沪教版九年级上册数学专题训练专题14相似三角形章节重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题14相似三角形章节重难点专练(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有( )
① ； ② ； ③；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长( )
A．B．C．D．或
3．下列说法:①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81中，正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．在中，点、分别在边、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（ ）
A．AD=6,BD=4,AE=2.4,CE=1.6
B．BD=2，AB=6，CE=1，AC=3；
C．AD=4，AB=6，DE=2，BC=3；
D．AD=4，AB=6，AE=2，AC=3．
5．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ）
A．19B．17C．24D．21
6．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )
A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，
点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
第II卷（非选择题）
二、解答题
8．如图，在中，点分别在上，，，，与交于点.
（1）求证：；
（2）连接，求证：.
9．已知：.
（1）求代数式的值；
（2）如果，求的值.
10．解方程：.
11．在△ABC中，已知BC=6，BC边上中线AD=5.点P为线段AD上一点（与点A、D不重合），过P点作EF∥BC，分别交边AB、AC于点E、F，过点E、F分别作EG∥AD，FH∥AD，交BC边于点G、H．
（1）求证：P是线段EF的中点；
（2）当四边形EGHF为菱形时，求EF的长；
（3） 如果sin∠ADC=，设AP长为x，四边形EGHF面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD, CD=6，BC=4，∠ABD =∠C，P是CD上的一个动点(P不与点C点D重合),且满足条件:∠BPE =∠C, 交BD于点E.
（1） 求证：△BCP∽△PDE；
（2）如果CP= x , BE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）P点在运动过程中，△BPE能否成为等腰三角形，若能，求 x的值 ，若不能，说明理由.
13．已知：如图，直线y=kx+2与x轴的正半轴相交于点A（t,0）、与y轴相交于点B，点C在第三象限内，且AC⊥AB，AC=2AB．
（1）当t=1时，求直线BC的表达式；
（2)点C落在直线：y=-3x-10上，求直线CA的表达式.
14．如图，已知AD=2，DB=1,∠ACD =∠B,∠BAC的平分线分别交CD、BC于F、E.
（1）求AC的值
（2）求的值.
15．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若=3，求的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若=m（m≠0），则的值是 （用含m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a＞0，b＞0），则的值是 （用含a，b的代数式表示）．
16．如图，已知在△中，是边上的中线，设，；
（1）求（用向量的式子表示）
（2）如果点在中线上，求作在方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
17．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
（1）当t= _________ s时，点P与点Q重合；
（2）当t= _________ s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
三、填空题
18．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为______．
19．已知点P是线段AB上的一点，且，如果AB=10cm，那么BP=_____cm
20．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B． 若△ADC的面积为a ，则△ABD的面积为____________
21．化简：______．
22．如图，在中，点、分别在、上，且，若，，那么______．
23．如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC＝3BE，设，，那么将下列向量表示、的分解式：
（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．
24．如图，若点G是△ABC的重心，GD∥BC，则=__________．
25．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为____．
26．如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是________ .
27．如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
28．在中，，G是的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，则GH的长为_________.
29．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是_________cm.
30．如图，AD∥EF∥BC，，DF＝6cm，则DC＝_________cm.
31．如图，AB//CD，AD与BC相交于点E，如果AB=2，CD=6，AE=1，那么 DE= _________．
32．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为___（用a的代数式表示）．
33．若，则＝_____．
34．如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=5cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=_____cm
专题14 相似三角形章节重难点专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有( )
① ； ② ； ③；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长( )
A．B．C．D．或
3．下列说法:①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81中，正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．在中，点、分别在边、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（ ）
A．AD=6,BD=4,AE=2.4,CE=1.6
B．BD=2，AB=6，CE=1，AC=3；
C．AD=4，AB=6，DE=2，BC=3；
D．AD=4，AB=6，AE=2，AC=3．
5．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ）
A．19B．17C．24D．21
6．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )
A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，
点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
第II卷（非选择题）
二、解答题
8．如图，在中，点分别在上，，，，与交于点.
（1）求证：；
（2）连接，求证：.
