高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征优秀习题

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7.3.1离散型随机变量的均值
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：求离散型随机变量的均值；均值的性质；两点分布的均值；由离散型随机变量求参数
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
知识点：均值（期望）
数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称…… 为的数学期望，简称期望
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。
期望的一个性质：若，则
考点讲解


考点1：求离散型随机变量的均值
例1．离散型随机变量的分布列如表，则实数a＝________；E（）＝________．

－1
0
1
P

a

【答案】     ##     ##
【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质可知，可得，再由数学期望的定义求期望.
【详解】由离散型随机变量的分布列得，解得．
所以
故答案为：；
【方法技巧】
根据离散型随机变量的分布列，即可根据期望的公式进行求解.
【变式训练】
1．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（    ）
A．36元 B．37元 C．38元 D．39元
【答案】B
【详解】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：（元）
故选：B
2．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得到的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到的数学期望，得到不等式后求解即可.
【详解】由题意得，的所有可能取值为1,2,3，
，
所以，
令，
解得或，又因为，所以，
即的取值范围是.
故选：B
3．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次

则该公司一年后估计可获收益的期望是____________（元）．
【答案】4760
【分析】设可获收益为x万元，先求出投资成功与失败的概率和收益，再计算收益的期望即得.
【详解】设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为，
一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝，
所以一年后公司收益的期望为（元）.
故答案为：4760.
4．某棉纺厂为检测生产的棉花质量，从一批棉花中随机抽取了根棉花纤维测量它们的长度棉花纤维的长度是棉花质量的一个重要指标，所测得数据都在区间单位：中，其频率分布直方图如图所示，现从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维数量为，则的均值为______．


【答案】##
【分析】，计算出样本中长度超过的棉花纤维的数量，求出从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维的概率，再根据的可能取值为，，，，求期望即可．
【详解】解：长度超过的棉花纤维共有：根，现从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维的概率为，
从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维数量为，则的可能取值为，，，，
因为,故
故答案为：．
考点2：均值的性质
例2．设随机变量X具有分布列：
X
1
2
3
4
5
P





求这个随机变量的与
【答案】3，27
【分析】根据分布列利用数学期望公式求出，再利用期望的性质求出的值
【详解】，
因为，
，
所以．
【方法技巧】
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。
期望的一个性质：若，则
【变式训练】
1．已知离散型随机变量的期望，则等于（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】直接利用期望的性质即可得解.
【详解】解：因为，
所以.
故选：C.
2．（多选）下列说法中错误的是（    ）
A．离散型随机变量的均值反映了取值的概率的平均值
B．离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平
C．离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平
D．离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值
【答案】ABD
【分析】由均值和方差的定义，均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，即可判断A、C是否正确；方差反映了随机变量取值的集中分散情况，即可判断B、D是否正确；即可得答案．
【详解】离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，故C正确，A错误；
离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，故B、D错误.
故选：ABD．
3．随机变量，满足，且，则___________.
【答案】7
【分析】根据期望的性质即可求解.
【详解】
故答案为:7
4．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量表示该运动员罚球1次的得分，则随机变量的数学期望__________.
【答案】20
【分析】先求得，然后求得.
【详解】，
.
故答案为：
考点3：两点分布的均值
例3．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么________．
【答案】
【详解】，
故答案为：
【点睛】本题考查两点分布的期望和期望的性质，属于基础题.
【方法技巧】
先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.
【变式训练】
1．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ）
A．0 B．1 C．0.3 D．
【答案】D
【分析】直接利用两点分布的性质，即可得出结论,
【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
.
故选：D.
2．设随机变量服从两点分布，若，则（    ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出
【详解】由题意得，
因为，
所以解得，
所以，
故选：D
3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是（    ）
A．0.2 B．0.8
C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，利用期望公式求解.
【详解】因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，
所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8．
故选：B
4．已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求．
【答案】
【分析】根据离散型随机变量的期望公式计算可得；
【详解】解：因为X只能取1，0这两个值，而且，所以．
考点4：由离散型随机变量求参数
例4．袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球个；现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望和方差分别为和，求；
(2)在（1）的条件下，当袋子中球的总数最少时，从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和大于等于6的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列出的分布列，计算期望和方差，列出等量关系计算可得结果；（2）根据（1）的比例关系，得到总量最少时各个颜色的球数，得分之和大于等于6时为红、黄、蓝球各一或2黄1蓝，分别计算概率求和可得结果.
(1)
由已知得的分布列为：

1
2
3





故
，①
，
，②
由①②解得，，
．
(2)
结合（1）知，当袋子中球的总数量少时，红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，
共6个球，从中任取3个，得分之和记为，
则，
，

【方法技巧】
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称…… 为的数学期望，简称期望
【变式训练】
1．已知随机变量的分布列如下：

4

9




且，则的值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据各个变量概率和为1，可得b值，代入期望公式，结合题中条件，即可得答案.
【详解】由题意得，解得
所以，解得.
故选：C
2．设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，若的均值 ，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将，2，3，4代入的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值.
【详解】依题意可的的分布列为：

1
2
3
4






依题意得
，解得，，
故.
故选：A
3．已知随机变量的概率分布列为：

2
3
4
5






已知的数学期望为，则____________.
【答案】##0.75
【分析】根据的数学期望和分布列的概率之和为1列出方程组，求出，进而计算出
【详解】，
又，
解得：，
则
故答案为：
4．已知随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
p




