沪教版九年级上册数学专题训练专题10解直角三角形的实际应用重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题10解直角三角形的实际应用重难点专练(原卷版+解析)，共53页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（ ）
A．3B．6C．9D．12
3．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A．B．C．D．
4．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8 米B．28.8 米C．40.8 米D．64.8 米
5．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层的楼高，从校前广场的处测得该座建筑物顶点的仰角为，沿着向上走到米处的点．再测得顶点的仰角为，已知的坡度：，、、、在同一平面内，则高楼的高度为（ ）（参考数据：，，）
A．60B．70C．80D．90
6．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的同一水平线的处，测得米，沿坡度的斜坡走到点，测得塔顶仰角为37，再沿水平方向走20米到处，测得塔顶的仰角为22，则塔高为（ ）米．（结果精确到十分位）（，，，，，）
A．米B．米C．20米D．米
第II卷（非选择题）
二、填空题
7．在中，，，．点为线段的中点，点在边上，连结，沿直线将折叠得到．连接，当时，则线段的长为________．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A旋转，当点B与点C重合时，点C落在点D处，如果sinB=，BC=6，那么BC的中点M和CD的中点N的距离是_______
9．某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体从地面送到离地面6米高的地方，那么物体所经过的路程为_______米．
10．已知传送带和水平面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果物体在传送带上经过的路程是30米，那么该物体上升的高度是_____米（结果保留根号）．
三、解答题
11．如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段为屋内地面，线段、为房屋两侧的墙，线段、为屋顶的斜坡．已知米，米，斜坡、的坡比均为1∶2．
（1）求屋顶点D到地面的距离：
（2）已知在墙距离地面1．1米处装有窗，如果阳光与地面的夹角，为了防止阳光通过窗照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即，长度为1．4米，即米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：，，，，，，．）
12．已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上．
（1）如果点P与点C重合，求线段的长；
（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标；
（3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．
13．如图，已知：在直角中，，点在边上，且如果将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，点为边上的一个动点，联结，以圆心，为半径作⊙，交线段于点和点，作交⊙于点，交线段于点．
（1）求点到点和直线的距离
（2）如果点平分劣弧，求此时线段的长度
（3）如果为等腰三角形，以为圆心的⊙与此时的⊙相切，求⊙的半径
14．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．
15．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度．他们先在点用高1．5米的测角仪测得塔顶的仰角为30°，然后沿方向前行到达点处，在处测得塔顶的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔的高．（结果精确，参考数据:，，)．
16．如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄垂直于水平地面，当点与点重合时，伞收紧；当点由点向点移动时，伞慢慢撑开；当点与点重合时，伞完全张开.已知遮阳伞的高度是220厘米，在它撑开的过程中，总有厘米，厘米，厘米. （参考数据：，，）
（1）当，求的长？
（2）如图，当金定全张开时，求点到地面的距离.
17．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）
参考数据：sin32°≈0.5299，cs32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，．
18．某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．
（1）求这个车库的高度AB；
（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin13°≈0.225，cs13°≈0.974，tan13°≈0.231，ct13°≈4.331）
19．已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
20．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．
21．如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠部分的面积．
22．某小区外面的一段长120米的街道上要开辟停车位，计划每个停车位都是同样的长方形且每个长方形的宽均为2.2米，如果长方形的较长的边与路段的边平行，如图1所示，那么恰好能够停放24辆车．（备注：，，）
（1）如果长方形的边与街道的边缘成45°角，那么按图1，图2中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是多少？（结果保留一位小数）
（2）如果按照图2中的方法停放车辆，这段路上最多可以停放多少车辆？
23．如图是某地摩天轮（图1）和示意图（图2），已知线段经过圆心且垂直于地面，垂足为点，当座舱在点时，测得摩天轮顶端点的仰角为，同时测得点的俯角为，又知摩天轮的半径为米，求摩天轮顶端与地面的距离．(精确到米)
参考数据：，
24．如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．
（1）求钩AB的长度（精确到1cm）；
（2）现需要将窗户打开的角∠AOB的度数调整到45°时，求此时窗钩端点B与点O之间的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4）
25．如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面示意图，量得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板长CD＝6cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转，支撑板BC可绕点B转动．
（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；
（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，再将线段BC绕点B逆时针旋转，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．
（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
