相似，则或，
或，
或
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．
3．（2022·山东·测试·编辑教研五九年级阶段练习）如图所示，在矩形中，，，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿、向终点B，C方向前进，小虫P每秒走，小虫Q每秒走，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则_____秒．
【答案】2或5##5或2
【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，从而解得所需的时间．
【详解】解：①若，
则，
即，解得；
②若，
则，
即，解得．
故答案为：2或5．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
4．（2022·云南·一模）在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0【答案】或
【分析】根据题意，可分两种情况来研究，列出关系式，代入数据解方程可得答案．
【详解】解：如图：
分两种情况来计算：
当时，，
得，
解得；
当时，，
得，
解得，
故当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理与性质，分类讨论是解决此类题的关键．
5．（2022·山东潍坊·八年级期末）如图，在中，，，，，垂足为，线段上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，以线段为边向上作正方形，设点运动的时间为，当点落在的边上时，的值为________．
【答案】或11
【分析】需要分在的左边或右边两种情况分别求解即可．
【详解】解：，，，垂足为，
，
当在的左边时，如图：
在边上，由题意得：，，
，
，
，
（秒，
当在的右边时，如图：
由题意得：，，，
，
，
，
，
（秒．
故答案为：或11．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线截线段成比例、勾股定理、三角形相似，解题的关键是充分利用正方形性质，讨论的位置．
6．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(2)当t为何值时，△APQ的面积为？
【答案】(1)；
(2)2或3．
【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠PAQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB．利用其对应边成比例解t；②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB，利用其对应边成比例解得t．
（2）过点Q作QE垂直AO于点E，利用QEBO证明△AEQ∽△AOB，从而得到，从而得出==，再利用三角形面积解得t即可．
（1）
解：由AO=6，BO=8，，
所以，
所以AP=t， AQ=，
①当∠APQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB
所以，
所以，
解得(秒)
②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB
所以，
所以
解得(秒)
∴当t为或时，△AQP与△AOB相似．
（2）
过点Q作QE⊥AO于点E，
∵QE⊥AO，BO⊥AO，
∴QEBO，
∴△AEQ∽△AOB，
∴
∴==，
=
解得：
∴当t=2或3时，△APQ的面积为个平方单位．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．
7．（2021·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)如图1，EF与CD交于点M，当DM=2CM时，求此时t的值；
(2)当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，求出所有符合条件的t的值．
【答案】(1)t=1或t=3
(2)t=1或t=3或t=9或t=
【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）分四种情况讨论，根据矩形的性质和正方形的性质证明全等或相似，求得BE的长度，进而求解．
（1）
在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴CD=AB=3，
∵DM=2CM，
∴DM=2，CM=1，
∵四边形AEFG是正方形，四边形ABCD是矩形，
∴∠AEM=∠ADM=∠ABE=90°，AD=BC=4，
∵∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CEM=90°，
∴∠BAE=∠CEM，
∴△ABE∽△ECM，
∴，
∴=，
∴t=1或t=3；
（2）
分四种情况，
1°当点F在CD上时，如图，
∵矩形ABCD，
∴∠ABE=∠ECF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠EFC=90°，
∵正方形AEFG，
∴∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，∠AEB=∠EFC，
在△BAE和△CEF中，
，
∴△BAE≌△CEF（ASA），
∴AB=EC=3，
∴BE=BC﹣CE=4﹣3=1，
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，
∴t=1；
2°当点F落在AD上时，如图，
∵AF时正方形AEFG的对角线，
∴∠EAF=45°，
∵矩形ABCD，
∴∠B=∠BAD=90°，
∴∠BAE=45°=∠AEB，
∴BE=AB=3，
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，
∴t=3；
3°当点F落在AC上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，
