数学人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质精品课后作业题

这是一份数学人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质精品课后作业题，文件包含人教A版数学高一必修第一册专题32函数的基本性质讲+练13大考点原卷版docx、人教A版数学高一必修第一册专题32函数的基本性质讲+练13大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。


知识点一
函数的单调性
【特别提醒】
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
知识点二
函数单调性的结论
(1)∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
(4)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．
(5)函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反．
(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．
知识点三
函数的最值
1.设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为；
2.设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为
3．函数最值存在的两个结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
知识点四四
函数的奇偶性
1.函数的奇偶性
2.提醒：
(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔.
②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔.
知识点五四
函数奇偶性的重要结论
函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”.
(4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
考点01 利用定义判断（证明）函数的单调性
【典例1】（2022秋·浙江绍兴·高一校考期中）已知定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式;
(2)判断的单调性（并用单调性定义证明）;
【答案】(1)
(2)函数在上单调递增，证明见解析；
(3)
【分析】（1）由题意得，又，求解、，即可得出答案；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，通分、因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
【详解】（1）定义在上的奇函数，则，即，解得，
又，即，解得，
，经检验符合题意；
（2）函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，
则
，
因为，则，，
故，即，
因此函数在上是增函数.
【典例2】（2021秋·高一校考课时练习）求的单调区间．
【答案】函数的单调减区间为，单调增区间为.
【分析】任取，则，分与，两种情况讨论即可得结论.
【详解】任取，
则，
时，
由，则，，
则，
函数在上是减函数，
时，
设，
则，，
则，
即函数在上是增函数，
故函数的单调减区间为，单调增区间为.
【规律方法】
1.判断函数单调性的方法
(1)图象法；(2)性质法；(3)定义法．
2．证明函数单调性的定义法：
3.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；
（2）函数与函数的单调性相反；
（3）时，函数与的单调性相反（）；
时，函数与的单调性相同（）.
考点02 利用图象判断函数的单调性
【典例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．是函数的增区间B．是函数的减区间
C．函数在上是增函数D．函数在上是减函数
【答案】C
【分析】根据函数的图像结合函数单调性的含义，即可判断出答案.
【详解】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；
函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，
并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；
由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，
故函数在上是减函数，D正确，
故选：C
【典例4】【多选题】（2022秋·宁夏银川·高一贺兰县第一中学校考阶段练习）奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，
B．函数在上递减
C．
D．函数在上递增
【答案】ABD
【分析】结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的值域、单调性、函数值，由此确定正确选项.
【详解】解：根据图像可知：时，，在递减，在上递增，
所以根据奇函数性质，当时，，A正确；
当时，在递减，在上递增，故BD正确.
由于在上递增，所以，故C错误.
故选：ABD
考点03 由解析式判断函数的单调性
【典例5】（2023秋·高一课时练习）下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，逐项判断函数在上的单调性作答.
【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是；
对于B，函数在上单调递增，B是；
对于C，函数在上单调递减，C不是；
对于D，函数在上不单调，D不是.
故选：B
【典例6】【多选题】（2023秋·高一课时练习）下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】因得，可化简各函数解析式，转化为基本初等函数的单调性判断.
【详解】在A中，当时，在上为减函数；
在B中，当时，在上是增函数；
在C中，当时，在上是增函数；
在D中，当时，在上为增函数.
故选：BCD.
考点04 抽象函数的单调性
【典例7】（2023·江苏·高一假期作业）定义在上的函数满足：①对任意正数，都有；②当时，．则的单调递减区间为 ．
【答案】
【分析】根据函数单调性的定义可知，先在上任取两值并规定大小，将条件进行转化成，将两值代入，根据条件进行判定符号即可得到函数的单调性．
【详解】设，
，即，
，
，则，
而当时，，从而，
于是在上是减函数，
即的单调递减区间为．
故答案为：．
【典例8】（2023·全国·高一课堂例题）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，．
(1)求证：，且当时，有；
(2)判断在上的单调性；
(3)试举出一个满足条件的函数．
【答案】(1)证明见解析
(2)在上单调递减
(3)（答案不唯一）
【分析】（1）根据抽象函数的性质求出，再赋值，即可得证；
（2）根据函数单调性的定义及抽象函数的性质证明即可；
（3）根据抽象函数性质及指数函数性质即可得解.
【详解】（1）对任意实数，，恒有，
令，，则．
因为当时，，所以．
设，，则，
所以．
即当时，有．
（2）设，则，所以．
由（1）知，，所以
，即，所以在上单调递减．
（3）答案不唯一．如：．因为，
且当当时，．故指数函数满足题意.