26．据新华社12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利返航.已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10:00巡逻船在处发现北偏东53.1°方向，相距10海里的处有一个不明物体正在向正东方向移动，10:15巡逻船在处又测得该物体位于北偏东18.4°方向的处，若巡逻船的速度是每小时36海里．
（1）试在图中画出点的大概位置，并求不明物体移动的速度；
（2）假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向的速度也不变，试问什么时候该物体与我巡逻船之间的距离最近？（参考数据：，，，，，）
27．在一次对某水库大坝设计中，李设计师对修建一座长80米的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，∥，坝高10米，迎水坡面的坡度1:，审核组专家看后，从力学的角度对此方案提出了建议，李设计师决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度1:．
（1）求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）；
（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7米，求坝底将会沿方向加宽多少米？
28．一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北21.3°方向有一座小岛，继续向东航行80海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛最近？（参考数据：，，，）
29．如图，小杰在高层楼点处，测得多层楼最高点的俯角为30°，小杰从高层楼处乘电梯往下到达处，又测得多层楼最低点的俯角为10°，高层楼与多层楼之间的距离为．已知米，求多层楼的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，）
30．如图，在距某输电铁塔（垂直地面）的底部点左侧水平距离米的点处有一个山坡，山坡的坡度，山坡坡底点到坡顶的距离等于米，在坡顶处测得铁塔顶点的仰角为（铁塔与山坡在同一平面内）．
（1）求山坡的高度；
（2）求铁塔的高度．（结果保留根号）
专题10解直角三角形的实际应用重难点专练（解析版）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
解析：
根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD，然后在Rt△BCD中 cs∠BCD=，可得BC=.
故选B．
点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（ ）
A．3B．6C．9D．12
答案:C
分析：
根据，可得，由∽，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案．
【详解】
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠ADF＝90°，
∴∠BAC+∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴△ECF∽△ACB，
∴＝tan∠EAC＝，
∴，
又∵S△ECF＝1，
∴S△ABC＝9，
故选：C．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
3．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【详解】
解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，
∴BC≈67cm，
∴CEBC−BE＝67−40＝27cm．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键．
4．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8 米B．28.8 米C．40.8 米D．64.8 米
答案:B
分析：
延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH=DE=12，EF=DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．
【详解】
延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，
则四边形EDHF为矩形，
∴FH=DE=12米，EF=DH，
∵斜坡CB的坡度为t=12：5，
∴设BH=12x，CH=5x，
由勾股定理得，（5x）2+（12x）2=522，
解得，x=4，
则BH=12x=48米，CH=5x=20米，
则EF=DH=DC+CH=60+20=80（米），
在Rt△AEF中，tan∠AEF=，
则AF=EF•tan∠AEF≈80×0.81=64.8（米），
∴AB=AF+HF-BH=64.8+12-48=28.8（米），
故选：B．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题,掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层的楼高，从校前广场的处测得该座建筑物顶点的仰角为，沿着向上走到米处的点．再测得顶点的仰角为，已知的坡度：，、、、在同一平面内，则高楼的高度为（ ）（参考数据：，，）
A．60B．70C．80D．90
答案:D
分析：
作，由已知可计算得、，由题可知是等腰直角三角形，设，在中解直角三角形即可得解．
【详解】
解：作，
由题知，
，，
又，
，，
又，
，设，
，
在中，由题知，
，
解得，
则，
故选D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用；熟练地掌握三角函数的定义，在不同的直角三角形中计算是本题的关键．
6．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的同一水平线的处，测得米，沿坡度的斜坡走到点，测得塔顶仰角为37，再沿水平方向走20米到处，测得塔顶的仰角为22，则塔高为（ ）米．（结果精确到十分位）（，，，，，）
A．米B．米C．20米D．米
答案:B
分析：
作BG⊥DA延长线于点G，作BF⊥ED于点F，则四边形BFDG为矩形，根据坡度可设，，然后在中，表示出的长度，最后在中，运用正切值建立分式方程求解并检验即可得到x的值，从而得出结果．
【详解】
如图所示，作BG⊥DA延长线于点G，作BF⊥ED于点F，四边形BFDG为矩形，
∵斜坡的坡度，
∴，
则设，，
∴，，，
在中，∠EBF=37°，
∴，，
在中，∠ECF=22°，
∴，
即：，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度、仰角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
7．在中，，，．点为线段的中点，点在边上，连结，沿直线将折叠得到．连接，当时，则线段的长为________．
答案:
分析：
求出AC的长,证明△ADE≌△ACB,推出，由此求出AE即可解决问题．
【详解】
解：过点A作AM⊥BC,在Rt△ABM中，AM=ABsin45°=
AC= AMsin60°=
∵，
∠AEA´=90°,
∵△ADE≌△A´DE
∴∠AED=∠A´ED=45°,
∴∠AED=∠B,
∵∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB,
，


AA´=

【点睛】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形的应用，翻折变换,全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A旋转，当点B与点C重合时，点C落在点D处，如果sinB=，BC=6，那么BC的中点M和CD的中点N的距离是_______
答案:4.
