中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题21以三角形为载体的几何压轴问题(最新模拟30题)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题21以三角形为载体的几何压轴问题(最新模拟30题)(原卷版+解析)，共85页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．（2023春·江苏镇江·九年级统考阶段练习）
(1)[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______；
(2)[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM的值；
(3)[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B'处，折痕为CM．求线段AC的长；
2．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．
（1）如图1，求证：AM=CE；
（2）如图2，以AM,BM为邻边作▱AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求GEAN的值；
（3）如图3，若M是AC的中点，以AB,BM为邻边作▱AGMB，连接GE交BC于点M，连接AN，经探究发现NCBC=18，请直接写出GEAN的值．
3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H，当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动，设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
4．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）如图1，△ABC中，AB=AC，∠ABC>45°，△BCD是以BC为斜边的等腰直角三角形．
(1)求∠ADB的度数；
(2)将AB绕点A逆时针旋转90°得到AG，连接BG，GD，GC．
①若AD=4，tan∠CGD=12，请在图2中补全图形，并求CD的长；
②过点C作CF⊥BG，垂足为F，请写出FD，FB，FC之间的数量关系，并证明你的结论．
5．（2023·江苏扬州·校考一模）如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，∠C的角平分线交边AB于D点，BD=2，
(1)请求出AC的长；
(2)如图2，E为CD上的一个动点，AE⊥EF，AC⊥CF，EF交AC于G点，连接AF，当E点在CD间运动时，请判断EFAE的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，不是，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，若AE=EC，请求出△EGC的面积．
6．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1．
【问题提出】
(1)如图②，在图①的基础上连接BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB'的形状是_______；
【尝试解决】
(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；
【类比应用】
(3)如图③，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．
7．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是边BC上一点，AB=EC，BE=CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A0，1，点C是x轴上的动点，线段CA绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段CB，连接BO、BA，
①求B点的运动轨迹解析式
②BO+BA的最小值是 ．
8．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
(1)如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF．
(2)在∠EDF绕点D旋转过程中：
①如图2，求证：CD2=CE·CF；
②若CE＝6，CF= 3，求DN的长．
9．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）（1）[初步尝试]如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为_______；
（2）[思考说理]如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM的值；
（3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B'处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB'上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A'PM，点A的对应点为点A' ，A'M与CP交于点F，求PFMF的取值范围．
10．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
(1)如图①，线段AB=3，则线段AB的最小覆盖圆的半径为_________；
(2)如图②，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=7，AC=32，请用尺规作图，作出Rt△ABC的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________；
(3)如图③，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，则矩形ABCD的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等圆完全覆盖该矩形ABCD，那么这两个等圆的最小半径为_________．
11．（2023秋·江苏泰州·九年级校联考期末）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC上，且BD=CE，连接CD，AE交于点M，将AE绕着点A顺时针旋转60°得到AF，连接EF．
(1)①∠AEF=________°．
②求证：EF∥CD．
(2)如图2，连接DE，若DE∥AC，求证：DE2=DM⋅DC．
12．（2023秋·江苏泰州·九年级校考期末）已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，连接AE、AF、DE、DE交AB于点M．
(1)如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；
(2)如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB⋅BM．
13．（2023春·江苏·九年级专题练习）【模型建立】（1）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，∠ADE=60°，求证：AB⋅CE=BD⋅DC；
【模型应用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，AE=AD，点F在DC边上，∠EFD=60°，则DFCF的值为_____________；
【模型拓展】（3）如图3，在钝角△ABC中，∠ABC=60°，点D、E分别在BC、AC边上，∠DAE=∠ADE=60°，若AB=5，CE=6，求DC的长．
14．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）（1）如图1，D、E为等边△ABC中BC边所在直线上两点，∠DAE=120°，求证：△ABD∽△ECA；
（2）△ADE中，∠DAE=120°，请用不含刻度的直尺和圆规在DE上求作两点B、C，点B在点C的左侧，使得△ABC为等边三角形；
