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人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线练习
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这是一份人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线练习，共23页。
【结论】如图所示，AB∥EF，则∠B+∠D=∠C+∠E.
【证明】如图，过点C作MN∥AB，过点D作PQ//AB.
∵AB∥EF，∴AB∥MN∥PQ∥EF.
∴∠B=∠BCN，∠CDP=∠DCN，∠PDE=∠E,
∴∠B+∠CDP+∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E,
∴∠B+∠CDE=∠BCD+∠E，得证.
锯齿模型的变换解题思路
拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型
1．（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）
A．α+β+γ＝360°B．α+β＝γ+90°C．α+γ＝βD．α+β+γ＝180°
2.（2022春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（ ）
A．140°B．150°C．130°D．160°
3．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°
4．（2021春•硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
5．（2022秋•肇源县期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠E＝50°，则∠F的度数 ．
6.（龙泉驿区期中）如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 度．
7．（2022春•富县期末）如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求证：∠E＝∠F．
8．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
9．（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
10．（2022春•长沙期中）问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 ，∠EMC的度数为 ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
11．（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
12．（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”
请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．
（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．
请在①②任选一个问题进行解答．
（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．
13.（2019春•全南县期末）（1）如图1已知：∠B＝25°，∠BED＝80°，∠D＝55°．探究AB与CD有怎样的位置关系．
（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明．
（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明．
14．（黄冈期中）如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
（培优特训）专项5.5 平行线模型-锯齿模型
【结论】如图所示，AB∥EF，则∠B+∠D=∠C+∠E.
【证明】如图，过点C作MN∥AB，过点D作PQ//AB.
∵AB∥EF，∴AB∥MN∥PQ∥EF.
∴∠B=∠BCN，∠CDP=∠DCN，∠PDE=∠E,
∴∠B+∠CDP+∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E,
∴∠B+∠CDE=∠BCD+∠E，得证.
锯齿模型的变换解题思路
拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型
1．（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）
A．α+β+γ＝360°B．α+β＝γ+90°C．α+γ＝βD．α+β+γ＝180°
【答案】B
【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，
∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，
由①②得：α+β﹣γ＝90°．
故选：B．
2.（2022春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（ ）
A．140°B．150°C．130°D．160°
【答案】A
【解答】解：过G作GM∥AB，
∴∠2＝∠5，
∵AB∥CD，
∴MG∥CD，
∴∠6＝∠4，
∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，
∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，
∵AB∥CD，
∴∠ENB＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，
∵∠1＝∠E+∠ENB，
∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，
∴3∠1＝210°，
∴∠1＝70°，
∴∠EFG＝2×70°＝140°．
故选：A．
3．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°
【答案】C
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
4．（2021春•硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
【答案】D
【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC
∴AB∥CD
∴①正确；
过点F作FP∥AB，HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，
∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，
∴∠EHG≠2∠EFM
∴②错误；
∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，
∴③错误；
∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①④．
故选：D．
5．（2022秋•肇源县期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠E＝50°，则∠F的度数 ．
【答案】 50°
【解答】解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠BCF，
∴EB∥CF，
∴∠F＝∠E＝50°．
故答案为：50°．
6.（龙泉驿区期中）如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 度．
【答案】64
【解答】解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．
∵∠1+130°＝180°，
∴∠1＝50°．
∵a∥b，
∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，
∴x＝64°．
故答案为：64．
7．（2022春•富县期末）如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求证：∠E＝∠F．
【解答】证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∠3＝∠BAP﹣∠1，
∠4＝∠APC﹣∠2，
∴∠3＝∠4（等式的性质），
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
8．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，
∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；
∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，
∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，
故答案为：45°；
②如图，过点Q作QR∥CD，
∵∠BEG＝40°，
∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
设∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；
（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．
理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，
∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，
∴∠EOF＝β﹣2α，
∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
∵∠EOF+∠EGF＝100°，
∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，
∴α+β＝80°，
∴∠OEA+∠OFC＝80°，
∴∠OEA+2∠PFC＝160°．
9．（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，
∵AG∥CD，
∴∠CDE＝∠AGE＝60°，
∵AF∥DE，
∴∠BAF＝∠AGE＝60°；
方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，
∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，
∵AF∥DE，
∴BM∥CN，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAF＝∠CDE＝60°．
∴∠BAF的度数为60°．
10．（2022春•长沙期中）问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 ，∠EMC的度数为 ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
证明：如图，
过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
证明：如图，
过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
11．（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，
∴∠1＝∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2＝∠DFO，
∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，
即：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：
作OM∥AB，PN∥CD，如图2，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，
∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．
12．（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”
请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．
（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．
请在①②任选一个问题进行解答．
（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥PE，
∴∠BAP+∠APE＝180°，
∵CD∥PE，
∴∠DCP+CPE＝180°，
∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，
∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；
（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，
∵PE∥AB，
∴∠BAP+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥QF，
∴∠EPQ+∠PQF＝180°，
∵QF∥CD，
∴∠FQC+∠QCD＝180°，
∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，
∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；
（3）x＝72°．
13.（2019春•全南县期末）（1）如图1已知：∠B＝25°，∠BED＝80°，∠D＝55°．探究AB与CD有怎样的位置关系．
（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明．
（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明．
【解答】解：（1）过点E作EF∥AB
∵∠B＝25°
∴∠BEF＝∠B＝25°
∵∠BED＝80°
∴∠DEF＝∠BED﹣∠BEF＝55°
∵∠D＝55°
∴∠D＝∠DEF
∴EF∥CD
∴AB∥CD
（2）过点C作CD∥AB
∴∠B＝∠BCD
∵AB∥EF
∴CD∥EF
∴∠F＝∠DCF
∵∠BCF＝∠BCD+∠DCF
∴∠BCF＝∠B+∠F
（3）∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
由（1）（2）可得：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4
14．（黄冈期中）如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
【解答】解：（1）∵∠BAG+∠AGD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAG＝∠AGC，
∵∠E＝∠F，
∴AF∥EG，
∴∠FAG＝∠AGE，
∴∠BAG﹣∠FAG＝∠AGC﹣∠AGE
∴∠1＝∠2，
（2）由（1）可知：AB∥CD，
∴∠1+∠GAF＝∠2+∠EGA，
∵∠E+∠EGA＝∠F+∠GAF，
∴上述两式相加得：∴∠1+∠GAF+∠E+∠EGA＝∠2+∠EGA+∠F+∠GAF
∴∠1+∠E＝∠2+∠F；
【结论】如图所示，AB∥EF，则∠B+∠D=∠C+∠E.
【证明】如图，过点C作MN∥AB，过点D作PQ//AB.
∵AB∥EF，∴AB∥MN∥PQ∥EF.
∴∠B=∠BCN，∠CDP=∠DCN，∠PDE=∠E,
∴∠B+∠CDP+∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E,
∴∠B+∠CDE=∠BCD+∠E，得证.
锯齿模型的变换解题思路
拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型
1．（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）
A．α+β+γ＝360°B．α+β＝γ+90°C．α+γ＝βD．α+β+γ＝180°
2.（2022春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（ ）
A．140°B．150°C．130°D．160°
3．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°
4．（2021春•硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
5．（2022秋•肇源县期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠E＝50°，则∠F的度数 ．
6.（龙泉驿区期中）如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 度．
7．（2022春•富县期末）如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求证：∠E＝∠F．
8．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
9．（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
10．（2022春•长沙期中）问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 ，∠EMC的度数为 ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
11．（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
12．（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”
请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．
（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．
请在①②任选一个问题进行解答．
（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．
13.（2019春•全南县期末）（1）如图1已知：∠B＝25°，∠BED＝80°，∠D＝55°．探究AB与CD有怎样的位置关系．
（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明．
（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明．
14．（黄冈期中）如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
（培优特训）专项5.5 平行线模型-锯齿模型
【结论】如图所示，AB∥EF，则∠B+∠D=∠C+∠E.
【证明】如图，过点C作MN∥AB，过点D作PQ//AB.
∵AB∥EF，∴AB∥MN∥PQ∥EF.
∴∠B=∠BCN，∠CDP=∠DCN，∠PDE=∠E,
∴∠B+∠CDP+∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E,
∴∠B+∠CDE=∠BCD+∠E，得证.
