中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题17二次函数与角度及数量关系综合问题(最新模拟40题预测)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题17二次函数与角度及数量关系综合问题(最新模拟40题预测)(原卷版+解析)，共126页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．（2023·辽宁大连·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(2,0)，与y轴交于点C，点F是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点F在第一象限运动时，连接线段AF,BF,CF,S△ABF=S1,S△CBF=S2，且S=S1+S2．当S取最大值时，求点F的坐标；
(3)过点F作FE⊥x轴交直线BC于点D，交x轴于点E，若∠FCD+∠ACO=45°，求点F的坐标．
2．（2023·广东东莞·统考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(−1,0)、B(4,0)两点，与y轴交点C，连接AC,BC，顶点为M．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)若D是直线BC上方抛物线上一动点，连接OD交BC于点E，当DEOE的值最大时，求点D的坐标；
(3)已知点G是抛物线上的一点，连接CG，若∠GCB=∠ABC，求点G的坐标．
3．（2023·山东泰安·统考一模）抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于A，B，C三点A(−2,0),B(3,0),C(0,4)．点P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线解析式：
(2)连接AP,CP,AC，若S△APC=12S△AOC，求点P的坐标；
(3)连接AP,BC，是否存在点P，使得2∠PAB=∠ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2023·江西上饶·校联考一模）如图，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴相交于点A4,0，与y轴相交于点B0,2．
(1)求抛物线的表达式．
(2)D为线段AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE⊥x轴于点E，交抛物线于点F，若DE=DF，求点D的坐标．
(3)P是第四象限内抛物线上一点，已知∠PBA=∠BAO，则点P的坐标为______．
5．（2023·山西晋城·统考一模）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为−2,0，点C的坐标为−1,−4．
(1)求二次函数的表达式和点B的坐标．
(2)若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．
(3)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD,BD，抛物线上是否存在点M，使∠MAB=∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023·广东深圳·统考一模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．
图1 备用图
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，D是BC上方抛物线上一点，连接AD交线段BC于点E，若AE=2DE，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P使得∠PAB=∠ABC，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
7．（2023·山西吕梁·统考一模）如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c与直线BC交于B（3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A，点M是直线BC上方抛物线的一动点，过点M作MD⊥x轴，交BC于点E．
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
(2)当点E是MD的三等分点时，求此时点M的坐标；
(3)如图2，直线AF与抛物线交于A，F两点，F52，74，若点Q是y轴上一点，且∠AFQ=45°，请直接写出点Q的坐标．
8．（2023·福建南平·统考一模）如图1，抛物线y=x2−4x与x轴相交于原点O和点A，直线y=x与抛物线在第一象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点．
(1)求点B和点C的坐标；
(2)抛物线上是否存在点D，使得∠DOB=∠OBC？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G．设△BFG和△BEG的面积分别为S1和S2，求S1S2的最大值．
9．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是3,0，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)连接 BC，AC，若点P为第四象限内抛物线上一点，且∠PCA=∠BCO，求点P的坐标；
(3)过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DE⊥x轴于点E得到矩形OCDE，将△OBC沿x轴向右平移，当B点与E重合时结束，设平移距离为t，△OBC与矩形OCDE重叠面积为S，请直接写出S与t的函数关系．
10．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，抛物线y=12x2+bx+cc0与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,3，抛物线对称轴为x=1，点Р是第一象限抛物线上动点，连接BC，PB．
