人教A版普通高中数学一轮复习51课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习51课时练习含答案，共10页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知双曲线C1等内容，欢迎下载使用。
1．“k＜9”是“方程x225-k＋y2k-9＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 解析：若方程x225-k＋y2k-9＝1表示双曲线，
则(25－k)(k－9)＜0，所以k＜9或k＞25，
所以“k＜9”是“方程x225-k＋y2k-9＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
2．双曲线x22－y24＝λ(λ＞0)的离心率为( )
A．62B．3
C．3或62D．2
B 解析：因为λ＞0，所以x22λ－y24λ＝1，所以双曲线的焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以离心率为e＝ca＝c2a2＝6λ2λ＝3.
3．已知双曲线C：x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( )
A．1B．13
C．17D．1或13
B 解析：由题意知双曲线x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得4a＝43，解得a＝3，所以c＝a2+b2＝5.又F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝6.又|PF1|＝7，解得|PF2|＝13或1.当|PF2|＝1时，|PF2|＜c－a＝2不满足要求，舍去，所以|PF2|＝13.
4．(2024·朝阳模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若∠AFO＝2∠AOF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )
A．52B．233
C．2D．233或2
B 解析：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，
所以∠AOF＝30°，则tan 30°＝ba＝33，所以e＝ca＝1+ba2＝1+332＝233．
5．(多选题)(2024·聊城模拟)已知双曲线C：x29-k＋y2k-1＝1(0＜k＜1)，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的焦点在x轴上
B．双曲线C的焦距等于42
C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于1-k
D．双曲线C的离心率的取值范围为1，103
ACD 解析：对于A，因为0＜k＜1，所以9－k＞0，k－1＜0，
所以双曲线C：x29-k－y21-k＝1(0＜k＜1)表示焦点在x轴上的双曲线，故选项A正确；
对于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝10-2k，所以双曲线C的焦距等于2c＝210-2k(0＜k＜1)，故选项B错误；
对于C，设焦点在x轴上的双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，焦点坐标为(±c，0)，则渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝bca2+b2＝b，所以双曲线C：x29-k－y21-k＝1(0＜k＜1)的焦点到其渐近线的距离等于1-k，故选项C正确；
对于D，双曲线C的离心率e＝1+b2a2＝1+1-k9-k＝2-89-k，因为0＜k＜1，所以1＜2－89-k＜109，所以e＝2-89-k∈1，103，故选项D正确．
6．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为 ．
y＝±3x 解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
所以e＝c2a2＝a2+b2a2＝1+b2a2＝2，
所以b2a2＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x.
7．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－23F2B，则C的离心率为 ．
355 解析：(方法一)如图，设F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，n)，A(x，y)，则F2A＝(x－c，y)，F2B＝(－c，n)．
又F2A＝－23F2B，则x-c=23c，y=-23n，
可得A53c，-23n．
又F1A⊥F1B，且F1A＝83c，-23n，F1B＝(c，n)，则F1A·F1B＝83c2－23n2＝0，化简得n2＝4c2.
又点A在C上，则259c2a2－49n2b2＝1，整理可得25c29a2－4n29b2＝1，
将n2＝4c2代入，可得25c2a2－16c2b2＝9，即25e2－16e2e2-1＝9，
解得e2＝95或e2＝15(舍去)，故e＝355．
(方法二)由F2A＝－23F2B，得F2ATX→F2BTX→＝23．
设|F2A|＝2t，|F2B|＝3t，由对称性可得|F1B|＝3t，则|AF1|＝2t＋2a，|AB|＝5t.
设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝3t5t＝35，所以cs θ＝45＝2t+2a5t，解得t＝a，
所以|AF1|＝2t＋2a＝4a，|AF2|＝2a.
在△AF1F2 中，由余弦定理可得cs θ＝16a2+4a2-4c216a2＝45，即5c2＝9a2，则e＝355．
8．已知双曲线C：x2－y2b2＝1(b＞0)．
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值．
解：(1)因为双曲线C：x2－y2b2＝1(b＞0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝2x，
所以b＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－y24＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|.
因为△PF1F2的面积为9，所以|PF1|·|PF2|＝18.
又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝40.
又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10.
由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3.
9．已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A．1，233B．233，+∞
C．(1，2)D．(2，＋∞)
A 解析：由双曲线C1的方程可得其渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0.
圆C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝14a2，
故圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝12a.
由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得aba2+b2＜12a，即c＞2b，即c2＞4b2.