锯齿模型的变换解题思路
拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型
1．（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）
A．α+β+γ＝360°B．α+β＝γ+90°C．α+γ＝βD．α+β+γ＝180°
【答案】B
【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，
∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，
由①②得：α+β﹣γ＝90°．
故选：B．
2.（2022春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（ ）
A．140°B．150°C．130°D．160°
【答案】A
【解答】解：过G作GM∥AB，
∴∠2＝∠5，
∵AB∥CD，
∴MG∥CD，
∴∠6＝∠4，
∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，
∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，
∵AB∥CD，
∴∠ENB＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，
∵∠1＝∠E+∠ENB，
∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，
∴3∠1＝210°，
∴∠1＝70°，
∴∠EFG＝2×70°＝140°．
故选：A．
3．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°
【答案】C
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
4．（2021春•硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
【答案】D
【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC
∴AB∥CD
∴①正确；
过点F作FP∥AB，HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，
∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，
∴∠EHG≠2∠EFM
∴②错误；
∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，
∴③错误；
∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①④．
故选：D．
5．（2022秋•肇源县期中）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠E＝50°，则∠F的度数 ．
【答案】 50°
【解答】解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠BCF，
∴EB∥CF，
∴∠F＝∠E＝50°．
故答案为：50°．
6.（龙泉驿区期中）如图，若直线a∥b，那么∠x＝ 度．
【答案】64
【解答】解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．
∵∠1+130°＝180°，
∴∠1＝50°．
∵a∥b，
∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，
∴x＝64°．
故答案为：64．
7．（2022春•富县期末）如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求证：∠E＝∠F．
【解答】证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∠3＝∠BAP﹣∠1，
∠4＝∠APC﹣∠2，
∴∠3＝∠4（等式的性质），
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
8．（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，
∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；
∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，
∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，
故答案为：45°；
②如图，过点Q作QR∥CD，
∵∠BEG＝40°，
∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
设∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；
（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．
理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，
∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，
∴∠EOF＝β﹣2α，
∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
∵∠EOF+∠EGF＝100°，
∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，
∴α+β＝80°，
∴∠OEA+∠OFC＝80°，
∴∠OEA+2∠PFC＝160°．
9．（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，
∵AG∥CD，
∴∠CDE＝∠AGE＝60°，
∵AF∥DE，
∴∠BAF＝∠AGE＝60°；
方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，
∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，
∵AF∥DE，
∴BM∥CN，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAF＝∠CDE＝60°．
∴∠BAF的度数为60°．
10．（2022春•长沙期中）问题情境
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．
问题初探
（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．
分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．
由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 ，∠EMC的度数为 ．
类比再探
（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．
（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案为：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
证明：如图，
过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
证明：如图，
过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
11．（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，
∴∠1＝∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2＝∠DFO，
∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，
即：∠O＝∠BEO+∠DFO．
（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：
作OM∥AB，PN∥CD，如图2，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，
∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．
12．（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”
请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．
（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；
②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．
请在①②任选一个问题进行解答．
（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥PE，
∴∠BAP+∠APE＝180°，
∵CD∥PE，
∴∠DCP+CPE＝180°，
∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，
∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；
（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，
∵PE∥AB，
∴∠BAP+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥QF，
∴∠EPQ+∠PQF＝180°，
∵QF∥CD，
∴∠FQC+∠QCD＝180°，
∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，
∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；
（3）x＝72°．
13.（2019春•全南县期末）（1）如图1已知：∠B＝25°，∠BED＝80°，∠D＝55°．探究AB与CD有怎样的位置关系．
（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明．
（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明．
【解答】解：（1）过点E作EF∥AB
∵∠B＝25°
∴∠BEF＝∠B＝25°
∵∠BED＝80°
∴∠DEF＝∠BED﹣∠BEF＝55°
∵∠D＝55°
∴∠D＝∠DEF
∴EF∥CD
∴AB∥CD
（2）过点C作CD∥AB
∴∠B＝∠BCD
∵AB∥EF
∴CD∥EF
∴∠F＝∠DCF
∵∠BCF＝∠BCD+∠DCF
∴∠BCF＝∠B+∠F
（3）∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．
由（1）（2）可得：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4
14．（黄冈期中）如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
【解答】解：（1）∵∠BAG+∠AGD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAG＝∠AGC，
∵∠E＝∠F，
∴AF∥EG，
∴∠FAG＝∠AGE，
∴∠BAG﹣∠FAG＝∠AGC﹣∠AGE
∴∠1＝∠2，
（2）由（1）可知：AB∥CD，
∴∠1+∠GAF＝∠2+∠EGA，
∵∠E+∠EGA＝∠F+∠GAF，
∴上述两式相加得：∴∠1+∠GAF+∠E+∠EGA＝∠2+∠EGA+∠F+∠GAF
∴∠1+∠E＝∠2+∠F；
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