∵正方形AEFG，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠MEF=90°，
∵矩形ABCD，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠MEF，
在△BAE和△MEF中，
，
∴△BAE≌△MEF（AAS），
∴FM=BE，EM=AB=3，
设FM=BE=x，则MC=4﹣3﹣x=1﹣x，
∵∠FCM=∠ACM，∠FMC=∠ABC，
∴△FMC∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x=，
即FM=BE=，
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，
∴t=；
4°当点F落在BD上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，
∵正方形AEFG，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠MEF=90°，
∵矩形ABCD，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠MEF，
在△BAE和△MEF中，
，
∴△BAE≌△MEF（AAS），
∴FM=BE，EM=AB=3，
设CE=a，则FM=BE=4+a，BM=7+a，
∵∠DBC=∠FBM，∠FMB=∠DCB=90°，
∴△FBM∽△DBC，
∴，
∴，
解得a=5，
∴BE=4+a=9，
∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，
∴t=9；
故所有符合条件的t的值为t=1或t=3或t=9或t=．
【点睛】本题是四边形综合题，以动点为背景考查了正方形，矩形的性质，关键是根据正方形，矩形的性质，利用全等或相似求出边长，进而求解．
8．（2022·全国·九年级课时练习）阅读与思考
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
解决问题：
(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答．
拓展延伸：
(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)＝，解答见解析
(2)没有进行分类讨论，见解析
(3)存在，t＝或t＝
【分析】（1）根据三角形相似的性质可得＝，再进行计算即可；
（2）根据题意可知另一个错误是没有进行分类讨论，进行解答即可；
（3）根据题意可知有两种情况分别是和，然后列出方程进行计算即可．
（1）
由题意得∵
∴正确比例式是：＝，
∴DE＝＝＝＝；
（2）
另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，则△ADE∽△ACB，∴＝，
∴DE＝＝＝，
综合以上可得：DE为或．
（3）
由题意可知，有两种情况，
第一种：当时，
设AM=t，则AN=6-2t，
则由得，
解得：t=；
第二种：当时，
则由，
，
解得：t=，
综上所述，当t＝或t＝时以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决此题的关键是要学会分类讨论．
考点二 相似三角形动点中求线段长问题（利用分类讨论思想）
例题：（2022·河南·郑州市树人外国语中学九年级期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 D、E 为 AC、BC 上两个动点， 若将∠C 沿 DE 折叠，使点 C 的对应点 C′落在 AB 上，且△ADC′恰好为直角三角形， 则此时 CD 的长为（ ）
A．B．C．或 D．或
【答案】C
【分析】依据△ADC′恰好为直角三角形，分两种情况进行讨论：当∠ADC'＝90°时，当∠DC'A＝90°时，分别依据相似三角形的对应边成比例，列方程求解，即可得到CD的长．
【详解】解：①如图，当∠ADC'＝90°时，∠ADC'＝∠C，
∴DC'CB，
∴△ADC'∽△ACB，
又∵AC＝3，BC＝4，
∴，
设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，
∴，
解得x，
经检验：x是所列方程的解，
∴CD；
②如图，当∠DC'A＝90°时，∠＝90°，
由折叠可得，∠C＝∠DC'E＝90°，
∴C'B与CE重合，
∵∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADC'∽△ABC，
Rt△ABC中，AB＝＝5，
∴，
设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，
∴，
解得x，
经检验：是方程的解，
∴CD；
综上所述，CD的长为或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用相似三角形的性质得到比例式列方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·济南外国语学校九年级阶段练习）在中，，点P在上，且，点Q是边上一个动点，当______时，与相似．
【答案】2或8##8或2
【分析】分和两种情况求解．
【详解】当时，
则，
因为，，
所以，
解得；
当时，
则，
因为，，
所以，
解得；
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确进行分类计算是解题的关键．
2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，AE＝__________．
【答案】或1
【分析】分情况讨论：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用相似三角形的性质，角平分线的性质和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长．
【详解】解：分两种情况：
①当∠CED=90°时，如图1，
过E作EF⊥CD于F，
∵，AD＜BC，
∴AB与CD不平行，
∴，
∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠BEC=∠CDE=∠ADE，
∵∠A=∠B=∠CED=90°，
∴∠BCE=∠DCE，
