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人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线随堂练习题
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这是一份人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线随堂练习题，共74页。
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．(2023·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
2．(2023·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
3．(2023·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
4．(2023·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
5．(2023·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
6．(2023·河南平顶山·八年级期末）如图：
(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．
(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．
7．(2023·福建·莆田第二十五中学七年级阶段练习）如图，AB//CD，点E在直线AB，CD内部，且AE⊥CE．
（1）如图1，连接AC，若AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；
②若∠MCE=1n∠ECD（n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由．
8．(2023·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
9．(2023·广东·河源市第二中学七年级期中）已知直线l1//l2， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
10．(2023·辽宁大连·七年级期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．
（1）求∠BPD的度数（用含α的式子表示）；
（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．
11．(2023·江西九江·七年级期中）如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE//AB，通过平行线性质可求∠APC的度数．
（1）请你按小明的思路，写出∠APC度数的求解过程；
（2）如图3，AB//CD，点P在直线BD上运动，记∠PAB=∠α，∠PCD=∠β．
①当点P在线段BD上运动时，则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段BD上运动时，请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系．
12．(2023·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
13．(2023·山西晋中·七年级期中）综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；
【问题迁移】
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
14．(2023·黑龙江佳木斯·七年级期末）直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．
（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
15．(2023·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.
（1）求证：GH//MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明）
（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD，直接写出∠GAC的度数．
16．(2023·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
17．(2023·江苏·南京市人民中学七年级期中）已知AB∥CD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝13∠ABF，∠CDM＝13∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．
18．(2023·广东茂名·七年级期中）已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．
（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．
19．(2023·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）证明：MN//ST；
（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB=180°n（n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE=n∠CBT，则∠CAE:∠CAN=______．
20．(2023·湖北鄂州·七年级期中）如图1，直线AB//CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
21．(2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：∠BFE=∠FEC
（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求证：∠AFC=34∠AEC
22．(2023·江苏·苏州高新区第二中学七年级期末）如图，MN//GH，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若∠NAO=116°，∠OBH=144°．
（1）∠AOB= °；
（2）如图2，点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点，且∠CDB=35°，求∠ACD 的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若∠MAE= n∠OAE，∠HBF=n∠OBF，且∠AFB=60°，求n的值．
23．(2023·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF=100°．
（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN−∠FNM的值；
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值．
24．(2023·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
25．(2023·浙江·杭州市公益中学（公办）七年级期中）已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
①若∠EPF=60°，则∠EQF=__________°．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）
26．(2023·福建福州·七年级期末）已知a//b，直角△ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB=90°．
（1）将直角△ABC如图1位置摆放，如果∠AOG=56°，则∠CEF=________；
（2）将直角△ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF=180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角△ABC如图3位置摆放，若∠GOC=135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ,∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
27．(2023·江苏·苏州文昌实验中学校七年级期中）如图1，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像英文字母M，称为“M形BAMCD”．
（1）如图1，M形BAMCD中，若AB//CD,∠A+∠C=50°，则∠M=______；
（2）如图2，连接M形BAMCD中B,D两点，若∠B+∠D=150°,∠AMC=α，试探求∠A与∠C的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且AC的延长线与BD的延长线有交点，当点M在线段BD的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出∠A与∠C所有可能的数量关系．
28．(2023·浙江·七年级期中）已知EM//BN．
（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．
（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．
①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD=________．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A=3∠EFG，求∠EFB的度数．
29．(2023·山东德州·七年级期中）（1）如图1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，则∠APC= °；
（2）如图2，AB//DC，点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接写出∠CPA与∠α、β之间的数量关系．
30．(2023·天津市东丽中学七年级期末）已知：如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN．
（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.12平行线基本模型之锯齿模型大题专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．(2023·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【答案】(1)80°
(2)∠P=360°−∠1−∠2；证明见详解
(3)140°
【分析】（1）过点P作MN∥AB，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
（1）
解：如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∵∠1=130°，∠2=150°，
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∴∠EPN+FPN=360°−130°−150°=80°．
∵∠P=∠EPN+∠FPN，
∴∠P=80°．
故答案为：80°；
（2）
解：∠P=360°−∠1−∠2，理由如下：
如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∵∠EPN+∠FPN=∠P，
∠P=360°−∠1−∠2．
（3）
如图分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥KR∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠NPG+∠PGR=180°，
∠RGF+∠2=180°．
∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°
∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，
∠PGR+∠RGF=∠PGF，
∠1+∠2=325°，
∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°
∴∠PGF=540°−325°−75°=140°
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
2．(2023·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【答案】(1)证明见详解
(2)①∠3=∠1+∠2；证明见详解；②∠1=∠2+∠3；证明见详解
【分析】（1）如图4过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知∠1=∠APC，∠3=∠BPC，根据等量代换就可以得出∠2=∠1+∠3；
（2）①如图5过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知∠3=∠BPC，∠1=∠APC，根据等量代换就可以得出∠3=∠1+∠2；
②如图6过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知∠1=∠APC，∠3=∠BPC，根据等量代换就可以得出∠1=∠2+∠3．
（1）
解：如图4所示：过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，
∵∠2=∠APC+∠BPC，
∴∠2=∠1+∠3；
（2）
解：①如图5过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠3=∠BPC，∠1=∠APC，
∵∠BPC=∠2+∠APC，
∴∠3=∠1+∠2；
②如图6过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，
∵∠APC=∠2+∠BPC，
∴∠1=∠2+∠3．
【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．
3．(2023·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)∠GQH=180°−∠M；理由见详解
【分析】（1）过点M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥CD．由此可知：∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M；
（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形内角和是180°，可得∠GQH=180°−∠M．
（1）
解：如图：过点M作MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，
∵∠M=∠GMN+∠HMN，
∴∠M=∠AGM+∠CHM．
（2）
解：∠GQH=180°−∠M，理由如下：
如图：过点M作MN∥AB，
由（1）知∠M=∠AGM+∠CHM，
∵HM平分∠GHC，
∴∠CHM=∠GHM，
∵∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M=∠HGQ+∠GHM，
∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，
∴∠GQH=180°−∠M．
【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．
4．(2023·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【答案】(1)90°
(2)∠F=∠E+30°，理由见解析
(3)15°
【分析】（1）如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°，于是得到结论；
（3）如图2，过点F作FH//EP，设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，根据角平分线的定义得到∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到结论．
（1）
解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，
∴EM//AB//FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB//CD，AB//FN，
∴CD//FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；
故答案为：90°；
（2）
解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，
∴EM//AB//FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB//CD，AB//FN，
∴CD//FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°，
∴∠EFD=∠BEF+30°；
（3）
解：如图2，过点F作FH//EP，
由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，
设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，
∵FH//EP，
∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，
∵∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°，
∴∠P=15°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
5．(2023·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
【答案】(1)∠BAE+∠CDE=∠AED；
(2)∠AFD=12∠AED；
(3)∠BAE=60°
【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=12∠BAE，∠CDF=12∠CDE，则∠AFD=12（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=12∠AED；
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-32∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．
(1)
∠BAE+∠CDE=∠AED
理由如下：
作EF∥AB，如图1
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED
(2)
如图2，由（1）的结论得
∠AFD=∠BAF+∠CDF
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F
∴∠BAF=12∠BAE，∠CDF=12∠CDE
∴∠AFE=12（∠BAE+∠CDE）
∵∠BAE+∠CDE=∠AED
∴∠AFD=12∠AED
(3)
由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG
而射线DC沿DE翻折交AF于点G
∴∠CDG=4∠CDF
∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=12∠BAE+2∠CDE=12∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-32∠BAE
∵90°-∠AGD=180°-2∠AED
∴90°-2∠AED+32∠BAE=180°-2∠AED
∴∠BAE=60°
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
6．(2023·河南平顶山·八年级期末）如图：
(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．
(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．
【答案】(1)∠BED=66°；
(2)∠BED=2∠F，见解析；
(3)∠BED的度数为130°．
【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，据此推得∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）首先作EG∥AB，延长DE交BF于点H，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F；
（3）延长DF交AB于点H，延长GE到I，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的度数为130°．
（1）
解：（1）如图，作EF∥AB，
，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，
∴∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）
解：∠BED=2∠F，
理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，
∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，
又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，
∴∠BED=2(∠2+∠3) ，
又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，
∴∠3+∠2+∠F=∠BED，
综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；
（3）
解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，
∵∠BGD=60°，
∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，
∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，
∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，
∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，
∴∠BED的度数为130°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键．
7．(2023·福建·莆田第二十五中学七年级阶段练习）如图，AB//CD，点E在直线AB，CD内部，且AE⊥CE．
（1）如图1，连接AC，若AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；
②若∠MCE=1n∠ECD（n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①∠BAE+12∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+nn+1∠MCD=90°，理由见解析.
【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据AE⊥CE可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；
（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；
②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.
【详解】（1）解：因为AB//CD，
所以∠BAC+∠DCA=180°，
因为AE⊥CE，
所以∠EAC+∠ECA=90°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=∠EAC，
所以∠BAE+∠DCE=90°，
所以∠EAC+∠DCE=90°，
所以∠DCE=∠ECA，
所以CE平分∠ACD；
（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+12∠MCD=90°，
理由如下： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+12∠MCD=90°；
②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+nn+1∠MCD=90°，
理由如下： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=1n∠ECD，
∴∠BAE+nn+1∠MCD=90°.