其中，随机变量X的期望为，则当取得最小值时，_________．
【答案】
【分析】根据随机变量的均值计算公式可得，利用导数研究
的单调性，进而即可得出结果.
【详解】由题意得，
，
令，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值，
即当时取得最小值.
故答案为：.．

知识小结

知识归纳
知识点：均值（期望）
数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称…… 为的数学期望，简称期望
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。
期望的一个性质：若，则
巩固提升

一、单选题
1．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是（    ）
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
【答案】B
【分析】根据期望的计算方法，即可求解.
【详解】由题意，出海的期望效益（元）.
故选：B.
2．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
P



则数学期望（    ）A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用已知条件，结合期望公式求解即可．
【详解】解：由题意可知：．
故选：D．
3．已知随机变量的分布列为：








设，则的数学期望的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分布列的性质可求出，再根据期望公式即可求出随机变量的数学期望，最后根据，即可求出随机变量的数学期望.
【详解】根据分布列的性质，得，解得，
所以随机变量的数学期望为．又，
所以随机变量的数学期望为．
故选：C.
4．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为（    ）
A．0 B． C．1 D．－1
【答案】A
【分析】利用随机变量的均值的定义即得.
【详解】因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，
所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0．
故选：A.
5．随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为（    ）
A． B． C．110 D．55
【答案】B
【分析】根据随机变量的概率和为1,列出方程即可求解
【详解】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，
且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，
∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，
∴55a＝1，∴a＝
故选：B.
6．如果随机变量X表示抛掷一个六个面上分别有1，2，3，4，5，6 的均匀正方体后向上面上的数字，那么随机变量X的均值为（　　）
A．2.5 B．8.3 C．3.5 D．4
【答案】C
【分析】由题意可得每个数字向上面的概率均为，结合随机变量均值的公式计算即可.
【详解】因为抛掷均匀的正方体每个数字出现在向上面的概率均为，
所以随机变量X的均值为：
，
故选：C
7．一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（    ）
A．3.8分 B．4分 C．4.2分 D．4.4分
【答案】C
【分析】确定的取值，求出概率，由期望公式计算期望．
【详解】由题意的取值是3，4，5，
，，，
，
故选：C．
8．设的分布列如表所示，又设，则等于（       ）

1
2
3
4





A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列求出，再根据期望的性质计算可得.
【详解】解：依题意可得，
所以．
故选：D．
二、多选题
9．已知X的分布列如下表所示，则下列说法正确的有（    ）
X
0
1
2
P



A． B． C．D．
【答案】ABD
【分析】先求出的值，再求出概率和期望即得解.
【详解】解：由题得，所以，所以选项A正确；
，所以选项B正确；
，所以选项C错误；
由题得，所以选项D正确.
故选：ABD
10．袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（    ）
A．抽取2次后停止取球的概率为 B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为
C．取球次数ξ的期望为2 D．取球3次的概率为
【答案】BD
【分析】根据离散型随机变量的分布列,求出随机变量的所有可能取值以及对应的概率,即可求解.
【详解】设 为取球的次数,则可取1,2,3,故可知
，
，
，
对于A，抽取2次后停止取球的概率为：，故A错误；
对于B，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为：故B正确；
，故C错误；
取球三次的概率为，故D正确.
故选:BD

三、填空题
11．已知随机变量，满足且，则______.
【答案】
【分析】由，结合，即可求解.
【详解】由题意，随机变量，满足，
因为，可得.
故答案为：.
12．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，共有50道党史题，其中35道单选题．10道多选题和5道判断题，其中小王每道单选题答对的概率为0.8，多选题答对的概率为0.7，判断题答对的概率为0.9，则他随机抽取一道题，答对的概率为______．
【答案】0.79
【分析】类似数学期望（均值）的求法，求得小王答对的概率.
【详解】依题意可知，小王答对的概率为.
故答案为：.
13．某地有，，，四人先后感染了某种病毒，其中只有到过疫区，肯定是受感染的，对于，因为难以判断他是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是，同样也假设受，和感染的概率都是．在这种假定之下，，，中直接受感染的人数就是一个随机变量，则的均值为______．
【答案】
【分析】由题意可得随机变量的可能取值为1，2，3，然后根据相互独立事件的概率求出各自对应的概率即可求出数学期望
【详解】解：因为肯定是受感染的，所以主要考虑，的感染情况，
所以随机变量的可能取值为1，2，3，则
，
，
，
所以，
故答案为：
14．从一批含有6件正品和4件次品的10件产品中随机抽取2件产品进行检测，记随机变量X为抽检结果中含有的次品件数，则随机变量X的期望________．
【答案】##
【分析】根据题意，确定随机变量X的可能取值，再求出每个变量对应的概率即可求解.
【详解】由题意可知：X的可能取值为，
，， ，
所以，
故答案为：.

四、解答题
15．某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若三道题目全部猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.
【答案】


1
3
6






均值为：
【分析】根据题意写出的可能取值，计算概率，求解分布列即可.
【详解】根据题意，设表示“所得分数”，则的可能取值为，1，3，6.
，
，
，
.
所以的分布列为：


1
3
6






所以.
16．作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长．

(1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
(2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于的年份的个数”，求X的分布列及数学期望；
(3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比较和与的大小（只需写出结论）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据“2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长”补全折线图
（2）根据题意写出的取值并计算对应的概率，写出分布列即可
（3）根据题意分别计算，直接写出答案即可
(1)

(2)
依题意，的可能取值为
； ；
的分布列为：









的数学期望
(3)