(1)求抛物线和直线BC的解析式；
(2)如图1，连接PA，交BC于点M，设△ABM的面积为S1，△PBM的面积为S2，求S1S2的最小值及此时点P的坐标；
(3)如图2，设∠CBA=θ，在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使得∠PBC恰好等于θ2，若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx−3经过点A−3,0,B1,0，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m．
①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求PE+PF的最大值；
②若∠PCB=3∠OCB，求m的值．
17．（2023·黑龙江哈尔滨·校考一模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx−2交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，若OB=OC=2OA．
(1)如图1，求抛物线解析式；
(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接BP，平面内存在点D，连接CD，使CD∥BP,CD=BP，连接CP、DB，设P的横坐标为t，点D的横坐标为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长BD交直线AC于点E，连接EO，作DF∥y轴交EO的延长线于点F，交x轴于点G，点Q为抛物线第二象限上一点，连接FA、FQ、BQ,∠AEO=∠BEO,∠QFA=2∠QBA，求线段FQ的长．
18．（2023·上海松江·统考一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+ca≠0经过点A2,0和点B−1,3．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为Pm,n．
①如果PO=PA，且新抛物线的顶点在△AOB的内部，求m+n的取值范围；
②如果新抛物线经过原点，且∠POA=∠OBA，求点P的坐标．
19．（2023·山东泰安·校考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+2ax+c经过B(1,0)，C(0,3)两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，点E在抛物线上，连接DE并延长交x轴于点F，连接BD，若△BDF是以BD为底的等腰三角形，求点E坐标．
(3)如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM=∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2023·上海嘉定·校考一模）在平面直角坐标系xOy(如图)中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A−4，0、B−2，2，与y轴的交点为C．
(1)试求这个抛物线的表达式；
(2)如果这个抛物线的顶点为M，连接MB，BC，求tan∠MBC；
(3)如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE=45°，求点E的坐标．
21．（2023·广东广州·校考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A−2,0、B8,0两点，与y轴交于点C0,4，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标．
22．（2023·湖北武汉·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
23．（2023·内蒙古包头·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2023·山东泰安·东平县实验中学校考一模）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,4)，与x轴交于点A,B(3,0)两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上的动点．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M在直线BC上方抛物线上，连接AM交BC于点E，求MEAE的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，已知点Q(0,1)，是否存在点M，使得tan∠MBQ=12？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023·广东江门·台山市新宁中学校考一模）在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−12x2+bx+c经过A，B两点且与x轴负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E是x轴上的点，F是抛物线上的动点，当B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的E的坐标．
26．（2023·广东·模拟预测）如图，已知顶点为C(0,−3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2023·山东泰安·东平县实验中学校考二模）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且1x1+1x2=﹣23．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；
①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；
②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（2023春·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，抛物线y=−13x2+bx+83与x轴交于A，B两点，点C−3,53在抛物线上.CD⊥x轴于点D.
