中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题12概率的有关计算(江苏真题25道模拟30道)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题12概率的有关计算(江苏真题25道模拟30道)(原卷版+解析)，共57页。

【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
2．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
3．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
4．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
1．（2022•淮安）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
2．（2022•镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
3．（2022•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
4．（2022•盐城）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
5．（2022•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是 ；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
6．（2022•徐州）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
7．（2022•泰州）即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热．小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．
8．（2022•无锡）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
9．（2022•宿迁）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
10．（2022•苏州）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 ；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
11．（2022•扬州）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
（1）用树状图列出所有等可能出现的结果；
（2）活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
12．（2022•连云港）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
13．（2021•无锡）学校开展学生会主席竞选活动，最后一轮是演讲环节，抽签方式如下：每位选手分别从标有“A”、“B”内容的签中随机抽取一个，就抽取的内容进行演讲．现有小明、小亮和小丽三名选手，求出下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列举”等方法写出分析过程）
（1）三个选手抽中同一演讲内容；
（2）三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”．
14．（2021•淮安）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
15．（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 ；
（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．
16．（2021•泰州）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张．
（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 （填“相同”或“不同”）；
（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率．
17．（2021•徐州）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1、B1、B2…D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
18．（2021•常州）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是 ；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．
19．（2021•无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
20．（2021•南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是 ．
21．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
22．（2021•扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．
（1）甲坐在①号座位的概率是 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．
23．（2021•苏州）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
24．（2021•连云港）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 ；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
25．（2021•盐城）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．
（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为 ；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
1．（2023•苏州模拟）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ；
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案不同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
