沪教版九年级上册数学专题训练专题02比例线段重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题02比例线段重难点专练(原卷版+解析)，共67页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，如果AD=2，AB=3，AC=6，那么AE等于（ ）
A．B．C．4D．9
2．已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（ ）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为（ ）
A．B．C．D．
4．如果线段b是线段a，c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，，则下列式子中成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．如果是线段的黄金分割点，并且，，那么的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．下列结论不一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，（），那么
D．如果，那么
第II卷（非选择题）
二、填空题
10．如图，在中，点是边的中点，直线交边于点，交的延长线于点，如果，那么的值为____．（用含、的式子表示）
11．如果线段a、b满足，那么的值等于______．
12．如果线段的长为2，点是线段的黄金分割点，那么较短的线段______．
13．已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AP＞BP，那么AP：AB的比值为______．
14．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则___________
15．如图，在中，．若进行以下操作，在边上从左到右依次取点，过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点，则________．
16．如图，直线，如果，，，那么线段的长是________.
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为_______．
18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE＝6，FD＝3，则△ABC的面积等于_____．
19．点是线段上的一点，如果，那么的值是________．
20．如图，若，则，这是一个______命题（填“真”“假”）．
21．如图在中，为上的一点，，，交于，则=________．
22．已知线段的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（），那么线段的长是______厘米．
23．已知，则＝_____．
24．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DEFGBC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为_____．
25．如图，梯形中，，点E在边上，把绕点B逆时针旋转90°，点E的对应点是点F，点C的对应点是点M，如果，那么的值是_______．
26．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为_____．
27．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=6，BC=9，那么四边形BDEF的周长是_________．

28．已知：＝，那么＝_______．
29．如图，在中，是边上的一点，为的中点，联结并延长交于点，则__________
30．如图，在梯形中，是两腰上的点，且则__________
31．如图，中，、在边上，、在边上，，且，若，则的长为_______．
32．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则__________．
33．点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），如果AC比BC大2，那么AC=_______．
34．如图，在中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则__________．
三、解答题
35．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
36．已知线段x、y满足求的值．
37．已知，且，求的值
38．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DEBC．
（1）若S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，求S△BDE；
（2）若S△BDE＝m，S△BCE＝n，求S△ABC（用m、n表示）．
39．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．
（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；
（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．
40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P是线段BC上任意一点，以点P为圆心PB为半径的圆与线段AB相交于点Q（点Q与点A、B不重合），∠CPQ的角平分线与AC相交于点D．
（1）如果DQ=PB，求证：四边形BQDP是平行四边形；
（2）设PB=x，△DPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△ADQ是以DQ为腰的等腰三角形，求PB的长．
41．如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．
（1）求证：DE∥BC；
（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．
42．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在直线y＝x上，过点P的直线交x轴正半轴于点A，交直线y＝3x于点B，点B在第一象限内．
(1)如图1，当∠OAB＝90°时，求的值；
(2)当点A的坐标为(6，0)，且BP＝2AP时，将过点A的抛物线y＝﹣x2+mx上下方平移，使它过点B，求平移的方向和距离．
43．如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、．
（1）如果，求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
44．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．
（1）求直线AB的表达式；
（2）过点B作BD//x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．
45．如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值．
46．在中，是边边上的点，且平分，已知，．求的长．
47．如图，已知点在的边上，且，以为一边作平行四边形，延长、交于点，连接，求证：．
48．如图，梯形中，∥，对角线、交于点，∥交延长线与，求证：．
49．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF=3BF，EF与BD相交于点G，求的值．
50．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC、AC上，BE平分ABC，DE∥BA，如果CE=24，AE=26，AB=45，求DE和CD的长．
专题02比例线段重难点专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，如果AD=2，AB=3，AC=6，那么AE等于（ ）
A．B．C．4D．9
2．已知线段AB=2，P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，那么线段AP的长度等于（ ）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为（ ）
A．B．C．D．
4．如果线段b是线段a，c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，，则下列式子中成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．如果是线段的黄金分割点，并且，，那么的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．下列结论不一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，（），那么
D．如果，那么
第II卷（非选择题）
二、填空题
10．如图，在中，点是边的中点，直线交边于点，交的延长线于点，如果，那么的值为____．（用含、的式子表示）
11．如果线段a、b满足，那么的值等于______．
12．如果线段的长为2，点是线段的黄金分割点，那么较短的线段______．
13．已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AP＞BP，那么AP：AB的比值为______．
14．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则___________
15．如图，在中，．若进行以下操作，在边上从左到右依次取点，过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点；过点作的平行线分别交于点，则________．
16．如图，直线，如果，，，那么线段的长是________.