解析：
试题解析：
根据题意可知：


解得:
故答案为
9．某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体从地面送到离地面6米高的地方，那么物体所经过的路程为_______米．
答案:15.6
分析：
根据坡度的概念求出BC，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：如图，过A作AB⊥CB于B，
由题意得，AB＝6米，
∵斜坡的坡度i＝1∶2.4，
∴＝，
即，
解得：BC＝14.4（米），
由勾股定理得，AC＝＝15.6（米），
故答案为：15.6．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，坡比的计算，勾股定理，根据坡度熟练把问题转化为解直角三角形模型问题求解是解题的关键．
10．已知传送带和水平面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果物体在传送带上经过的路程是30米，那么该物体上升的高度是_____米（结果保留根号）．
答案:
分析：
过A作AB⊥CB于B，根据坡度的概念求出BC＝3AB，再根据勾股定理计算得到答案．
【详解】
解：过作于，如图所示：
由题意得，米，
斜坡的坡度，
，
，
由勾股定理得，米，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
三、解答题
11．如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段为屋内地面，线段、为房屋两侧的墙，线段、为屋顶的斜坡．已知米，米，斜坡、的坡比均为1∶2．
（1）求屋顶点D到地面的距离：
（2）已知在墙距离地面1．1米处装有窗，如果阳光与地面的夹角，为了防止阳光通过窗照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即，长度为1．4米，即米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：，，，，，，．）
答案:（1）屋顶点D到地面的距离米；（2）公司设计的遮阳棚能达到小明的要求，理由见解析
分析：
（1）过点D作DG⊥AB于G，连接CE交DG于H，根据矩形的判定定理证出四边形ABCE为矩形，从而求出HG=BC=米，然后根据坡比列出方程即可求出DH，从而求出结论；
（2）过点S作SQ∥MN，过点E作EK⊥SQ，只需比较EK与EF的大小关系即可判断，在Rt△SEK中，解直角三角形即可求出EK，从而得出结论．
【详解】
解：（1）过点D作DG⊥AB于G，连接CE交DG于H
∵米，AE∥BC
∴四边形ABCE为平行四边形
∵CB⊥AB
∴∠ABC=90°
∴四边形ABCE为矩形
∴CE∥AB，且CE=AB=6
∵DH⊥EC
∴HG=BC=米
∵斜坡、的坡比均为1∶2
∴DH：CH=1∶2，DH：EH=1∶2
设DH=x，则CH=2x，EH=2x
∵CH＋EH=CE
∴2x＋2x=6
解得：x=
即DH=米
∴屋顶点D到地面的距离DG=DH＋HG=米
答：屋顶点D到地面的距离米．
（2）公司设计的遮阳棚能达到小明的要求，理由如下：
过点S作SQ∥MN，过点E作EK⊥SQ，只需比较EK与EF的大小关系即可判断
∵阳光与地面的夹角，
∴SQ与水平线的夹角也为
∴∠ESK=90°－53°=37°
∴∠SEK=90°－∠ESK=53°
∵AE=米，AS=1.1米
∴SE=AE－AS=米
∴EK=SE·cs∠SEK≈×=米＜米
即EK＜EF
∴公司设计的遮阳棚能达到小明的要求．
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的应用和矩形的判定及性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形、坡比的定义是解题关键．
12．已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上．
（1）如果点P与点C重合，求线段的长；
（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标；
（3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．
答案:（1）；（2）；（3）且．
分析：
（1）根据题意求出C点的坐标，由点P与点C重合列等式求解即可；
（2）由题意代入原点坐标可得出点P的坐标，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点，根据三角函数值可证明，从而得到OG=PG，得到G点的坐标，求出PG所在直线的解析式，联立等式求解即可；
（3）分别求出B、P的坐标，求出直线BP的解析式，令y=0，可得直线BP与x轴的交点横坐标，求其小于0的取值范围即可．
【详解】
（1）如图1，抛物线与x轴相交于C点，