∴AE=EF，EF=BE，
∴AE=BE=AB=，
②当∠CDE=90°时，如图2，
当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∵，CE和BC相交，
∴AD与CE不平行，
∴，
∴∠CEB=∠CED=∠AED=60°，
∴∠BCE=∠DCE=∠ADE =30°，
∵∠A=∠B=90°，
∴BE=ED=2AE，
∵AB=3，
∴AE=1，
综上，AE的值为或1．
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，角平分线的性质和直角三角形30度角的性质，当两个直角三角形相似时，要分情况进行讨论；正确画图是关键，注意不要丢解．
3．（2022·河南·泌阳县光亚学校九年级阶段练习）如图，边长为2的正方形中，点为边中点，点为射线上一动点，过点作，当与相似时，的长度为 ___________．
【答案】1或
【分析】分两种情形：如图1中，当点是的中点，时，，此时；如图2中，当点是的中点时，；分别求解即可得到答案．
【详解】解：如图1所示：
当点是的中点时，，此时；
如图2所示：
当点是的中点时，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为1或，
故答案为：1或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，有一正方形，边长为，是边上的中点，对角线上有一动点，当与相似时，的值为__________．
【答案】6或8．
【分析】根据勾股定理和相似三角形的性质得出比例式解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴ BC＝CD＝，∠C＝90°
∵是边上的中点
∴DE＝CE＝CD＝
在R t△BCD中，由勾股定理得
BD＝
设BF＝x，则有DF＝12﹣x，
①当△ABF∽△FDE时，
由 ，即，
解得x＝6．
②当△ABF∽△EDF时，
由，即，
解得，x＝8，
综上所述，BF的值为6或8．
故答案为：6或8．
【点睛】此题考查相似三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，关键是根据相似三角形的性质列出方程进行解答．
5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为_________．
【答案】2或5
【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解．
【详解】解：∵E是BC的中点，
∴BE=2，
如图，若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，
如图，若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵，
∴．
∵，即，
∴PE=5，
综上所述：AP的值为2或5，
故答案为：2或5．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP=__________．
【答案】2或8或5
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，分别根据相似三角形的对应边成比例求得DP的长度即可．
【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4，
①当△APD∽△PBC时，
可得，即，
解得：PD＝2或PD＝8；
②当△PAD∽△PBC时，
可得，即，
解得：DP＝5．
综上所述，DP的长度是2或8或5．
故答案为：2或8或5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题
例题：（2021·湖南永州·一模）如图已知中，，，，P是线段BC上的动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】在BC上取一点P，使CP=AP过B作BD⊥AP交AP的延长线于点D．则△BDP∽△ACP，推出DP=BP，所以PA+PB=PA+DP=AD，设CP=a，则AP=3a，a2+42=（3a）2，即得a=，因此AP=3，BP=3-，DP=1-，求出PA+PB=3+1-=．
【详解】解：在BC上取一点P，使CP=AP，
过B作BD⊥AP交AP的延长线于点D，
则∠D=∠C=90°
∴△BDP∽△ACP，
∴，
即DP=BP，
∴PA+PB=PA+DP=AD，
设CP=a，则AP=3a，
∴a2+42=（3a）2，
∴a=，
∴AP=3，
∴BP=3-，DP=1-，
∴PA+PB=3+1-=
故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题，正确构建相似三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
【答案】
【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：作点P关于CE的对称点P′，
由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，
∴点P′在CD上，
过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，
∵MN+NP=MN+NP′≤MF，
∴MN+NP的最小值为MF的长，
连接DG，DM，
由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线，
∵AD=CD=2，DE=1，
∴CE==，
∵CE×DO=CD×DE，
∴DO=，
∴EO=，
∵MF⊥CD，∠EDC=90°，
∴DE∥MF，
∴∠EDO=∠GMO，
∵CE为线段DM的垂直平分线，
∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，
∴△DOE≌△MOG，
∴DE=GM，
∴四边形DEMG为平行四边形，
∵∠MOG=90°，
∴四边形DEMG为菱形，
∴EG=2OE=，GM= DE=1，
∴CG=，
∵DE∥MF，即DE∥GF，
∴△CFG∽△CDE，
∴，即，
∴FG=，
∴MF=1+=，