2．（2022•亭湖区校级一模）盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这“美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递．
（1）经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是 ．
（2）请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率；
（3）猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到 同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大．
3．（2022•海州区校级二模）“学习强国”学习平台是以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的优质平台、平台由P℃端、手机客户端两大终端组成．手机客户端上主要有阅读文章、观看视频、答题活动三种学习方式．
（1）张老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，恰好选中答题活动的概率为 ．
（2）张老师和李老师各自从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，选用列表或画树状图的方法，求他们选中同一种学习方式的概率．
4．（2022•亭湖区校级三模）小明和小亮设计了一个“配紫色”游戏：A、B是两个可以自由转动的转盘，A转盘被分成面积相等的两个扇形，B转盘三个扇形的圆心角都为120°，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，若配成紫色，则小明赢；否则小亮赢．
（1）转动转盘B一次，转出蓝色的概率是 ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
5．（2022•泉山区校级三模）小明的爸妈购买车票，高铁售票系统随机分配座位，若系统已将两人分配到同一排．
（1）小明的爸爸购得A座票后，妈妈购得B座票的概率是 ；
（2）求分给二人相邻座位（过道两侧座位C、D不算相邻）的概率．
6．（2022•连云港模拟）为防控冠状病毒，市防疫办要求学生进校园必须戴口罩、测体温．某校开通了A、B、C三条测体温的通道，给进校园的学生测体温．在3个通道中，可随机选择其中的一个通过．
（1）则该校学生小明进校园时，由A通道测体温的概率是 ．
（2）用列树状图或表格的方法，求小明和他的同学乐乐进校园时，经过同一通道测体温的概率．
7．（2022•亭湖区校级模拟）小明在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、﹣4、﹣3．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后小明任意从中抽出一张，放回搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有正数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为负数的概率．
8．（2022•涟水县一模）某校计划在下个月第三周的星期一至星期四开展社团活动．
（1）若甲同学随机选择其中的一天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为 ．
（2）若乙同学随机选择其中的两天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率．
9．（2022•宜兴市二模）某校共有2名男生和2名女生竞选学校学生会主席，现抽签决定演说顺序．
（1）第一个演说的是男生的概率是 ；
（2）求第一个和第二个演说的都是女生的概率．（请用画树状图或列表的形式给出分析过程）
10．（2022•江都区二模）如图，转盘A中的半圆标注2，其他两个扇形的面积相等，分别标注1和4．转盘B中的半圆标注1，其他两个扇形的面积相等，分别标注2和3．
（1）转动转盘A，当转盘停止转动时，记录指针指向的数．连续进行两次该操作，请用树状图或列表法求记录的2个数相同的概率；
（2）分别转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，记录两个转盘的指针各自指向的数，则记录的2个数不相同的概率是 ．
11．（2022•宿豫区二模）煎饼，是我国北方地区传统主食之一，在我国的分布地区很广，种类众多．某早餐店出售4种口味的煎饼：小麦煎饼、玉米煎饼、红薯煎饼、杂粮煎饼，李阿姨到该早餐店买煎饼（假设李阿姨选择煎饼的口味是随机选择的）．
（1）李阿姨买杂粮煎饼的概率是 ；
（2）若李阿姨准备买2种不同口味的煎饼，试用列表或画树状图的方法，求李阿姨买小麦煎饼和玉米煎饼的概率．
12．（2022•启东市二模）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员相互配合，为广大青少年再度带来一场“高能”的太空科普课，生动演示微重力环境下的“太空冰雪、液桥演示、水油分离、太空抛物”等四个实验，深入浅出讲解实验现象背后的科学原理．我们学校的全体学生也观看了这一节课．小杰的物理老师组织班级同学开展“我爱科学”活动，分享观看四个实验后的感想．老师将四个实验的名称分别写在四张完全相同的卡片上，背面朝上，每位同学随机选择其中一张，并向同伴分享对应实验的观看收获．
（1）小杰抽到写有“太空抛物实验”卡片，并分享观后收获的概率为 ；
（2）通过列表或树状图，求出小杰和同桌小伟恰好都抽到写有“太空抛物实验”卡片，并分享观后收获的概率．
13．（2022•淮阴区校级一模）某城市新冠疫情严重，波及周围部分城市，我市为加强防控，要求学生进校必须戴口罩、测体温．某校开通了A、B、C三条人工测体温通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过．
（1）某同学进校园时，由A通道通过的概率是 ；
（2）甲、乙两位同学进校园时，由相同通道通过的概率．（用画“树状图”或“列表格”）
14．（2022•丰县二模）如图，某公园门口的限行柱之间的三个通道分别记为A、B、C，这三个通道宽度同，行人选择任意一个通道经过的可能性是相同的．周末甲、乙、丙、丁四位同学相约去该公园玩．
（1）甲同学选择A通道的概率是 ．
（2）用画树状图法或列表法，求甲、丙两位同学从同一通道经过的概率．
15．（2022•海陵区二模）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
（1）从C、D、E、F四点中任取一点，以这点及点A、B为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率是 ．
（2）从A、B、D、E四点中任取两点，以这两点及点C、F为顶点画四边形，用画树状图或列表格法求所画四边形是平行四边形的概率．
