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人教A版普通高中数学一轮复习56课时练习含答案
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这是一份人教A版普通高中数学一轮复习56课时练习含答案,共9页。试卷主要包含了已知椭圆C,已知椭圆E,已知点A在抛物线C等内容,欢迎下载使用。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于异于点B的两点P,Q,直线BP,BQ与x轴相交于M(xM,0),N(xN,0),若1xM+1xN=1,求证:直线l过一定点,并求出定点坐标.
(1)解:椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,则ca=32,
椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4,
则2a=4,
所以a=2,c=3,从而b2=a2-c2=1,
故椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)证明:将y=kx+m代入x24+y2=1,消去y并整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1.
由于B(0,1),则直线BP:y-1=y1-1x1x,
令y=0,得xM=x11-y1,
同理可得xN=x21-y2.
若1xM+1xN=1,则xM+xN=xMxN,
则x1x2=x1+x2-(x1y2+x2y1),
即(2k+1)x1x2=(1-m)(x1+x2),整理得(m-1)(2k+m+1)=0,所以2k+m+1=0或m=1.
当m=1时,直线l:y=kx+1过定点(0,1),
与条件“直线l:y=kx+m与椭圆C交于异于点B的两点P,Q”矛盾;
当2k+m+1=0时,直线l:y=kx+m可化为y=k(x-2)-1,过定点(2,-1).
综上,直线l过一定点,定点坐标为(2,-1).
2.如图,已知抛物线C:y=12x2,直线y=kx+2交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,设抛物线C在点A处的切线为l1,在点B处的切线为l2 ,证明:l1与l2的交点M在一定直线上.
证明:设 Ax1,12 x12,Bx2,12 x22,M(x0,y0),
把y=kx+2代入y=12x2,
得x2-2kx-4=0,Δ=4k2+16>0,
则x1+x2=2k,x1x2=-4.
因为y=12x2,所以y′=x,
故经过点Ax1,12 x12的切线l1的方程为y-12x12=x1(x-x1),
即y=x1x-12x12①,
同理,经过点Bx2,12 x22的切线l2的方程为y=x2x-12x22②.
由①②消去x,可得y=12x1x2=-2,
即y0=-2.
所以点M在定直线y=-2上.
3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-1,0),其左顶点为A,上顶点为B,且F1到直线AB的距离为77|OB|(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程.
(2)若椭圆E:x2a2+y2b2=λ(λ>0且λ≠1),则称椭圆E为椭圆C的λ倍相似椭圆.已知椭圆E是椭圆C的3倍相似椭圆,直线l:y=kx+m与椭圆C,E交于四点(依次为M,N,P,Q,如图),且MQ+PQ=2NQ,证明:点T(k,m)在定曲线上.
解:(1)由题可知A(-a,0),B(0,b),且a>1,
所以直线AB的方程为x-a+yb=1,即bx-ay+ab=0,
所以F1(-1,0)到直线AB的距离为
d=ab-ba2+b2=77b,
所以a2+b2=7(a-1)2.
又b2=a2-1,解得a=2或a=45(舍去),b=3,
所以椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)椭圆C的3倍相似椭圆E的方程为x212+y29=1,
设N,P,M,Q各点坐标依次为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),
将y=kx+m代入椭圆C的方程,
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
所以Δ1=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2+3-m2)>0(*),
x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,
所以|x1-x2|=x1+x22-4x1x2=434k2+3-m23+4k2.
将y=kx+m代入椭圆E的方程,
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-36=0,
Δ2=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-36)>0,
所以x3+x4=-8km3+4k2,x3x4=4m2-363+4k2,|x3-x4|=x3+x42-4x3x4=4312k2+9-m23+4k2,
所以x1+x2=x3+x4,
所以线段NP与MQ的中点相同,所以|MN|=|PQ|.
由MQ+PQ=2NQ,得NM=PN,所以|MQ|=3|PN|,
所以|x3-x4|=3|x1-x2|,
所以4312k2+9-m23+4k2=3×434k2+3-m23+4k2,
化简得12k2+9=4m2,满足(*)式,
所以4m29-4k23=1,
即点(k,m)在定曲线4y29-4x23=1上.