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为_______．
18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE＝6，FD＝3，则△ABC的面积等于_____．
19．点是线段上的一点，如果，那么的值是________．
20．如图，若，则，这是一个______命题（填“真”“假”）．
21．如图在中，为上的一点，，，交于，则=________．
22．已知线段的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（），那么线段的长是______厘米．
23．已知，则＝_____．
24．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DEFGBC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为_____．
25．如图，梯形中，，点E在边上，把绕点B逆时针旋转90°，点E的对应点是点F，点C的对应点是点M，如果，那么的值是_______．
26．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为_____．
27．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=6，BC=9，那么四边形BDEF的周长是_________．

28．已知：＝，那么＝_______．
29．如图，在中，是边上的一点，为的中点，联结并延长交于点，则__________
30．如图，在梯形中，是两腰上的点，且则__________
31．如图，中，、在边上，、在边上，，且，若，则的长为_______．
32．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则__________．
33．点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），如果AC比BC大2，那么AC=_______．
34．如图，在中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则__________．
三、解答题
35．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
36．已知线段x、y满足求的值．
37．已知，且，求的值
38．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DEBC．
（1）若S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，求S△BDE；
（2）若S△BDE＝m，S△BCE＝n，求S△ABC（用m、n表示）．
39．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．
（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；
（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．
40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P是线段BC上任意一点，以点P为圆心PB为半径的圆与线段AB相交于点Q（点Q与点A、B不重合），∠CPQ的角平分线与AC相交于点D．
（1）如果DQ=PB，求证：四边形BQDP是平行四边形；
（2）设PB=x，△DPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△ADQ是以DQ为腰的等腰三角形，求PB的长．
41．如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．
（1）求证：DE∥BC；
（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．
42．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在直线y＝x上，过点P的直线交x轴正半轴于点A，交直线y＝3x于点B，点B在第一象限内．
(1)如图1，当∠OAB＝90°时，求的值；
(2)当点A的坐标为(6，0)，且BP＝2AP时，将过点A的抛物线y＝﹣x2+mx上下方平移，使它过点B，求平移的方向和距离．
43．如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、．
（1）如果，求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
44．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．
（1）求直线AB的表达式；
（2）过点B作BD//x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．
45．如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值．
46．在中，是边边上的点，且平分，已知，．求的长．
47．如图，已知点在的边上，且，以为一边作平行四边形，延长、交于点，连接，求证：．
48．如图，梯形中，∥，对角线、交于点，∥交延长线与，求证：．
49．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF=3BF，EF与BD相交于点G，求的值．
50．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC、AC上，BE平分ABC，DE∥BA，如果CE=24，AE=26，AB=45，求DE和CD的长．
参考答案
1．C
分析：
根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】
解：∵ED∥BC，
∴ ，
即，
∴AE＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
2．B
分析：
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【详解】
解：∵线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB；
∴AP＝2×＝ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念．解题的关键是掌握黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
3．C
分析：
根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．
【详解】
解：当时，不能判定DE∥BC，A选项错误；
时，不能判定DE∥BC，B选项错误；
时，DE∥BC，C选项正确；
时，不能判定DE∥BC，D选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．
4．B
分析：
首先由a：c=4：9，易得9a=4c，可以将a用c表示出了；再根据比例中项的概念，可得a：b=b:c，即b2=ac，那么，进而求解即可
【详解】
解：∵a：c=4：9，
∴9a=4c，即a=
又∵b是a，c的比例中项
∴a：b=b：c，即
∴b=
∴a：b=：=2：3，b:c=2:3，
.故选：B.