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)连接AC，E为抛物线上一点，当∠EAB=∠ACD时，求点E的坐标；
(3)直线BF：y=kx−2kk0上的一个动点．
(1)求该抛物线的对称轴．
(2)若点C是抛物线的顶点，且c−b=34，求a．
(3)已知c=0，a为大于0的常数，抛物线上有两点M、N，且∠MBN=90°，连接MN交y轴于点Q，点Q的位置是否发生变化，若不变，请求出Q点坐标；若变化，请说明理由．
30．（2023春·天津武清·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A−4,0，B2,0两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由；
(3)点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
31．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△ACP的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得∠ACP=∠ABC−∠BAC，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2023春·江西南昌·九年级南昌市第三中学校考期中）如图1，已知点P为抛物线y=12x2(x>0)上一动点，以P为顶点，且经过原点O的抛物线，记作“yP”，设其与x轴另一交点为A，点P的横坐标为m．
(1)①当△OPA为直角三角形时，m=______；
②当△OPA为等边三角形时，求此时“yP”的解析式；
(2)如图2，若P点的横坐标分别为1，2，3，…n（n为正整数）时，抛物线“yP”分别记作“yP1”、“yP2”，…“yPn”，设其与x轴另外一交点分别为A1，A2，A3，…An，过P1，P2，P3，…Pn作x轴的垂线，垂足分别为H1，H2，H3，…Hn．
①Pn的坐标为______；OAn=______；（用含n的代数式来表示）
②当PnHn−OAn=48时，求n的值．
(3)是否存在这样的An，使得∠OP6An=90°，若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．
33．（2023春·四川凉山·九年级统考专题练习）已知如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与坐标轴分别交于点A0,3，B−3,0，C1,0．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P是抛物线第三象限部分上的一点，若满足∠PCB=∠ABC，求点P的坐标；
(3)若D是x轴上一点，在抛物线上是否存在点E，使得以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出E点的坐标，若不存在，请说明理由；
34．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−14x2+bx−4的图象与x轴交于点A和点B8，0，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接AC，找出图中与∠ACO相等的角，并说明理由；
(3)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB=∠BCO，求点P的坐标；
(4)若点Q在第四象限内，且tan∠AQB=32，M−4，2，线段MQ是否存在最大值，如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
35．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A3,0，B1,0两点，与y轴交于点C．且有OA=OC．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P在抛物线的对称轴上，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点Q在抛物线的对称轴上，并且有∠AQC=12∠APC，直接写出点Q的坐标．
36．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+8与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上，且点D的坐标为−2,4，连接BC，△OBC的面积为24．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为第一象限抛物线上一点，连接PC、PD，设点P的横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，作PE⊥x轴于点E，点F在线段OC上，BE=OF，连接CE，线段BF和CE交于点M，∠OCM+∠FBO=45°，求点P的坐标．
37．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为3，0，将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．
(1)求直线BC及抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．
38．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，A−2,0，B8,0，与y轴交于点C，连接AC、BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：∠ACO=∠ABC；
(3)点P在抛物线上，且∠PCB=∠ACO，求点P的坐标．
39．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2ax−3a交x轴于A、B两点（点B在点A的右侧），交y轴于点C，OB=OC，连接BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P这第一象限抛物线上的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，设PQ的长度为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式；