又b2＝c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)，即c2＜43a2，
所以e＝ca＜233．
又e＞1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为1，233．
10．(多选题)(新背景)2022年卡塔尔世界杯的会徽(如图)正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线C.已知P(x0，y0)是双纽线C上的一点，下列说法正确的是( )
A．双纽线C关于原点O成中心对称
B．－a2≤y0≤a2
C．双纽线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个
D．|OP|的最大值为2a
ABD 解析：对于A，因为定义：在平面直角坐标系中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线C，
设M(x，y)是双纽线C上任意一点，所以x+a2+y2×x-a2+y2＝a2，
用M′(－x，－y)替换方程中的M(x，y)，原方程不变，所以双纽线C关于原点O成中心对称，所以A正确；
对于B，根据三角形的等面积法可知12×|PF1|×|PF2|sin ∠F1PF2＝12×2a×|y0|，
即|y0|＝a2sin ∠F1PF2≤a2，所以－a2≤y0≤a2，所以B正确；
对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x0＝0，
所以a2+y02×a2+y02＝a2，得y0＝0，所以这样的点P只有一个，所以C错误；
对于D，因为PO＝12(PF1＋PF2)，
所以|PO|2＝14(|PF1|2＋2|PF1||PF2|·cs ∠F1PF2＋|PF2|2)．
由余弦定理得4a2＝|PF1|2－2|PF1||PF2|·cs ∠F1PF2＋|PF2|2，
所以|PO|2＝a2＋|PF1|·|PF2|cs ∠F1PF2＝a2＋a2cs ∠F1PF2≤2a2，
所以|PO|的最大值为2a，所以D正确．
11．(2024·内江模拟)已知双曲线x2－y2a2＝1，若过点(2，2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e的取值范围为( )
A．213，+∞B．1，213
C．(1，2)D．以上选项均不正确
D 解析：设切线方程为y－2＝k(x－2)，
由y-2=kx-2，x2-y2a2=1，
得(a2－k2)x2＋4k(k－1)x－4(k－1)2－a2＝0，显然当a2－k2＝0时，所得直线不是双曲线的切线，所以k≠±a.
由Δ＝0，得16k2(k－1)2＋4(a2－k2)[4(k－1)2＋a2]＝0，
整理得3k2－8k＋4＋a2＝0.
由题意可知此方程有两个不等实根，所以Δ1＝64－12(4＋a2)＞0，a2 ＜43，
则c2＝1＋a2＜73(c为双曲线的半焦距)，e＝c1＝c＜213，即1＜e＜213．
将k＝±a代入方程3k2－8k＋4＋a2＝0，得a＝±1，此时e＝2.
综上，e的取值范围是(1，2)∪2，213．故选D.
12．已知焦点在x轴上的双曲线x28-m＋y24-m＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 ．
(0，2) 解析：对于焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，它的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为bcb2+a2＝b.双曲线x28-m＋y24-m＝1，即x28-m－y2m-4＝1，其焦点在x轴上，则8-m＞0，m-4＞0，解得4＜m＜8，则其焦点到渐近线的距离d＝m-4∈(0，2)．
13．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且过点(－3，26)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
解：(1)由题意可知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，
根据定义有2a＝|-3+22+26-02--3-22+26-02|＝2，
解得a＝1.又c2＝a2＋b2，
所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故所求双曲线C的方程为x2－y23＝1.
(2)因为双曲线C的方程为x2－y23＝1，
所以渐近线方程为y＝±3x.
由y=kx+2，x2-y23=1，
消去y，整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
①当3－k2＝0即k＝±3时，此时直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C相交于一点，符合题意；
②当3－k2≠0即k≠±3时，由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，解得k＝±7，
此时直线l与双曲线C相切于一个公共点，符合题意．
综上所述，符合题意的k的所有取值为±3，±7.
14．如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的2倍，双曲线过点(4，－10)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下，若点M 在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积．
(1)解：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，
双曲线的焦距为2c，实轴长为2a，
则2c＝22a，即c＝2a，
所以b2＝c2－a2＝a2，所以双曲线的方程为x2－y2＝a2，
将(4，－10)代入，得a2＝16－10＝6，
所以双曲线的标准方程为x26－y26＝1.
(2)证明：由(1)知，F1(－23，0)，F2(23，0)，
因为点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3.
又以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，
将M(3，m)代入得9＋3＝12，
所以点M在以F1F2为直径的圆上．
(3)解：由(2)知，点M的坐标为(3，3)或(3，－3)，
因为点M在第一象限，
所以点M的坐标为(3，3)，直线MF2的方程为
y－3＝-323-3(x－3)＝－(2＋3)(x－3)，
即y＝(－2－3)x＋(6＋43)，
代入双曲线方程整理可得
(6－43)y2－43(2－3)y＋6＝0.
因为点M的纵坐标为3，
所以点N的纵坐标为66-43×3＝13-2＝－(3＋2)，
所以△F1MN的面积为
S＝12|F1F2|·(3+3＋2)＝23×(2＋23)＝12＋43.