4.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),过点P(-1,-1)且与x轴平行的直线与椭圆E恰有一个公共点,过点P且与y轴平行的直线被椭圆E截得的线段长为3.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设过点P的动直线与椭圆E交于M,N两点,T为y轴上的一点,设直线MT和NT的斜率分别为k1和k2,若1k1+1k2为定值,求点T的坐标.
解:(1)由题意可得b=1,由1a2+y2=1,
可得|y|=1-1a2.
由题意可知21-1a2=3,
可得a2=4,
所以椭圆E的标准方程为x24+y2=1.
(2)设T(0,t),显然直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=m(y+1)-1=my+m-1,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立x=my+m-1,x2+4y2=4, 整理可得
(4+m2)y2+2m(m-1)y+(m-1)2-4=0,
Δ=4m2(m-1)2-4(4+m2)[(m-1)2-4]>0,
y1+y2=-2mm-14+m2,y1y2=m-12-44+m2=m2-2m-34+m2.
由题意可得1k1+1k2=x1y1-t+x2y2-t
=my1+m-1y2-t+my2+m-1y1-ty1-ty2-t
=2my1y2+-mt+m-1y1+y2-2tm-1y1y2-ty1+y2+t2
=2mm2-2m-3--mt+m-1·2mm-1-2tm-14+m2m2-2m-3+2tmm-1+t24+m2
=-8mt+1+8tt+12m2-2t+1m+4t2-3,
因为其值为定值,所以当t=-1时,定值为-8,
所以T(0,-1).
5.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),过F1且斜率为24的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2.
(1)求椭圆E的方程.
(2)如图,椭圆E的下顶点为A,过点B(0,2)作一条与y轴不重合的直线,该直线交椭圆E于C,D两点.直线AD,AC分别交x轴于点H,G.求证:△ABG与△AOH的面积之积为定值,并求出该定值.
(1)解:过F1且斜率为24的直线的方程为y=24(x+1),
令x=1,得y=22.
由题意可得a2-b2=1,1a2+12b2=1,解得a2=2,b2=1.
所以椭圆E的方程为x22+y2=1.
(2)证明:由题意知,直线BC的斜率存在,设直线BC:y=kx+2,D(x1,y1),C(x2,y2),
联立y=kx+2,x22+y2=1,得(1+2k2)x2+8kx+6=0,由Δ=16k2-24>0,得k2>32,
所以x1+x2=-8k1+2k2,x1x2=61+2k2,
所以y1+y2=k(x1+x2)+4=41+2k2,
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=4-2k21+2k2.
直线AD的方程为y=1+y1x1x-1,
令y=0,解得x=x11+y1,
则Hx11+y1,0,同理可得Gx21+y2,0,
所以S△AOH·S△ABG=12×1×x11+y1×12×3×x21+y2=34x1x21+y11+y2
=34x1x21+y1+y2+y1y2
=3461+2k21+41+2k2+4-2k21+2k2
=3461+2k2+4+4-2k2=34×69=12.
6.(2024·张掖模拟)已知点A(x0,-2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,且A到C的焦点F的距离与到x轴的距离之差为12.
(1)求抛物线C的方程.
(2)当p<2时,M,N是C上不同于点A的两个动点,且直线AM,AN的斜率之积为-2,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点E,使得|DE|为定值.
(1)解:抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,准线为x=-p2,
又点A(x0,-2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,即(-2)2=2px0,所以x0=2p,即A2p,-2.
依题意可得2p+p2-2=12,解得p=1或p=4,
所以y2=2x或y2=8x.
(2)证明:因为p<2,所以y2=2x,A(2,-2).
由题可知直线MN的斜率不为0,设直线MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立y2=2x, x=my+n,
消去x,整理得y2-2my-2n=0,
Δ=4m2+8n>0①,
且y1+y2=2m,y1y2=-2n,
所以kAM·kAN=2y1-2·2y2-2=-2,
所以(y1-2)(y2-2)=-2,
即y1y2-2(y1+y2)+6=0,
所以n+2m=3满足①.
将n=3-2m代入x=my+n,得x-3=m(y-2),
令x-3=0,y-2=0,解得x=3,y=2,
所以直线MN恒过定点Q(3,2).
又因为AD⊥MN,所以点D在以AQ为直径的圆上.
因为A,Q的中点为52,0,
|AQ|=3-22+2+22=17,
所以以AQ为直径的圆的方程为x-522+y2=174,所以存在E52,0,使得DE为定值172.
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