(3)若点D2，n在抛物线上，点E为抛物线对称轴上的一点，过点E作EF⊥y轴交y轴于点F，连接AF，DE，当AF=DE时，求AF+EF+DF的值．
(4)设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，在y轴上否存在一点M，使得∠BMN最大？若存在，请直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由．
40．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)和B(3,0)，点D为线段BC上一动点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△COB和△DEB相似时，求点D的坐标；
(3)在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP=45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题17二次函数与角度及数量关系综合问题（最新模拟40题预测）
一、解答题
1．（2023·辽宁大连·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(2,0)，与y轴交于点C，点F是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点F在第一象限运动时，连接线段AF,BF,CF,S△ABF=S1,S△CBF=S2，且S=S1+S2．当S取最大值时，求点F的坐标；
(3)过点F作FE⊥x轴交直线BC于点D，交x轴于点E，若∠FCD+∠ACO=45°，求点F的坐标．
【答案】(1)y=−x2+x+2
(2)710,221100
(3)32,54或3,−4
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设点Fx,−x2+x+2，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH=−x2+x+2，分别求出S1=−32x2+32x+3, S2=−x2+2x，得到S=−52x−7102+16940，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分点F在x轴上方和下方两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(2,0)，
∴a−b+2=04a+2b+2=0，
解得a=−1b=1，
∴抛物线的解析式为y=−x2+x+2；
（2）如图，连接AF,BF,CF,AC，设点Fx,−x2+x+2，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH=−x2+x+2，
∵A(−1,0),B(2,0)，
∴AB=2−−1=3，
当x=0时，y=−x2+x+2=2，
∴点C的坐标是0,2，
∴OC=2，
∴S△ABF=S1=12AB⋅FH=12×3×−x2+x+2=−32x2+32x+3,
S△CBF=S2=S梯形OHFC+S△BHF−S△OBC=12OHHF+OC+12BH⋅HF−12OB⋅OC=−x2+2x，
∴S=S1+S2=−32x2+32x+3−x2+2x=−52x2+72x+3=−52x−7102+16940，
∵−30)中，得：y=12n2，
∴ Pn的坐标为n,12n2．
根据二次函数图象的轴对称性可得：OAn=2n．
②∵ PnHn−OAn=48，
即：12n2−2n=48，
解得：n1=12,n2=−8（舍），
∴ n=12．
（3）解：当m=6时，12×62=18，
∴ P66,18，
∴ OH6=6,P6H6=18，
如图，
∵ ∠OP6An=90°, P6H6⊥OAn，
∴ △OP6H6∽△P6AnH6，
∴ P6H6OH6=H6AnP6H6，
∴ 186=H6An18，
解得：H6An=54，
∴ OAn=60，
即：2n=60，
解得：n=30．
∴存在这样的An，使得∠OP6An=90°．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、等腰三角形与直角三角形的性质等知识点，准确表示点的坐标是解题关键．
33．（2023春·四川凉山·九年级统考专题练习）已知如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与坐标轴分别交于点A0,3，B−3,0，C1,0．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P是抛物线第三象限部分上的一点，若满足∠PCB=∠ABC，求点P的坐标；
(3)若D是x轴上一点，在抛物线上是否存在点E，使得以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出E点的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)P−4，−5
(3)存在，E点的坐标为−2，3或−1−7，−3或−1+7，−3
【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）根据∠PCB=∠ABC可得出PC∥AB，利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=x+3，从而可确定直线PC的解析式为y=x−1，再解由直线PC的解析式和抛物线的解析式构成的方程组即可得到点P的坐标；
（3）设Dm，0，En，−n2−2n+3，根据平行四边形的对角线互相平分，再利用中点坐标公式建立方程组即可求解，可分三种情况进行讨论．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0与坐标轴分别交于点A0,3，B−3,0，C1,0，
∴c=39a−3b+c=0a+b+c=0，
解得：a=−1b=−2c=3，
∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3．
（2）∵∠PCB=∠ABC，
∴PC∥AB，
∵点A0,3，B−3,0，C1,0，