，
，
C点在D点的左侧，C(m-2，0)，
又点P与点C重合，，
m-2=1，m=3，
，A(3，4)，P(1，0)，
；
（2）如果抛物线经过原点，将(0，0)代入，
得，
顶点A在第一象限，m=2，
=，当x=1时，y=3，P(1，3)，
如图2，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点，
，，
，
设PQ延长线与x轴交于点G（x，0），
又OG=PG，，解得x=5，
检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解，
G（5,0），
设直线PG的解析式为：y=kx+b，
将P，G两点坐标代入得，求得 ，
PG所在直线的解析式为，
联立直线PG和抛物线解析式可得 ，
解得或，Q；
（3）如图3，点在该抛物线上，代入中，
，，
又抛物线与y轴交于点B，B（0，），
设直线BP的解析式为：y=kx+b，
代入B、P两点，，
则，直线BP的解析式为：，
令y=0，，
直线与x轴的负半轴相交，
， 或，
解得m<-2或又顶点A在第一象限，m>0,
点A与点P不重合，，
综上所述，且．
【点睛】
本题考查抛物线与坐标轴交点，抛物线顶点，一次函数与抛物线交点等问题，还涉及解直角三角形，综合性比较强，难度比较大，需要有较强的数形结合思想，充分掌握一次函数和二次函数综合知识，运用图形解题是解决本题的关键．
13．如图，已知：在直角中，，点在边上，且如果将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，点为边上的一个动点，联结，以圆心，为半径作⊙，交线段于点和点，作交⊙于点，交线段于点．
（1）求点到点和直线的距离
（2）如果点平分劣弧，求此时线段的长度
（3）如果为等腰三角形，以为圆心的⊙与此时的⊙相切，求⊙的半径
答案:(1) ，；（2）；（3）或20．
分析：
（1）设BD与AM交于点N，那么∠BNM=90°，BN=DN，然后解直角三角形即可解答；
（2）先确定∠CAB的正弦值，再设BG=3m、OG=4m建立方程求得m；再运用解直角三角形求得BE，最后利用AE=AB-BE即可求解；
（3）先求出△AOE为等腰三角形时圆O的半径及圆心距；然后就圆A与圆O是内切还是外切分类讨论求解即可．
【详解】
解：（1）如图：设BD与AM交于点N，那么∠BNM=90°，BN=DN
∵Rt△ABM中，AB=12，BM=4，
∴tan∠2=， cs∠2=
∵∠1+∠BMN=90°，∠2+∠BMN=90°，
∴∠1=∠2.
∵Rt△BMN中，BM=4，
∴BN=BM·cs∠1=
∴BD=2BN=
如图所示：作DH⊥AB于H，
∴DH∥CB
∴∠BDH=∠MBN
∴DH=BD·cs∠BDH=×=；
（2）∵在Rt△ADH中，DH=，AD=AB=12，
∴sin∠CAB=
如图所示：因为点F平分弧BE，
∴OF⊥BE，BG=EG
在Rt△BOG中，已知∠BOF=∠BAC，设BG=3m，OG=4m.
在Rt△AOG中，由tan∠A==，
解得m=
∴AE=AB-BE=12-6m=；
(3)第一步，求△AOE为等腰三角形时圆O的半径，
∵△AOE是钝角三角形，
∴只存在EO=EA的情况。
如图所示：作EK⊥AC于K
在Rt△AEK中，设EK=3n，则AK=4n，EA=5n.
如图所示：作OP⊥AB于P
在Rt△AOP中，OA=2AK=8n，AP=OA=
∴PE=AP-AE=-5n=
由AB=2PE+EA=+5n=12.解得：n=.
∴r=OE=5n=，圆心距d=OA=
第二步，分两种情况讨论圆A与圆O相切.
①如图所示，当圆A与圆O外切时，r+ra=d，
所以ra =d-r=；
②如图所示，当圆A与圆O内切时ra-r=d
所以ra=d+r=．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理、解直角三角形、圆与圆的位置关系以及分类讨论思想，综合性强，难度较大，其中掌握解直角三角形和分类讨论思想是解答本题的关键．
14．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．
答案:（1）y＝﹣x2﹣2x+3，所以该抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）；（2）2；（3）点D的坐标是（，）或（﹣，2）
分析：
（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；
（2）过点B作BH⊥AC于点H，构造直角和直角，利用勾股定理及两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）过点D作DK⊥x轴于点K，构造直角，设，则并由题意可知点D位于第二象限，由于是公共角，所以当与相似时，有2种情况：①，即，由锐角三角函数的定义列出比例式，即可得到D点坐标，②，即，由锐角三角函数的定义列出比例式，即可得到D点坐标.