16．（2022•仪征市二模）北京首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”，墩墩和融融积极参加雪上项目的志愿者服务，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去参加服务．
（1）墩墩选坐1号车的概率是 ；
（2）请利用树状图或列表法求两人同坐2号车的概率．
17．（2022•靖江市二模）随着地方经济的飞速发展，某地体育中心、金融中心、文化中心相继落成，小明、小丽周末都有想去参观游玩的打算．
（1）若小明随机选择其中一个地点游玩，则小明选择文化中心的概率为 ；
（2）利用列表或画树状图的方法，求小明、小丽两人选择的两个地点不同的概率．
18．（2022•亭湖区校级一模）中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地．2022年3月23日“天宫课”中航天员生动演示了微重力环境下的4个实验，分别是A．太空冰雪实验、B．液桥演示实验、C．水油分离实验、D．太空抛物实验．小明和小华两位同学打算各自从这四个实验中随机抽取一个，制作手抄报讲解实验现象背后的科学原理．
（1）小明随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率为 ；
（2）利用树状图或列表的方法求小明和小华抽到不同实验的概率．
19．（2022•海州区校级二模）依次将甲、乙、丙三个完全相同的小球，随机任意放入A、B、C三个盒子里，每个小球的去向互不影响．
（1）最终甲球被放入B盒子里的概率为 ；
（2）求甲、乙、丙三个球在同一个盒子里的概率（请用“画树状图”等方法写出分析过程）．
20．（2022•宜兴市校级二模）如图，有2个相同的小球和5个摆放成“十”字型的正方形格子．
（1）将1个小球随机放入格子中，则这个小球恰好落在中心格子中的概率是 ；
（2）将2个球随机放入格中，每格至多放一个球，列表或者画树状图求这2个球所在的格子恰有一条公共边的概率．
21．（2022•江都区校级三模）某公司获得了江苏省第二十届运动会吉祥物“泰宝”、“凤娃”的形象使用权，并专门设计了“泰宝”、“凤娃”、“会徽”三款雪糕．为了解三款雪糕的顾客满意度，公司在各商场设定摸奖免费试吃活动．活动规则：在一个不透明的盒子内，装有除标记外其余都相同的三个小球（“泰宝”、“凤娃”、“会徽”分别用T、F、H标记），规定摸出什么记号的小球，即可兑换一支相应款型的雪糕．
（1）小张同学参加活动时，获得两次摸奖机会，他先摸出一个小球，放回搅匀后，再摸一个小球，工作人员根据他两次所摸结果为他兑奖．请用树状图或列表法，表示他摸出小球的各种可能情况．
（2）小张同学能获得两支不同款型雪糕的概率是多少？
22．（2022•武进区二模）某社区2名男生和3名女生积极报名参加抗击疫情工作，他们分配到的任务是保障社区居民物资需求．
（1）若从这5人中选1人进行物资登记，求恰好选中女生的概率；
（2）若从这5人中选2人进行物资分配，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
23．（2022•泰兴市一模）某社区要招募一名省运会志愿者，小红和小明都积极报名参加，社区拟采用抽签的办法决定谁是志愿者．抽签规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个签（除编号外都相同）：从中随机抽出两个签，记下数字，若两个数字之和为奇数，则小红为志愿者，若两个数字之和为偶数，则小明为志愿者．
（1）请用列表或画树状图的方法列出抽签所有可能出现的结果；
（2）这个抽签规则对双方公平吗？请说明理由．
24．（2022•建邺区二模）为阻断疫情传播，筑牢抗疫防线，落实动态清零政策，某社区设置了A、B、C三个核酸检测点．假定甲、乙两人去某个检测点是随机的且去每个检测点机会均等．
（1）甲在A检测点做核酸的概率为 ．
（2）求甲、乙两人在不同检测点做核酸的概率．
25．（2022•兴化市二模）为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有3名学生（2名男生，1名女生）获奖．
（1）老师从获奖的3名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是女生的概率为 ．
（2）老师若从获奖的3名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生，一名女生的概率．
26．（2022•南京二模）2022年冬奥会和冬残奥会在我国举行．如图，冬奥会的会徽和吉祥物为“冬梦“、“冰墩墩“，冬残奥会的会徽和吉祥物为“飞跃“、“雪容融“，将4张正面分别印有以上图案的卡片随机分成甲、乙两组，每组2张．
（1）“冰墩墩“在甲组的概率是 ；
（2）求每组的2张卡片恰是会徽和对应吉祥物的概率．
27．（2022•工业园区校级二模）一个3×3的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．
（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为 ；
（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格1、2、3、4、5内随机放入两枚棋子，试用“列表法或画树状图”的方法，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．
28．（2022•吴中区模拟）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ．
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ．
（3）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率．
29．（2022•金坛区二模）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需要重新转动转盘）
（1）转动甲转盘，指针指向数字5的概率是 ；
（2）当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y，求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．
30．（2022•贾汪区二模）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校为加强学生自我防护意识，成立“防疫志愿者服务队”，设立三个“监督岗”：①教学楼监督岗，②阅览室监督岗，③就餐监督岗，小宇和小宁两位同学报名参加了志愿者服务工作，在不了解具体岗位的情况下，他们从序号①、②、③中随机填报了一个服务监督岗序号．
（1）小宇填报“③”的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法，求小宇和小宁同时选到“③就餐监督岗”的概率．
窗
过道
窗
月平均用水量（吨）
3
4
5
6
7
频数（户数）
4
a
9
10
7
频率
0.08
0.40
b
0.20
0.14
2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题12概率的有关计算（江苏真题25道模拟30道）
