人教A版普通高中数学一轮复习62课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习62课时练习含答案，共7页。试卷主要包含了1x-2x6展开式中的常数项是等内容，欢迎下载使用。
1．(2024·开封模拟)1x-2x6展开式中的常数项是( )
A．－160B．－20
C．20D．160
A 解析：1x-2x6展开式的通项公式为Tk＋1＝C6kx－(6-k)·(－2x)k＝-2kC6kx2k-6，
令2k－6＝0，解得k＝3，
故1x-2x6展开式中的常数项为-8×C63＝－160.故选A.
2．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是( )
A．45B．84
C．120D．210
C 解析：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，含x2项的系数为C22+C32+C42+…+C92＝C103＝120.故选C.
3．0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940B．0.941
C．0.942D．0.943
B 解析：0.996＝(1－0.01)6＝C60×1-C61×0.01+C62×0.012-C63×0.013+…+C66×0.016＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.
4．(多选题)已知41x+3x2n展开式中的第三项的系数为45，则( )
A．n＝9
B．展开式中所有系数的和为1 024
C．二项式系数最大的项为中间项
D．含x3的项是第7项
BCD 解析：41x+3x2n展开式的第三项为T3＝Cn241xn-2(3x2)2＝Cn2x2-n4·x43＝Cn2x22-3n12，所以第三项的系数为Cn2＝45，所以n＝10，故A错误；
在41x+3x210中，令x＝1，得展开式中所有系数的和为210＝1 024，故B正确；
展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确；
41x+3x210的通项公式为Tk＋1＝C10k·41x10-k(3x2)k＝C10kxk-104·x2k3＝C10kx11k-3012，
令11k-3012＝3，解得k＝6，所以含x3的项是第7项，故D正确．故选BCD.
5．在2x3-1x 6的展开式中，x2的系数是 ．
60 解析：二项式2x3-1x 6展开式的通项公式为Tk＋1＝C6k(2x3)6-k-1xk＝(－1)k26-k·C6kx18-4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为-14×22×C64＝60.
6．(2022·浙江卷)已知多项式(x＋2)·(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝ ，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ ．
8 －2 解析：含x2的项为x·C43·x·(－1)3＋2·C42·x2·(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，故a2＝8；令x＝0，得2＝a0，令x＝1，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.
7．已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为243∶32；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．
问题：已知二项式2x2+1x n， ．
(1)求展开式中的二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的系数最大的项．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
解：(1)选①：令x＝1，得所有项的系数和为3n，又二项式系数和为2n，所以3n∶2n＝243∶32，解得n＝5.
选②：由题意得Cn0+Cn1+Cn2＝16，化简得n2＋n－30＝0，解得n＝5(n＝－6舍)．
由上述可知展开式中的二项式系数最大的项为第三、四项．
因为Tk＋1＝C5k(2x2)5-k1xk＝C5k25-kx10-3k，
所以T3＝C5225-2x10-6＝80x4, T4＝C5325-3x10-9＝40x.
(2)(方法一)由(1)知，2x2+1x 5展开式中的系数依次为C5025，C5124，C5223，C5322，C5421，C5520，其中系数最大的项为T2和T3，T2＝C5125-1x10-3＝80x7，T3＝C5225-2x10-6＝80x4.
(方法二)设展开式中的系数最大的项为Tk＋1，则Tk+1≥Tk+2，Tk+1≥Tk，所以C5k25-k≥C5k+125-k+1，C5k25-k≥C5k-125-k-1，
解得1≤k≤2.
因为k∈N*，所以k＝1或k＝2，所以系数最大的项为T2和T3，T2＝C5125-1x10-3＝80x7，T3＝C5225-2x10-6＝80x4.
8．已知(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024.
(1)求展开式中所有奇次项系数的和；
(2)求展开式中所有偶次项系数的和；
(3)求a12＋a222＋a323＋…＋a2 02422 024的值．
解：(1)当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1①，
当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＋a2 024＝32 024②，
令(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝1-32 0242．
(2)由(1)知，
令(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝32 024+12．
(3)令x＝12，得a0＋a12＋a222＋a323＋…＋a2 02422 024＝0，
令x＝0，得a0＝1，
所以a12＋a222＋a323＋…＋a2 02422 024＝－1.
9．设复数x＝2i1-i(i是虚数单位)，则C2 0241x+C2 0242x2+C2 0243x3+…+C2 0242 024x2 024＝( )
A．0B．－2
C．－1＋iD．－1－i
A 解析：x＝2i1-i＝2i1+i1-i1+i＝－1＋i，由于C2 0241x+C2 0242x2+C2 0243x3+…+C2 0242 024x2 024＝(1＋x)2 024－1＝i2 024－1＝1－1＝0.