【点睛】
本题考查了比例线段和比例的基本性质.，比例中项的概念，将a用c表示是解题的关键.
5．D
分析：
根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．
【详解】
，

，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．
6．D
分析：
根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．
【详解】
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．
7．D
分析：
根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则BC=AB，代入数据即可得出BC的值．
【详解】
∵C为线段AB=1的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段，
∴BC=AB=．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割点的概念，掌握黄金分割的概念、熟记黄金比值是解题的关键．
8．D
分析：
设，则可以变形为．分别代入各个选项检验即可得到结论．
【详解】
解：设，则可以变形为．
A、，，该选项正确，故不符合题意；
B、，，该选项正确，故不符合题意；
C、，，该选项正确，故不符合题意；
D、，，该选项错误，故符合题意．
故选：D．
【点睛】
已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分求值．
9．D
分析：
对于A、B选项，设，则，，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于C、D选项，设，则，， ，分别代入计算，验证两边是否相等即可．
【详解】
解：A：设，
则，，
∴，，
∴，故A不符合题意；
B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合题意；
C：设，则，， ，
∴，
又∵，
∴，故C不符合题意；
D：设，则，， ，
∴，，，
∴，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键．
10．
分析：
过点B作BH∥AC交EF于点H，先证明△BDH≌△CDF，得出BH=CF，再根据得出即可得解．
【详解】
解：过点B作BH∥AC交EF于点H，
∴，∠C=∠DBH,
∵点是边的中点，
∴BD=CD，
∵∠BDH=∠CDF，
∴△BDH≌△CDF，
∴BH=CF，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确作出辅助线．
11．
分析：
根据，再将代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，将变形为是解决本题的关键．
12．
分析：
设较短的线段，则，根据黄金分割点的性质列方程并求解，即可得到答案．
【详解】
设较短的线段
∵的长为2
∴
∴
∴
∴
∴或（经检验均为方程的根）
，故舍去
∵
∴
∴较短的线段
故答案为：．
【点睛】
本题考查了黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．
13．
分析：
根据黄金分割的定义列即可得答案．
【详解】
∵点P是线段的一个黄金分割点，且，
∴AP：AB=．
【点睛】
题考查了黄金分割点的应用，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割；其比值是；理解黄金分割点的定义是解题的关键．
14．5
分析：
根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线， 得出，进而得出②，两式相加即可得出结论．
【详解】
解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴
∴
∴，即①；
∵CE是∠ACB的外角平分线，
∴
∴，即②；
①+②，得．
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键．
15．40400
分析：
由平行线性质到，再相加得到，再根据题意类推问题可解．
【详解】
解：
∴
以此类推，4D2E2+5D2F2=20，…，4D2020E2020+5D2020F2020=20，
4(D1E1 + D2E2 +…+ D2020E2020)+5(D1F1 + D2F2 +…+ D2020F2020)=
故答案为：40400．
【点睛】
本题考查平行线的性质以及比例式的探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1+5D1F1=20是解题的关键．
16．3
分析：
过A1作AE//AC，交BB1于D，交C1于E，得出四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形，然后再运用平行线等分线段定理和已知条件即可求解.
【详解】
解：如图：
过A1作AE//AC，交BB1于D，交C1于E，
∵
∴四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形，
又∵，，
∴CE=BD=AA1=2, EC1=5-2=3
又∵
∴
∴
∴，即
∴
故答案为3.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出比例式是解此题的关键.