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.
8．(2023·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）180°−12α+12β
【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点F作FE//AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=50°，∠ADC=60°，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求∠BFD的度数；
②如图3，过点F作EF//AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出∠BFD的度数．
【详解】解：（1）如图1，过点E作EF//AB，
则有∠BEF=∠B，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FED=∠D，
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D；
（2）①如图2，过点F作FE//AB，
有∠BFE=∠FBA．
∵AB//CD，
∴EF//CD．
∴∠EFD=∠FDC．
∴∠BFE+∠EFD=∠FBA+∠FDC．
即∠BFD=∠FBA+∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FBA=12∠ABC=25°，∠FDC=12∠ADC=30°，
∴∠BFD=∠FBA+∠FDC=55°．
答：∠BFD的度数为55°；
②如图3，过点F作FE//AB，
有∠BFE+∠FBA=180°．
∴∠BFE=180°−∠FBA，
∵AB//CD，
∴EF//CD．
∴∠EFD=∠FDC．
∴∠BFE+∠EFD=180°−∠FBA+∠FDC．
即∠BFD=180°−∠FBA+∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FBA=12∠ABC=12α，∠FDC=12∠ADC=12β，
∴∠BFD=180°−∠FBA+∠FDC=180°−12α+12β．
答：∠BFD的度数为180°−12α+12β．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
9．(2023·广东·河源市第二中学七年级期中）已知直线l1//l2， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
【答案】（1）∠PAC+∠PBD=∠APB；（2）当点P在直线l1上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当点P在直线l2下方时，∠PAC−∠PBD=∠APB．
【分析】（1）过点P作PE//l1，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出PE//l1//l2，再由“两直线平行，内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论；
（2）按点P的两种情况分类讨论：①当点P在直线l1上方时；②当点P在直线l2下方时，同理（1）可得∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论．
【详解】解：（1）∠PAC+∠PBD=∠APB．
过点P作PE//l1，如图1所示．
∵PE//l1，l1//l2，
∴PE//l1//l2，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠PAC+∠PBD=∠APB．
（2）结论：当点P在直线l1上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当点P在直线l2下方时，∠PAC−∠PBD=∠APB．
①当点P在直线l1上方时，如图2所示．过点P作PE//l1．
∵PE//l1，l1//l2，
∴PE//l1//l2，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠BPE−∠APE，
∴∠PBD−∠PAC=∠APB．
②当点P在直线l2下方时，如图3所示．过点P作PE//l1．
∵PE//l1，l1//l2，
∴PE//l1//l2，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠APE−∠BPE，
∴∠PAC−∠PBD=∠APB．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
10．(2023·辽宁大连·七年级期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．
（1）求∠BPD的度数（用含α的式子表示）；
（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．
【答案】（1）∠BPD=2α；（2）画图见解析，EF⊥PD，证明见解析；（3）45°−α2或45°−32α
【分析】（1）根据平行线的传递性推出PG//AB//CD，再利用平行线的性质进行求解；
（2）猜测EF⊥PD，根据PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，推导出∠BPD=∠DPQ=2α，再根据DE//PQ、EF平分∠DEP，通过等量代换求解；
（3）分两种情况进行讨论，即当∠PEF:∠DEF=1:3与∠DEF:∠PEF=1:3，充分利用平行线的性质、角平分线的性质、等量代换的思想进行求解．
【详解】（1）过点P作PG//AB，
∵AB//CD,PG//AB，
∴PG//AB//CD，
∴∠BPG=∠ABP=α,∠DPG=∠PDQ=α，
∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=2α．
（2）根据题意，补全图形如下：
猜测EF⊥PD，
由（1）可知：∠BPD=2α，
∵PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，
∴∠BPD=∠DPQ=2α，
∵DE//PQ，
∴∠EDP=∠DPQ=2α，
∴∠DEP=180°−∠BPD−∠EDP=180°−4α，
又EF平分∠DEP，
∠PEF=12∠DEP=90°−2α，
∴∠EFD=180°−∠PEF−∠BPD=90°，
∴EF⊥PD．
（3）①如图1，
∠PEF:∠DEF=1:3，
由（2）可知：∠EPD=∠DPQ=∠EDP=2α,∠DEP=180°−4α，
∵∠PEF:∠DEF=1:3，
∴∠PEF=14∠DEP=45°−α，
∠DEF=34∠DEP=135°−3α，
∵DE//PQ，
∴∠DEQ=∠PQE，
∠EDQ+∠PQD=180°，
∵∠EDP=2α,∠PDQ=α，
∴∠EDQ=∠EDP+∠PDQ=3α，
∠PQD=180°−∠EDQ=180°−3α，
又EQ平分∠PQD，
∴∠PQE=∠DQE=∠DEQ=12∠PQD=90°−32α，
∴∠FEQ=∠DEF−∠DEQ=135°−3α−(90°−32α)=45°−32α；
②如图2，
∠DEP=180°−4α，∠PQD=180°−3α（同①）；
若∠DEF:∠PEF=1:3，
则有∠DEF=14∠DEP=14×(180°−4α)=45°−α，
又∠PQE=∠DQE=12∠PQD=12×(180°−3α)=90°−32α，
∵DE//PQ，
∴∠DEQ=∠PQE=90°−32α，
∴∠FEQ=∠DEQ−∠DEF=45°−12α，
综上所述：∠FEQ=45°−32α或45°−α2，
故答案是：45°−α2或45°−32α．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点，解题的关键是掌握相关知识点，作出适当的辅助线，通过分类讨论及等量代换进行求解．
11．(2023·江西九江·七年级期中）如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE//AB，通过平行线性质可求∠APC的度数．
（1）请你按小明的思路，写出∠APC度数的求解过程；
（2）如图3，AB//CD，点P在直线BD上运动，记∠PAB=∠α，∠PCD=∠β．
①当点P在线段BD上运动时，则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段BD上运动时，请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）①∠APC=∠α+∠β，见解析；②∠APC=∠α−∠β
【分析】（1）过P作PE//AB，利用平行线的性质即可得出答案；
（2）①过P作PE//AB，再利用平行线的性质即可得出答案；②分P在BD延长线上和P在DB延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案
【详解】解：（1）如图2，过P作PE//AB
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，
∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）①、∠APC=∠α+∠β，
理由：如图3，过P作PE//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
②、∠APC=∠α−∠β．
如备用图1，当P在BD延长线上时，∠APC=∠α−∠β；
理由：如备用图1，过P作PG//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PG//CD，
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠APG−∠CPG=∠α−∠β；
如备用图2所示，当P在DB延长线上时，∠APC=∠β−∠α；
理由：如备用图2，过P作PG//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PG//CD，
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠β−∠α；
综上所述，∠APC=∠α−∠β．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是过P作PE//AB．
12．(2023·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=12∠BME，进而可求解．
【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝12∠MEN＝12（∠BME＋∠END），∠ENP＝12∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝12（∠BME＋∠END）﹣12∠END＝12∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝12×60°＝30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
13．(2023·山西晋中·七年级期中）综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；
【问题迁移】
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
【答案】（1）∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；（2）①∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；②图见解析，∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠α−∠β
【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过P作PE//AD交CD于E，由平行线的性质，得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得到答案；
②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在BA延长线时；当P在BO之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．
【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图：
∵EF//MN，
∴EF//MN//PQ，
∴∠PAF+∠APQ=180°，∠PBN+∠BPQ=180°，
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ
∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；
（2）①∠CPD=∠α+∠β；
理由如下：如图，
过P作PE//AD交CD于E，
∵AD//BC，
∴AD//PE//BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
②当点P在BA延长线时，如备用图1：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPC=β，∠EPD=α，
∴∠CPD=∠β−∠α；
当P在BO之间时，如备用图2：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPD=α，∠CPE=β，
∴∠CPD=∠α−∠β．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．
14．(2023·黑龙江佳木斯·七年级期末）直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．
（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明见解析；（3）∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明见解析．
【分析】（1）由平行线的性质及平角的定义即可得解；
（2）过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质即可得解；
（3）过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质即可得解．
【详解】解：（1）如图1，∠MEN＝∠CNE+∠AME，
证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠CNE+∠AME＝180°，
∵∠MEN＝180°，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（2）如图2，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：
过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，
∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（3）如图3，∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明如下：
过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，
∴∠AME+∠MEG＝180°，∠CNE+∠NEG＝180°，
∴∠AME+∠MEG+∠CNE+∠NEG＝360°，
∵∠MEG+∠NEG＝∠MEN，
∴∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
15．(2023·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.