9．已知：.
（1）求代数式的值；
（2）如果，求的值.
10．解方程：.
11．在△ABC中，已知BC=6，BC边上中线AD=5.点P为线段AD上一点（与点A、D不重合），过P点作EF∥BC，分别交边AB、AC于点E、F，过点E、F分别作EG∥AD，FH∥AD，交BC边于点G、H．
（1）求证：P是线段EF的中点；
（2）当四边形EGHF为菱形时，求EF的长；
（3） 如果sin∠ADC=，设AP长为x，四边形EGHF面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD, CD=6，BC=4，∠ABD =∠C，P是CD上的一个动点(P不与点C点D重合),且满足条件:∠BPE =∠C, 交BD于点E.
（1） 求证：△BCP∽△PDE；
（2）如果CP= x , BE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）P点在运动过程中，△BPE能否成为等腰三角形，若能，求 x的值 ，若不能，说明理由.
13．已知：如图，直线y=kx+2与x轴的正半轴相交于点A（t,0）、与y轴相交于点B，点C在第三象限内，且AC⊥AB，AC=2AB．
（1）当t=1时，求直线BC的表达式；
（2)点C落在直线：y=-3x-10上，求直线CA的表达式.
14．如图，已知AD=2，DB=1,∠ACD =∠B,∠BAC的平分线分别交CD、BC于F、E.
（1）求AC的值
（2）求的值.
15．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在▱ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若=3，求的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若=m（m≠0），则的值是 （用含m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若=a，=b（a＞0，b＞0），则的值是 （用含a，b的代数式表示）．
16．如图，已知在△中，是边上的中线，设，；
（1）求（用向量的式子表示）
（2）如果点在中线上，求作在方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
17．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
（1）当t= _________ s时，点P与点Q重合；
（2）当t= _________ s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
三、填空题
18．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为______．
19．已知点P是线段AB上的一点，且，如果AB=10cm，那么BP=_____cm
20．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B． 若△ADC的面积为a ，则△ABD的面积为____________
21．化简：______．
22．如图，在中，点、分别在、上，且，若，，那么______．
23．如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，点E在BC上，且BC＝3BE，设，，那么将下列向量表示、的分解式：
（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．
24．如图，若点G是△ABC的重心，GD∥BC，则=__________．
25．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为____．
26．如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是________ .
27．如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____．
28．在中，，G是的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，则GH的长为_________.
29．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是_________cm.
30．如图，AD∥EF∥BC，，DF＝6cm，则DC＝_________cm.
31．如图，AB//CD，AD与BC相交于点E，如果AB=2，CD=6，AE=1，那么 DE= _________．
32．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为___（用a的代数式表示）．
33．若，则＝_____．
34．如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=5cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=_____cm
参考答案
1．B
解析：
分析：
根据角平分线的性质，推出角相等，再得出边相等，判断出①②正确，再利用三角形不相似，排除其它选项，最后得解．
【详解】
解：如图，∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD
∴∠ABE=∠CBE，∠ABE=∠CBE．
∵CD∥BA，
∴∠ABC+∠BCD=180°．
∴∠BEC=∠D=∠A=90°．
则有△CED∽△BEA∽△CBE,
∴① 正确，③ 正确；
无法证明CD=DE，故②不正确；
故④CE 2=CD×BC正确；
故BE2=AE×BC不正确．
因此只有①②④正确．
故选B．
【点睛】
本题利用了平行线的性质，角的平分线的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质求解．
2．D
解析：
分析：
分两种情况：①△ABC∽△CDB，②△ABC∽△BDC；根据相似三角形的对应成比例，从而可求得BD的长．
【详解】
解：分两种情况：
①∵△ABC∽△CDB，
∴，
即，
∴BD=；
②由勾股定理得：AB= =4，
∵△ABC∽△BDC，
∴ ，即 ，
解得：BD= ；
综上可知：BD的长为；或
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
3．B
分析：
由位似图形的定义即可判断①；位似图形不一定要经过平移，可判断②；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可判断③；相似多变形的面积比等于相似比的平方，可判断④.