17．1
分析：
根据题意作出草图，根据勾股定理求出AC，根据轴对称的性质可得EF=CE，根据两直线平行，同位角相等可得∠A=∠EGF，利用相似三角形对应边成比例列式表示出GE，再表示出CG，然后根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解．
【详解】
如图，设BD=CE=x，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴，
∵点C关于DE的对称点为F，
∴EF=CE=x，
∵DF∥AB，
∴∠A=∠EGF，
∴△ABC∽△GEF，
∴，
即，
解得GE=x，
∴CG=GE+CE=x+x=x，
∵DF∥AB，
∴，
即，
解得x=1，
即BD=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，难度不是很大，找准线段的对应关系是解题的关键，作出图形更形象直观．
18．9
分析：
过E作EG⊥BC于G，根据已知条件得到点F是△ABC的重心，求得AD＝3DF＝9，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，根据平行线分线段成比例定理得到EG＝AD＝，CG＝CD，根据勾股定理得到BG＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
过E作EG⊥BC于G，
∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，
∴点F是△ABC的重心，
∴AD＝3DF＝9，
∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵BE是边AC上的中线，
∴AE＝CE，
∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴EG∥AD，
∴EG＝AD＝，CG＝CD，
∵BE＝6，
∴BG＝，
∴BC＝BG＝2，
∴△ABC的面积＝×9×2＝9，
故答案为9．
【点睛】
本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．
分析：
设AB=1，AP=x，则BP=1-x，代入AP2=BP·AB求出x的值，最后代入即可．
【详解】
解：设AB=1，AP=x，则BP=1-x，
∵AP2=BP·AB
∴x2=（1-x）·1，即x2+x-1=0，解得x=或x=（舍）
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了成比例线段，设出合适的未知数、根据比例列式求出未知数成为解答本题的关键．
20．假
分析：
当B是AC的中点，E是DF的中点时，，但AD不平行BE，也不平行CF，从而得出是假命题．
【详解】
解：是假命题，理由如下：
当B是AC的中点，E是DF的中点时，，但AD不平行BE，也不平行CF，所以这是个假命题；
如图，
故答案为：假．
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理和命题的真假，注意找准对应关系，得出正确答案
21．．
分析：
过点E作EG∥AD交BC于G，然后判断出DF是△BEG的中位线，从而求出BD＝DG，再求出AE：AC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求解．
【详解】
解：如图，过点E作EG∥AD交BC于G，
∵，
∴DF是△BEG的中位线，
∴BD＝DG，
∵，
∴AE：AC＝1：3，
∵EG∥AD，
∴DG：DC＝AE：AC＝1：3，
∴BD：DC＝．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，过点E作平行线是解题的关键，也是本题的难点．
22．
分析：
根据黄金比值可知，计算得出结果即可．
【详解】
解：点P是线段AB的黄金分割点（），
，
可知（厘米），
（厘米）
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是黄金分割比，属于基础题，掌握黄金比值是解题的关键．
23．
分析：
由得到，代入式子计算即可.
【详解】
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】
此题考查比例的性质，正确进行变形，熟练掌握和灵活运用相关运算法则是解题的关键.
24．9
分析：
根据平行线分线段成比例定理和已知条件得出AD：DF：FB＝AE：EG：GC＝3：2：1，设AE＝3x，则EG＝2x，GC＝x，根据AG＝15得到方程3x+2x＝15，求出x，再求出答案即可．
【详解】
解：∵DE∥FG∥BC，
∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，
∵AD：DF：FB＝3：2：1，
∴AE：EG：GC＝3：2：1，
设AE＝3x，则EG＝2x，GC＝x，
∵AG＝15，
∴3x+2x＝15，
解得：x＝3，
∴AE＝9，EG＝6，GC＝3，
∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理得到比例式，并设元求出各段的长是解题关键．
25．
分析：