（3）在（1）的条件下，H为BC边上一点，过H作HF∥AD交AB延长线于点F，HG∥AE交AC延长线于点G，若AB=6，BD=a，∠HAE=60°，求HFHG的值．（用含有a的代数式表示）
15．（2023·江苏泰州·九年级校考期末）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC上，且BD=CE，连接CD，AE交于点M，将AE绕着点A顺时针旋转60°得到AF，连接EF．
(1)①∠AEF= °；
②求证：EF∥CD．
(2)如图2，连接DE，若DE∥AC，求证：DE2=DM⋅DC．
16．（2023·安徽阜阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是线段AB上的一点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF
(1)求证：AGAB=AFCF
(2)若D是AB的中点，求AFAC的值．
(3)若BDAD=12，求S△ABCS△BDF的值．
17．（2023·全国·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，BD=2DC，E为线段AD上一点，∠BED=∠BAC．
(1)求证：∠ABE=∠CAD；
(2)过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，试探索AE与CF的数量关系；
(3)如图2，若AD=BD，AB=6，求CE的长．
18．（2023·全国·九年级专题练习）已知：在△ABC中，∠DBC=∠ACB，BC=2AC，BD=BC，CD交线段AB于点E．
(1)如图1，当∠ACB=90°时，求证：DE=2CE；
(2)当∠ACB=120°时，
①如图2，猜想线段DE、CE之间的数量关系并证明你的猜想；
②如图3，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，求DGGF的值．
19．（2023·浙江·模拟预测）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD=2∠EAF，求证：EF=BE+DF．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD=CB=100m，∠D=60°，∠ABC=120°，∠BCD=150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM=100m，BN=503−1m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少几m？（结果取整数，参考数据：3≈1.7）
20．（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=8，AC=6，D是边AB的中点，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PQ⊥AC于点Q，当点P不与点A、D、B重合时，以PD、PQ为邻边作▱PDEQ，设点P的运动时间为t秒．
(1)用含有t的代数式表示线段DE的长．
(2)当点E到点A、D的距离相等时，求DE的长．
(3)当▱PDEQ的某条对角线与边AB垂直时，求t的值．
(4)作点P关于直线DE的对称点P'，连结P'Q，当∠PQP'=∠A时，直接写出t的值．
21．（2023·河南驻马店·统考一模）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
(1)如图1，分别取AC和AE的中点G、H，连接BG、MG、MH、DH，那么BD和BM的数量关系是______．
(2)将图1中的△ABC绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
(3)已知正方形ABCP的边长为2，正方形ADEQ的边长为10，现将正方形ABCP绕点A顺时针旋转，在整个旋转过程中，当C、P、E三点共线时，请直接写出BD的长．
22．（2023·山东泰安·宁阳二中校考一模）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．
【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形△ADE，连结CE．可得CE+CD=AC（不需证明）．
【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．求证：CE+CD=CF．
【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．试探究线段CE，CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
23．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P是射线BC上的动点，连结AP，在AP的右边作∠PAQ=12∠BAC，交射线BC于点Q．
(1)当BP=1时，求点P到AB的距离．
(2)当点P在线段BC上运动时，记BP=x，CQ=y，求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
(3)在点P的运动过程中，不再连结其他线段，当图中存在某个角为45°时，求BQ的长，并指出相应的45°角．
24．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在AB，BC上，BE=CF，AF与CE交于点P．
(1)求证：∠APE=60°；
(2)当PC=1，PA=5时，求PD的长？
(3)当AB=23时，求PD的最大值？
25．（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）（1）如图1，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求证：EF=EG；
（2）如图2，将（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB=m，BC=n，试求EFEG的值；
（3）如图3，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB=2，BC=4，求EG、EF的长．
26．（2023·河南安阳·统考一模）九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
(1)操作探究：如图1，△OAB为等腰三角形，OA=OB，∠AOB=60°，将△OAB绕点O旋转180°，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF，则∠BAE= °，OF与DE的数量关系是 ；
(2)迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当△OAB绕点O逆时针旋转，点D正好落在∠AOB的角平分线上，得到△ODE，求出此时∠BAE的度数及OF与DE的数量关系；
(3)拓展应用：如图3，在等腰三角形△OAB中，OA=OB=4，∠AOB=90°．将△OAB绕点O旋转，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF．当∠EAB=15°时，请直接写出OF的长．
27．（2023·北京海淀·校联考模拟预测）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将线段CA绕点C逆时针旋转α角得到线段CD，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BD交CA，CE于点F，G．
(1)当α=60°时，如图1，依题意补全图形，直接写出∠BGC的大小；
(2)当α≠60°时，如图2，试判断线段BG与CE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若F为AC的中点，直接写出AD的长．
28．（2023·福建福州·统考模拟预测）如图甲，在△ABC中．∠ACB=90°．AC=4．BC=3．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动．同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动．它们的速度均为每秒钟1个单位长度．连接PQ，设运动时间为t秒钟（0