（1）求证：GH//MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明）
（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD，直接写出∠GAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠ACD=3∠GAC，见解析；（3）54019°或54023°．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到∠AQD=∠E+∠EAQ，结合平行线的性质得到∠BDQ=∠E+∠EAQ，再根据角平分线的定义证得∠CDB=2∠E+∠GAC，结合已知即可得出结论；
（3）分当K在直线GH下方和当K在直线GH上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．
【详解】解：（1）如图1，延长AC交MN于点P，
∵∠ACD=∠C，
∴AP//BD，
∴∠NBD=∠NPA，
∵∠GAC=∠NBD，
∴∠GAC=∠NPA，
∴GH//MN；
（2）延长AC交MN于点P，交DE于点Q，
∵∠E+∠EAQ+∠AQE=180°，∠AQE+∠AQD=180°，
∴∠AQD=∠E+∠EAQ，
∵AP//BD，
∴∠AQD=∠BDQ，
∴∠BDQ=∠E+∠EAQ，
∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，
∴∠GAC=2∠EAQ，∠CDB=2∠BDQ，
∴∠CDB=2∠E+∠GAC，
∵∠AED=∠GAC，∠ACD=∠CDB，
∴∠ACD=2∠GAC+∠GAC=3∠GAC；
（3）当K在直线GH下方时，如图，设射线BF交GH于I，
∵GH//MN，
∴∠AIB=∠FBM，
∵BF平分∠MBD，
∴∠DBF=∠FBM=12(180°−∠DBN)，
∴∠AIB=∠DBF，
∵∠AIB+∠KAG=∠AKB，∠AKB=∠ACD，
∴∠ACD=∠DBF+∠KAG，
∵∠KAG=13∠GAC，∠GAC=∠NBD，
∴13∠GAC+12(180°−∠DBN)=∠ACD=3∠GAC，
即13∠GAC+90°−12∠GAC=3∠GAC，
解得：∠GAC=54019∘．
当K在直线GH上方时，如图，同理可证得∠AIB=12(180°−∠DBN)=∠AKB+∠KAG，
则有3∠GAC+13∠GAC=12(180∘−∠GAC)，
解得：∠GAC=54023∘．
综上，故答案为54019°或54023°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
16．(2023·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；
（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；
（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．
【详解】解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以∠C＝（∠CPH），
所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；
（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．
∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；
②如图3，
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，
∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，
∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，
∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），
∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键．
17．(2023·江苏·南京市人民中学七年级期中）已知AB∥CD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝13∠ABF，∠CDM＝13∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．
【答案】（1）65°（2）360°−α°6（3）2n∠M+∠BED=360°
【分析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义可求∠M的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；
（3）先由已知得到∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．
【详解】解：（1）如图1，作EG//AB，FH//AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=100°，
∴∠ABE+∠CDE=260°，
∵∠ABE的角平分线和∠CDE的角平分线相交于F，
∴∠ABF+∠CDF=130°，
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=130°，
∵BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，
∴∠MBF=12∠ABF，∠MDF=12∠CDF，
∴∠MBF+∠MDF=65°，
∴∠BMD=130°−65°=65°；
（2）如图2，∵∠ABM=13∠ABF，∠CDM=13∠CDF，
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，
∴6∠ABM+6∠CDM+∠BED=360°，
∵∠BMD=∠ABM+∠CDM，
∴6∠BMD+∠BED=360°，
∴∠BMD=360°−α°6；
（3）∵∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，
∴∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE=2n∠ABM，∠CDE=2n∠CDM，
∴2n∠ABM+2n∠CDM+∠BED=360°，
∵∠M=∠ABM+∠CDM，
∴2n∠M+∠BED=360°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
18．(2023·广东茂名·七年级期中）已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．
（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．
【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）见解析；（3）∠EBC=105°．
【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系求解．
（2）画辅助平行线找角的联系．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质求解．
【详解】解：（1）如图1，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，
∠A+∠C=90°，
故答案为：∠A+∠C=90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵AM∥CN，
∴CN∥BG，
∴∠CBG=∠BCN，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
∵∠ABD=∠NCB，
∴∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，
则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，
∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE=3α，
∵BG∥DM，
∴∠DFB=∠GBF=β，
∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：
2α+β+3α+3α+β=180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α=90°，
∴α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，画辅助线，找到角的关系是求解本题的关键．
19．(2023·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）证明：MN//ST；
（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB=180°n（n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE=n∠CBT，则∠CAE:∠CAN=______．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
【分析】（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到结论；
（3）作CF∥ST，设∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分别表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．
【详解】解：（1）如图，连接AB，
，
∵∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°，
∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠MAB+∠SBA=180°，
∴MN//ST
（2）∠CAE=2∠CAN，
理由：作CF//ST，则MN//CF//ST, 如图，
设∠CBT=α，则∠DAE=2α．
∠BCF=∠CBT=α，∠CAN=∠ACF=60°−α，
∵AD//BC，∠DAC=180°−∠ACB=120°，
∴∠CAE=120°−∠DAE=120°−2α=2(60°−α)=2∠CAN．
即∠CAE=2∠CAN．
（3）作CF//ST，则MN//CF//ST, 如图，设∠CBT=β，则∠MAE=nβ．
∵CF//ST，
∴∠CBT=∠BCF=β，
∠ACF=∠CAN=180°n−β=180°−nβn，
∠CAE=180°−∠MAE−∠CAN=180°−nβ−180°n+β=n−1n(180°−nβ)，
∠CAE:∠CAN=n−1n:1n=n−1，
故答案为n−1．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．
20．(2023·湖北鄂州·七年级期中）如图1，直线AB//CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
【答案】（1）110°；（2）80°；（3）12x+y°,12nx+y°
【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；
（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．
【详解】解：（1）如图1，
过点P作PH∥AB∥CD，
∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，
而∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠1+∠2=110°；
（2）过点P作PM//AB,QN//AB，
∵PM//AB，
∴∠1=∠EPM，
∵QN//AB,PM//AB,AB//CD，
∴AB//PM//QN//DC，
∴∠MPQ=∠NQP，∠NQF=∠2，
∵∠3=∠EPM+∠MPQ，∠4=∠PQN+∠NQF，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，
∴∠4=80°，
故答案为：80°；
（3）过点P作PH//AB//CD，
∵P1E平分∠PEB，
∴∠P1EB=∠PEP1，
同理∠DFP1=∠P1FP，
∴∠EP1F=∠P1EB+∠PFP1
=12PFD+12BEP
=12PFD+BEP
=12x+y°，
同理∠Pn=(12)n(x+y)°，
故答案为：∠P1=12(x+y)°，∠Pn=(12)n(x+y)°．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．
21．(2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：∠BFE=∠FEC
（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求证：∠AFC=34∠AEC
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）如图：延长BF、DC相较于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再结合∠ABF=∠DCE
可得∠DCE=∠E，即可得当BE//DE，最后运用两直线平行、内错角相等即可证明结论；
（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比较即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图：延长BF、DC相较于G
∵AB//CD
∴∠ABF=∠G
∵∠ABF=∠DCE
∴∠DCE=∠G
∴BG//CE
∴∠BFE=∠FEC；
（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，
∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°
∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠FAC+∠FCA=180°-（3x+3y），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[80°-（4x+4y）]
=4x+4y
=4（x+y）
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x+3y））]
=3x+3y
=3（x+y），
∴∠AFC=34∠AEC．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键．
22．(2023·江苏·苏州高新区第二中学七年级期末）如图，MN//GH，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若∠NAO=116°，∠OBH=144°．
（1）∠AOB= °；
（2）如图2，点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点，且∠CDB=35°，求∠ACD 的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若∠MAE= n∠OAE，∠HBF=n∠OBF，且∠AFB=60°，求n的值．
【答案】（1）100；（2）75°；（3）n=3．
【分析】（1）如图：过O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；
（2）如图：分别延长AC、CD交GH于点E、F，先根据角平分线求得∠NAC=58°，再根据平行线的性质得到∠CEF=58°；进一步求得∠DBF=18°，∠DFB=17°，然后根据三角形外角的性质解答即可；
（3）设BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=nn+1×64°，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=nn+1×144°，从而∠BKA=∠FBH=nn+1×144°，又∠FKN=∠F+∠FAK，得nn+1×144°=60°+nn+1×64°，即可求n．
【详解】解：（1）如图：过O作OP//MN，
∵MN//GHl
∴MN//OP//GH
∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°
∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°
∵∠NAO=116°，∠OBH=144°
∴∠AOB=360°-116°-144°=100°；
（2）分别延长AC、CD交GH于点E、F，
∵AC平分∠NAO且∠NAO=116°，
∴∠NAC=58°，
又∵MN//GH，
∴∠CEF=58°；
∵∠OBH=144°，∠OBG=36°
∵BD平分∠OBG，
∴∠DBF=18°，
又∵∠CDB=35°,
∴∠DFB=∠CDB−∠DBF=35−18=17°；
∴∠ACD=∠DFB+∠AEF=17°+58°=75°；
（3）设FB交MN于K，
∵∠NAO=116°，则∠MAO=64°；
∴∠MAE=nn+1×64°
∵∠OBH=144°，
∴∠FBH=nn+1×144°，∠BKA=∠FBH=nn+1×144°，
在△FAK中，∠BKA=∠FKA+∠F=nn+1×64°+60°,
∴nn+1×144°=nn+1×64°+60°，
∴n=3．
经检验：n=3是原方程的根，且符合题意.