过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，由旋转的性质可得BF=BE，∠EBF=90°，可得∠BEF=45°=∠EBC=∠BEH，设EH=4a，HC=3a，可求BC=7a=AB=DG，由平行线分线段成比例可求DE：CE的值．
【详解】
解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，
∵旋转，
∴BF＝BE，∠EBF＝90°
∴∠BEF＝45°，
∵EF∥BC
∴∠BEF＝∠EBC＝45°
∵EH⊥BC
∴∠EBC＝∠BEH＝45°，
∴BH＝EH，
∵tanC=，
∴设EH＝4a，HC＝3a，
∴BH＝4a，
∴BC＝BH+HC＝7a＝AB，
∵AB⊥BC，DG⊥BC，EH⊥BC
∴AB∥DG∥EH，且AD∥BC
∴四边形ABGD是平行四边形
∴AB＝DG＝7a，
∵EH∥DG
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
26．或
分析：
先根据勾股定理得到AC＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5，设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】
解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，
∴AC＝5，
∵DE∥BC，
∴AD：AB＝AE：AC，即AD：AE＝AB：AC＝4：5，
设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∵△A′EC是直角三角形，
∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C＝90°，∠BA′C＝∠ACB，A′B＝3×ct∠ACB＝，
∴AD＝；
②点A在线段AB的延长线上（）2+（5﹣x）2＝（x）2，
解得x1＝4（不合题意舍去），x2＝．
故AD长为或．
故答案为：或．
【点晴】
本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
27．16
分析：
由平行线分线段成比例得出比例式，求出BF和BD的长度即可．
【详解】
解：
，
∵AB=6，BC=9，
，
∴
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴，
四边形BDEF的周长是2+2+6+6=16；
故答案为：16．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例和平行四边形的性质；掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意线段的对应关系．
28．
分析：
设x＝2a，根据＝可得y＝3a，代入所求式子化简即可得答案．
【详解】
设x＝2a，
∵＝，
∴y＝3a，
∴＝＝．
故答案为：
【点睛】
本题考查比例的性质，设x＝2a，根据题意用a表示出y是解题关键．
29．1：9
分析：
过D做DM∥AC，得出△AEG≌△DMG，进而得出EG=MG，再根据平行线分线段成比例定理即可得出BG与EG关系，从而得出1:9．
【详解】
过D做DM∥AC，
∴∠EAG=∠MDG，∠AEG=∠DMG
∵G为AD的中点
∴AG=DG
∴△AEG≌△D MG
∴EG=MG，
∵BD:DC=4:1
∴BM:EM=BD:DC=4:1
∴BM=4EM=8EG
∴BG=9EG
∴EG: BG =1:9
故答案是1:9
【点睛】
本题主要考察了全等三角形和平行线成比例定理等知识点，根据已知条件做出合适的辅助线是解题关键．
30．
分析：
过点A作AG∥CD交EF于H，交BC于G，易证四边形AHFD、AGCD均为平行四边形，则有CG=HF=AD=3，BG=2,再由平行线分线段成比例可得，可求得EH，进而可求得EF的长．
【详解】
解：过点A作AG∥CD交EF于H，交BC于G，
∵AD∥BC∥EF，
∴四边形AHFD、AGCD均为平行四边形，
∴CG=HF=AD=3，
∴BG=BC﹣CG=2，
∵
∴，
∴EH=BG=，
∴EF=EH+HF=,
故答案为：．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例，将梯形问题通过作辅助平行线转化为三角形问题是解答的关键．
31．
分析：
根据平行线分线段成比例得到，再利用比例的性质由得，则，然后把AG=15代入计算即可．
【详解】
解：∵DE//FG//BC，
∴，
而
∴，
∴，
∴EC=9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
32．
分析：
由CH∥AB，推出，即，再由CH∥EF，推出，即可求解．
【详解】
∵正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，
∴EF=CE=2，AB=BC=3，BE=2+3=5，CH∥EF，CH∥AB，
由CH∥AB，
∴，即，
∴CH=，
由CH∥EF，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，正确的识别图形是解题的关键．
33．
分析：
分别设出AC、BC、AB的长，再利用黄金分割点性质构造方程求解即可．
【详解】
解：设AC=x，由已知BC=x-2，AB=2x-2
∵点C是线段AB的黄金分割点
∴
即
整理，得
解得
，（舍去）
