人教A版普通高中数学一轮复习15课时练习含答案

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1．已知曲线y＝f(x)＝2x cs x在x＝0处的切线为l，则l的斜率为( )
A．ln 2B．－ln 2
C．1D．－1
A 解析：对f(x)＝2x cs x求导，得f′(x)＝(ln 2)×2x cs x－2x sin x，由题意可知曲线y＝f(x)＝2x cs x在x＝0处的切线l的斜率为kl＝f′(0)＝(ln 2)×20·cs 0－20·sin 0＝ln 2.
2．(2024·邢台模拟)在一次跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)＝－4t2＋4t＋11.该运动员在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A．－4B．4
C．11D．－11
A 解析：由h(t)＝－4t2＋4t＋11，得h′(t)＝－8t＋4，故h′(1)＝－4，即该运动员在t＝1 s时的瞬时速度为－4 m/s.
3．函数y＝f(x)的图象与其在点P处的切线如图所示，则f(1)－f′(1)等于( )
A．－2B．0
C．2D．4
D 解析：由题图可知切线经过点(2，0)，(0，4)，可得切线的斜率为k＝4-00-2＝－2，即f′(1)＝－2，则切线方程为y＝－2x＋4.令x＝1，可得y＝2，即f(1)＝2，所以f(1)－f′(1)＝2＋2＝4.
4．(2024·揭阳模拟)已知曲线y＝f(x)＝x3＋2ax2＋x＋b在点(1，0)处的切线的倾斜角为3π 4，则a＋b＝( )
A．－34B．－54
C．－2D．－114
A 解析： f′(x)＝3x2＋4ax＋1，由题意可知曲线在点(1，0)处的切线斜率k＝tan 3π 4＝－1，则f1=2+2a+b=0， f'1=3+4a+1=-1，解得a＝－54，b＝12，所以a＋b＝－34．
5．已知函数f(x)＝3x+1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0B．3x－4y＋5＝0
C．x＋4y＋7＝0D．x－4y＋7＝0
B 解析：由已知可得，f(x)＝3x+1＝(3x＋1)12，所以f′(x)＝12(3x＋1)－12×3＝32(3x＋1)－12．根据导数的几何意义可知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝f′(1)＝32×(3×1＋1)－12＝34．又f(1)＝3+1＝2，代入点斜式方程可得y－2＝34(x－1)，整理可得3x－4y＋5＝0.
6．(多选题)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0＋4)·(x－x0)，那么下列结论正确的是( )
A．f′(1)＝－5
B．在x＝2处的切线平行或重合于x轴
C．切线斜率的最小值为1
D．f′(4)＝12
AB 解析：由题意可得f′(x)＝(x－2)(x＋4)．对于A，f′(1)＝－5，A正确；对于B，当x＝2时，f′(2)＝0，故在x＝2处的切线平行或重合于x轴，B正确；对于C，f′(x)＝(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，最小值为－9，故C错误；对于D，f′(4)＝(4－2)(4＋4)＝16，D错误．
7．(多选题)已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是( )
A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1
B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1
C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条
D．过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条
AC 解析： 因为函数f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex.对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f′(x)＝ex＝－1，此方程无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误；对于C，设切点为(x0 ，ex0) )，则切线方程为y-ex0＝ex0(x－x0)，因为直线经过(0，1)，所以有1-ex0＝ex0(0－x0)，解得x0＝0，所以(0，1)即为切点，过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有一条，故C正确；对于D，设切点为(x0 ，ex0 )，则切线方程为y-ex0＝ex0(x－x0)，因为点(0，0)在切线上，所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1，所以过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故D错误．
8．已知函数f(x)＝1ax-1＋ex cs x，若f′(0)＝－1，则a＝ ．
2 解析：因为f′(x)＝-aax-12＋ex cs x－ex sin x，所以f′(0)＝－a＋1＝－1，得a＝2.
9．一个小球作简谐振动，其运动方程为s＝2sin π 6t+π3，其中s(单位：cm)是小球相对于平衡点的位移，t(单位：s)为运动时间，则小球在t＝1时的瞬时速度为 cm/s.