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
2．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
3．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
4．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
1．（2022•淮安）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】（1）∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），共4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为．
2．（2022•镇江）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ；
（2）搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率为．
3．（2022•南通）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，
∴两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率为．
4．（2022•盐城）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解析】画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，
∴甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率为＝．
5．（2022•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是 ；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的①③、①⑤、②④这3个，
所以2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为＝．
6．（2022•徐州）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 ；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，
∴抽得2张扑克牌的数字不同的概率为＝．
7．（2022•泰州）即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热．小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
【解析】树状图如下所示，
由上可得，一共有6种可能性，其中恰好经过通道A与通道D的可能性有1种，
∴恰好经过通道A与通道D的概率为．
8．（2022•无锡）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 ；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，
∴抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率为＝．
9．（2022•宿迁）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
【分析】（1）根据题意可知甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性，从而可以求得恰好选中丙的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得一定有乙的概率．
【解析】（1）由题意可得，
甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性，
故恰好选中丙的概率是，
故答案为：；
（2）树状图如下：
由上可得，一共有12种可能性，其中一定有乙的可能性有6种，
故一定有乙的概率是＝．
10．（2022•苏州）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为 ；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图列举出所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
【解析】（1）∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：＝．
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为＝．
11．（2022•扬州）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
（1）用树状图列出所有等可能出现的结果；
（2）活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）由树状图可知，摸出颜色不同的两球的结果有4种，摸出颜色相同的两球的结果有2种，再由概率公式去摸出颜色不同的两球的概率和摸出颜色相同的两球的概率，进而得出结论．
【解析】（1）画树状图如下：
共有6种等可能出现的结果；
（2）摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖，摸出颜色相同的两球对应的奖次为一等奖，理由如下：
由树状图可知，摸出颜色不同的两球的结果有4种，摸出颜色相同的两球的结果有2种，
∴摸出颜色不同的两球的概率为＝，摸出颜色相同的两球的概率为＝，
∵一等奖的获奖率低于二等奖，＜，
∴摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖，摸出颜色相同的两球对应的奖次为一等奖．
12．（2022•连云港）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】（1）甲每次做出“石头”手势的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图得：
共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，
则乙不输的概率是＝．
13．（2021•无锡）学校开展学生会主席竞选活动，最后一轮是演讲环节，抽签方式如下：每位选手分别从标有“A”、“B”内容的签中随机抽取一个，就抽取的内容进行演讲．现有小明、小亮和小丽三名选手，求出下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列举”等方法写出分析过程）
（1）三个选手抽中同一演讲内容；
（2）三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三个选手抽中同一演讲内容的结果，根据概率公式求解可得答案；