故答案为：
【点睛】
本题考查了黄金分割的性质和一元二次方程的a应用，解答关键是根据黄金分割定义构造方程．
34．2：5
分析：
过点A作辅助线构造相似三角形,借助相似三角形的性质,可以得到对应边成比例,进而得到的值．
【详解】
解：如图,过点A作AG∥BC,交ED于点G,
∵AG∥BC
∴△AGF∽△CEF,△DAG∽△DBE．
∴ ,．
∵．
∴．
∵点是的中点．
∴BE=EC．
∴．
∴．
即:=2：5．
故答案为：2：5
【点睛】
该命题以三角形为载体,以平行线分线段成比例定理及平行线与相似三角形关系为考查对象,对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
35．（1）；（2）11
分析：
（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；
（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
【详解】
解：（1）∵ADBECF，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
故的值为；
（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，
∵AGDF，ADBECF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BECF，
∴，
∴，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
36．．
分析：
利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y2，化为，然后解一元二次方程，即可求解．
【详解】
解：，
．
∵，∴，∴．
∵x、y表示线段，
∴负值不符合题意，
∴．
【点睛】
本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x、y的非负性．
37．，，．
分析：
根据比的性质，可得a，b，c用k表示，根据解方程，可得k的值，即可得答案．
【详解】
∵，，
∴设，，，
∴，整理得：，
解得：，
∴，，．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出，，是解题关键．
38．（1）3 （2）
分析：
（1）根据有公共顶点，底边共线的两个三角形面积比为底的比，可以得到,设S△BDE＝x，再将x的值代入即可得出答案；
（2）由（1）知，设S△ADE＝y，又S△BDE＝m，S△BCE＝n，从而得出y与m、n的函数关系式，即可表示出三角形ABC的面积．
【详解】
解：（1）设S△BDE＝x．
∵，
∵DE∥BC，
∴，
∴
∵S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，
∴，
解得：x1＝﹣5（舍），x2＝3．经检验x＝3是此题的解，
∴S△BDE＝3；
（2）由（1）知，
设S△ADE＝y，又S△BDE＝m，S△BCE＝n，
∴，
解得，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理以及等高三角形的面积比，利用平行线分线段成比例定理得出面积比之间的相等关系是解决问题的关键．
39．（1）见解析；（2）见解析
分析：
（1）根据正方形性质及ON＝OM，求出MN∥CD，进而得出四边形DMNE是平行四边形，在证明出△AOM≌△DON即可得到平行四边形DMNE是菱形；
（2）根据MN∥CD得到，再由EN⊥DC得到EN∥AD，，再由AB∥DC，得到，即可得到，即为所求．
【详解】
证明：（1）如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
∵ON＝OM，
∴ ，
∴MN∥CD，
又∵EN∥BD，
∴四边形DMNE是平行四边形，
在△AOM和△DON中，
∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，
∴△AOM≌△DON（SAS），
∴∠OMA＝∠OND，
∵∠OAM+∠OMA＝90°，
∴∠OAM+∠OND＝90°
∴∠AHN＝90°．
∴DN⊥ME，
∴平行四边形DMNE是菱形；
（2）如图2，
∵MN∥CD，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，
∴AD⊥DC，
又∵EN⊥DC，
∴EN∥AD，
∴，
∵AB∥DC，
∴，
∴，
∴AN2＝NC•AC．
【点睛】
此题考查正方形相关知识，主要是利用平行线分线段成比例求解，难度较大．
40．（1） 见解析；（2）； （3）4或或
分析：
（1）根据角平分线的性质得到∠CPD=∠QPD，由DQ=PB=PQ得到∠QDP=∠QPD推出DQ∥BP，再根据DQ=BP推出四边形BQDP是平行四边形；
（2）先根据勾股定理求出AB=10，过点P作PH⊥AB于H，证明△BHP∽△BCA，求出BH=，HP=，根据同位角相等证明PD∥AB得到CD=，过点Q作QE⊥AC于E，利用三角函数求出QE=，再根据即可求出函数解析式，根据图形中各边都大于0得到不等式组求出x的取值范围；
（3）设PB=a，过点P作PH⊥AB，由（2）可知BQ=，则AQ=10-，分三种情况：①当AD=DQ时，②当AQ=DQ时，③当AD=AQ=10-时，分别求出a即可.
