人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题04反比例函数与一次函数的有关问题(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难点专题提优训练专题04反比例函数与一次函数的有关问题(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了一次函数与反比例函数的实际应用，一次函数与反比例函数的交点问题等内容，欢迎下载使用。

考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断 考点二 一次函数与反比例函数的交点问题
考点三 一次函数与反比例函数的实际应用
考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断
例题：（2022·江苏无锡·八年级期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·江苏盐城·八年级期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·重庆黔江·八年级期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东青岛·九年级期末）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·湖南·道县朝阳学校九年级阶段练习）已知一次函数的图像如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图像大致是( )
A．B．C．D．
5．（2022·山东省济南第五十六中学九年级阶段练习）正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·四川·仁寿县鳌峰初级中学八年级期中）如图，函数y＝kx＋k和函数y＝在同一坐标系内的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·山东菏泽·中考真题）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·江苏·苏州工业园区星洋学校八年级期中）如图，关于x的函数y＝kx﹣k和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
考点二 一次函数与反比例函数的交点问题
例题：（2021·广西·北海市外国语实验学校九年级阶段练习）如图，已知直线y1＝x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（k≠0，x＜0）交于C，D两点，且C点的坐标为（﹣1，2）．
(1)求出反比例函数的表达式；
(2)求出点D的坐标；
(3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2．
【变式训练】
1．（2022·山东· 九年级阶段练习）如图，正比例函数（为常数，且）和反比例函数（为常数，且）的图象相交于A（2，m）和两点，则不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．或
2．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过A(-1，2)，B(2，-1)，结合图象，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2022·江苏·张家港市梁丰初级中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（3，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．则不等式的解集为______．
4．（2022·全国·九年级专题练习）若双曲线与直线AB：只有一个公共点P，则k=________．
5．（2022·广东·华南师大附中三模）如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于B，C两点，若函数的图象与△ABC的边有2个公共点，则k的取值范围是______．
6．（2022·山东滨州·九年级阶段练习）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若，，的面积为3.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)直接写出当时，的解集.
7．（2021·湖南·道县朝阳学校九年级阶段练习）如图，一次函数图象与轴，轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点、，已知点，点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△EOF的面积；
(3)结合该图象直接写出满足不等式的解集．
8．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求一次函数的表达式及m的值；
(2)根据图象直接写出当时，的取值范围；
(3)将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．当另一反比例函数的图象与平移后的一次函数图象无交点时，直接写出k的取值范围．
9．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在轴上取一点P，当取得最大值时，求P点的坐标．
10．（2021·江苏·宿迁市钟吾国际第一初级中学八年级期中）如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，6），点B的横坐标为-6，
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是x轴上的一个动点．
①若点M在线段OC上，且△AMB的面积为8，求点M的坐标；
②点N是平面直角坐标系中的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标，
考点三 一次函数与反比例函数的实际应用
例题：（2022·全国·九年级单元测试）当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点对应的指标值．
(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．
【变式训练】
1．（2022·湖南郴州·九年级阶段练习）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，指标达到或超过36时为认真听讲阶段，学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图像如图所示．当和图像是线段，当时是反比例函数的一部分．
(1)求点对应的指标值；
(2)李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排使学生在认真听讲阶段进行讲解，请说明理由．
2．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
(2)求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
(3)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
3．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于年月份开始了技术改造，其月生产数量（万支）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
(1)该疫苗生产企业月份的生产数量为多少万支？
(2)该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过万支？
4．（2022·全国·九年级专题练习）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
(1)_____________；
(2)当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
5．（2022·江苏·滨海县教师发展中心二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
6．（2022·浙江·宁波市曙光中学二模）如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度（微克/毫升）与用药的时间（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段和部分双曲线组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，其中与平行．血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效．
(1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度；
(2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗?
(3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药?