0 解析：由s＝2sin π 6t+π 3，得s′＝π 3·cs π 6t+π 3，所以小球在t＝1时的瞬时速度为π 3cs π 6+π 3＝0(cm/s)．
10．(2024·许昌模拟)点P是曲线y＝f(x)＝2x2－3ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－4的最短距离为 ．
522 解析：由题可得f′(x)＝4x－3x(x＞0)，令f′(x)＝4x－3x＝1，解得x＝1x=-34舍去．又f(1)＝2，所以与直线y＝x－4平行且与曲线y＝f(x)相切的直线的切点为(1，2)，所以点P到直线y＝x－4的最短距离为1-2-41+1＝522．
11．已知曲线y＝2ax＋ln x在点(1，2a)处的切线与直线y＝12x＋2垂直，则常数a的值是( )
A．－12B．12
C．－32D．32
C 解析：由y＝2ax＋ln x，得y′＝2a＋1x，所以在点(1，2a)处的切线的斜率为k＝2a＋1.又曲线y＝2ax＋ln x在点(1，2a)处的切线与直线y＝12x＋2垂直，所以2a＋1＝－2，解得a＝－32．
12．(多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝x2B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln xD．f(x)＝tan x
AC 解析：若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝1x，令ln x＝1x，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝sinxcsx′＝1cs2x，令tanx＝1cs2x，化简得sinx·cs x＝1，变形可得sin 2x＝2，此方程无解，故D不符合要求．
13．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋2)的切线，则b的值为( )
A．0B．1
C．0或1D．0或－1
B 解析： 设y＝kx＋b是y＝ln x＋2在点(a，ln a＋2)处的切线，则k=1a， lna+2=ka+b.同理设y＝kx＋b是y＝ln (x＋2)在点(c，ln (c＋2))处的切线，则k=1c+2， lnc+2=kc+b.由1a＝k＝1c+2，得c＋2＝a，代入解得k=1，b=1，a=1，c=-1.故选B.
14．(2024·绵阳模拟)若函数f(x)＝x2－ax与g(x)＝ln x＋2x的图象在公共点处有相同的切线，则实数a＝( )
A．－2B．－1
C．eD．－2e
B 解析：设函数f(x)＝x2－ax与函数g(x)＝ln x＋2x的图象公共点的坐标为(x0，y0)，求导得f′(x)＝2x－a，g′(x)＝1x＋2，依题意，得x02-ax0=lnx0+2x0，2x0-a=1x0+2，
于是x02+lnx0-1=0，a=2x0-1x0-2 令函数h(x)＝x2＋ln x－1，显然函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，则当h(x)＝0时，x＝1，因此在x02＋ln x0－1＝0中，x0＝1，此时a＝－1.经检验a＝－1符合题意，所以a＝－1.
15．(开放思维)请写出与曲线y＝f(x)＝x3＋1在点(0，1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为g(x)＝ ．
x2＋1(答案不唯一) 解析：f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，曲线y＝f(x)＝x3＋1在点(0，1)处的切线方程为y＝1，所有在点(0，1)处的切线方程为y＝1的函数都是正确答案．
16．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln (1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 ，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈ ．
y＝x 12 021 解析：函数f(x)＝ln (1＋x)，则f′(x)＝11+x，f′(0)＝1，f(0)＝0，所以切线方程为y＝x，所以ln 2 022－ln 2 021＝ln 1+12 021＝f12 021．根据以直代曲，x＝12 021也非常接近切点x＝0，所以可以将x＝12 021代入切线方程近似代替f12 021，即f12 021≈12 021．
17．(2024·银川模拟)已知过点A(a，0)可作两条不同的直线与曲线C：f(x)＝xex相切，则实数a的取值范围是 ．
(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：由f(x)＝xex，得f′(x)＝(x＋1)ex，设切点坐标为(x_0 ，x_0 e^(x_0 ) )，所以切线的斜率为f′(x0)＝x0+1ex0，切线方程为y-x0ex0＝(x0＋1)·ex0(x－x0)．因为切线过点A(a，0)，所以有0-x0ex0＝x0+1ex0(a－x0)，化简得x02－ax0－a＝0.因为过点A(a，0)可作两条不同的直线与曲线C相切，所以关于x0的方程x02－ax0－a＝0有两个不相等的实数根，所以该方程的判别式Δ＝(－a)2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4，因此实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．