设直线AB的解析式为y=k1x+b1，
∴b1=3−3k1+b1=0，
解得：k1=1b1=3，
∴直线AB的解析式为y=x+3，
设直线PC的解析式为y=x+b2，
∴1+b2=0，
∴b2=−1，
∴直线PC的解析式为y=x−1，
∵点P是抛物线第三象限部分上的一点且在直线PC上，
∴y=−x2−2x+3y=x−1，
解得：x1=−4y1=−5，x2=1y2=0（不合题意，舍去），
∴P−4，−5．
（3）设Dm，0，En，−n2−2n+3，
∵A0,3，B−3,0，
又∵点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，可分以下几种情况：
①以AB为边构成平行四边形ABDE时，则
m+02=−3+n20+32=−n2−2n+3+02，
解得：m1=−5n1=−2，m2=−3n2=0，
∴当n=−2时，−n2−2n+3=−−22−2×−2+3=3，这时E−2，3，
当n=0时，−n2−2n+3=−02−2×0+3=3，这时E0，3，不合题意，舍去；
②以AB为边构成平行四边形ABED时，则
n+02=−3+m2−n2−2n+3+32=0+02，
解得：m3=2+7n3=−1+7，m4=2−7n4=−1−7，
∴当n=−1+7时，−n2−2n+3=−−1+72−2×−1+7+3=−3，这时E−1+7，−3，
当n=−1−7时，−n2−2n+3=−−1−72−2×−1−7+3=−3，这时E−1−7，−3；
③以AB为对角线构成平行四边形时，则
m+n2=−3+02−n2−2n+3+02=0+32，
解得：m5=−1n5=−2，m6=−3n6=0，
∴当n=−2时，−n2−2n+3=−−22−2×−2+3=3，这时E−2，3，
当n=0时，−n2−2n+3=−02−2×0+3=3，这时E0，3，不合题意，舍去；
综上所述，在抛物线上存在点E，使得以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，E点的坐标为−2，3或−1−7，−3或−1+7，−3．
【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式和一次函数的解析式，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式．根据题意分情况讨论是解题的关键．
34．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−14x2+bx−4的图象与x轴交于点A和点B8，0，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接AC，找出图中与∠ACO相等的角，并说明理由；
(3)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB=∠BCO，求点P的坐标；
(4)若点Q在第四象限内，且tan∠AQB=32，M−4，2，线段MQ是否存在最大值，如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−14x2+52x−4
(2)∠ACO=∠ABC，理由见解析
(3)P点坐标为143，209或(10，−4)；
(4)存在，97+13
【分析】（1）将点B代入二次函数解析式即可求解；
（2）证明△OAC∽△OCB即可得出结果；
（3）结合（2）可推出∠PCB=∠ABC，分P点在x轴上方以及下方两种情况进行讨论即可；
（4）过点A作AH⊥x轴，过点C作CH∥x轴，连接BH，设N为BH的中点，Q点在以N为圆心，BN为半径的圆上运动，求出MN、BN即可解决问题．
【详解】（1）解：将点B8，0代入y=−14x2+bx−4可得：0=−16+8b−4，
解得：b=52，
∴二次函数表达式为：y=−14x2+52x−4；
（2）解：∠ACO=∠ABC，理由如下：
令−14x2+52x−4=0，
解得x=2或x=8，
∴A(2，0)，
∵C(0，−4)，
∴OC=4，OA=2，OB=8，
∴OAOC=OCOB，
∴△OAC∽△OCB，
∴∠ACO=∠ABC；
（3）解：∵∠PCB+∠ACB=∠BCO=∠BCA+∠ACO，
∴∠PCB=∠ACO，
∴∠PCB=∠ABC，
①当点P在x轴上方时，
∵∠PCB=∠ABC，
∴CG=BG，
∵OB=8，
∴OG=8−BG，
∵OG2+OC2=CG2，
∴(8−BG)2+42=BG2，
解得：BG=5，
∴OG=3，
∴G(3，0)，
设直线CG的解析式为y=kx+b，
则有：−4=b0=3k+b，解得：k=43b=−4，
∴y=43x−4，
联立二次函数解析式可得y=43x−4y=14x2+52x−4，
解得：x=0（舍）或x=143，
∴P点坐标为143，209；
②如图2，当点P在x轴下方时，
∵∠PCB=∠ABC，
∴CP∥x轴，
∴P10，−4；
综上，P点坐标为143，209或10，−4；
（4）解：过点A作AH⊥x轴，过点C作CH∥x轴，连接BH，设N为BH的中点，
∵AB=6，AH=4，
∴tan∠AHB=32，
∵tan∠AOB=32，∠HAB=90°，
∴Q点在以N为圆心，BN为半径的圆上运动，
∵H(2，−4)，
∴N(5，−2)，
∵M(−4，2)，
∴MN=97，BN=13，
∴MQ的最大值为97+13．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定和性质，圆的性质是解题的关键．
35．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A3,0，B1,0两点，与y轴交于点C．且有OA=OC．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P在抛物线的对称轴上，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点Q在抛物线的对称轴上，并且有∠AQC=12∠APC，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)y=x2−4x+3
(2)P2,2
(3)Q点坐标为2,−1或2,2+5
【分析】（1）待定系数法求出解析式即可；
（2）设P(2,t)，根据△ACP是以AC为底的等腰三角形，得到PA=PC，列式求解即可；
（3）分Q点在x轴下方和Q点在x轴上方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵OA=OC，A3,0，