专题04 反比例函数与一次函数的有关问题
考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断 考点二 一次函数与反比例函数的交点问题
考点三 一次函数与反比例函数的实际应用
考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断
例题：（2022·江苏无锡·八年级期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象确定k和b的符号，进一步确定反比例函数的图象即可．
【详解】解：A选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＜0，
∴kb＜0，
∴反比例函数经过二、四象限，
故A选项不符合题意；
B选项中根据一次函数图象可知，k＞0，b＞0，
∴kb＞0，
∴反比例函数经过一、三象限，
故B选项不符合题意；
C选项中，一次函数b=0，
∵kb≠0，
故C选项不符合题意；
D选项中根据一次函数图象可知，k＜0，b＞0，
∴kb＜0，
∴反比例函数经过二、四象限，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与参数的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏盐城·八年级期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求，
②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．
一次函数：
①当，时，一次函数经过一、二、三象限；
②当，时，一次函数经过一、三、四象限；
③当，时，一次函数经过一、二、四象限；
④当，时，一次函数经过二、三、四象限；
反比例函数的（k≠0），
①当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限；
②当时，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限．
2．（2022·重庆黔江·八年级期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【详解】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除C，D选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．
3．（2022·山东青岛·九年级期末）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限．
【详解】解：由反比例函数y=与一次函数y=kx-3可知，
当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限，
当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．
4．（2021·湖南·道县朝阳学校九年级阶段练习）已知一次函数的图像如图，那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图像大致是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的图像得出和的取值，然后根据和的取值确定正比例函数和反比例函数的图像即可．
【详解】解：根据一次函数的图像可知，
图像经过二、三、四象限，随增大而减小，函数图像与轴交于负半轴，
，
正比例函数的图形经过二、四象限，
反比例函数经过二、四象限，
则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图像大致是：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图形性质以及一次函数的图形与性质，熟练掌握它们的性质是解本题的关键．
5．（2022·山东省济南第五十六中学九年级阶段练习）正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数和反比例函数的性质，用排除法解答即可．
【详解】解：A．∵的图象应经过原点，故A不正确；
B．由的图象得，由的图象得，矛盾，故B不正确；
C．由的图象得，由的图象得，故C正确；
D．由的图象得，由的图象得，矛盾，故D不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数综合，熟练掌握正比例函数和反比例函数的性质是解答本题的关键．
6．（2022·四川·仁寿县鳌峰初级中学八年级期中）如图，函数y＝kx＋k和函数y＝在同一坐标系内的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将一次函数化简为，得出x轴的交点为，据此排除选项A、C，考虑时及时，判断两个函数经过的象限即可得出结果．
【详解】解：AC.，
函数与x轴的交点为，故A、C不合题意；
B.函数，且为常数中时，反比例函数图像在一、三象限，此时的图像在第一、二、三象限，故B符合题意；
当函数，且为常数中时，反比例函数图像在二、四象限，此时的图像在第二、三、四象限，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像是解题关键．
7．（2022·山东菏泽·中考真题）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y与一次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可．
【详解】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，
由对称轴x0，可知b＜0，
所以反比例函数y的图象在一、三象限，
一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
8．（2022·江苏·苏州工业园区星洋学校八年级期中）如图，关于x的函数y＝kx﹣k和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据反比例函数图象所经过的象限判断出k的符号；然后由k的符号判定一次函数图象所经过的象限，图象一致的选项即为正确选项．
【详解】解：A、反比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴，故本选项错误；
B、反比例函数（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴，故本选项错误；
C、反比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴，故本选项正确；
D、反比例函数（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y＝kx﹣k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：①反比例函数的图象是双曲线；②当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；③当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
考点二 一次函数与反比例函数的交点问题
例题：（2021·广西·北海市外国语实验学校九年级阶段练习）如图，已知直线y1＝x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（k≠0，x＜0）交于C，D两点，且C点的坐标为（﹣1，2）．
(1)求出反比例函数的表达式；
(2)求出点D的坐标；
(3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2．
【答案】(1)y2＝﹣
(2)D（﹣2，1）
(3)当﹣2＜x＜﹣1时，y1＞y2
【分析】（1）根据待定系数法即求得；
（2）解析式联立，解方程组即可求得D点的坐标；
（3）根据函数图像的位置关系，即可求得．
（1）
∵点C（-1，2）在反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）上，
∴k=-1×2=-2，
∴反比例函数的表达式为y2＝﹣；
（2）
解得或
∴D（-2，1）
（3）
由图象可知：当﹣2＜x＜﹣1时，y1＞y2．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东· 九年级阶段练习）如图，正比例函数（为常数，且）和反比例函数（为常数，且）的图象相交于A（2，m）和两点，则不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B（2，m），然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论．
【详解】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（2，m）和B两点，
∴B（2，m），
∴不等式的解集为x＜-2或0＜x＜2，
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