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为：，将点，，分别代入得：
，解得：
故抛物线解析式为：
由于
所以该抛物线的顶点坐标是；
（2）如图1，过点B作BH⊥AC于点H
∵，OA＝OC＝3
∴，
∵
∴
∴
∵在直角中，，AB＝4
∴
∴
∵
∴；
（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K
设，则．并由题意知点D位于第二象限
∴，
∵∠BAC是公共角
∴当与相似时，有2种情况：
①∠AOD＝∠ABC
∴
∴＝3，解得x1＝，x2＝，经检验当x1＝，x2＝时原分式方程有意义
∵点D位于第二象限
∴x2＝舍去
∴；
②∠AOD＝∠ACB
∴
∴＝2，解得，，经检验当，时原分式方程有意义
∵点D位于第二象限
∴舍去
∴
综上所述，当与相似时，求点D的坐标是或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的解析式求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.
15．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度．他们先在点用高1．5米的测角仪测得塔顶的仰角为30°，然后沿方向前行到达点处，在处测得塔顶的仰角为60°．请根据他们的测量数据求此塔的高．（结果精确，参考数据:，，)．
答案:米
分析：
首先证明，在中，利用勾股定理求出即可解决问题；
【详解】
解：由题意：，，，，
∵，，
，
在中，
∵，，
．
，
，
，
．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明，属于中考常考题型．
16．如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄垂直于水平地面，当点与点重合时，伞收紧；当点由点向点移动时，伞慢慢撑开；当点与点重合时，伞完全张开.已知遮阳伞的高度是220厘米，在它撑开的过程中，总有厘米，厘米，厘米. （参考数据：，，）
（1）当，求的长？
（2）如图，当金定全张开时，求点到地面的距离.
答案:（1）40厘米；（2）196厘米
分析：
（1）连接MN，交PC于点O，易证：四边形MPNC是菱形，由，可求PO的长，进而求出PC的长，即可求解；
（2）连接MN，交PC于点O，作EH⊥CD，垂足是H，易证：MO∥EH，得到：，求出CH=24，进而即可求解.
【详解】
（1）连接MN，交PC于点O，如图1，
∵，
∴四边形MPNC是菱形，
∴MN⊥CP，CO=PO，
∵，
∴PO=PN∙cs53°=50×0.6=30，
∴PC=2PO=2×30=60，
∵，
∴BP=PC-BC=60-20=40（厘米）；
（2）连接MN，交PC于点O，作EH⊥CD，垂足是H，如图2，
∵四边形MPNC是菱形，
∴CO=BO==，MO⊥BC，
∵EH⊥CD，
∴MO∥EH，
∴，即：，
∴CH=24，
∴DH=CD-CH=220-24=196（厘米），
即：点到地面的距离是196厘米.

图1 图2
【点睛】
本题主要考查菱形的判定和性质定理以及三角函数的定义，添加合适的辅助线，是解题的关键.
17．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）
参考数据：sin32°≈0.5299，cs32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，．
答案:塔高AB约为32.99米.
解析：
分析：
过点D作DH⊥AB，垂足为点H，设AB＝x，则 AH＝x﹣3，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H．
由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC，∠ABC =∠AHD = 90°，
∠ADH = 32°．
设AB = x，则 AH = x – 3．
在Rt△ABE中，由 ∠AEB = 45°，得 ．
∴ EB = AB = x．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15．
在Rt△AHD中，由 ∠AHD = 90°，得 ．
即得 ．
解得 ．
∴ 塔高AB约为32.99米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
18．某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．
（1）求这个车库的高度AB；
（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin13°≈0.225，cs13°≈0.974，tan13°≈0.231，ct13°≈4.331）
答案:（1）这个车库的高度AB为5米；（2）斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．
分析：
（1）根据坡比可得＝，利用勾股定理求出AB的长即可；（2）由（1）可得BC的长，由∠ADB的余切值可求出BD的长，进而求出CD的长即可.