10．(数学与文化)在中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(md m)．若a＝C200+C201×3+C202×32+…+C2020×320，a≡b(md 5)，则b的值可以是( )
A．2 004B．2 005
C．2 025D．2 026
D 解析：若a＝C200+C201×3+C202×32+…+C2020×320 ，由二项式定理，得a＝(1＋3)20＝420＝(5－1)20 ，则a＝C200×520-C201×519+…-C2019×5+C2020.因为C200×520-C201×519+…-C2019×5能被5整除，所以a除以5余C2020＝1.又因为a≡b(md 5)，选项中只有2 026除以5余1.故选D.
11．(多选题)关于多项式x+1x-24的展开式，下列结论中正确的有( )
A．各项系数之和为0
B．各项系数的绝对值之和为256
C．存在常数项
D．含x的项的系数为－40
ABC 解析：对于A，将x＝1代入多项式，可得各项系数和为(1＋1－2)4＝0，故A正确．对于B，取多项式x+1x+24，将x＝1代入多项式可得(1＋1＋2)4＝256，所以原多项式各项系数的绝对值之和为256，故B正确．对于C，多项式可化为x+1x-24，则展开式的通项公式为Tk＋1＝C4kx+1x4-k(－2)k.当4－k＝0，2，4，即k＝4，2，0时，x+1x4-k有常数项，即x+1x-24有常数项，且当k＝0时，常数项为C40C42＝6；当k＝2时，常数项为C42×2×(－2)2＝48；当k＝4时，常数项为(－2)4＝16，故原多项式的展开式的常数项为6＋48＋16＝70，故C正确．对于D，当k＝1时，展开式中含x的项为C41C31x×(－2)1＝－24x；当k＝3时，含x的项为C43x×(－2)3＝－32x，故原多项式的展开式中含x的项的系数为－56，故D错误．故选ABC.
12．若(x2－a)x+1x10的展开式中x6的系数为30，则a＝ ，展开式中的常数项为 ．
2 －294 解析：x+1x10的展开式的通项公式为Tk＋1＝C10kx10-k1xk＝C10kx10-2k，令10－2k＝4，解得k＝3，所以x4的系数为C103；令10－2k＝6，解得k＝2，所以x6的系数为C102，所以(x2－a)x+1x10的展开式中x6的系数为C103-aC102＝30，解得a＝2.
展开式中的常数项为x2·C106x-2-2C105x0＝－294.
13．(2024·泰安模拟)若(3x－4)5＝a0＋a1(x－1)＋…＋a5(x－1)5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝ ．
240 解析：已知(3x－4)5＝a0＋a1(x－1)＋…＋a5(x－1)5，对式子两边同时求导，
得15(3x－4)4＝a1＋2a2(x－1)＋3a3(x－1)2＋…＋5a5(x－1)4，
令x＝2，得15×(3×2－4)4＝a1＋2a2＋…＋5a5＝240.
14．已知(1＋2x)n展开式的二项式系数和为128，且(1＋2x)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n.
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．
解：(1)由(1＋2x)n展开式的二项式系数和为128，
可得2n＝128＝27，即n＝7.
由(1＋2x)7＝[2(x＋1)－1]7＝C702x+17+C712x+16-11+…+C762x+1-16+C77(－1)7，
得a2＝C75(－1)522＝－84.
(2)令x＋1＝0，即x＝－1，得a0＝－1，
令x＋1＝1，即x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1，
所以a1＋a2＋…＋a7＝2.
15．已知12+2xn.
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解：(1)由Cn4+Cn6＝2Cn5，
整理得n2－21n＋98＝0，所以n＝7或n＝14.
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
所以T4的系数为C73·124·23＝352，
T5的系数为C74·123·24＝70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，
所以T8的系数为C147·127·27＝3 432.
(2)由Cn0+Cn1+Cn2＝79，整理得n2＋n－156＝0，解得n＝12或n＝－13(舍去)．
设第k＋1项的系数最大，
因为12+2x12＝1212(1＋4x)12，
所以C12k4k≥C12k-14k-1，C12k4k≥C12k+14k+1，解得9.4≤k≤10.4.
又k∈N*，所以k＝10.
所以展开式中系数最大的项为第11项，T11＝C1210·122·210·x10＝16 896x10.