（2）找到这三个选手中有两个抽中内容“A”，一个抽中内容“B”的情况，利用概率公式即可求得答案．
【解析】（1）根据题意画出树状图如图：
由树状图知，共有8种等可能结果，其中三个选手抽中同一演讲内容的有2种结果，
∴三个选手抽中同一演讲内容的概率为＝；
（2）三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”的有3种结果，
∴三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”的概率为．
14．（2021•淮安）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．
【分析】（1）用负数的个数除以数字的总个数即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．
15．（2021•南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 ；
（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 ＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，
∴两次取出小球标号的和等于5的概率为＝．
16．（2021•泰州）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张．
（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 相同 （填“相同”或“不同”）；
（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率．
【分析】（1）两种抽取方式，结果是一样的，即可求解；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张抽到不同图案卡片的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率相同，
故答案为：相同；
（2）把“泰宝”和“凤娃”两种吉祥物分别记为：A、B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小张抽到不同图案卡片的结果有8种，
∴抽到不同图案卡片的概率为＝．
17．（2021•徐州）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1、B1、B2…D3、D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
【分析】根据题意画出该过程的树状图，写出所有可能的情况，即可求圆球落入③号槽内的概率．
【解析】根据题意，画出如下树形图，
共有8种情况，其中落入③号槽的有3种，
P（落入③号槽）＝．
18．（2021•常州）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是 ；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种，
∴四边形ABCD一定是正方形的概率为＝．
19．（2021•无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，
∴取出的2张卡片数字相同的概率为＝；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，
∴取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为．
20．（2021•南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是 ．
【分析】（1）画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（2）由题意得：第一次摸出白球的概率为，第二次摸出白球的概率也为，求解即可．
【解析】（1）画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为；
（2）由题意得：第一次摸出白球的概率为，第二次摸出白球的概率也为，
∴两次摸出的球都是白球的概率为×＝，
故答案为：．
解法二：
若第一次摸到红球，则两次摸出的球都是白球的概率为P′＝0，
若第一次摸到白球，则两次摸出的球都是白球的概率为P″＝×＝，
∴所求概率为P＝P′+P″＝0+＝，
故答案为：．
解法三：
第一次取到白球的概率为，
即一个圆的，
第二次再取到白球的概率是将上面的（扇形）再分为3等份，取到的白球的概率是的，
即，
∴两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
21．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故答案为：；
（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为＝．
22．（2021•扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．
（1）甲坐在①号座位的概率是 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）∵丙坐了一张座位，
∴甲坐在①号座位的概率是；
（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，甲与乙两人恰好相邻而坐的结果有4种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为．
23．（2021•苏州）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用列表法列举出所有可能，进而利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【解析】（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：．
（2）列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
所以甲获胜的概率＝乙获胜的概率＝＝，
∴此游戏公平．
24．（2021•连云港）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 ；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案；
（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【解析】（1）∵已确定甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中乙的只有1种，
∴恰好选中乙的概率为：．
故答案为：．
（2）画树状图如下图：
共有12种等可能的结果数，其中恰好有1名女生和1名男生的结果数为8，
