人教A版普通高中数学一轮复习55课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习55课时练习含答案，共7页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知F是椭圆C等内容，欢迎下载使用。
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知B(0，3)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．
解：(1)因为a＝1，ca＝2，
所以c＝2，b2＝3，
所以双曲线C的标准方程为x2－y23＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
线段MN的中点Q(x0，y0)，
联立y=kx+m，x2−y23=1，
得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依题意3−k2≠0， Δ=−2km2−43−k2−m2−3＞0，
即3−k2≠0， 3+m2−k2＞0，①
由根与系数的关系可得
x1＋x2＝2km3−k2，x1x2＝－m2+33−k2，
则x0＝x1+x22＝km3−k2，y0＝kx0＋m＝3m3−k2．
因为|BM|＝|BN|，所以BQ⊥MN，
所以kBQ＝y0−3x0＝3m3−k2−3km3−k2＝－1k，
所以3－k2＝433m②，
k2＝3－433m＞0③.
由①②③得m＜－433或0＜m＜334．
2．(2024·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为12p2(O为坐标原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．
解：(1)由题意可得m2=8p， 12 ×p2·m=12p2，
解得p＝2.
故抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1，0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
易知x1＝ty1＋1＞0，x2＝ty2＋1＞0，
联立x=ty+1，y2=4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0，
则Δ＝16t2＋16＞0，
所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
由AC垂直于l，得直线AC的方程为
y－y1＝－t(x－x1)，
联立y−y1=−tx−x1，y2=4x，
消去x，得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0，
则Δ＝16＋4t(4tx1＋4y1)＞0，
所以y1＋y3＝－4t，y1y3＝−4tx1−4y1t．
所以|AC|＝1+1t2|y1－y3|
＝1+1t2y1+y32−4y1y3
＝1+1t216+16t2x1+16ty1t2
＝1+1t216+4t2y12+16ty1t2
＝2t2+1t2·|ty1＋2|
＝2t2+1t2·(ty1＋2)．
同理可得|BD|＝2t2+1t2·(ty2＋2)，
所以|AC|＋|BD|＝2t2+1t2·[t(y1＋y2)＋4]
＝8t2+1t2(t2＋1)＝8t2+13t4.
令f(x)＝x+13x2，x＞0，则f′(x)＝x+12x−2x3，x＞0，
所以当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即当t＝±2时，|AC|＋|BD|取得最小值为123.
3．(2024·淄博模拟)已知F(3，0)是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点，点M3，12在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－12(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)由题意知，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为(－3，0)，右焦点为(3，0)，
根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为3+32+12 −02＋12＝4，
即2a＝4，所以a＝2.
又因为c＝3，可得b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．
故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立y=kx+m，x24+y2=1，
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝−8km4k2+1，x1x2＝4m2−14k2+1，
所以kOA＋kOB＝y1x1＋y2x2＝kx1+mx2+kx2+mx1x1x2＝2k＋mx1+x2x1x2＝2k＋−8km24m2−1＝−2km2−1．
由kOA＋kOB＝－12，可得m2＝4k＋1≥0，
所以k≥－14．
又由Δ＞0，可得16(4k2－m2＋1)＞0，
所以4k2－4k＞0，解得k＜0或k＞1.
综上所述，直线l的斜率的取值范围是−14，0∪(1，＋∞)．
4．如图所示，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过点M(1，0)的直线交抛物线C于A，B两点，且3OF＝FM.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD·EF＝0，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程．
解：(1)依题意Fp2，0，3OF＝FM，
可得3|OF|＝|FM|，即3×p2＝1－p2，可得p＝12，
所以抛物线C的方程为y2＝x.
(2)抛物线y2＝x的焦点F14，0，准线方程为x＝－14，
设D(x0，y0)，B(t2，t)，则E−14，t，
若直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝k(x－1)，
联立y=kx−1，y2=x， 可得k2x2－(2k2＋1)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2＋1)2－4k4＞0，
则xAxB＝1，可得A1t2，−1t．
若直线AB的斜率不存在，即直线AB：x＝1，也符合上述坐标．
因为kEF＝－2t，AD⊥EF，
所以kAD＝12t，故直线AD：y＋1t＝12tx−1t2，即x－2ty－2－1t2＝0.
由y2=x，x−2ty−2−1t2=0，得y2－2ty－2－1t2＝0，
Δ＝4t2＋42+1t2＞0，
所以yA＋y0＝2t，yAy0＝－2－1t2．
所以|AD|＝1+4t2|yA－y0|＝1+4t2·yA+y02−4yAy0＝21+4t2t2+1t2+2.
点B到直线AD的距离为
d＝t2−2t2−2−1t21+4t2＝t2+1t2+21+4t2．
所以S△ABD＝12|AD|·d＝t2+1t2+23
≥2+23＝8，
当且仅当t2＝1t2，即t＝±1时，等号成立，
当t＝1时，直线AD的方程为x－2y－3＝0；
当t＝－1时，直线AD的方程为x＋2y－3＝0.