【点睛】本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．
23．(2023·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF=100°．
（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN−∠FNM的值；
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值．
【答案】（1）∠BEO+∠DFO=260° ；（2）∠EMN−∠FNM的值为40°；（3）53．
【分析】（1）过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，进而求解；
（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及∠FMN−∠ENM=50°，可得∠KFD−∠AEG=50°，结合∠AEG=n∠OEG，DFK=n∠OFK，∠BEO+∠DFO=260°，可得∠AEG+1n∠AEG+180°−∠KFD−1n∠KFD=100°，
即可得关于n的方程，计算可求解n值．
【详解】证明：过点O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG=180°，∠DFO+∠FOG=180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG=360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°，
∵∠EOF=100°，
∴∠BEO+∠DFO=260°；
（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，
∵∠BEO+∠DFO=260°
∴∠BEO+∠DFO=2x+180°−2y=260°，
∴x-y=40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，
∴∠EMN+∠FNM=∠EMK+∠KMN−（∠HNM+∠HNF）
=x+∠KMN−∠HNM−y
=x-y
=40°，
故∠EMN−∠FNM的值为40°；
（3）如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，
∵AB∥CD，
∴∠AKF=∠KFD，
∵∠AKF=∠EHK+∠HEK=∠EHK+∠AEG，
∴∠KFD=∠EHK+∠AEG，
∵∠EHK=∠NMF−∠ENM=50°，
∴∠KFD=50°+∠AEG，
即∠KFD−∠AEG=50°，
∵∠AEG=n∠OEG，FK在∠DFO内，∠DFK=n∠OFK．
∴∠CFO=180°−∠DFK−∠OFK=180°−∠KFD−1n∠KFD ，
∠AEO=∠AEG+∠OEG=∠AEG+1n∠AEG，
∵∠BEO+∠DFO=260°，
∴∠AEO+∠CFO=100°，
∴∠AEG+1n∠AEG+180°−∠KFD−1n∠KFD=100°，
即1+1n(∠KFD−∠AEG)＝80°，
∴1+1n×50°＝80°，
解得n=53 ．
经检验，符合题意，
故答案为：53．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
24．(2023·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）40°
【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM＝12∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM＝12∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE＝12 ∠AFE，
即12(180°−10x)=13x，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键．
25．(2023·浙江·杭州市公益中学（公办）七年级期中）已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
①若∠EPF=60°，则∠EQF=__________°．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）
【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF
【分析】（1）由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠EPF=∠AEP+∠PFC；
（2）当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
（3）①若当P点在EF的左侧时，∠EQF=∠BEQ+∠QFD=150°；当P点在EF的右侧时，可求得∠BEQ+∠QFD=30°；
②结合①可得∠EPF=180°−2∠BEQ+180°−2∠DFQ=360°−2(∠BEQ+∠PFD)，由∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，得出∠EPF+2∠EQF=360°；可得EPF=∠BEP+∠PFD，由∠BEQ+∠DFQ=∠EQF，得出∠EPF=2∠EQF．
【详解】解：（1）如图1，过点P作PG//AB，
∵PG//AB，
∴∠EPG=∠AEP，
∵AB//CD，
∴PG//CD，
∴∠FPG=∠PFC，
∴∠AEP+∠PFC=∠EPF；
（2）如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
过点P作PG//AB，
∵PG//AB，
∴∠EPG+∠AEP=180°，
∵AB//CD，
∴PG//CD，
∴∠FPG+∠PFC=180°，
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
（3）①如图3，若当P点在EF的左侧时，
∵∠EPF=60°，
∴∠PEB+∠PFD=360°−60°=300°，
∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ=12∠PEB，∠QFD=12∠PFD，
∴∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12×300°=150°；
如图4，当P点在EF的右侧时，
∵∠EPF=60°，
∴∠PEB+∠PFD=60°，
∴∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12×60°=30°；
故答案为：150°或30；
②由①可知：∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12(360°−∠EPF)，
∴∠EPF+2∠EQF=360°；
∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12∠EPF，
∴∠EPF=2∠EQF．
综合以上可得∠EPF与∠EQF的数量关系为：∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．
26．(2023·福建福州·七年级期末）已知a//b，直角△ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB=90°．
（1）将直角△ABC如图1位置摆放，如果∠AOG=56°，则∠CEF=________；
（2）将直角△ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF=180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角△ABC如图3位置摆放，若∠GOC=135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ,∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．
（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．
【详解】解：（1）如图，作CP//a，
∵a//b，CP//a，
∴CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，
∴∠BCP=180°-∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，
∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．
（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：
如图，作CP//a，则CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP=135°-∠POQ，
∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，
∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．
【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．
27．(2023·江苏·苏州文昌实验中学校七年级期中）如图1，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像英文字母M，称为“M形BAMCD”．
（1）如图1，M形BAMCD中，若AB//CD,∠A+∠C=50°，则∠M=______；
（2）如图2，连接M形BAMCD中B,D两点，若∠B+∠D=150°,∠AMC=α，试探求∠A与∠C的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且AC的延长线与BD的延长线有交点，当点M在线段BD的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出∠A与∠C所有可能的数量关系．
【答案】（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α
【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可；
【详解】解：（1）过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C=30°+α，
延长BA，DC交于E，
∵∠B+∠D=150°，
∴∠E=30°，
∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；
即∠A+∠C=30°+α；
（3）①如下图所示：
延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1=30°+∠2
∠2=∠3+α
∴∠1=30°+∠3+α
∴∠1-∠3=30°+α
即：∠A-∠C=30°+α．
②如图所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．
综上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．
【点睛】本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数．
28．(2023·浙江·七年级期中）已知EM//BN．
（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．
（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．
①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD=________．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A=3∠EFG，求∠EFB的度数．
【答案】（1）360°，理由见解析；（2）①60°；②∠A=2∠EFD，理由见解析；（3）54°
【分析】（1）过A作AQ//EM，判定AQ//BN，根据平行线的性质可求解；
（2）①由（1）的结论可求解∠ABN=100°，利用角平分线的定义可求∠DEF=70°，∠FBC=50°，再结合平行线段的性质可求解；②可采用①的解题方法换算求解；
（3）设∠EFD=x，则∠A=2x，根据4∠A=3∠EFG列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）过A作AQ//EM，
∴∠E+∠EAQ=180°，
∵EM//BN，
∴AQ//BN，
∴∠QAB+∠B=180°，
∵∠EAB=∠EAQ+∠QAB，
∴∠E+∠EAB+∠B=360°；
（2）①由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN=360°，
∵∠A=120°，∠AEM=140°，
∴∠ABN=100°，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF=70°，∠FBC=50°，
∵EM//BN，
∴∠EDF=∠FBC=50°，
∴∠EFD=180°−∠DEF−∠EDF=180°−70°−50°=60°，
故答案为60°；
②由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN=360°，
∴∠ABN=360°−∠AEM−∠A，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF=12∠AEM，∠FBC=12∠ABN，
∵EM//BN，
∴∠EDF=∠FBC=12∠ABN，
∴∠EFD=180°−∠DEF−∠EDF=180°−12∠AEM−12∠ABN=180°−12(360°−∠A)=12∠A，
即∠A=2∠EFD；
（3）设∠EFD=x，则∠A=2x，
由题意得4·2x=3(90+x)，
解得x=54°，
答：∠EFB的度数为54°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，注意方程思想的应用．
29．(2023·山东德州·七年级期中）（1）如图1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，则∠APC= °；
（2）如图2，AB//DC，点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接写出∠CPA与∠α、β之间的数量关系．
【答案】（1）73；（2）∠APC=∠α+∠β，理由详见解析；（3）当点P在射线DM上时，∠APC=∠α−∠β；当点P在OB上时，∠APC=∠β−∠α．
【分析】（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点P作PE//AB交AC于点E，然后根据平行线的性质求解即可；
（3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可；
【详解】（1）如图1，过P作PE//AB
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE
又∵∠A=33°，∠C=40°
∴∠APE=33°，∠CPE=40°
则∠CPA=∠APE+∠CPE=33°+40°=73°
（2）∠APC=∠α+∠β
理由是：
如图2，过点P作PE//AB交AC于点E
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD
∴∠APE=∠PAB=∠α，∠CPE=∠PCD=∠β
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β
（3）当点P在射线DM上时，设CD与AP交于点P，如图所示，
∵AB//DC，
∴∠α=∠DHP，
又∵在△CHP中，∠DHP=∠β+∠APC，
∴∠α=∠β+∠APC，
即：∠APC=∠α−∠β．
当点P在OB上时，如图所示，
作PE∥AB，
∴∠APE=∠BAP=∠α，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE=∠PCD=∠β，
∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．
答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α．
即∠APC=∠β−∠α．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
30．(2023·天津市东丽中学七年级期末）已知：如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN．
（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明．
【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，证明见解析；（2）∠P=3∠Q，证明解析．
【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F1，根据平行线性质和已知求出∠AEF=∠EF1L，根据平行线的判定推出即可；
（2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．
【详解】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，
证明如下：∵∠1=∠AMN，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠AMN+∠2=180°，
∴AB∥CD；
延长EF交CD于F1，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EF1L，
∵∠AEF=∠HLN，
∴∠EF1L=∠HLN，
∴EF∥HL；
（2）∠P=3∠Q，
证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，
∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
∵AB∥CD，PL∥AB，
∴AB∥CD∥PL，
∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，
∴∠MPN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，
∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MPN=3∠MQN，
即∠P=3∠Q；
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键．
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．(2023·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
2．(2023·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
3．(2023·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
4．(2023·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
5．(2023·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
6．(2023·河南平顶山·八年级期末）如图：
(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．
(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．
7．(2023·福建·莆田第二十五中学七年级阶段练习）如图，AB//CD，点E在直线AB，CD内部，且AE⊥CE．
（1）如图1，连接AC，若AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；
②若∠MCE=1n∠ECD（n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由．
8．(2023·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
9．(2023·广东·河源市第二中学七年级期中）已知直线l1//l2， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
10．(2023·辽宁大连·七年级期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．
（1）求∠BPD的度数（用含α的式子表示）；
（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．
11．(2023·江西九江·七年级期中）如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE//AB，通过平行线性质可求∠APC的度数．
（1）请你按小明的思路，写出∠APC度数的求解过程；
（2）如图3，AB//CD，点P在直线BD上运动，记∠PAB=∠α，∠PCD=∠β．
①当点P在线段BD上运动时，则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段BD上运动时，请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系．
12．(2023·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
13．(2023·山西晋中·七年级期中）综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；
【问题迁移】
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
14．(2023·黑龙江佳木斯·七年级期末）直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．
（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
15．(2023·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.