【详解】
（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，
在Rt△ABC中，i＝＝，
设AB＝5x，则BC＝12x，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴AC＝13x，
∵AC＝13，
∴x＝1，
∴AB＝5，
答：这个车库的高度AB为5米；
（2）由（1）得：BC＝12，
在Rt△ABD中，ct∠ADC＝，
∵∠ADC＝13°，AB＝5，
∴DB＝5ct13°≈21.655（m），
∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），
答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．
【点睛】
此题主要考查了坡角的定义以、锐角的三角函数及勾股定理等知识，正确求出BC，BD的长是解题关键．
19．已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
答案:（1）AC=；（2）ct∠ABD=；（3）S△ACD=．
【详解】
分析：（1）由AC=BD知 ，得，根据OD⊥AC知，从而得，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案；
（2）连接BC，设OF=t，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t，由DF=1﹣t可得t=，即可知BC=DF=，继而求得EF=AC=，由余切函数定义可得答案；
（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC=AD=、OF=，从而根据三角形面积公式计算可得．
【详解】（1）∵OD⊥AC，
∴，∠AFO=90°，
又∵AC=BD，
∴，即，
∴，
∴，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AB=2，
∴AO=BO=1，
∴AF=AOsin∠AOF=1×=，
则AC=2AF=；
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO=∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠D=∠EBC，
∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC=DF、EC=EF，
又∵AO=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
设OF=t，则BC=DF=2t，
∵DF=DO﹣OF=1﹣t，
∴1﹣t=2t，
解得：t=，
则DF=BC=、AC==，
∴EF=FC=AC=，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠D，
则ct∠ABD=ct∠D=；
（3）如图2，
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=，
则+2×=180，
解得：n=4，
∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，
∴BC=AC=，
∵∠AFO=90°，
∴OF=AOcs∠AOF=，
则DF=OD﹣OF=1﹣，
∴S△ACD=AC•DF=××（1﹣）=．
【点睛】本题考查了圆的综合题、解直角三角形的应用等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活应用垂径定理、正弦三角函数、余弦三角函数、余切三角函数、全等三角形的判定与性质、正多边形与圆等知识是解题的关键.
20．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．
答案:车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速
解析：
分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.
详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，
∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，
∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH===50，
∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，
则PH=BH=50，∴AB=AH+BH=50+50，
∵60千米/时=米/秒，∴时间t==3+3≈8.1（秒），
即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．
点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。
21．如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠部分的面积．
答案:（1）；（2）；（3）或1或
【详解】
：（1）∵，
∴，
∵AB=3，∠OAB=45°，
∴，
∴，
∴D点的坐标是；
（2）连结OD,如图（1），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°,
又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF
∴，即：
∴y与x的解析式为：
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.
①当EF=AF时，如图（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF为等腰直角三角形.
D在A’E上（A’E⊥OA）,
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为
四边形EFBD的面积.
∵
∴
∴
∴（也可用）
②当EF=AE时，如图（3），此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ，又DB∥EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴；
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.
∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=