【详解】
解：位似图形不仅相似，并且对应点之间的连线均相交于同一点，对应的边相互平行，故①正确；位似图形不一定要经过平移，故②错误；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故③正确；相似多变形的面积比等于相似比的平方，面积比为4:9，则周长的比应为2:3，故④错误；正确的是①和③，
故选择B.
【点睛】
本题考察了位似的定义以及相似的性质.
4．C
解析：
根据平行线分线段成比例定理，分别求得各对应线段的比，比相等，即可判定DE与BC平行．注意排除法在解选择题中的应用．
如图所示，
A，由AD=6，BD=4，得，由AE=2.4，CE=1.6，得，所以，所以△ADE∽△ABC，所以∠ADE=∠ABC，所以DE∥BC；
B，由DB=2，AB=6，得，由CE=1，AC=3得，所以，所以△ADE∽△ABC，所以∠ADE=∠ABC，所以DE∥BC；
C，△ABC中，由AD=4，AB=6，得，由DE=2，BC=3得，但是DE与BC不一定平行，（如下图）；
D，由AD=4，AB=6，得，由AE=2，AC=3得，所以，所以△ADE∽△ABC，所以∠ADE=∠ABC，所以DE∥BC，
故选C．
点睛：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．其逆命题是假命题，不一定成立．
5．C
【详解】
试题分析：设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，知，∴，，∴．故选C．
考点：相似三角形的性质．
6．D
【详解】
试题分析：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D．
考点：中心投影．
7．B
解析：
首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案．
解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，
∵sin∠ABD=，
∴AE=AB?sin∠ABD=2?sin45°=2?=2＞，
所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，
∵sin∠CDF=，
∴CF=CD?sin∠CDF=?=1＜，
所以在边BC和CD上没有到BD的距离为的点，
所以P到BD的距离为的点有2个，
故选B．
此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
分析：
（1）根据已知条件先证明DG∥AC，EF∥AB，可得∠HGF=∠C，∠HFG=∠B，即可证明△HFG∽△ABC，从而可得结论；
（2）连接DF，EG，DE，证明四边形DFGE和ADHE是平行四边形，即可证得结论.
【详解】
∵AB=3AD，BF=FG=CG，
∴BD=2AD，BG=2CG，
∴,
∴DG∥AC,
同理可得，EF∥AB，
∴∠HFG=∠ABC，∠HGF=∠ACB，
∴△HFG∽△ABC，
∴，即；
（2）连接，DE,如图所示，
∵EF∥AB，
∴,
∵GF=FB
∴=1，
∴GH=HD，
同理可证，FH=EH，
∴四边形DFGE是平行四边形，
∴DF∥EG，
∴∠FDG=∠EGD，
∴∠FHG=∠EGH+∠HEG，
∵∠DHE=∠FHG，
∴∠DHE=∠EGH+∠HEG=，
由EF∥AB，DG∥AC,得四边形ADHE是平行四边形，
∴∠A=∠DHE，
∴
【点睛】
此题主要考查了平行线分线段成比例的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握相减的判定与性质是解决此题的关键.
9．（1）1；（2）
分析：
（1）设a=2k，b=3k，c=5k，代入代数式，即可求出答案；
（2）把a、b、c的值代入，求出即可．
【详解】
∵
∴设a=2k，b=3k，c=5k，
（1）；
（2）∵
∴6k-3k+5k=24，
∴k=3，
∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.
【点睛】
本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．
10．
解析：
分析：
先设2x2-3x=a，4=b，x2+x=c，-1=d，再根据分合比的性质列方，最后根据解一元二次方程的方法，求解即可.
【详解】
设2x2-3x=a，4=b，x2+x=c，-1=d，则原方程变为
应用分合比性质：则，即bc=ad，
即 4（x2+x）=-2x2+3x
解得
经检验 都是原方程的根.
【点睛】
本题考查分合比性质解一元二次方程，学生们需要认真分析.