∴MN+NP的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．
2．（2022·陕西·西安滨河学校三模）如图半径为，为直径，弦，点是半圆弧上的动点（不与A、重合），过点作的垂线交的延长线于点，则面积的最大值为______．
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定及性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：半径为，为直径，
，，
，
，
，
．
，
，
，
，
．
当最大即为直径时，最大，
此时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是证明．
3．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上的一动点，以点为直角顶点构造直角三角形（点A，B，C按顺时针排列），使，已知点D的坐标是，连接DB，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】如图，过作轴的垂线，过分别作且垂直于过点与轴垂直的直线，垂足分别为，交轴于，与轴交于点，证明，利用相似三角形的性质可得在直线上运动，作关于直线的对称点，则，当三点共线时，，此时最小，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，过作轴的垂线，过分别作且垂直于过点与轴垂直的直线，垂足分别为，交轴于，与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设 则 而，
∴，
解得：，
∴在直线上运动，
作关于直线的对称点，则，
当三点共线时，，此时最小，
∴
∴的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质证明在直线上运动是解本题的关键．
4．（2020·全国·九年级专题练习）在中，，点D是内一动点，且满足，则的最小值____________．的最小值_______
【答案】 ； ．
【分析】如图，连接CD，在BC上取CE=，连结CD，ED．可证△DCE∽△BCD．可得DE=BD，当点A，D，E在同一条直线时，AD+BD的值最小，在Rt△ACE中，由CE=，CA=4，可求AE=即可；在CA上取点F，使CF=1，连结FD，BF，可证△FCD∽△DCA．可得FD=AD，当点B、D、F，在同一条直线时，BD+AD的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CB=3，根据勾股定理BF==即可，
【详解】解：①在BC上取CE=，连结CD，ED，
∵CD=2，BC=3，
∵
∴
又∵∠DCE=∠BCD，
∴△DCE∽△BCD．
∴，
∴DE=BD，
∴AD+BD=AD+DE，
当点A，D，E在同一条直线时，AD+BD的值最小，
在Rt△ACE中，
∵CE=，CA=4，
∴AE=，
∴AD+BD的最小值为．
故答案为：．
②如图，连接CD，在CA上取点F，使CF=1，连结FD、BF，
∵CD=2，AC=4，
∴，
∴，
又∵∠FCD=∠ACD，
∴△FCD∽△DCA．
∴，
∴DF=AD，
∴BD+AD=BD+DF，
当点B，D，F在同一条直线时，BD+AD的值最小，
在Rt△BCF中，
∵CF=1，CB=3，
∴BF==，
∴BD+AD的最小值为．
故答案为：；
【点睛】本题考查构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．
5．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________．
【答案】 ； ．
【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证△PCD∽△BCP．可得PD=BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根据勾股定理BE=即可．
【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，
∵CP=2，BC=4，
，
∴，
∴，
又∵∠PCD=∠BCP，
∴△PCD∽△BCP．
∴，
∴PD=BP，
∴AP+BP=AP+PD，
当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，
在Rt△ACD中，
∵CD=1，CA=6，
∴AD==，
∴AP+BP的最小值为．
故答案为：
在AC上取CE=，连接CP，PE
∵
∴
又∵∠PCE=∠ACP，
∴△PCE∽△ACP．
∴，
∴PE=AP，
∴BP+AP=BP+PE，
当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，
在Rt△BCE中，
∵CE=，CB=4，
∴BD=，
∴BP+AP的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．
6．（2022·福建· 九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，AC＝5．设AP的长为x．
(1)AB＝_______；当x＝1时，＝______；
(2)试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．
【答案】(1)4，
(2)是定值，
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质，利用勾股定理即可求出AB，作PM⊥AB于M交CD于N，证明，利用相似比求出；
（2）利用，求出相似比是个定值即可；
（3）将△PBE的面积转化为二次函数，求最值即可．
（1）
解：作PM⊥AB于M交CD于N．如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3,∠ABC=90°，
∵AC＝5，
∴．
∵
∴
∴
∴，，
∴，
∵MN＝AD＝3，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴ ，
∴，
故答案为4，；
（2）
结论：的值为定值．理由如下：
当点E在点C左侧时，如图1所示：
由PA＝x，可得．
∴，，，
∵△BMP∽△PNE，
∴．