2．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过A(-1，2)，B(2，-1)，结合图象，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集．
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数为常数且的图象上方时，的取值范围是：或，
不等式的解集是或，
故选C．
【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
3．（2022·江苏·张家港市梁丰初级中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（3，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．则不等式的解集为______．
【答案】或
【分析】用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
【详解】解：∵一次函数与反比例函数交于A（3，﹣2）、B（﹣2，n）两点，
∴由图象可得，不等式的解集为或，
故答案为：或
【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，用函数的观点解决不等式问题．
4．（2022·全国·九年级专题练习）若双曲线与直线AB：只有一个公共点P，则k=________．
【答案】3
【分析】联立，，可得，根据双曲线和直线AB只有一个公共点P，结合一元二次方程的根的判别式，列式并求解即可获得答案．
【详解】解：联立，，可得，
整理得 ，
∵双曲线y=与直线AB只有一个公共点P，
∴有两个相等实数根，
即，
解得 k=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握相关性质，利用数形结合思想分析问题是解题关键．
5．（2022·广东·华南师大附中三模）如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于B，C两点，若函数的图象与△ABC的边有2个公共点，则k的取值范围是______．
【答案】5＜k＜8或9＜k＜20
【分析】根据题意可以分别求得点B、点C的坐标，从而可以得到k的取值范围．
【详解】解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝−x＋6于B、C两点，
∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，
将y＝5代入y＝−x＋6，得x＝1，
将x＝4代入y＝−x＋6得，y＝2，
∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），
令，整理得，，
Δ＝36−4k＝0，解得k＝9，
∵函数（x＞0）的图象与△ABC的边有两个公共点，点A（4，5），点B（1，5），C（4，2），
∴1×5＜k＜4×2或9＜k＜4×5，即5＜k＜8或9＜k＜20，
故答案为：5＜k＜8或9＜k＜20．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
6．（2022·山东滨州·九年级阶段练习）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若，，的面积为3.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)直接写出当时，的解集.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据三角形面积求出OA，得出A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，再求出C的坐标，把C的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；
（2）根据图象即可得出的解集．
（1）
（1）∵，，
∴，
∴，，
代入得：，
解得：，，
∴一次函数，
∵，
∴，轴，
当时，，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式是；
（2）
∵两图像的交点，如下图所示，
当时，
得，即一次函数的图形在反比例函数的上方，
∴当时，的解集是.
【点睛】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式、一次函数和反比例函数的交点问题、函数的图象的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力.
7．（2021·湖南·道县朝阳学校九年级阶段练习）如图，一次函数图象与轴，轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点、，已知点，点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△EOF的面积；
(3)结合该图象直接写出满足不等式的解集．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）把点的坐标代入，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，利用一次函数解析式求得的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）根据一次函数解析式求得点坐标，联立一次函数与反比例函数的解析式求得点坐标，然后根据即可求得的面积；
（3）根据图象即可求得不等式的解集．
（1）
解：把代入一次函数解析式得：，
解得：，
即一次函数解析式为，
把代入一次函数解析式得：，
∴，
点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）
解：一次函数的图象与轴相交于点，
∴．
联立一次函数与反比例函数的解析式得：，
解得：或，
∴点，
则
；
（3）
解：根据图象得不等式的解集为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、三角形的面积、反比例函数和一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点，解题的关键是求得两函数的解析式．
8．（2022·辽宁·沈阳市第七中学九年级阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求一次函数的表达式及m的值；
(2)根据图象直接写出当时，的取值范围；
(3)将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．当另一反比例函数的图象与平移后的一次函数图象无交点时，直接写出k的取值范围．
【答案】(1)，m=6
(2)
(3)
【分析】(1)首先将A、B两点的坐标分别代入反比例函数解析式，即可求得m的值及点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
(2)当x=2时，，再根据反比例函数的性质，即可求得；
(3)将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数的图象，即可判断出反比例函数的系数k的取值范围．
（1）
解：将点A的坐标代入，
得m=6，
，
将点B的坐标代入，得
，解得n=-3，
故点B的坐标为(-3,-2)，
将A、B的坐标分别代入，
得
解得
故一次函数的解析式为；
（2）
解：当x=2时，，
在第一象限内，随x的增大而减小，
当时，的取值范围为：；
（3）
解：将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点，可得，
此函数图象经过第一、三象限，
要使反比例函数的图象与平移后的一次函数的图象无交点，
则反比例函数的图象必经过第二、四象限，
故，
故k的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
9．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点和点，过点A作轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在轴上取一点P，当取得最大值时，求P点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）利用的几何意义，求出反比例函数解析式，再求出两点坐标，待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象，找到双曲线在直线上方时，的取值范围即可；
（3）作关于轴的对称点，连接，交轴与点，求出直线的解析式，再求出点坐标即可．
（1）
解：由得，
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴反比例函数：，
将，代入，
解得，；
（2）
由（1）知，，
结合图象可知的解集为或；
（3）
解：作关于轴的对称点，连接交轴与点，连接，
则
当且仅当，，，三点共线时，取“=”号，有最大值.