11．（1）证明见解析；（2）；（3）y=-x2+5x(0解析：
试题分析：（1）利用EF∥BC，得出△AEP∽△ABD，△AFP∽△ACD，得出，又BD=CD，则得出结论；（2）由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，得出（相似三角形对应中线的比等于对应边的比），则可求出EF；（3）过点P作PQ⊥BC于Q，易知四边形EGHF是平行四边形，根据S四边形EGHF=GH×PQ=EF×PQ=y，利用△AEF∽△ABC，求得EF，利用sin∠ADC=求得PQ，则可得y关于x的关系式.
解：（1）∵EF∥BC，∴△AEP∽△ABD，△AFP∽△ACD，
∴，，∴，
又∵BD=CD，∴EP=FP，即P是EF中点．
（2）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴，
设EF=a，则EG=EF=a，
∵EG∥AD，EF∥BC，∴四边形EGDP是平行四边形，
∴PD=EG=a，∴AP=AD-PD=5-a，∴，解得，即EF=．
（3）如图，过点P作PQ⊥BC于Q，
∵△AEF∽△ABC，∴，即，解得EF=.
∵sin∠ADC==，∴PQ=×PD=（5-x）.
∵EG∥AD，FH∥AD，∴EG∥FH，又∵EF∥BC，
∴四边形EGHF是平行四边形．
∴GH=EF，
∴S四边形EGHF=GH×PQ=EF×PQ=y=×（5-x）=-x2+5x，
其中012．（1）证明见解析（2） （3）当x=2或 时，△BPE为等腰三角形
解析：
（1）根据已知条件先得出∠BPD =∠PBC+∠C，然后求出∠PBC =∠EPD即可得证；
（2）由（1）的结论得出，把CP= x ,，BE=y，BD=BC=4，CD=6代入此式即可求出y与x之间的函数关系式；（3）分当BP=PE，则△BCP≌△PDE，求出x，当BE=PE，证出△BEP∽△CBD求出x；当BP=BE，可推出∠BPE=∠PEB>∠CDB，矛盾.
解：(1)证明:因为AB∥DC，所以∠ABD=∠BDC
因为∠ABD =∠C，所以∠BDC =∠C
因为∠BPD =∠BPE+∠EPD
∠BPD =∠PBC+∠C
又因为∠BPE =∠C
所以∠PBC =∠EPD
所以△BCP∽△PDE
(2) 因为△BCP∽△PDE
所以,
因为CP= x , BE=y，BD=BC=4,CD=6
所以DP= 6 - x , DE= 4 – y
所以,
所以
(3)(ⅰ)若BP=PE，则△BCP≌△PDE，
所以PD=BC=4,所以x=2
(ⅱ)若BE=PE，则∠BPE=∠PBE=∠C=∠CDB，
所以△BEP∽△CBD，PE：PB=BC：CD=2：3
又因为PD：BC=PE：PB
即（6-x）：4=2：3，
所以x=
(ⅲ)若BP=BE，则∠BPE=∠PEB>∠CDB，矛盾.
所以，当x=2或时，△BPE为等腰三角形.
“点睛”此题考查了相似三角形的判定（平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）．此题很简单，解题时要注意细心．
13．（1） （2）y=x-2
解析：
（1）先证ΔAOB∽ΔACH求出C点的坐标，设BC为y=k1x +b将B、C代入即可求出直线BC的表达式；（2）由（1）可知ΔAOB∽ΔACH，求出A、C的坐标代入AC为，即可求出直线CA的表达式.