【详解】
（1）∵∠CPQ的角平分线与AC相交于点D，
∴∠CPD=∠QPD，
∵DQ=PB=PQ，
∴∠QDP=∠QPD，
∴∠QDP=∠CPD，
∴DQ∥BP，
∵DQ=BP，
∴四边形BQDP是平行四边形；
（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
过点P作PH⊥AB于H，
∴∠BHP=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BHP∽△BCA，
∴，
∴，
∴BH=，HP=，
∴BQ=2BH=，
∵PB=PQ，
∴∠B=∠BQP，
∵∠CPQ=2∠CPD=∠B+∠BQP，
∴∠CPQ=∠B，
∴PD∥AB，
∴，
∴，
∴CD=，
∴，
过点Q作QE⊥AC于E，
∵AQ=10-，
∴QE=，
∴
=
=
∵，解得，
∴；

（3）设PB=a，
过点P作PH⊥AB，由（2）可知BQ=，∴AQ=10-，
①当AD=DQ时，如图，过点D作DF⊥AB于F，则AF=，
∴，
∴CD=，
∵PD∥AB，
∴,
∴，
解得a=4，
②当AQ=DQ时，过点Q作QM⊥AC于M，
∴AM===，
∴AD=2AM=，
∴CD=6-AD=,
∵PD∥AB，
∴,
∴,
解得a=；
③当AD=AQ=10-时，则CD=6-AD=-4，
∵PD∥AB，
∴,
∴，
解得a=.
【点睛】
此题考查角平分线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，是一道较难的综合题，解题中注意分类讨论的解题方法的运用.
41．（1）见解析；（2）3
分析：
（1）由平行线分线段成比例结合条件可证得，可证得结论；
（2）由（1）的结论，结合平行线分线段成比例可得到，结合条件可求得，可求得AM，可求出MN．
【详解】
（1）证明：∵，∴，．
∵，∴．
∴．
（2）∵，，．∴
∴，∴．
∴
∵，∴．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例的性质和判定，掌握线段对应成比例⇔两直线平行是解题的关键．
42．(1)5；(2)抛物线向下平移了个单位长度．
解析：
分析：
（1）设点A横坐标为a，由于∠OAB＝90°，即AB⊥x轴，所以P、B横坐标也是a，分别代入直线解析式求P、B纵坐标，相减即能得到用a表示的BP、AP的值．
（2）分别过点P、B作x轴垂线，垂足分别为D、C，根据平行线分线段定理可得．设直线AB解析式为y＝kx+b，把A坐标代入得y＝kx﹣6k．把直线AB解析式分别与直线OP、OB解析式联立方程组，求得点P、B的横坐标（用k表示）即点D、C横坐标，进而得到用k表示CD、DA的式子．根据CD＝2AD为等量关系列方程即求得k的值，即得到点B坐标．把点A代入原抛物线解析式求m，由于上下平移，故可在原抛物线解析式后+n以表示平移后的抛物线，把点B代入即求得n的值．n为负数时即表示向下平移．
【详解】
(1)设点A坐标为(a，0)(a＞0)
∵∠OAB＝90°，点B在直线y＝3x上，点P在直线y＝x上
(2)如图，过点B作BC⊥x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D
∴BC∥PD
∵BP＝2AP
∴=2
∴CD＝2DA
设直线AB解析式为：y＝kx+b
∵A(6，0)
∴6k+b＝0，得b＝﹣6k
∴直线AB解析式为y＝kx﹣6k
当x＝kx﹣6k时，解得：x＝
∴xD＝xP＝
当3x＝kx﹣6k时，解得：x＝
解得：k＝﹣2
∴，即
∵抛物线y＝﹣x2+mx过点A
∴﹣36+6m＝0，解得：m＝6
设平移后过点B的抛物线解析式为y＝﹣x2+6x+n
∴
解得：n＝﹣
∴抛物线向下平移了个单位长度．
【点睛】
本题考查了平行线分线段定理，一次函数的图象与性质，一元一次方程、分式方程的解法，二次函数的图象与性质．平面直角坐标系中不平行于坐标轴的线段的比可通过作坐标轴的垂直线构造平行线，再利用平行线分线段定理转换．函数图象上下平移的规律即函数值上加下减一个常数．
43．（1）见解析；（2）见解析
分析：
（1）由四边形ABCD是正方形，推出，所以MN∥CD，再根据EN∥BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA=∠OND，由∠OAM+∠OMA=90°，∠OAM+∠OND=90°得出∠AHN=90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形；
（2）由MN∥CD，推出，由四边形ABCD是正方形，推出AB∥DC，AB=DC，∠ADC=90°，即AD⊥DC，根据EN⊥DC，得出EN∥AD，所以，根据AB∥DC，推出，所以，最后得出结论．
【详解】
证明：（1）如图1，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形