【总结提升】
抽象函数单调性证明问题，构造函数法：
1.f(x＋y)型函数，构造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]
2.f(xy)型的函数，构造f(x2)＝f(x1·x2/x1)
考点05 求函数的单调区间
【典例9】（2022秋·高一课时练习）函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求解函数的定义域，然后根据二次函数的性质判断函数的增减区间即可；
【详解】由函数有意义得，解得.
函数图象的对称轴为直线
在上单调递增，在上单调递减，
的单调递减区间是.
故选：C.
【典例10】（2023·全国·高一课堂例题）已知函数在定义域上单调递减，则的定义域是 ，单调递减区间是 ．
【答案】
【分析】由抽象函数的定义域可求出的定义域；再由复合函数的单调性可求出的单调递减区间.
【详解】∵的定义域为，∴，即，解得．
故函数的定义域为．
令，则．
当时，单调递减，则单调递增；
当时，单调递增，则单调递减．
故的单调递减区间为．
故答案为：；.
【典例11】（2023·江苏·高一假期作业）已知函数.
(1)试判断此函数在上的单调性；
(2)根据（1）的判断过程，归纳出解题步骤.
【答案】(1)单调递减
(2)答案见解析
【分析】（1）根据复合函数的单调性判断即可；
（2）根据复合函数的单调性判断的过程书写即可.
【详解】（1）令，则函数在上为增函数，且
又因函数在上为减函数，
所以函数在上单调递减；
解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．
【规律方法】
1.求函数单调区间的常用方法：定义法、图像法、性质法；
2.求复合函数单调区间的一般步骤
(1)求函数的定义域(定义域先行)．
(2)求简单函数的单调区间．
(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．
3.特别提醒：
(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
(2)重视函数的图象与性质(对称中心、单调性、渐近线)．
考点06 根据函数的单调性求参数（范围）
【典例12】（2022秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，由题意可得需满足在区间上单调递减，且，由此列出不等式，求得答案.
【详解】令，则，
由题意可得需满足在区间上单调递减，且，
而的图象开口向下，对称轴为，故且，
即，
故选：C
【典例13】（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由分段函数两段都递增，且在分界处函数值左侧不比右侧大可得参数范围，
【详解】时，设，所以，是增函数，
所以由题意得，解得．
故答案为：．
【规律方法】
利用单调性求参数的范围(或值)的方法
= 1 \* GB3 ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
= 2 \* GB3 ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
考点07 单调性应用--解不等式
【典例14】（2022·江苏·高一）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1）B．（-2，1）C．（0，）D．（0，2）
【答案】A
【分析】根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为在定义域上是减函数，
所以由，
故选：A
【典例15】（2022秋·四川南充·高一校考阶段练习）（1）已知函数满足，求函数的解析式.
（2）已知在定义域上是减函数，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）通过构造方程组的方法求得.
（2）根据函数的定义域和单调性化简不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，，
以替换得，
由消去得.
（2）依题意，解得，
所以的取值范围是.
【总结提升】
求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．
考点08 单调性应用--比较函数值大小
【典例16】（2022·江苏·高一单元测试）若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由一次函数性质得，再由单调性比较函数值大小.
【详解】依题意，即，
由于在上单调递增，
所以.
故选：B
【典例17】（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知定义在上的函数满足，在区间上满足，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先利用函数单调性的定义判断得在上的单调性，再利用赋值法与的单调性逐一判断ABC；举反例排除D即可.
【详解】因为在上满足，
所以在上单调递增，
对于A，因为，
所以，即，故A错误；
对于B，因为，所以，即，
因为在上单调递增，
所以，即，故B正确；
对于C，因为在上单调递增，
所以，即，故C错误；
对于D，令，易得其满足题设条件，
但，故D错误.
故选：B.
【总结提升】
比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
考点09 求函数最值（值域）
【典例18】（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知正实数满足则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值.
【详解】设，则，
因为，
所以，即：，
所以，
解得：，
又因为，为正实数，
所以，
所以的最大值为.
故选：C.
【典例19】（2021秋·江苏盐城·高一校联考期中）已知函数
(1)判断并证明函数在区间上的单调性；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)单调递增，证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用定义法得到函数的单调性；
（2）在（1）的基础上得到，从而求出函数在上的值域.
【详解】（1）在上单调递增，理由如下：
，且，
则
，
因为，且，所以，
故，故，
所以函数在区间上的单调递增；
（2）由（1）知在区间上的单调递增，
所以，其中，
所以的值域为.