过F作FH⊥AE于H,则
∴
综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或
22．某小区外面的一段长120米的街道上要开辟停车位，计划每个停车位都是同样的长方形且每个长方形的宽均为2.2米，如果长方形的较长的边与路段的边平行，如图1所示，那么恰好能够停放24辆车．（备注：，，）
（1）如果长方形的边与街道的边缘成45°角，那么按图1，图2中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是多少？（结果保留一位小数）
（2）如果按照图2中的方法停放车辆，这段路上最多可以停放多少车辆？
答案:（1）按图1停放，一个停车位占街道长5米，按图2停放，一个停车位占街道长3.1米；（2）最多可停放38辆车
分析：
（1）利用解直角三角形，直接求解，即可；
（2）先算出第一辆车所占的停车位长，以及后面每辆车所占的停车位长，进而即可求解．
【详解】
（1）由题意得：如图1，120÷24=5（米），
∵如图2，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1（米），
答：按图1停放，一个停车位占街道长5米，按图2停放，一个停车位占街道长3.1米；
（2）∵如图2，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54（米），GH=5×sin45°=5×≈3.5（米），
∴BE=BC+GH≈5.04（米），
∴（120-5.04）÷3.1+1≈38（个），
答：最多可停放38辆车．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义，是解题的关键．
23．如图是某地摩天轮（图1）和示意图（图2），已知线段经过圆心且垂直于地面，垂足为点，当座舱在点时，测得摩天轮顶端点的仰角为，同时测得点的俯角为，又知摩天轮的半径为米，求摩天轮顶端与地面的距离．(精确到米)
参考数据：，
答案:21米．
分析：
连接AB、AD、AC，过点A作AE⊥BC于E，由题意得DB=DA，由锐角三角函数定义求出BE、CE的长，即可求解．
【详解】
解：连接AB、AD、AC，过点A作AE⊥BC于E，
则∠AEB=∠AEC=90°，
由题意得：点A、B在圆D上，
∴DB=DA，
在Rt△ABE中，∠BAE=15°，
∴∠DBA=∠DAB=75°，∠DAE=60°，
∵OA=10米，
∴AE=5（米），
∴BE=AE×tan15°≈5×0.27=1.35（米），
∵∠EAC=76°，
∴CE=AE×tan76°≈5×4.01=20.05（米），
∴BC=BE+CE=1.35+20.05≈21（米），
答：摩天轮顶端B与地面的距离约为21米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．
（1）求钩AB的长度（精确到1cm）；
（2）现需要将窗户打开的角∠AOB的度数调整到45°时，求此时窗钩端点B与点O之间的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4）
答案:（1）AB=15（cm）；（2）窗钩端点B与点O之间的距离为9cm
分析：
（1）由锐角三角函数可求AH＝12cm，由勾股定理可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质可求AH的长，由勾股定理可求BH的长，即可求解．
【详解】
解：（1）如图2，过点A作AH⊥OF于H，
∵sin∠AOH＝＝0.6，
∴AH＝20×0.6＝12（cm），
∴OH＝＝16（cm），
∴BH＝16﹣7＝9（cm），
∴AB＝＝15（cm）；
（2）∵∠AOB＝45°，AH⊥OF，
∴AH＝OH＝10（cm），
∴BH＝＝5（cm），
∴OB＝OH﹣BH＝14﹣5＝9（cm），
答：窗钩端点B与点O之间的距离为9cm．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．
25．如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面示意图，量得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板长CD＝6cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转，支撑板BC可绕点B转动．
（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；
（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，再将线段BC绕点B逆时针旋转，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．
（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
答案:（1）2.3cm；（2）23°
分析：
（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、CF，即可求出点D到直线AB的距离；
（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．
【详解】
解：（1）如图，过D作DM⊥AB，交AB于点M，过点C作CN⊥AB于点N，垂足为N，过点D作DQ⊥CN交CB于点Q，垂足为F，
在Rt△CNB中，∠ABC＝60°，BC＝8cm，
∴CN＝CB•sin∠ABC＝8×≈6.92（cm），
∵∠BCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝70°，
∴∠DCF＝70°﹣30°＝40°，
在Rt△DCF中，∠DCF＝40°，CD＝6cm，
∴CF＝CD•cs40°≈6×0.77＝4.62（cm），
∵∠DMN＝∠MNF＝∠NFD＝90°，
∴四边形MNFD是矩形，
∴DM＝FN＝CN﹣CF＝6.92﹣4.62＝2.3（cm），
即点D到直线AB的距离为2.3cm；
（2）把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，∠C′＝70°+20°＝90°，如图，
∵BC＝8cm，CD＝6cm，
∴＝＝0.75，
∵tan37°≈0.75，
∴∠C′BD′＝37°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBC′＝60°﹣37°＝23°，
答：线段BC旋转的角度为23°．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，结合矩形的性质求解是解题的关键．