（1）求证：GH//MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明）
（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD，直接写出∠GAC的度数．
16．(2023·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
17．(2023·江苏·南京市人民中学七年级期中）已知AB∥CD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝13∠ABF，∠CDM＝13∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．
18．(2023·广东茂名·七年级期中）已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．
（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．
19．(2023·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）证明：MN//ST；
（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB=180°n（n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE=n∠CBT，则∠CAE:∠CAN=______．
20．(2023·湖北鄂州·七年级期中）如图1，直线AB//CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
21．(2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：∠BFE=∠FEC
（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求证：∠AFC=34∠AEC
22．(2023·江苏·苏州高新区第二中学七年级期末）如图，MN//GH，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若∠NAO=116°，∠OBH=144°．
（1）∠AOB= °；
（2）如图2，点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点，且∠CDB=35°，求∠ACD 的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若∠MAE= n∠OAE，∠HBF=n∠OBF，且∠AFB=60°，求n的值．
23．(2023·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF=100°．
（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN−∠FNM的值；
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值．
24．(2023·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
25．(2023·浙江·杭州市公益中学（公办）七年级期中）已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
①若∠EPF=60°，则∠EQF=__________°．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）
26．(2023·福建福州·七年级期末）已知a//b，直角△ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB=90°．
（1）将直角△ABC如图1位置摆放，如果∠AOG=56°，则∠CEF=________；
（2）将直角△ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF=180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角△ABC如图3位置摆放，若∠GOC=135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ,∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
27．(2023·江苏·苏州文昌实验中学校七年级期中）如图1，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像英文字母M，称为“M形BAMCD”．
（1）如图1，M形BAMCD中，若AB//CD,∠A+∠C=50°，则∠M=______；
（2）如图2，连接M形BAMCD中B,D两点，若∠B+∠D=150°,∠AMC=α，试探求∠A与∠C的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且AC的延长线与BD的延长线有交点，当点M在线段BD的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出∠A与∠C所有可能的数量关系．
28．(2023·浙江·七年级期中）已知EM//BN．
（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．
（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．
①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD=________．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A=3∠EFG，求∠EFB的度数．
29．(2023·山东德州·七年级期中）（1）如图1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，则∠APC= °；
（2）如图2，AB//DC，点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接写出∠CPA与∠α、β之间的数量关系．
30．(2023·天津市东丽中学七年级期末）已知：如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN．
（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.12平行线基本模型之锯齿模型大题专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．(2023·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【答案】(1)80°
(2)∠P=360°−∠1−∠2；证明见详解
(3)140°
【分析】（1）过点P作MN∥AB，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
（1）
解：如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∵∠1=130°，∠2=150°，
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∴∠EPN+FPN=360°−130°−150°=80°．
∵∠P=∠EPN+∠FPN，
∴∠P=80°．
故答案为：80°；
（2）
解：∠P=360°−∠1−∠2，理由如下：
如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∵∠EPN+∠FPN=∠P，
∠P=360°−∠1−∠2．
（3）
如图分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥KR∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠NPG+∠PGR=180°，
∠RGF+∠2=180°．
∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°
∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，
∠PGR+∠RGF=∠PGF，
∠1+∠2=325°，
∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°
∴∠PGF=540°−325°−75°=140°
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
2．(2023·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【答案】(1)证明见详解
(2)①∠3=∠1+∠2；证明见详解；②∠1=∠2+∠3；证明见详解
【分析】（1）如图4过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知∠1=∠APC，∠3=∠BPC，根据等量代换就可以得出∠2=∠1+∠3；
（2）①如图5过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知∠3=∠BPC，∠1=∠APC，根据等量代换就可以得出∠3=∠1+∠2；
②如图6过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知∠1=∠APC，∠3=∠BPC，根据等量代换就可以得出∠1=∠2+∠3．
（1）
解：如图4所示：过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，
∵∠2=∠APC+∠BPC，
∴∠2=∠1+∠3；
（2）
解：①如图5过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠3=∠BPC，∠1=∠APC，
∵∠BPC=∠2+∠APC，
∴∠3=∠1+∠2；
②如图6过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，
∵∠APC=∠2+∠BPC，
∴∠1=∠2+∠3．
【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．
3．(2023·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)∠GQH=180°−∠M；理由见详解
【分析】（1）过点M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥CD．由此可知：∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M；
（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形内角和是180°，可得∠GQH=180°−∠M．
（1）
解：如图：过点M作MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，
∵∠M=∠GMN+∠HMN，
∴∠M=∠AGM+∠CHM．
（2）
解：∠GQH=180°−∠M，理由如下：
如图：过点M作MN∥AB，
由（1）知∠M=∠AGM+∠CHM，
∵HM平分∠GHC，
∴∠CHM=∠GHM，
∵∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M=∠HGQ+∠GHM，
∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，
∴∠GQH=180°−∠M．
【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．
4．(2023·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【答案】(1)90°
(2)∠F=∠E+30°，理由见解析
(3)15°
【分析】（1）如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°，于是得到结论；
（3）如图2，过点F作FH//EP，设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，根据角平分线的定义得到∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到结论．
（1）
解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，
∴EM//AB//FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB//CD，AB//FN，
∴CD//FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；
故答案为：90°；
（2）
解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，
∴EM//AB//FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB//CD，AB//FN，
∴CD//FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°，
∴∠EFD=∠BEF+30°；
（3）
解：如图2，过点F作FH//EP，
由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，
设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，
∵FH//EP，
∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，
∵∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°，
∴∠P=15°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
5．(2023·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
【答案】(1)∠BAE+∠CDE=∠AED；
(2)∠AFD=12∠AED；
(3)∠BAE=60°
【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=12∠BAE，∠CDF=12∠CDE，则∠AFD=12（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=12∠AED；
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-32∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．
(1)
∠BAE+∠CDE=∠AED
理由如下：
作EF∥AB，如图1
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED
(2)
如图2，由（1）的结论得
∠AFD=∠BAF+∠CDF
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F
∴∠BAF=12∠BAE，∠CDF=12∠CDE
∴∠AFE=12（∠BAE+∠CDE）
∵∠BAE+∠CDE=∠AED
∴∠AFD=12∠AED
(3)
由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG
而射线DC沿DE翻折交AF于点G
∴∠CDG=4∠CDF
∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=12∠BAE+2∠CDE=12∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-32∠BAE
∵90°-∠AGD=180°-2∠AED
∴90°-2∠AED+32∠BAE=180°-2∠AED
∴∠BAE=60°
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
6．(2023·河南平顶山·八年级期末）如图：
(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．
(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．
【答案】(1)∠BED=66°；
(2)∠BED=2∠F，见解析；
(3)∠BED的度数为130°．
【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，据此推得∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）首先作EG∥AB，延长DE交BF于点H，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F；
（3）延长DF交AB于点H，延长GE到I，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的度数为130°．
（1）
解：（1）如图，作EF∥AB，
，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，
∴∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）
解：∠BED=2∠F，
理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，
∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，
又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，
∴∠BED=2(∠2+∠3) ，
又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，
∴∠3+∠2+∠F=∠BED，
综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；
（3）
解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，
∵∠BGD=60°，
∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，
∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，
∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，
∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，
∴∠BED的度数为130°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键．
7．(2023·福建·莆田第二十五中学七年级阶段练习）如图，AB//CD，点E在直线AB，CD内部，且AE⊥CE．
（1）如图1，连接AC，若AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；
②若∠MCE=1n∠ECD（n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①∠BAE+12∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+nn+1∠MCD=90°，理由见解析.
【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据AE⊥CE可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；
（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；
②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.
【详解】（1）解：因为AB//CD，
所以∠BAC+∠DCA=180°，
因为AE⊥CE，
所以∠EAC+∠ECA=90°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=∠EAC，
所以∠BAE+∠DCE=90°，
所以∠EAC+∠DCE=90°，
所以∠DCE=∠ECA，
所以CE平分∠ACD；
（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+12∠MCD=90°，
理由如下： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+12∠MCD=90°；
②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+nn+1∠MCD=90°，
理由如下： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=1n∠ECD，
∴∠BAE+nn+1∠MCD=90°.