【总结提升】
求函数最值的常用方法
1.单调性质法：先确定函数的单调性，利用其在定义域为增（减）函数确定最值（值域）；
2.图像法：弦做出函数的图像，观察其最高的、最低点，求出最值；
3.基本不等式法：通过解析式变形，构造出“定和”或“定积”，使之具备“一正、二定、三相等”的条件；
4.换元法：对于比较复杂的式子，可通过适当换元，转化成熟悉的函数，再利用适当的方法求最值；
5.判别式法：将函数解析式整理成“一元二次方程”，利用其有（无）解，给出判别式满足的条件，求得最值；
6.配方法：涉及“二次函数式”时，常常利用此方法.
考点10 根据函数的最值（值域）求参数（范围）
【典例20】【多选题】（2022秋·江西南昌·高一校考期中）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A．4B．12C．D．
【答案】AD
【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可.
【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，
若，即时在上单调递增，所以，
，
所以，解得；
若，即时在上单调递减，所以，
，
所以，解得（舍去）；
当，即时在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
综上可得或.
故选：AD
考点11 函数奇偶性的判断
【典例21】（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简函数，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断.
【详解】由题意得，，对A，是奇函数；对B，，关于对称，不是奇函数；对C，，定义域为，不关于原点对称，不是奇函数；对D，，定义域为，不关于原点对称，不是奇函数；
故选：A
【典例22】【多选题】（2023秋·高一课时练习）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据奇函数的定义逐个分析判断即可
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，令，
对于A，的定义域为，因为，
所以是奇函数，所以A正确，
对于B，的定义域为，因为，所以为偶函数，所以B错误，
对于C，的定义域为，因为，所以，，
所以为非奇非偶函数，所以C错误，
对于D，的定义域为，因为，所以为奇函数，
故选：AD
【规律方法】
1.判断函数奇偶性的方法
（1）定义法
（2）图像法
（3）性质法：在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
考点12 函数奇偶性的应用
【典例23】（2022秋·浙江台州·高一校联考期中）已知，，则（ ）
A．3B．1C．-1D．-5
【答案】B
【分析】构造，得到为奇函数，求出，进而得到，求出.
【详解】设，定义域为，
则，
故为奇函数，
又，则，
所以.
故选：B
【典例24】（2023秋·高一课时练习）（1）若为偶函数，则实数 ．
（2）已知函数为奇函数，则 ．
【答案】
【分析】（1）由为偶函数，结合，列出方程，即可求解；
（2）由函数为奇函数，得出方程组，即可求解.
【详解】（1）解：因为为偶函数，可得，即，
整理得，所以，解得.
（2）解：由函数为奇函数，可得，
即，解得，
当时，函数，经检验为奇函数，
所以.
【典例25】（2022秋·浙江台州·高一校联考期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为 .
【答案】（或）
【详解】根据题意可知，当时，，则，
又函数是定义在上的偶函数，所以，
因此当时，，所以的解析式为.
故答案为：
【总结提升】
函数奇偶性常见问题：
1.求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值；
2.求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；
3.求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性建立方程(组)，进而得出参数的值；
4.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象；
5.求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零求一些特殊结构的函数值.
考点13 函数奇偶性、单调性的综合应用
【典例26】（2023秋·高一课时练习）设是定义在上的奇函数．
(1)求b的值；
(2)若在上单调递增，且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义与性质运算求解；
（2）根据奇函数的性质可知在上是增函数，进而根据奇函数的定义结合单调性运算求解.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，
当时，，且，
即是定义在上的奇函数，符合题意，
所以.
（2）若在上单调递增，且是奇函数，
可知在上单调递增，且在处连续不断，
所以在上是增函数，
因为，则，
可得，解得，
所以实数m的取值范围是.
【典例27】（2022秋·河南商丘·高一校考阶段练习）定义在上的函数满足对任意，，恒有，且时，有．
(1)证明：为奇函数；
(2)试判断的单调性，并加以证明；
(3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)为上的增函数，证明见解析
(3).
【分析】（1）令结合奇函数的定义证明；
（2）利用单调性的定义证明；
（3）利用函数的单调性解抽象不等式.
【详解】（1）证明：取，得；再取，得 ，
即，∴为上的奇函数；
（2）为上的增函数.证明如下：
证明：任意取，且，
则，
∴，
∵，∴，
由已知得：，∴，即，
∴为上的增函数.
（3）由得，∵为上的增函数，
∴，
即对恒成立，
∵，∴，
∴实数的取值范围为.
1．（2021·湖南·高考真题）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】
函数的对称轴为，开口向上，
所以函数的单调递减区间是，
故选：C.