26．据新华社12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利返航.已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10:00巡逻船在处发现北偏东53.1°方向，相距10海里的处有一个不明物体正在向正东方向移动，10:15巡逻船在处又测得该物体位于北偏东18.4°方向的处，若巡逻船的速度是每小时36海里．
（1）试在图中画出点的大概位置，并求不明物体移动的速度；
（2）假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向的速度也不变，试问什么时候该物体与我巡逻船之间的距离最近？（参考数据：，，，，，）
答案:（1）不明物体移动的速度为12海里/小时；（2）到10:20时，两者之间距离最近．
分析：
（1）设10：15时，巡逻船在B处，作北偏东18.4°方向，交过点C的水平线于点D即可；利用53.1°的三角函数值求得AF，CF长，进而求得FB即CG的长，进而利用18.4°的正切值可得GD长，也就求得了CD长，除以时间即为移动的速度；
（2）两者之间的最近距离为直线CD与AB的距离，根据GD和BQ相等可得相应的关系式．
【详解】
（1）如图，点D即可为所求作；
作于点，交延长线于点， 交延长线于点，
由题意，，，海里，
在△中，，，海里，
∴海里，海里．
∴海里．
又海里，
∴海里，从而海里，
在△中，，，
∴海里，
∴海里，
海里/小时，
∴不明物体移动的速度为12海里/小时；
（2）由题意，不明物体沿移动，我巡逻船沿运动，且∥，
∴两者之间的最近距离为直线与的距离．
设又过了分钟，不明物体移动到点，我巡逻船到达点，这时，

则海里，海里．
∴，解得．
∴到10∶20时，两者之间距离最近．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用；利用所给角的度数作出相应辅助线，得到直角三角形是解决本题的突破点；利用相应的锐角三角函数求得相关线段长是解决本题的关键．
27．在一次对某水库大坝设计中，李设计师对修建一座长80米的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，∥，坝高10米，迎水坡面的坡度1:，审核组专家看后，从力学的角度对此方案提出了建议，李设计师决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度1:．
（1）求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）；
（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7米，求坝底将会沿方向加宽多少米？
答案:（1）米；（2）坝底将会沿方向加宽米．
分析：
(1) 过点B作BF⊥AD于F，在直角三角形ABF中解得AF，AB的值.
(2)过点E作EG⊥AD于G.延长EC至点M，AD至点N，连接MN，由S△ABE=S梯形CMND从而解得DN的值.
【详解】
（1）过点作于．
在△中，1∶，，且米．
∴米．
∴米．
（2）如图，延长至点，至点，连接，过点作于．
在△中，1∶，且米，
∴米，米．
∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．
∴．
即．
∴．
米．
答：坝底将会沿方向加宽米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形应用，求三角形图形的面积，锐角三角函数综合运用，解题的关键是正确作出辅助线，理解坡度的概念．
28．一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北21.3°方向有一座小岛，继续向东航行80海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛最近？（参考数据：，，，）
答案:轮船继续向东航行20海里，距离小岛C最近．
分析：
过C作AB的垂线，交直线AB于点D，分别在Rt△ACD与Rt△BCD中用式子表示CD，从而求得BD的值，即离小岛C最近的距离．
【详解】
解：过点作⊥直线，垂足为点．
此时轮船离小岛最近，即为所求．
由题意可知∶，海里，，
设海里．
在△中，，，海里，
∴海里．
在△中，，，海里，
∴，
即．
解得∶，即海里．
答∶轮船继续向东航行20海里，距离小岛最近．
【点睛】
解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
29．如图，小杰在高层楼点处，测得多层楼最高点的俯角为30°，小杰从高层楼处乘电梯往下到达处，又测得多层楼最低点的俯角为10°，高层楼与多层楼之间的距离为．已知米，求多层楼的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，）
答案:多层楼CD的高度约18米．
分析：
过点D作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△BEC中，tan∠BCE=，求得AE、BE，再由在Rt△AHD中，tan∠ADH=，求出AH，则EH=DC，即为楼高.
【详解】
如图，过点作，垂足为．
由题意，得：，米，， ．
在△中，，,米
tan∠BCE=
∴米．
∵米，
∴米．
在△中，，,米，
tan∠ADH=
∴米．
∴米．
答：多层楼的高度约18米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，俯角仰角问题，是基础知识要熟练掌握.
30．如图，在距某输电铁塔（垂直地面）的底部点左侧水平距离米的点处有一个山坡，山坡的坡度，山坡坡底点到坡顶的距离等于米，在坡顶处测得铁塔顶点的仰角为（铁塔与山坡在同一平面内）．
（1）求山坡的高度；
（2）求铁塔的高度．（结果保留根号）
答案:（1）山坡的高度为米；（2）铁塔的高度为米．
分析：
（1）过点作垂直，构造直角三角形，利用坡比的意义和勾股定理，求出AD；
（2）作交于点，根据矩形的性质，三角函数等知识，求出GE，再与EH相加即可．
【详解】
解：（1）过点作垂直，交的延长线于点．
即，
由题意得：，（米），
∴，即，
又∵，即，
∴（米）．
答：山坡的高度为米．

（2）作交于点．
∵，，
∴，
即：四边形是矩形，
由题意可知：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
又∵（米），
∴（米），
答：铁塔的高度为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，通过已知构造直角三角形是解题关键．