解：（1）过H作CH⊥x轴，垂足为H，
由题意得，当t=1时，A(1,0),OA=1，B（0，2），OB=2
AC⊥AB，∠BAC=90°，∠BAO+∠CAH=90°
∠BAO+∠OBA=90°∠ABO=∠CAH
在ΔAOB与ΔACH 中，
∠ABO=∠CAH
∠AOB=∠CHA与
ΔAOB∽ΔACH

CH=2,AH=4,
C(-3,-2)
设BC为y=k1x +b,代入B（0，2）,C(-3,-2)
得，解得，

(2)由（1）可知ΔΔAOB∽ΔACH
CH=2t,AH=4,
C(t-4,-2t)
又C在直线：y=-3x-10上，
t=2
C（-2，-4），A（2，0）
设AC为,代入A（2，0）,C(-2,-4)
，解得，
14．（1）（2）
解析：
由∠ACD=∠B，∠BAC=∠BAC，推出△ACD∽△ACB，于是得到=，求得AC=，根据AE平分∠BAC，得到∠BAE=∠CAE，推出△ABE∽△ACF，即可得到结论.
解：（1）∵∠ACD=∠B，∠BAC=∠BAC，
∴△ACD∽△ACB，
∴=，
∴AC2=AB×AD=6，
∴AC=.
(2)AE平分∠BAC,
∠BAE=∠CAF,
而∠ACD=∠B，
ΔABE∽ΔACF,
，
.
15．（1）AB=3EH；CG=2EH；．（2）．（3）ab．
【详解】
试题分析：（1）本问体现“特殊”的情形，=3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；
（2）本问体现“一般”的情形，=m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．
（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示
解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如图1所示．
则有△ABF∽△EHF，
∴==3，
∴AB=3EH．
∵▱ABCD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
又∵E为BC中点，
∴EH为△BCG的中位线，
∴CG=2EH．
∴．
故答案为AB=3EH；CG=2EH；．
（2）如图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴．
∴AB=mEH．
∵AB=CD，
∴CD=mEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴=2，
∴CG=2EH．
∴=．
故答案为．
（3）如图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴=b，
∴CD=bEH．
又，
∴AB=aCD=abEH．
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴=ab．
故答案为ab．
考点：相似形综合题．
16．（1）； （2）见解析.
分析：
（1）根据AD是边BC上的中线可得BD=BC,可得,根据可求出；
（2）利用平行四边形法则，即可求得在方向上的分向量.
【详解】
（1）因为AD是边BC上的中线，所以BD=BC,所以,因为，所以；
（2）如图，过点E作EM∥BC，EN∥AB，就是在方向上的分向量.
【点睛】
本题主要考查平面向量和平行四边形法则，解题的关键是掌握平行四边形法则画出分向量.
17．（1）1 （2）（3）
解析：
试题分析：（1）当点P与点Q重合时，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，
∴t+t=2，解得t=1s，
故填空答案：1．
（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．
∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC，
∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=DP=AP=t．
由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=．
故填空答案：．
（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；
当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，进一步分析可知此时点E与点F重合；
当点P到达B点时，此时t=2．
因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：
①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．
此时AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；
易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，
∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．
S=S梯形PDGQ=（PQ+DG）•PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]•t=t2﹣2t；
②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．
此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2﹣t，
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，
∴AF=4﹣2t，PM=4﹣2t．
又DM=DP﹣PM=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，∴DN=（3t﹣4）．
S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN=AP2﹣AQ•AF﹣DN•DM
=t2﹣（2﹣t）（4﹣2t）﹣×（3t﹣4）×（3t﹣4）
=﹣t2+10t﹣8．
综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：
S=．
考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
点评：本题是运动型综合题，涉及到动点与动线问题．第（1）（2）问均涉及动点问题，列方程即可求出t的值；第（3）问涉及动线问题，是本题难点所在，首先要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的面积S．本题难度较大，需要同学们具备良好的空间想象能力和较强的逻辑推理能力．
18．；
分析：
根据小正方形的边长，分别求出和三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可.
【详解】
如图，
∵，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
故答案为：1
【点睛】
本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.
19．
分析：
根据黄金分割点的定义，可得BP=AB，代入数据即可得出BP的长度．
【详解】
解：∵点P在线段AB上，BP2=AP•AB，
∴点P为线段AB的黄金分割点，
又AB=10cm，
∴BP=10×=（5）cm．
故答案为 5.
【点睛】
此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关键．
20．3a
分析：
通过证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．
【详解】
解：∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ,
∴，
解得，△BCA的面积为4a，
∴△ABD的面积为：4a-a=3a，
故答案为：3a．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
21．
分析：
根据向量的加减法法则计算即可.