2.（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】
利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】
因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
3．（2021·江苏高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】
由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果
【详解】
解：因为，所以，
因为奇函数是定义在上的单调函数，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：B
一、单选题
1.（2022秋·江西南昌·高一校考期中）以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】A选项，根据解析式直接得到函数在上单调递减，且为奇函数；BC选项，判断出函数为偶函数，D选项，函数不满足在单调递减.
【详解】A选项，在R上单调递减，且，
故是奇函数，满足要求，A正确；
B选项，定义域为R，且，故为偶函数，B错误；
C选项，定义域为R，且，
故为偶函数，C错误；
D选项，在上单调递增，D错误.
故选：A
2.（2021·江苏·高一单元测试）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的定义域可排除CD；利用函数的奇偶性可排除B；
【详解】根据函数与的图象，可得函数在处无意义，故排除CD；
由图象可知的图象关于y轴对称为偶函数，的图象关于原点对称为奇函数，所以为奇函数，故排除B；
故选：A
3.（2022秋·浙江绍兴·高一校考期中）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由于为偶函数，所以，然后由在上是增函数比较大小即可.
【详解】因为为偶函数，所以，
因为在上是增函数，且，
所以，所以，
故选：D
4.（2023·全国·高一专题练习）已知函数在时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据的正负性，结合一次函数和二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，函数是实数集上的减函数，
所以在时，随的增大而减小，符合题意，
当时，二次函数的对称轴为，
因为在时，随的增大而减小，
所以有，
综上所述：的取值范围是，
故选：D
二、多选题
5．（2023·全国·高一专题练习）函数是定义在上的偶函数，在上的图象如图所示，则函数的增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数图象，结合函数的奇偶性得到的单调增区间即可.
【详解】由图象，可知在上单调递增，在上单调递减.
因为函数是定义在上的偶函数，
所以函数的图象关于轴对称，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的增区间是和.
故选：BC.
三、填空题
6．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）写出一个定义域为R，在单调递增的偶函数 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】举例，再证明其符合题意即可.
【详解】，此函数定义域为，关于原点对称，
当，，易知其单调递增，
，则为偶函数.
故答案为：（答案不唯一）.
7.（2023春·四川泸州·高一四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数奇偶性，可得函数值，整理不等式，结合函数单调性，化简不等式，可得答案.
【详解】由函数为奇函数，则，
由不等式，则，可得，
由函数在单调递减，则，解得.
故答案为：.
8.（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由分段函数单调性列不等式组求解.
【详解】当时，
，根据其是由函数向右平移1个单位再向上平移1个单位得到，
则在上单调递减，
由题意得，解得，则的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
9．（2022秋·浙江嘉兴·高一校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
(1)求出当时，的解析式；
(2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调增区间；
(3)结合函数图象，求当时，函数的值域．
【答案】(1)；
(2)图象见解析，单调增区间为；
(3).
【分析】（1）由奇函数的定义求出解析式作答.
（2）由奇函数的图象特征，补全函数的图象，并求出单调增区间作答.
（3）利用（1）（2）的信息，借助单调性求出最值作答.
【详解】（1）依题意，设，有，则，
因为为上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式．
（2）由已知及（1）得函数的图象如下：

观察图象，得函数的单调增区间为：.
（3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，，
当时，有最大值，
所以当时，函数的值域为.
10.（2023秋·高一课时练习）（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；
（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可；
（2）利用奇偶函数的性质列方程组求解解析式即可.
【详解】（1）设，则，
∴，
又∵函数是定义域为R的奇函数，
∴，
∴当时，.
又时，，
所以；
（2）∵是偶函数，是奇函数，，
∴．
则
即，解之得.
11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：是上的增函数；
(2)若，解不等式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明；
（2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式．
【详解】（1）设，且，
则，即，
所以，
所以，所以是上的增函数．
（2）因为，所以．
在上式中取，则有，
因为，所以．
于是不等式等价于．
又由（1）知是上的增函数，
所以，解得或，
所以原不等式的解集为．
12．（2023秋·高一单元测试）已知偶函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，，.
(1)证明：在上是单调递增函数；
(2)解不等式.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）设，则，，根据函数单调性的定义证明即可；
（2）因为是义域为的偶函数，且在上单调递增，于是可得，即有，求解即可.
【详解】（1）证明：设，则，，
所以
即，所以，
所以在上是单调递增函数；
（2）解：因为，
所以，
因为是偶函数，
所以不等式可化为，
又因为函数在上是增函数，
所以，
解得，且，
故不等式的解集为.增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数
单调区间
I是y＝f(x)的增区间
I是y＝f(x)的减区间
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有
并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称