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.
8．(2023·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）180°−12α+12β
【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点F作FE//AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=50°，∠ADC=60°，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求∠BFD的度数；
②如图3，过点F作EF//AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出∠BFD的度数．
【详解】解：（1）如图1，过点E作EF//AB，
则有∠BEF=∠B，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FED=∠D，
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D；
（2）①如图2，过点F作FE//AB，
有∠BFE=∠FBA．
∵AB//CD，
∴EF//CD．
∴∠EFD=∠FDC．
∴∠BFE+∠EFD=∠FBA+∠FDC．
即∠BFD=∠FBA+∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FBA=12∠ABC=25°，∠FDC=12∠ADC=30°，
∴∠BFD=∠FBA+∠FDC=55°．
答：∠BFD的度数为55°；
②如图3，过点F作FE//AB，
有∠BFE+∠FBA=180°．
∴∠BFE=180°−∠FBA，
∵AB//CD，
∴EF//CD．
∴∠EFD=∠FDC．
∴∠BFE+∠EFD=180°−∠FBA+∠FDC．
即∠BFD=180°−∠FBA+∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FBA=12∠ABC=12α，∠FDC=12∠ADC=12β，
∴∠BFD=180°−∠FBA+∠FDC=180°−12α+12β．
答：∠BFD的度数为180°−12α+12β．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
9．(2023·广东·河源市第二中学七年级期中）已知直线l1//l2， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
【答案】（1）∠PAC+∠PBD=∠APB；（2）当点P在直线l1上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当点P在直线l2下方时，∠PAC−∠PBD=∠APB．
【分析】（1）过点P作PE//l1，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出PE//l1//l2，再由“两直线平行，内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论；
（2）按点P的两种情况分类讨论：①当点P在直线l1上方时；②当点P在直线l2下方时，同理（1）可得∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论．
【详解】解：（1）∠PAC+∠PBD=∠APB．
过点P作PE//l1，如图1所示．
∵PE//l1，l1//l2，
∴PE//l1//l2，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠PAC+∠PBD=∠APB．
（2）结论：当点P在直线l1上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当点P在直线l2下方时，∠PAC−∠PBD=∠APB．
①当点P在直线l1上方时，如图2所示．过点P作PE//l1．
∵PE//l1，l1//l2，
∴PE//l1//l2，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠BPE−∠APE，
∴∠PBD−∠PAC=∠APB．
②当点P在直线l2下方时，如图3所示．过点P作PE//l1．
∵PE//l1，l1//l2，
∴PE//l1//l2，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠APE−∠BPE，
∴∠PAC−∠PBD=∠APB．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
10．(2023·辽宁大连·七年级期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．
（1）求∠BPD的度数（用含α的式子表示）；
（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．
【答案】（1）∠BPD=2α；（2）画图见解析，EF⊥PD，证明见解析；（3）45°−α2或45°−32α
【分析】（1）根据平行线的传递性推出PG//AB//CD，再利用平行线的性质进行求解；
（2）猜测EF⊥PD，根据PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，推导出∠BPD=∠DPQ=2α，再根据DE//PQ、EF平分∠DEP，通过等量代换求解；
（3）分两种情况进行讨论，即当∠PEF:∠DEF=1:3与∠DEF:∠PEF=1:3，充分利用平行线的性质、角平分线的性质、等量代换的思想进行求解．
【详解】（1）过点P作PG//AB，
∵AB//CD,PG//AB，
∴PG//AB//CD，
∴∠BPG=∠ABP=α,∠DPG=∠PDQ=α，
∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=2α．
（2）根据题意，补全图形如下：
猜测EF⊥PD，
由（1）可知：∠BPD=2α，
∵PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，
∴∠BPD=∠DPQ=2α，
∵DE//PQ，
∴∠EDP=∠DPQ=2α，
∴∠DEP=180°−∠BPD−∠EDP=180°−4α，
又EF平分∠DEP，
∠PEF=12∠DEP=90°−2α，
∴∠EFD=180°−∠PEF−∠BPD=90°，
∴EF⊥PD．
（3）①如图1，
∠PEF:∠DEF=1:3，
由（2）可知：∠EPD=∠DPQ=∠EDP=2α,∠DEP=180°−4α，
∵∠PEF:∠DEF=1:3，
∴∠PEF=14∠DEP=45°−α，
∠DEF=34∠DEP=135°−3α，
∵DE//PQ，
∴∠DEQ=∠PQE，
∠EDQ+∠PQD=180°，
∵∠EDP=2α,∠PDQ=α，
∴∠EDQ=∠EDP+∠PDQ=3α，
∠PQD=180°−∠EDQ=180°−3α，
又EQ平分∠PQD，
∴∠PQE=∠DQE=∠DEQ=12∠PQD=90°−32α，
∴∠FEQ=∠DEF−∠DEQ=135°−3α−(90°−32α)=45°−32α；
②如图2，
∠DEP=180°−4α，∠PQD=180°−3α（同①）；
若∠DEF:∠PEF=1:3，
则有∠DEF=14∠DEP=14×(180°−4α)=45°−α，
又∠PQE=∠DQE=12∠PQD=12×(180°−3α)=90°−32α，
∵DE//PQ，
∴∠DEQ=∠PQE=90°−32α，
∴∠FEQ=∠DEQ−∠DEF=45°−12α，
综上所述：∠FEQ=45°−32α或45°−α2，
故答案是：45°−α2或45°−32α．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点，解题的关键是掌握相关知识点，作出适当的辅助线，通过分类讨论及等量代换进行求解．
11．(2023·江西九江·七年级期中）如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE//AB，通过平行线性质可求∠APC的度数．
（1）请你按小明的思路，写出∠APC度数的求解过程；
（2）如图3，AB//CD，点P在直线BD上运动，记∠PAB=∠α，∠PCD=∠β．
①当点P在线段BD上运动时，则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段BD上运动时，请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）①∠APC=∠α+∠β，见解析；②∠APC=∠α−∠β
【分析】（1）过P作PE//AB，利用平行线的性质即可得出答案；
（2）①过P作PE//AB，再利用平行线的性质即可得出答案；②分P在BD延长线上和P在DB延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案
【详解】解：（1）如图2，过P作PE//AB
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，
∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）①、∠APC=∠α+∠β，
理由：如图3，过P作PE//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
②、∠APC=∠α−∠β．
如备用图1，当P在BD延长线上时，∠APC=∠α−∠β；
理由：如备用图1，过P作PG//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PG//CD，
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠APG−∠CPG=∠α−∠β；
如备用图2所示，当P在DB延长线上时，∠APC=∠β−∠α；
理由：如备用图2，过P作PG//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PG//CD，
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠β−∠α；
综上所述，∠APC=∠α−∠β．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是过P作PE//AB．
12．(2023·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=12∠BME，进而可求解．
【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝12∠MEN＝12（∠BME＋∠END），∠ENP＝12∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝12（∠BME＋∠END）﹣12∠END＝12∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝12×60°＝30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
13．(2023·山西晋中·七年级期中）综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；
【问题迁移】
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
【答案】（1）∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；（2）①∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；②图见解析，∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠α−∠β
【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过P作PE//AD交CD于E，由平行线的性质，得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得到答案；
②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在BA延长线时；当P在BO之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．
【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图：
∵EF//MN，
∴EF//MN//PQ，
∴∠PAF+∠APQ=180°，∠PBN+∠BPQ=180°，
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ
∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；
（2）①∠CPD=∠α+∠β；
理由如下：如图，
过P作PE//AD交CD于E，
∵AD//BC，
∴AD//PE//BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
②当点P在BA延长线时，如备用图1：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPC=β，∠EPD=α，
∴∠CPD=∠β−∠α；
当P在BO之间时，如备用图2：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPD=α，∠CPE=β，
∴∠CPD=∠α−∠β．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．
14．(2023·黑龙江佳木斯·七年级期末）直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．
（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明见解析；（3）∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明见解析．
【分析】（1）由平行线的性质及平角的定义即可得解；
（2）过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质即可得解；
（3）过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质即可得解．
【详解】解：（1）如图1，∠MEN＝∠CNE+∠AME，
证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠CNE+∠AME＝180°，
∵∠MEN＝180°，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（2）如图2，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：
过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，
∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（3）如图3，∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明如下：
过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，
∴∠AME+∠MEG＝180°，∠CNE+∠NEG＝180°，
∴∠AME+∠MEG+∠CNE+∠NEG＝360°，
∵∠MEG+∠NEG＝∠MEN，
∴∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
15．(2023·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD，∠C=∠D.