∴P（1女1男）＝＝．
∴所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．
25．（2021•盐城）圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同．
（1）从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为 ；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
【分析】（1）由题意得出从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字6的只有1种结果，利用概率公式求解即可；
（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
【解析】（1）∵随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，
∴从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字6的只有1种结果，
∴从π的小数部分随机取出一个数字，估计是数字6的概率为，
故答案为：；
（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下：
∵共有12种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之的有6种结果，
∴其中有一幅是祖冲之的概率为＝．
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
1．（2023•苏州模拟）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ；
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案不同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故答案为：；
（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有6种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为＝．
2．（2022•亭湖区校级一模）盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这“美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递．
（1）经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是 ．
（2）请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率；
（3）猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到 甲 同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大．
【分析】（1）根据题意可知：第1次传递后，可能传给乙，也可能传给丙，从而可以写出经过1次传递后，花环传到乙手中的概率；
（2）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到经过2次传递后，花环传到乙手中的概率；
（3）先写出猜想，然后说一下如何猜想的即可．
【解析】（1）∵从甲开始传递，
∴第1次传递后，可能传给乙，也可能传给丙，
∴经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是，
故答案为：；
（2）树状图如下所示：
由上可得，经过2次传递后，一共有4种可能性，其中花环传到乙手中的可能性有1种，
故花环传到乙手中的概率是；
（3）经过2022次传递后，传到甲同学手中的可能性最大，
提示：可以写出第三次传递和第四次传递后，传到甲、乙、丙相应的概率，可以发现奇数次乙、丙的概率一样，大于甲的概率；偶数次乙、丙的概率一样，小于甲的概率，从而可以写出经过2022次传递后，传到甲同学手中的可能性最大，
故答案为：甲．
3．（2022•海州区校级二模）“学习强国”学习平台是以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的优质平台、平台由P℃端、手机客户端两大终端组成．手机客户端上主要有阅读文章、观看视频、答题活动三种学习方式．
（1）张老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，恰好选中答题活动的概率为 ．
（2）张老师和李老师各自从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，选用列表或画树状图的方法，求他们选中同一种学习方式的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从表格中得出他们选中同一种学习方式的结果数，利用概率公式求解可得．
【解析】（1）王老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，恰好选中答题活动的概率是；
故答案为：．
（2）记阅读文章、观看视频、答题活动分别为A，B，C，
列表如下：
由表可知共有9种等可能的结果，其中他们选中同一种学习方式的有3种情况，
所以他们选中同一种学习方式的概率．
4．（2022•亭湖区校级三模）小明和小亮设计了一个“配紫色”游戏：A、B是两个可以自由转动的转盘，A转盘被分成面积相等的两个扇形，B转盘三个扇形的圆心角都为120°，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，若配成紫色，则小明赢；否则小亮赢．
（1）转动转盘B一次，转出蓝色的概率是 ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）用蓝色的圆心角度数除以360°即可得出答案；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出小亮、小明去的概率，进而判断游戏是否公平．
【解析】（1）转动转盘B一次，转出蓝色的概率是，
故答案为：；
（2）这个游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，
∴，，
所以游戏公平．
5．（2022•泉山区校级三模）小明的爸妈购买车票，高铁售票系统随机分配座位，若系统已将两人分配到同一排．
（1）小明的爸爸购得A座票后，妈妈购得B座票的概率是 ；
（2）求分给二人相邻座位（过道两侧座位C、D不算相邻）的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中分给小明的爸妈二人相邻座位（过道两侧座位C、D不算相邻）的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）小明的爸爸购得A座票后，妈妈购得B座票的的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中分给小明的爸妈二人相邻座位（过道两侧座位C、D不算相邻）的结果有6种，