【详解】
解：-=.
【点睛】
本题考查了向量的加减法，掌握运算法则是关键.
22．
分析：
根据，得到 ，通过△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到DE：BC=AD：AB=4：7．
【详解】
解：∵S△ADE=4，S△BDE=3
∴
∴
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AD：AB=4：7．
故答案为4：7．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，知道不等底同高的三角形的面积比等于底的比是解题的关键．
23．
分析：
先利用平行四边形的性质求出各边之间的关系，再利用向量混合运算法则一一求出即可.
【详解】
由平行四边形ABCD可知：AD=BC，OC=AC，
因为点F是AB的中点，BC=3BE，
所以BA=2BF，BC=3BE.
(1) ；
(2)
；
(3) ；
(4) ，
.
【点睛】
本题考查向量的混合运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．
24．；
解析：
分析：
延长AG交BC于E，根据重心的概念和性质得到BE=EC， ，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，计算即可．
【详解】
解：延长AG交BC于E，
∵点G是△ABC的重心，
∴BE=EC， ,
∵GD∥BC，
, 又BE=EC，
.
【点睛】
本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
25．3
分析：
根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出，代入求出即可．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴，
设△ABC的边长为x，
∵CD=，CP=BC-BP=x-1，BP=1，
即，
解得：x=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
26．4：9
【详解】
∵两个相似三角形周长的比是2：3，
∴它们的相似比是2：3，
∴它们的面积比为4：9，
故答案为4：9.
27．1：3
【详解】
试题解析：设平行四边形的面积为1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
又∵M是的AB的中点，
则

∴上的高线与上的高线比为
∴
∴
S阴影面积
则阴影部分的面积与▱ABCD的面积比为．
故填空答案：．
28．2
【详解】
连接AG，并延长AG交BC于D；根据重心的性质知：D是BC中点，且AG：AD=2：3；可根据平行线分线段成比例定理得出的线段比例关系式及CD的长求出GH的值．
解：如图，连接AG，并延长AG交BC于D；
∵G是△ABC的重心，
∴AG：GD=2：3，且D是BC的中点；
∵GH∥BC，
∴；
∵CD=BC=3，
∴GH=2．
“点睛”此题考查了平行线分线段成比例定理以及重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
29．20
解析：
因为两个三角形的面积之比9：25，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出周长的比，又因为对应中线的比等于相似比即可求出大三角形的中线．
解：∵两个相似三角形的面积之比是9：25，
∴大三角形的周长：小三角形的周长是3：5，
∵小三角形一边上的中线长是12cm，
∴12÷=20cm，
∴大三角形对应边上的中线长是20cm．
“点睛”本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应中线的比等于相似比．
30．15
解析：
根据平行线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算.
解：∵AD∥EF∥BC，，DF＝6cm，
∴，
，
DC=DF+CF=6+9=15.
31．3
解析：
由题意，AB∥CD，AD与BC相交于点E，易得△ABE∽△DCE，由相似三角形的性质列出比例式，求解即可．
解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE
∴，
∵AB=2，CD=6，AE=1，
∴DE=×1=3．
32．12a
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF．
∴S△DEF：S△CEB=（DE：CE）2，S△DEF：S△ABF=（DE：AB）2，
∵CD=2DE，∴DE：CE=1：3，DE：AB=1：2，
∵S△DEF=a，∴S△CBE=9a，S△ABF=4a，
∴S四边形BCDF=S△CEB﹣S△DEF=8a．∴S▱ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=8a+4a=12a
33．
【详解】
=.
34．2.5．
分析：
平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，CD=5cm，
∴BC=AD=10cm，AD∥BC，∴∠2=∠3．
∵BE=BC，CE=CD，
∴BE=BC=10cm，CE=CD=5cm，∠1=∠2，∠3=∠D．
∴∠1=∠2=∠3=∠D．∴△BCE∽△CDE．∴，即，解得DE=2.5cm．