∴C0,3，c=3，
∴y=ax2+bx+3，
将点A3,0，B1,0代入y=ax2+bx+3，
得9a+3b+3=0a+b+3=0
解得a=1b=−4，
∴y=x2−4x+3；
（2）∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
设P(2,t)，
∴PA=1+t2，
PC=4+(t−3)2，
∵△ACP是以AC为底的等腰三角形，
∴PA=PC，
∴1+t2=4+(t−3)2，
解得t=2，
∴P2,2；
（3）∵△ACP是等腰三角形，C0,3，A3,0，P2,2，
∴PO⊥AC，
∴PO平分∠APC，
∴∠CPO=∠APO，
如图1，当Q点在x轴下方时，过C点作CQ∥AP交抛物线的对称轴为Q点，连接AQ，
∴∠CQP=∠QPA，
设直线AP的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=02k+b=2，
解得k=−2b=6，
∴y=−2x+6，
∵CQ∥AP，
∴设直线CQ的解析式为y=−2x+m，
∴m=3，
∴y=−2x+3，
∴Q2,−1，
∴QE=1，EA=1，
∴△QEA是等腰直角三角形，
∴∠EQA=45°，
∵∠OPE=45°，
∴∠CQE+∠EQA=∠OPE+∠APE=12∠APC，
∴Q2,−1；
如图2，当Q点在x轴上方时，
∵CP=AP，
∴以P为圆心CP为半径作圆，当Q点在圆P上时，∠CQA=12∠CPA，
此时QP=CP=5，
∴Q2,2+5，
综上所述：Q点坐标为2,−1或2,2+5．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论思想进行求解，是解题的关键．
36．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+8与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上，且点D的坐标为−2,4，连接BC，△OBC的面积为24．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为第一象限抛物线上一点，连接PC、PD，设点P的横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，作PE⊥x轴于点E，点F在线段OC上，BE=OF，连接CE，线段BF和CE交于点M，∠OCM+∠FBO=45°，求点P的坐标．
【答案】(1)y=−512x2+76x+8
(2)S=512t2+56t
(3)P4,6
【分析】（1）首先根据抛物线y=ax2+bx+8得出点C的坐标为0,8，然后根据△OBC的面积为24，可求出点B的坐标，将点B和点D的坐标代入抛物线y=ax2+bx+8可求出a和b的值，即可求出抛物线的解析式；
（2）如图所示，构造矩形DEFG，根据题意表示出点P的坐标为Pt,−512t2+76t+8，然后分别表示出点E，F，G的坐标，即可表示出S△EDC，S△DGP，S△CFP和S矩形DEFG的面积，进而表示出S与t之间的函数关系式；
（3）延长PE到G，使EG=OB=6，连接BG,FG，则可证明△BOF≌△GEB，从而有BF=BG，∠FBO=∠BGE；再由已知可得∠FBG=90°，则∠BGF=45°，从而可得∠FCM=∠FGE；由CF∥GE，易得CE∥FG，即四边形CEGF是平行四边形，即CF=GE=6，而CF=t+2，由此可求得t的值，从而求得点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+8，
∴当x=0时，y=8，
∴点C的坐标为0,8，即OC=8，
∵△OBC的面积为24，
∴12OB⋅OC=24，即12OB×8=24，
解得：BO=6，
∴点B的坐标为6,0，
∴将6,0和−2,4代入y=ax2+bx+8得：
36a+6b+8=04a−2b+8=4，
解得：a=−512b=76，
∴抛物线的解析式为y=−512x2+76x+8；
（2）解：如图所示，构造矩形DEFG，
设点Pt,−512t2+76t+8，
∵四边形DEFG是矩形，D−2,4，C0,8，
∴E−2,8，Ft,8，Gt,4，
∴DE=4，CE=2，CF=t，PF=8−−512t2+76t+8=512t2−76t，PG=−512t2+76t+8−4=−512t2+76t+4，DG=t+2，
S=S矩形DEFG−S△DEC−S△CFP−S△DGP =DG×DE−12×DE×CE−12×CF×FP−12×DG×PG
=t+2×4−12×4×2−12×t×512t2−76t−12×t+2×−512t2+76t+4
=512t2+56t，
即S=512t2+56t；
（3）如图，延长PE到G，使EG=OB=6，连接BG,FG，
则∠GEB=∠BOF=90°，
∵BE=OF,OB=GE，
∴△BOF≌△GEB，
∴BF=BG，∠FBO=∠BGE；
∵∠GBO+∠FBO=∠GBO+∠BGE=90°
即∠FBG=90°,
∴∠BGF=∠BGE+∠FGE=45°，
∵∠OCM+∠FBO=45°，∠FBO=∠BGE，
∴∠OCM=∠FGE，
∵CF∥GE，
∴∠OCM+∠CEG=180°，
∴∠FGE+∠CEG=180°，
∴CE∥FG，
即四边形CEGF是平行四边形，
∴CF=GE=6，
∵BE=OB−OE=6−t，
∴CF=OC−OF=OC−BE=8−(6−t)=t+2，
∴t+2=6，
解得：t=4，
∴y=−512×42+76×4+8=6，
∴P4,6．
【点睛】此题考查了二次函数和几何的综合，二次函数表达式的求法，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，割补法求图形面积等知识，解题的关键是设出点的坐标并表示出相关的线段长度．综合性强，有一定的运算量，对学生的计算能力有较高的要求．
37．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为3，0，将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．
(1)求直线BC及抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．
【答案】(1)直线BC的解析式为y=−x+3，抛物线的解析式为y=x2−4x+3；
(2)点P的坐标为2，2或2，−2．
【分析】（1）依题意设直线BC的解析式为y=kx+3，把B点坐标代入解析式求出直线BC的解析式．然后又已知抛物线y=x2+bx+c过点B、C，代入求出解析式．
