人教A版普通高中数学一轮复习18课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习18课时练习含答案，共4页。试卷主要包含了已知x∈，求证，已知函数f＝x2＋ln x.等内容，欢迎下载使用。
1．已知x∈(0，1)，求证：x2－1x＜lnxex．
证明：要证x2－1x＜lnxex，只需证exx2-1x ＜ln x，
又易证ex＞x＋1(0＜x＜1)，所以只需证明ln x＋(x＋1)1x-x2＞0，
即证ln x＋1－x3＋1x－x2＞0.
又当0＜x＜1时，x3＜x，x2＜x，
所以只需证ln x＋1－2x＋1x＞0.
令g(x)＝ln x＋1－2x＋1x(0＜x＜1)，
则g′(x)＝1x－2－1x2＝－2x2-x+1x2，而2x2－x＋1＞0恒成立，
所以g′(x)＜0恒成立，所以g(x)在(0，1)上单调递减，
所以当x∈(0，1)时，g(x)＞g(1)＝0，
即ln x＋1－2x＋1x＞0.
故x2－1x＜lnxex得证．
2．(2024·合肥模拟)已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
解：因为f(x)＝x2＋ln x，函数的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝2x＋1x(x＞0)，所以f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)证明：f(x)＜ex＋x2－2.
证明：要证f(x)＜ex＋x2－2，即证ex＞ln x＋2.
先证明ex＞x＋1.令g(x)＝ex－x－1，x＞0，则g′(x)＝ex－1＞0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g(x)＞g(0)＝0，即ex＞x＋1.
接下来证明ln x≤x－1.令h(x)＝x－ln x－1，x＞0，则h′(x)＝1－1x＝x-1x．
由h′(x)＜0，得0＜x＜1，由h′(x)＞0，得x＞1，
所以函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝0，即ln x≤x－1.
故ex＞x＋1＝(x－1)＋2≥ln x＋2，即ex＞ln x＋2，原不等式得证．
3．已知函数f(x)＝ax＋x ln x，a∈R.
(1)判断f(x)的单调性；
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋a＋ln x，令f′(x)＝0，得x＝e－a-1.
当0＜x＜e－a-1时，f′(x)＜0；当x＞e－a-1，f′(x)＞0，
故f(x)在(0，e－a-1)上单调递减，在(e－a-1，＋∞)上单调递增．
(2)若a＝1，0＜x≤1，求证：ex＋1－f(x)≤e，其中e是自然对数的底数．
证明：令g(x)＝ex＋1－f(x)＝ex－x－x ln x＋1，则g′(x)＝ex－ln x－2.
令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝ex－1x，显然h′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又h′(1)＝e－1＞0，h′12＝e－2＜0，故存在唯一的x0∈12，1，使得h′(x0)＝0.
从而g′(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以g′(x)≥g′(x0)．
又因为h′(x0)＝ex0－1x0＝0，所以ex0＝1x0，两边取自然对数得x0＝－ln x0，故g′(x0)＝ex0－ln x0－2＝1x0＋x0－2＞0，
所以g′(x)≥g′(x0)＞0，
故g(x)在(0，1]上单调递增，所以g(x)≤g(1)＝e，故原不等式得证．
4．已知函数f(x)＝aex-1－ln x－1.
(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
解：当a＝1时，f(x)＝ex-1－ln x－1，f′(x)＝ex-1－1x(x＞0)，k＝f′(1)＝0，
又f(1)＝0，即切点为(1，0)，
所以切线方程为y－0＝0(x－1)，即y＝0.
(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.
证明：因为a≥1，所以aex-1≥ex-1，所以f(x)≥ex-1－ln x－1.
(方法一)令φ(x)＝ex-1－ln x－1，所以φ′(x)＝ex-1－1x(x＞0)．
令h(x)＝ex-1－1x，所以h′(x)＝ex-1＋1x2＞0，
所以φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又φ′(1)＝0，
所以当x∈(0，1)时，φ′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＞0，
所以φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)min＝φ(1)＝0，所以φ(x)≥0，所以f(x)≥φ(x)≥0.故f(x)≥0得证．
(方法二)令g(x)＝ex－x－1，所以g′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，g′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(0)＝0，
故ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．
同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”．
由ex≥x＋1，得ex-1≥x(当且仅当x＝1时取“＝”)，由x－1≥ln x，得x≥ln x＋1(当且仅当x＝1时取“＝”)，
所以ex-1≥x≥ln x＋1，
即ex-1≥ln x＋1，即ex-1－ln x－1≥0(当且仅当x＝1时取“＝”)．故f(x)≥0得证．