（1）求证：GH//MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明）
（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG=13∠GAC，若∠AKB=∠ACD，直接写出∠GAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠ACD=3∠GAC，见解析；（3）54019°或54023°．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到∠AQD=∠E+∠EAQ，结合平行线的性质得到∠BDQ=∠E+∠EAQ，再根据角平分线的定义证得∠CDB=2∠E+∠GAC，结合已知即可得出结论；
（3）分当K在直线GH下方和当K在直线GH上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．
【详解】解：（1）如图1，延长AC交MN于点P，
∵∠ACD=∠C，
∴AP//BD，
∴∠NBD=∠NPA，
∵∠GAC=∠NBD，
∴∠GAC=∠NPA，
∴GH//MN；
（2）延长AC交MN于点P，交DE于点Q，
∵∠E+∠EAQ+∠AQE=180°，∠AQE+∠AQD=180°，
∴∠AQD=∠E+∠EAQ，
∵AP//BD，
∴∠AQD=∠BDQ，
∴∠BDQ=∠E+∠EAQ，
∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，
∴∠GAC=2∠EAQ，∠CDB=2∠BDQ，
∴∠CDB=2∠E+∠GAC，
∵∠AED=∠GAC，∠ACD=∠CDB，
∴∠ACD=2∠GAC+∠GAC=3∠GAC；
（3）当K在直线GH下方时，如图，设射线BF交GH于I，
∵GH//MN，
∴∠AIB=∠FBM，
∵BF平分∠MBD，
∴∠DBF=∠FBM=12(180°−∠DBN)，
∴∠AIB=∠DBF，
∵∠AIB+∠KAG=∠AKB，∠AKB=∠ACD，
∴∠ACD=∠DBF+∠KAG，
∵∠KAG=13∠GAC，∠GAC=∠NBD，
∴13∠GAC+12(180°−∠DBN)=∠ACD=3∠GAC，
即13∠GAC+90°−12∠GAC=3∠GAC，
解得：∠GAC=54019∘．
当K在直线GH上方时，如图，同理可证得∠AIB=12(180°−∠DBN)=∠AKB+∠KAG，
则有3∠GAC+13∠GAC=12(180∘−∠GAC)，
解得：∠GAC=54023∘．
综上，故答案为54019°或54023°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
16．(2023·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；
（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；
（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．
【详解】解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以∠C＝（∠CPH），
所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；
（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．
∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；
②如图3，
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，
∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，
∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，
∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），
∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键．
17．(2023·江苏·南京市人民中学七年级期中）已知AB∥CD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝13∠ABF，∠CDM＝13∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．
【答案】（1）65°（2）360°−α°6（3）2n∠M+∠BED=360°
【分析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义可求∠M的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；
（3）先由已知得到∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．
【详解】解：（1）如图1，作EG//AB，FH//AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=100°，
∴∠ABE+∠CDE=260°，
∵∠ABE的角平分线和∠CDE的角平分线相交于F，
∴∠ABF+∠CDF=130°，
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=130°，
∵BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，
∴∠MBF=12∠ABF，∠MDF=12∠CDF，
∴∠MBF+∠MDF=65°，
∴∠BMD=130°−65°=65°；
（2）如图2，∵∠ABM=13∠ABF，∠CDM=13∠CDF，
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，
∴6∠ABM+6∠CDM+∠BED=360°，
∵∠BMD=∠ABM+∠CDM，
∴6∠BMD+∠BED=360°，
∴∠BMD=360°−α°6；
（3）∵∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，
∴∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE=2n∠ABM，∠CDE=2n∠CDM，
∴2n∠ABM+2n∠CDM+∠BED=360°，
∵∠M=∠ABM+∠CDM，
∴2n∠M+∠BED=360°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
18．(2023·广东茂名·七年级期中）已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．
（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．
【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）见解析；（3）∠EBC=105°．
【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系求解．
（2）画辅助平行线找角的联系．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质求解．
【详解】解：（1）如图1，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，
∠A+∠C=90°，
故答案为：∠A+∠C=90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵AM∥CN，
∴CN∥BG，
∴∠CBG=∠BCN，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
∵∠ABD=∠NCB，
∴∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，
则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，
∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE=3α，
∵BG∥DM，
∴∠DFB=∠GBF=β，
∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：
2α+β+3α+3α+β=180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α=90°，
∴α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，画辅助线，找到角的关系是求解本题的关键．
19．(2023·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）证明：MN//ST；
（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB=180°n（n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE=n∠CBT，则∠CAE:∠CAN=______．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
【分析】（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到结论；
（3）作CF∥ST，设∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分别表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．
【详解】解：（1）如图，连接AB，
，
∵∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°，
∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠MAB+∠SBA=180°，
∴MN//ST
（2）∠CAE=2∠CAN，
理由：作CF//ST，则MN//CF//ST, 如图，
设∠CBT=α，则∠DAE=2α．
∠BCF=∠CBT=α，∠CAN=∠ACF=60°−α，
∵AD//BC，∠DAC=180°−∠ACB=120°，
∴∠CAE=120°−∠DAE=120°−2α=2(60°−α)=2∠CAN．
即∠CAE=2∠CAN．
（3）作CF//ST，则MN//CF//ST, 如图，设∠CBT=β，则∠MAE=nβ．
∵CF//ST，
∴∠CBT=∠BCF=β，
∠ACF=∠CAN=180°n−β=180°−nβn，
∠CAE=180°−∠MAE−∠CAN=180°−nβ−180°n+β=n−1n(180°−nβ)，
∠CAE:∠CAN=n−1n:1n=n−1，
故答案为n−1．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．
20．(2023·湖北鄂州·七年级期中）如图1，直线AB//CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
【答案】（1）110°；（2）80°；（3）12x+y°,12nx+y°
【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；
（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．
【详解】解：（1）如图1，
过点P作PH∥AB∥CD，
∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，
而∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠1+∠2=110°；
（2）过点P作PM//AB,QN//AB，
∵PM//AB，
∴∠1=∠EPM，
∵QN//AB,PM//AB,AB//CD，
∴AB//PM//QN//DC，
∴∠MPQ=∠NQP，∠NQF=∠2，
∵∠3=∠EPM+∠MPQ，∠4=∠PQN+∠NQF，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，
∴∠4=80°，
故答案为：80°；
（3）过点P作PH//AB//CD，
∵P1E平分∠PEB，
∴∠P1EB=∠PEP1，
同理∠DFP1=∠P1FP，
∴∠EP1F=∠P1EB+∠PFP1
=12PFD+12BEP
=12PFD+BEP
=12x+y°，
同理∠Pn=(12)n(x+y)°，
故答案为：∠P1=12(x+y)°，∠Pn=(12)n(x+y)°．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．
21．(2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：∠BFE=∠FEC
（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求证：∠AFC=34∠AEC
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）如图：延长BF、DC相较于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再结合∠ABF=∠DCE
可得∠DCE=∠E，即可得当BE//DE，最后运用两直线平行、内错角相等即可证明结论；
（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比较即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图：延长BF、DC相较于G
∵AB//CD
∴∠ABF=∠G
∵∠ABF=∠DCE
∴∠DCE=∠G
∴BG//CE
∴∠BFE=∠FEC；
（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，
∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°
∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠FAC+∠FCA=180°-（3x+3y），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[80°-（4x+4y）]
=4x+4y
=4（x+y）
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x+3y））]
=3x+3y
=3（x+y），
∴∠AFC=34∠AEC．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键．
22．(2023·江苏·苏州高新区第二中学七年级期末）如图，MN//GH，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若∠NAO=116°，∠OBH=144°．
（1）∠AOB= °；
（2）如图2，点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点，且∠CDB=35°，求∠ACD 的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若∠MAE= n∠OAE，∠HBF=n∠OBF，且∠AFB=60°，求n的值．
【答案】（1）100；（2）75°；（3）n=3．
【分析】（1）如图：过O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；
（2）如图：分别延长AC、CD交GH于点E、F，先根据角平分线求得∠NAC=58°，再根据平行线的性质得到∠CEF=58°；进一步求得∠DBF=18°，∠DFB=17°，然后根据三角形外角的性质解答即可；
（3）设BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=nn+1×64°，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=nn+1×144°，从而∠BKA=∠FBH=nn+1×144°，又∠FKN=∠F+∠FAK，得nn+1×144°=60°+nn+1×64°，即可求n．
【详解】解：（1）如图：过O作OP//MN，
∵MN//GHl
∴MN//OP//GH
∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°
∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°
∵∠NAO=116°，∠OBH=144°
∴∠AOB=360°-116°-144°=100°；
（2）分别延长AC、CD交GH于点E、F，
∵AC平分∠NAO且∠NAO=116°，
∴∠NAC=58°，
又∵MN//GH，
∴∠CEF=58°；
∵∠OBH=144°，∠OBG=36°
∵BD平分∠OBG，
∴∠DBF=18°，
又∵∠CDB=35°,
∴∠DFB=∠CDB−∠DBF=35−18=17°；
∴∠ACD=∠DFB+∠AEF=17°+58°=75°；
（3）设FB交MN于K，
∵∠NAO=116°，则∠MAO=64°；
∴∠MAE=nn+1×64°
∵∠OBH=144°，
∴∠FBH=nn+1×144°，∠BKA=∠FBH=nn+1×144°，
在△FAK中，∠BKA=∠FKA+∠F=nn+1×64°+60°,
∴nn+1×144°=nn+1×64°+60°，
∴n=3．
经检验：n=3是原方程的根，且符合题意.