（2）由y=x2−4x+3求出点D，A的坐标．得出△OBC是等腰直角三角形，过A点作AE⊥BC于点E，求出BE，CE的值．证明△AEC∽△AFP，求出PF可得点P在抛物线的对称轴，求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
∴C0，3，
设直线BC的解析式为y=kx+3，
∵B3，0在直线BC上，
∴3k+3=0，
解得：k=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
∵抛物线y=x2+bx+c过点B、C，
∴9+3b+c=0c=3，
解得：b=−4c=3，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3；
（2）解：由y=x2−4x+3，得y=x−22−1，
可得顶点D2，−1，
令y=0，则x−22−1=0，
解得x1=1、x2=3，
∴A1，0，
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，BC=32+32=32，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，CB=32，
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=12AB=1，
过点A作AE⊥BC于点E，
则有∠AEB=90°，
∴BE=AE=2，CE=CB−BE=22，
在△AEC与△AFP中，
∵∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP，
∴AEAF=CEPF，即21=22PF，
解得：PF=2，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为2，2或2，−2．
【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，涉及到的考点有：函数图形的平移、一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理等，对学生综合运用知识的能力要求较高．
38．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，A−2,0，B8,0，与y轴交于点C，连接AC、BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：∠ACO=∠ABC；
(3)点P在抛物线上，且∠PCB=∠ACO，求点P的坐标．
【答案】(1)y=14x2−32x−4
(2)见解析
(3)6,−4或343,1009
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据勾股定理逆定理证得△ABC是直角三角形，进而证得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC下方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC上方时，设PC交x轴于点H，设HB=HC=m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标．
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，A−2,0，B8,0
∴4a−2b+c=064a+8b+c=0c=−4，
解得a=14b=−32c=−4，
∴抛物线的表达式为y=14x2−32x−4；
（2）在△ABC中，AC2+BC2=22+42+42+82=100，AB2=(8+2)=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO=90°−∠BCO，∠ABC=90°−∠BCO，
∴∠ACO=∠ABC；
（3）①当点P在BC下方时，如图，
由（1）知∠ACO=∠ABC，
∵∠PCB=∠ACO，
∴∠PCB=∠ABC，
∴PC∥AB，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为−4，
令y=−4，则14x2−32x−4=−4，
解得：x=0或x=6，
∴P6,−4；
②当点P在BC上方时，如图，
设PC交x轴于点H，
由①知∠PCB=∠ABC，
∴HC=HB．
设HB=HC=m，
∴OH=OB−HB=8−m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2=CH2，
∴42+8−m2=m2，
解得：m=5，
∴OH=3，
∴H3,0．
设直线PC的解析式为y=kx+n，
∴n=−43k+n=0，
解得k=43n=−4，
∴y=43x−4，
∴y=14x2−32x−4y=43x−4，
解得x1=0y1=−4（舍去），x2=343y2=1009，
综上所述，点P的坐标为6,−4或343,1009．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理及逆定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
39．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2ax−3a交x轴于A、B两点（点B在点A的右侧），交y轴于点C，OB=OC，连接BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P这第一象限抛物线上的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，设PQ的长度为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式；
(3)若点D2，n在抛物线上，点E为抛物线对称轴上的一点，过点E作EF⊥y轴交y轴于点F，连接AF，DE，当AF=DE时，求AF+EF+DF的值．
(4)设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，在y轴上否存在一点M，使得∠BMN最大？若存在，请直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)l=−22m2−3m0