当点E在点C右侧时，如图2所示：
同理得出．
综上所述：的值为定值．
（3）
在Rt△PBM中，
，
∵．
∴，
∴，
∵0＜x＜5，
∴ 时，S有最小值＝．
【点睛】本题考查矩形的性质和相似三角形的判定和性质．解题的关键是：熟练掌握矩形的性质，通过添加辅助线构造三角形相似．本题还考查了二次函数求最值的问题．
考点四 相似三角形中的动点问题与几何及函数综合问题
例题：（2022·上海对外经贸大学附属松江实验学校花园分校九年级阶段练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD＝∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
(1)求证：AE＝2PE；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
【答案】(1)见解析
(2)y＝﹣+x，定义域是0＜x＜
(3)或
【分析】（1）先由已知条件判断出，由相似三角形的对应边成比例即可得出＝，再由，可知，再根据其对应边成比例即可求出答案；
（2）由，得＝＝，进而可得出AE与DE的关系，作，垂足为点H，由可得出＝＝，进而可得出y与x的关系式；
另解：由x，根据＝，即可得到y与x的关系式；
（3）由，得＝，当与相似时，只有两种情形：或，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
（1）
解：
∴＝，
∴＝＝．
（2）
解：由得＝，
作，垂足为点H，
∴＝＝．
∴HE＝x．
又∵AB＝2，y＝（2﹣x）•x，即y＝﹣+x．
∵点D是AC上一点，
∴
∴，
定义域是．
另解：由得＝＝，
∴×x＝x，
∴×x×2＝x，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣+x．
定义域是．
（3）
解：由，得＝，
∴PE＝x•＝x．
当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：或
（i）当时，＝，
∴＝．
解得x＝．
∴﹣x××5+×＝．
（ii）当时，同理可得x＝，y＝．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，找出图形中的相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是关键，在解（3）时要注意分类讨论，不要漏解．
【变式训练】
1．（2022·湖南·衡东县杨山实验中学九年级期中）如图中，厘米，厘米，是的中点，点从出发，以厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为秒．
(1)若，，求的值；
(2)设点在上，四边形为平行四边形，若，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由中，厘米，厘米，是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得与的长，又由，，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值；
（2）过点作于，由四边形为平行四边形，易证得，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
【详解】（1）在中，，，是的中点，
，
，
，，
，
，
，
即，
解得：；
（2）过点作于，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
；
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识．注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．
2．（2022·山东·青岛三十九中九年级期中）如图，在矩形中，是对角线，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；点从点出发，沿方向匀速运动，速度是1．两点同时出发，设运动时间为，请回答下列问题：
(1)当t为何值时，?
(2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)当为何值时，四边形的面积等于矩形面积的？
(4)当为时，是等腰三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）勾股定理求得，进而根据题意得出，，当时，，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据计算即可求解；
（2）过点作，证明，得出，根据即可得出结论；
（3）根据（2）的结论建立方程，解方程即可求解．
（4）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；点从点出发，沿方向匀速运动，速度是1，设运动时间为，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，
即，
解得；
（2）如图，过点作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
（3）解：依题意，
解得（不合题意，舍去）
（4）解：∵是等腰三角形
①当时，
即，
解得；
②当时，如图，过点作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，
③若如图，过点作
∴，
∴，
∵
∴
∴
解得
∵
∴不存在的情形，
综上所述，当或时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，综合运用以上知识是解题的关键．
3．（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校九年级阶段练习）如图，Rt△ABC的两条直角边cm，cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/s，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2 cm/s．动点E到达点C时运动终止．连结DE、CD、AE，设运动时间为（s）．
(1)当为何值时，△BDE与△ABC相似?