设，
代入，，
有，解得，
∴，
取，得，
∴；
故当取得最大值时：．
．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，是解题的关键．
10．（2021·江苏·宿迁市钟吾国际第一初级中学八年级期中）如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，6），点B的横坐标为-6，
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是x轴上的一个动点．
①若点M在线段OC上，且△AMB的面积为8，求点M的坐标；
②点N是平面直角坐标系中的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标，
【答案】(1)反比例函数的关系式为：y=-；
(2)C（-8，0）；
(3)①M（-4，0）；②点N的坐标为：（2，4）或（，4）或（-8，8）．
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数y=中，可得k的值，写出反比例函数的关系式；
（2）先利用待定系数法求一次函数的解析式，再令y=0，可得点C的坐标；
（3）①设M（x，0），根据面积差列式：=8，可得x的值，则M（-4，0）；
②以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，分AB为边和对角线两种情况讨论，根据勾股定理和菱形的性质可计算点N的坐标．
（1）
解：∵点A的坐标为（-2，6），
∴k=-2×6=-12，
∴反比例函数的关系式为：y=-；
（2）
解：当x=-6时，y=-=2，
∴B（-6，2），
把点A（-2，6）和B（-6，2）代入y=ax+b得：，
解得：，
∴y=x+8，
当y=0时，x+8=0，
x=-8，
∴C（-8，0）；
（3）
解：①设M（x，0），
∵D（0，8），
∴OD=8，
∵=8，
∴=8，
∴×8×6-•(x+8)×2-×6(-x) =8，
x=-4，
∴M（-4，0）；
②如图2，过A作AEy轴，过B作BEx轴，
∵A（-2，6），B（-6，2），
∴AE=BE=4，
∴AB=4，
过B作BF⊥x轴于F，如图2，则BF=2，
分两种情况：
①以AB为边，当M在F的右侧时，
∵FM==2，
∴OM=2-6，
∴点M（2-6，0），
根据“点B向右平移4个单位，向上平移4个单位得到点A”的平移规律，可得N的坐标为（2-6+4，0+4），
∴N（2，4）；
当M在F的左侧时，
同理求得FM=2，
∴OM=-2-6，
∴点M（-2-6，0），
同理由平移的性质得N（，4）；
②以AB为对角线时，如图3，此时因为A、B对称，所以M与O重合，
∵AB的解析式为：y=x+8，
∴OD=OC=8，C（-8，0），D（0，8），
∴△OHD是等腰直角三角形，
∵四边形ANBM是菱形，
∴AB⊥MN，
∴点G是CD的中点，也是MN的中点，
∴点G（-4，4），
∴点N（-8，8）；
综上所述，点N的坐标为：（2，4）或（，4）或（-8，8）．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式，并注意运用分类讨论的思想解决问题．
考点三 一次函数与反比例函数的实际应用
例题：（2022·全国·九年级单元测试）当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点对应的指标值．
(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．
【答案】(1)点对应的指标值为20，
(2)注意力指标不低于30的高效时间段是上课4分钟到30分钟之间，
【分析】（1）用待定系数法，设反比例函数为，将点代入可得反比例函数解析式，再将代入可解；
（2） 用待定系数法求出AB段的直线方程，再分类讨论可解．
（1）
解：设反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴
将代入得：点对应的指标值为
（2）
（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得
∴直线的解析式为
①当时，
解得：，
②当时，45>30,显然注意力指标高于30，
③当时，，
解得：，
综上所述：
∴注意力指标不低于30的高效时间段是上课4分钟到30分钟之间．
【点睛】本题考查，待定系数法，分段函数，反比例函数与一次函数综合，审清题意求出函数解析式和分类讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南郴州·九年级阶段练习）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，指标达到或超过36时为认真听讲阶段，学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图像如图所示．当和图像是线段，当时是反比例函数的一部分．
(1)求点对应的指标值；
(2)李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排使学生在认真听讲阶段进行讲解，请说明理由．
【答案】(1)20
(2)能，理由见解析
【分析】（1）设当时，反比例函数的解析式为，将点C代入确定反比例函数解析式即可确定点D的坐标，确定点A的坐标；
（2）设当时，的解析式为，利用待定系数法确定一次函数解析式，利用一次函数与反比例函数的值为求解即可．
（1）
解：设当时，反比例函数的解析式为，
将代入得：
，
解得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
，
即对应的指标值为20；
（2）
设当时，的解析式为，
将、代入得：
，
解得，
的解析式为
当时，，
解得，
由（1）得反比例函数的解析式为，
当时， 解得，
当时，注意力指标都不低于36，
指标达到36为认真听讲，
而，
李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．
【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数的综合问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质及应用是解题关键．
2．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
(2)求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
(3)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
【答案】(1)；
(2)8
(3)能
【分析】（1）分类讨论当时或当时，分别设函数解析式，代入求值即可；
（2）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
（3）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
（1）
解：根据题意可知：
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴；