【点睛】本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．
23．(2023·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，且∠EOF=100°．
（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN−∠FNM的值；
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值．
【答案】（1）∠BEO+∠DFO=260° ；（2）∠EMN−∠FNM的值为40°；（3）53．
【分析】（1）过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，进而求解；
（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及∠FMN−∠ENM=50°，可得∠KFD−∠AEG=50°，结合∠AEG=n∠OEG，DFK=n∠OFK，∠BEO+∠DFO=260°，可得∠AEG+1n∠AEG+180°−∠KFD−1n∠KFD=100°，
即可得关于n的方程，计算可求解n值．
【详解】证明：过点O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG=180°，∠DFO+∠FOG=180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG=360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°，
∵∠EOF=100°，
∴∠BEO+∠DFO=260°；
（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，
∵∠BEO+∠DFO=260°
∴∠BEO+∠DFO=2x+180°−2y=260°，
∴x-y=40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN=y，∠KMN=∠HNM，
∴∠EMN+∠FNM=∠EMK+∠KMN−（∠HNM+∠HNF）
=x+∠KMN−∠HNM−y
=x-y
=40°，
故∠EMN−∠FNM的值为40°；
（3）如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，
∵AB∥CD，
∴∠AKF=∠KFD，
∵∠AKF=∠EHK+∠HEK=∠EHK+∠AEG，
∴∠KFD=∠EHK+∠AEG，
∵∠EHK=∠NMF−∠ENM=50°，
∴∠KFD=50°+∠AEG，
即∠KFD−∠AEG=50°，
∵∠AEG=n∠OEG，FK在∠DFO内，∠DFK=n∠OFK．
∴∠CFO=180°−∠DFK−∠OFK=180°−∠KFD−1n∠KFD ，
∠AEO=∠AEG+∠OEG=∠AEG+1n∠AEG，
∵∠BEO+∠DFO=260°，
∴∠AEO+∠CFO=100°，
∴∠AEG+1n∠AEG+180°−∠KFD−1n∠KFD=100°，
即1+1n(∠KFD−∠AEG)＝80°，
∴1+1n×50°＝80°，
解得n=53 ．
经检验，符合题意，
故答案为：53．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
24．(2023·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）40°
【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM＝12∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM＝12∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE＝12 ∠AFE，
即12(180°−10x)=13x，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键．
25．(2023·浙江·杭州市公益中学（公办）七年级期中）已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
①若∠EPF=60°，则∠EQF=__________°．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）
【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF
【分析】（1）由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠EPF=∠AEP+∠PFC；
（2）当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
（3）①若当P点在EF的左侧时，∠EQF=∠BEQ+∠QFD=150°；当P点在EF的右侧时，可求得∠BEQ+∠QFD=30°；
②结合①可得∠EPF=180°−2∠BEQ+180°−2∠DFQ=360°−2(∠BEQ+∠PFD)，由∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，得出∠EPF+2∠EQF=360°；可得EPF=∠BEP+∠PFD，由∠BEQ+∠DFQ=∠EQF，得出∠EPF=2∠EQF．
【详解】解：（1）如图1，过点P作PG//AB，
∵PG//AB，
∴∠EPG=∠AEP，
∵AB//CD，
∴PG//CD，
∴∠FPG=∠PFC，
∴∠AEP+∠PFC=∠EPF；
（2）如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
过点P作PG//AB，
∵PG//AB，
∴∠EPG+∠AEP=180°，
∵AB//CD，
∴PG//CD，
∴∠FPG+∠PFC=180°，
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
（3）①如图3，若当P点在EF的左侧时，
∵∠EPF=60°，
∴∠PEB+∠PFD=360°−60°=300°，
∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ=12∠PEB，∠QFD=12∠PFD，
∴∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12×300°=150°；
如图4，当P点在EF的右侧时，
∵∠EPF=60°，
∴∠PEB+∠PFD=60°，
∴∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12×60°=30°；
故答案为：150°或30；
②由①可知：∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12(360°−∠EPF)，
∴∠EPF+2∠EQF=360°；
∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12∠EPF，
∴∠EPF=2∠EQF．
综合以上可得∠EPF与∠EQF的数量关系为：∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．
26．(2023·福建福州·七年级期末）已知a//b，直角△ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB=90°．
（1）将直角△ABC如图1位置摆放，如果∠AOG=56°，则∠CEF=________；
（2）将直角△ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF=180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角△ABC如图3位置摆放，若∠GOC=135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ,∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．
（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．
【详解】解：（1）如图，作CP//a，
∵a//b，CP//a，
∴CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，
∴∠BCP=180°-∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，
∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．
（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：
如图，作CP//a，则CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP=135°-∠POQ，
∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，
∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．
【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．
27．(2023·江苏·苏州文昌实验中学校七年级期中）如图1，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像英文字母M，称为“M形BAMCD”．
（1）如图1，M形BAMCD中，若AB//CD,∠A+∠C=50°，则∠M=______；
（2）如图2，连接M形BAMCD中B,D两点，若∠B+∠D=150°,∠AMC=α，试探求∠A与∠C的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且AC的延长线与BD的延长线有交点，当点M在线段BD的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出∠A与∠C所有可能的数量关系．
【答案】（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α
【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可；
【详解】解：（1）过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C=30°+α，
延长BA，DC交于E，
∵∠B+∠D=150°，
∴∠E=30°，
∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；
即∠A+∠C=30°+α；
（3）①如下图所示：
延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1=30°+∠2
∠2=∠3+α
∴∠1=30°+∠3+α
∴∠1-∠3=30°+α
即：∠A-∠C=30°+α．
②如图所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．
综上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．
【点睛】本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数．
28．(2023·浙江·七年级期中）已知EM//BN．
（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．
（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．
①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD=________．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A=3∠EFG，求∠EFB的度数．
【答案】（1）360°，理由见解析；（2）①60°；②∠A=2∠EFD，理由见解析；（3）54°
【分析】（1）过A作AQ//EM，判定AQ//BN，根据平行线的性质可求解；
（2）①由（1）的结论可求解∠ABN=100°，利用角平分线的定义可求∠DEF=70°，∠FBC=50°，再结合平行线段的性质可求解；②可采用①的解题方法换算求解；
（3）设∠EFD=x，则∠A=2x，根据4∠A=3∠EFG列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）过A作AQ//EM，
∴∠E+∠EAQ=180°，
∵EM//BN，
∴AQ//BN，
∴∠QAB+∠B=180°，
∵∠EAB=∠EAQ+∠QAB，
∴∠E+∠EAB+∠B=360°；
（2）①由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN=360°，
∵∠A=120°，∠AEM=140°，
∴∠ABN=100°，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF=70°，∠FBC=50°，
∵EM//BN，
∴∠EDF=∠FBC=50°，
∴∠EFD=180°−∠DEF−∠EDF=180°−70°−50°=60°，
故答案为60°；
②由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN=360°，
∴∠ABN=360°−∠AEM−∠A，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠DEF=12∠AEM，∠FBC=12∠ABN，
∵EM//BN，
∴∠EDF=∠FBC=12∠ABN，
∴∠EFD=180°−∠DEF−∠EDF=180°−12∠AEM−12∠ABN=180°−12(360°−∠A)=12∠A，
即∠A=2∠EFD；
（3）设∠EFD=x，则∠A=2x，
由题意得4·2x=3(90+x)，
解得x=54°，
答：∠EFB的度数为54°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，注意方程思想的应用．
29．(2023·山东德州·七年级期中）（1）如图1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，则∠APC= °；
（2）如图2，AB//DC，点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接写出∠CPA与∠α、β之间的数量关系．
【答案】（1）73；（2）∠APC=∠α+∠β，理由详见解析；（3）当点P在射线DM上时，∠APC=∠α−∠β；当点P在OB上时，∠APC=∠β−∠α．
【分析】（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点P作PE//AB交AC于点E，然后根据平行线的性质求解即可；
（3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可；
【详解】（1）如图1，过P作PE//AB
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE
又∵∠A=33°，∠C=40°
∴∠APE=33°，∠CPE=40°
则∠CPA=∠APE+∠CPE=33°+40°=73°
（2）∠APC=∠α+∠β
理由是：
如图2，过点P作PE//AB交AC于点E
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD
∴∠APE=∠PAB=∠α，∠CPE=∠PCD=∠β
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β
（3）当点P在射线DM上时，设CD与AP交于点P，如图所示，
∵AB//DC，
∴∠α=∠DHP，
又∵在△CHP中，∠DHP=∠β+∠APC，
∴∠α=∠β+∠APC，
即：∠APC=∠α−∠β．
当点P在OB上时，如图所示，
作PE∥AB，
∴∠APE=∠BAP=∠α，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE=∠PCD=∠β，
∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．
答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α．
即∠APC=∠β−∠α．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
30．(2023·天津市东丽中学七年级期末）已知：如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN．
（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明．
【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，证明见解析；（2）∠P=3∠Q，证明解析．
【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F1，根据平行线性质和已知求出∠AEF=∠EF1L，根据平行线的判定推出即可；
（2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．
【详解】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，
证明如下：∵∠1=∠AMN，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠AMN+∠2=180°，
∴AB∥CD；
延长EF交CD于F1，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EF1L，
∵∠AEF=∠HLN，
∴∠EF1L=∠HLN，
∴EF∥HL；
（2）∠P=3∠Q，
证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，
∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
∵AB∥CD，PL∥AB，
∴AB∥CD∥PL，
∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，
∴∠MPN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，
∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MPN=3∠MQN，
即∠P=3∠Q；
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键．
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