∴分给小明的爸妈二人相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是＝．
6．（2022•连云港模拟）为防控冠状病毒，市防疫办要求学生进校园必须戴口罩、测体温．某校开通了A、B、C三条测体温的通道，给进校园的学生测体温．在3个通道中，可随机选择其中的一个通过．
（1）则该校学生小明进校园时，由A通道测体温的概率是 ．
（2）用列树状图或表格的方法，求小明和他的同学乐乐进校园时，经过同一通道测体温的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，小明和他的同学乐乐进校园时，经过同一通道测体温的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）∵某校开通了A、B、C三条测体温的通道，给进校园的学生测体温，
∴小明进校园时，由A通道测体温的概率是．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小明和他的同学乐乐进校园时，经过同一通道测体温的结果有3种，
∴小明和他的同学乐乐进校园时，经过同一通道测体温的概率为＝．
7．（2022•亭湖区校级模拟）小明在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、﹣4、﹣3．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后小明任意从中抽出一张，放回搅匀后再任意抽出一张记下数字．
（1）第一次抽到写有正数的卡片的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为负数的概率．
【分析】（1）用正数的个数除以数字的总个数即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）第一次抽到写有正数的卡片的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为负数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．
8．（2022•涟水县一模）某校计划在下个月第三周的星期一至星期四开展社团活动．
（1）若甲同学随机选择其中的一天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为 ．
（2）若乙同学随机选择其中的两天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表，共有12个等可能的结果，甲、乙两位同学选择的两天是连续两天的结果有6个，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）若甲同学随机选择其中的一1天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为，
故答案为：．
（2）把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：A、B、C、D，
根据题意列表如下：
共有12个等可能的结果，乙同学随机选择其中的两天参加活动，其中一天是星期二的概率的结果有6个，
∴其中一天是星期二的概率为＝．
9．（2022•宜兴市二模）某校共有2名男生和2名女生竞选学校学生会主席，现抽签决定演说顺序．
（1）第一个演说的是男生的概率是 ；
（2）求第一个和第二个演说的都是女生的概率．（请用画树状图或列表的形式给出分析过程）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的情况，其中第一个和第二个演说的都是女生的情况有2种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）∵共有2名男生和2名女生竞选学校学生会主席，
∴第一个演说的是男生的概率是＝，
故答案为：；
（2）画树状图图如下：
共有12种等可能的情况，其中第一个和第二个演说的都是女生的情况有2种，
∴第一个和第二个演说的都是女生的概率为＝．
10．（2022•江都区二模）如图，转盘A中的半圆标注2，其他两个扇形的面积相等，分别标注1和4．转盘B中的半圆标注1，其他两个扇形的面积相等，分别标注2和3．
（1）转动转盘A，当转盘停止转动时，记录指针指向的数．连续进行两次该操作，请用树状图或列表法求记录的2个数相同的概率；
（2）分别转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，记录两个转盘的指针各自指向的数，则记录的2个数不相同的概率是 ．
【分析】（1）把转盘A分成相等的四部分，2占2份，画树状展示所有16种等可能的结果，再找出2个数相同的结果数，然后根据概率公式计算；
（2）把转盘B分成相等的四部分，1占2份，画树状展示所有16种等可能的结果，再找出2个数不相同的结果数，然后根据概率公式计算．
【解析】（1）画树状图：
共有16种等可能的结果，其中2个数相同的结果数为6，
所以记录的2个数相同的概率＝＝；
（2）画树状图：
共有16种等可能的结果，其中2个数不相同的结果数为12，
所以记录的2个数不相同的概率＝＝．
故答案为：．
11．（2022•宿豫区二模）煎饼，是我国北方地区传统主食之一，在我国的分布地区很广，种类众多．某早餐店出售4种口味的煎饼：小麦煎饼、玉米煎饼、红薯煎饼、杂粮煎饼，李阿姨到该早餐店买煎饼（假设李阿姨选择煎饼的口味是随机选择的）．
（1）李阿姨买杂粮煎饼的概率是 ；
（2）若李阿姨准备买2种不同口味的煎饼，试用列表或画树状图的方法，求李阿姨买小麦煎饼和玉米煎饼的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解即可．
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与李阿姨买小麦煎饼和玉米煎饼的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】（1）李阿姨买杂粮煎饼的概率是；
故答案为：；
（2）小麦煎饼、玉米煎饼、红薯煎饼、杂粮煎饼分别用A、B、C、D表示，
画树状图得：
共有12种等可能的结果，其中李阿姨买小麦煎饼和玉米煎饼的有2种情况，
则李阿姨买小麦煎饼和玉米煎饼的概率是＝．
12．（2022•启东市二模）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员相互配合，为广大青少年再度带来一场“高能”的太空科普课，生动演示微重力环境下的“太空冰雪、液桥演示、水油分离、太空抛物”等四个实验，深入浅出讲解实验现象背后的科学原理．我们学校的全体学生也观看了这一节课．小杰的物理老师组织班级同学开展“我爱科学”活动，分享观看四个实验后的感想．老师将四个实验的名称分别写在四张完全相同的卡片上，背面朝上，每位同学随机选择其中一张，并向同伴分享对应实验的观看收获．