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：
∴
综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．
（2）
解：当时，
令，
解得：，
∴，
∴销量不到36万件的天数为8天；
当时，
令，
解得： （不符合题意），
∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；
（3）
解：当时，
令，
解得：
∴，
∴销量超过100万件的天数为6天，
当时，
令，
解得：
∴，
销量超过100万件的天数为6天，
综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【点睛】本题考查了分段函数的实际运用，把握正比函数、反比例函数的图像及性质和运用分类讨论思想是解决本题的关键．
3．（2022·湖北省直辖县级单位·九年级阶段练习）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于年月份开始了技术改造，其月生产数量（万支）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
(1)该疫苗生产企业月份的生产数量为多少万支？
(2)该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过万支？
【答案】(1)45万支
(2)6个月
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的的值即可；
（2）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前、后与的函数解析式，再结合为正整数，利用反比例函数与一次函数的性质求解即可得．
（1）
解：由题意，当时，可设与的函数关系式为，
点在该函数图象上，
，解得，
，
当时，，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支．
（2）
解：当时，，
当时，，
在内，反比例函数的随的增大而减小，
当时，，
设技术改造完成后对应的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
，解得，
则技术改造完成后对应的函数解析式为，
当时，，解得，
在内，一次函数的随的增大而增大，
当时，，
综上，，
又为正整数，
的所有可能的取值为2，，，，，，共有6个，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过万支．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和反比例函数与一次函数的性质是解题关键．
4．（2022·全国·九年级专题练习）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
(1)_____________；
(2)当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
【答案】(1)19
(2)；
(3)135分钟
【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；
（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．
（1）
解：a＝0.2×（100﹣5）＝19；
（2）
解：当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b
∵经过点（5，0），（100，19）
∴
解得：，
∴解析式为y＝0.2x﹣1；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝，
∵经过点（100，19），
∴ ＝19
解得：k＝1900，
∴函数的解析式为y＝；
（3）
解：令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
令y＝＝10，解得：x＝190
∴190﹣55＝135分钟，
∴服药后能持续135分钟；
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．
5．（2022·江苏·滨海县教师发展中心二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式，再将代入解析式，即可得的值；
（3）由题可知，饮水机的水温呈周期性变化，利用周期进行计算．
（1）
解：当时，设．
将点，代入上式，
得，解得．
（2）
解：当时，设，
将点代入上式，
得，解得，
，
将点代入，
得，解得．
（3）
解：由题可知，开机分钟与开机分钟时饮水机的水温相等，
当时，．
小丽散步分钟回到家时，饮水机内的温度约为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求反比例函数解析式，根据自变量求函数值，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．
6．（2022·浙江·宁波市曙光中学二模）如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度（微克/毫升）与用药的时间（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段和部分双曲线组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，其中与平行．血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效．
(1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度；
(2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗?
(3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药?
【答案】(1)第16小时的血液浓度为3微克/毫升，第22小时的血液浓度为11微克/毫升
(2)不超过6小时
(3)48小时
【分析】（1）先求双曲线的函数解析式，可得第16小时的血液浓度，再求直线的解析式，得，再求直线的函数解析式，即可得第22小时的血液浓度；
（2）将代入直线的解析式和双曲线的解析式，即可得答案；
（3）曲线的函数解析式为，将代入，即可得答案．
（1）
解：把点代入双曲线的解析式得，，
双曲线的函数解析式，
当时，，即第16小时的血液浓度为3微克/毫升，
设直线的解析式为，把点代入得，，
∵OA与BC平行，
∴直线、OB的解析式中的k一样，
设直线的解析式为，把点代入得，
直线的函数解析式，
当时，，即第22小时的血液浓度为11微克/毫升；
（2）
当时，若，则，解得，
当时，若，则，解得，
．
这16小时内药物有疗效的持续时间不超过6小时；
（3）
把点代入得，．
曲线的函数解析式为，当时，，．
∴受试者第二次服药后至少过48小时，才能进行第三次服药．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的应用，解题的关键是正确的求出函数的解析式．