(2)设△ADE的面积为S，求S与的函数解析式；
(3)在运动过程中是否存在某一时刻，使?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当为秒或秒时，与相似
(2)，
(3)存在，当t=，有CD⊥DE
【分析】（1）设D点运动时间为t，则AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤），然后分∠BDE=∠BAC，和∠BDE=∠BAC，两种情况分别证明Rt△BDE∽Rt△BCA，最后后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出t的值即可；
（2）过E作EF⊥AB于F，先证Rt△BEF∽Rt△BAC，根据三角形相似的性质得到比例线段用t表示EF，BF，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）先计算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，则易证得Rt△ACD∽Rt△FDE，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出t即可．
（1）
∵，，
∴BC=5cm，
设点运动时间为秒，
，，
，，
①当，即时，，
，即，
∴，
②当即时，，
∴，即，
∴，
即当为秒或秒时，与相似；
（2）
过E作EF⊥AB于F，如图，
根据题意有∠BAC=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴，
∴Rt△BEF∽Rt△BCA，
∴EF：AC=BF：AB=BE：BC，即EF：3=BF：4=2t：5，
∴EF=，BF=，
∴（）；
即：，；
（3）
存在，理由如下：
DF=AB-AD-BF=4-t-=4-t，
若CD⊥DE，
∴∠ADC+∠BDE=90°，
∵∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠BDE，
∵∠CAD=∠DFE=90°，
∴Rt△ACD∽Rt△FDE，
∴，即，
∴解得：t=，
即当t=，有CD⊥DE．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得三角形相似并根据相似三角形的性质列方程是解答本题的关键．
4．（2022·上海市罗南中学九年级阶段练习）在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP = x,CE = y
(1)如图，当点P在边BC上时（P点与点B、C不重合），求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)当x = 3时，求CF的长；
(3)当时，求BP的长
【答案】(1)
(2)3
(3)3或7
【分析】（1）由四边形是矩形，可得，，，再证，可得，从而得出，从而解决问题．
（2）把的值代入第一问的解析式就可以求出的值，再利用三角形相似就可以求出的值．
（3）分为当点在线段上时及当在点的右侧时两种情况情况讨论，从而求出的值．
（1）
如图，
四边形是矩形，
，，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
自变量的取值范围为：；
（2）
当时，，
即，
，
四边形是矩形，
平行于．
，
，
，
；
（3）
①当点在线段上时，在线段上，
，
，
∴
，
∴，
②当在点的右侧时，如图
，
，
，
，
，
∴
，
∴，
综上所述，PB的长为3或7
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．（2022·山东·济南阳光100中学九年级阶段练习）如图1，在中，，点P为斜边上一点，过点P作射线，分别交、于点D，E．
(1)问题产生∶若P为中点，当时， ；
(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决：如图3，连接，若与相似，求的值．
【答案】(1)
(2)不变，证明见解析；
(3)或
【分析】（1）通过P为中点，，可以得到：，进而得到是的中位线，利用中位线定理即可得解；
（2）过点作，得到是的中位线，得到，证明，得到，即可得证；
（3）当，利用，得到点C、D、P、E共圆，得到，证明，利用相似比即可得解，当时，可以得到点是的中点，即可得解．
（1）
解：∵
∴，
∵，
∴，
∵P为中点，
∴，
∴；
（2）
不变，理由如下：
过点作，
则，
∵P为中点，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的值不变；
（3）
如图2，连接 ，
∵，
∴ ，
当时，则，
∵，
∴点C、D、P、E共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图3，当时，则，
∵，
∴点C、D、P、E共圆，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过添加合适的辅助线证明三角形相似是解题的关键．同时，本题考查了三角形的中位线定理，以及利用四点共圆证明角相等，是一道综合题．
6．（2021·福建·漳州市第七中学九年级阶段练习）如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，且点G在线段AB的左侧，连接BG．
(1)求证：△ADE∽△ABF；
(2)若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y．
①求y与x的函数关系式；
②当时，求x的值；
(3)如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当时，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）①如图1中，作于，利用三角形的中位线定理，推出，再根据，即可解决问题；
②由，可以假设，，利用相似三角形的性质构建方程，求出即可解决问题；
（3）连接，先证明，设，，则，根据及，构建一元二次方程，即可解决问题．
（1）
证明：，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
；
（2）
①如图1，过点作于，则，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
；
②，
设，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）
如图2，连接，设，．
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，
设，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，会利用参数构建方程是解决问题的关键．