在和中，∵，，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴平行四边形是菱形
（2）如图2，
∵，
∴
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
【点睛】
本题考查了正方形与菱形，熟练运用正方形和菱形的性质是解题的关键．
44．（1）y＝x+2；（2）2．
分析：
（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，得出，求出点C坐标，用待定系数法即可求解析式；
（2）求出反比例函数解析式和D点坐标，用勾股定理求CD长即可．
【详解】
解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，
∴＝1，
∵A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴OH＝OA＝2，
∵点C的纵坐标为4，
∴点C的坐标为（2，4），
设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），C（2，4）代入得，
解得，
∴直线AB的表达式y＝x+2；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点C（2，4），
∴m＝2×4＝8，
∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B，
∴点B的坐标为（0，2），
∵BD//x轴，
∴点D纵坐标为2，
当y＝2时，＝2，解得x＝4，
∴点D坐标为（4，2），
∴CD＝．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合和勾股定理以及比例式，解题关键是熟练运用一次函数和反比例函数的性质求点的坐标，应用坐标解决问题．
45．的值为．
分析：
作DH∥AC交BE于H，如图，根据平行线分线段成比例，由DH∥CE得到，则CE=2DH，由DH∥AE得到，则AE=DH，然后计算AE：EC的值．
【详解】
解：作DH∥AC交BE于H，如图，
∵DH∥CE，
∴，
∴CE=2DH，
∵DH∥AE，
∴，
∴AE=DH，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．
46．DE的长为．
分析：
由角平分线的性质和平行线的性质可得∠DEB＝∠ABE，由等角对等边的性质可得DE＝DB，继而由平行线分线段成比例的性质可得DE的长．
【详解】
∵BE平分，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠BED＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠BED，
∴DB＝DE，
设DE＝DB＝x，
∵DE∥BC，AB＝6，BC＝8，
∴即：
解得：
∴DE的长为．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用所学知识求得，难度适中．
47．见解析．
分析：
根据得到，再根据得到，再根据平行四边形的性质得到，即可求解；
【详解】
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例，结合平行四边形的性质证明是解题的关键．
48．见解析．
分析：
通过∥可得到，再根据∥可得到，从而得到答案；
【详解】
证明：∵∥，
∴，
又∵∥，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例，准确证明是解题的关键．
49．的值为．
分析：
首先延长FE交DA的延长线于点P，由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可得AE=BE，继而可得AP=BF，又由CF=3BF，即可求出结论．
【详解】
解：延长FE交DA的延长线于点P．
在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴．
∵AE=BE，
∴，即PA=BF．
又∵AD∥BC，
∴．
而AD=BC，CF=3BF，
∴AD=BC=4BF，
∴PD=5BF，
∴．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．
50．，
分析：
根据平行线截线段成比例的性质求解．
【详解】
解：∵DE∥BA，
即
∵DE∥BA，
∴∠ABE=∠DEB．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBE，
∴∠DBE=∠DEB，
∵DE∥BA，
即
【点睛】
本题考查成比例线段的应用，熟练掌握平行线截线段成比例定理是解题关键．