（1）小杰抽到写有“太空抛物实验”卡片，并分享观后收获的概率为 ；
（2）通过列表或树状图，求出小杰和同桌小伟恰好都抽到写有“太空抛物实验”卡片，并分享观后收获的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解即可．
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小杰和同桌小伟恰好都抽到写有“太空抛物实验”卡片，并分享观后收获的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】（1）小杰抽到写有“太空抛物实验”卡片，并分享观后收获的概率为；
故答案为：；
（2）“太空冰雪、液桥演示、水油分离、太空抛物”四个实验分别用A、B、C、D表示，
根据题意画图如下：
由树状图（表）可知，共有16种情况，且每种情况等可能性，其中小杰和同桌小伟恰好都分享“太空抛物实验”收获（记为事件A）的情况有一种（“太空抛物实验”，“太空抛物实验”），
则小杰和同桌小伟恰好都抽到写有“太空抛物实验”卡片，并分享观后收获的概率是．
13．（2022•淮阴区校级一模）某城市新冠疫情严重，波及周围部分城市，我市为加强防控，要求学生进校必须戴口罩、测体温．某校开通了A、B、C三条人工测体温通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过．
（1）某同学进校园时，由A通道通过的概率是 ；
（2）甲、乙两位同学进校园时，由相同通道通过的概率．（用画“树状图”或“列表格”）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学进校园时，由相同通道通过的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）∵某校开通了A、B、C三条测体温的通道，
∴某同学进校园时，由A通道通过的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学进校园时，由相同通道通过的结果有3种，
∴甲、乙两位同学进校园时，由相同通道通过的概率为＝．
14．（2022•丰县二模）如图，某公园门口的限行柱之间的三个通道分别记为A、B、C，这三个通道宽度同，行人选择任意一个通道经过的可能性是相同的．周末甲、乙、丙、丁四位同学相约去该公园玩．
（1）甲同学选择A通道的概率是 ．
（2）用画树状图法或列表法，求甲、丙两位同学从同一通道经过的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，找出甲、丙两位同学从同一通道经过的结果，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）甲同学选择A通道的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的情况数，甲、丙两位同学从同一通道经过的有3种，
则甲、丙两位同学从同一通道经过的概率是＝．
15．（2022•海陵区二模）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
（1）从C、D、E、F四点中任取一点，以这点及点A、B为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率是 ．
（2）从A、B、D、E四点中任取两点，以这两点及点C、F为顶点画四边形，用画树状图或列表格法求所画四边形是平行四边形的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中以这两点及点C、F为顶点画四边形，所画四边形是平行四边形的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）从C、D、E、F四点中任取一点，以这点及点A、B为顶点画三角形，共有4种可能，
其中选取C或E或F点时，所画三角形是等腰三角形，
∴所画三角形是等腰三角形的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中以这两点及点C、F为顶点画四边形，所画四边形是平行四边形的结果有4种，即AB、AE、BA、EA，
∴所画四边形是平行四边形的概率为＝．
16．（2022•仪征市二模）北京首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”，墩墩和融融积极参加雪上项目的志愿者服务，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去参加服务．
（1）墩墩选坐1号车的概率是 ；
（2）请利用树状图或列表法求两人同坐2号车的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两人同坐2号车的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）墩墩选坐1号车的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两人同坐2号车的结果有1种，
则两人同坐2号车的概率为．
17．（2022•靖江市二模）随着地方经济的飞速发展，某地体育中心、金融中心、文化中心相继落成，小明、小丽周末都有想去参观游玩的打算．
（1）若小明随机选择其中一个地点游玩，则小明选择文化中心的概率为 ；
（2）利用列表或画树状图的方法，求小明、小丽两人选择的两个地点不同的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）若小明随机选择其中一个地点游玩，则小明选择文化中心的概率为，
故答案为：；
（2）将体育中心、金融中心、文化中心分别记作A、B、C，
画树状图如图：
由树状图知，共有9个等可能的结果，其中小明、小丽两人选择的两个地点不同的有6种结果，
所以小明、小丽两人选择的两个地点不同的概率为＝．
18．（2022•亭湖区校级一模）中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地．2022年3月23日“天宫课”中航天员生动演示了微重力环境下的4个实验，分别是A．太空冰雪实验、B．液桥演示实验、C．水油分离实验、D．太空抛物实验．小明和小华两位同学打算各自从这四个实验中随机抽取一个，制作手抄报讲解实验现象背后的科学原理．
（1）小明随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率为 ；
（2）利用树状图或列表的方法求小明和小华抽到不同实验的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小华抽到不同实验的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）小明随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小华抽到不同实验的结果有12种，
∴小明和小华抽到不同实验的概率为＝．
19．（2022•海州区校级二模）依次将甲、乙、丙三个完全相同的小球，随机任意放入A、B、C三个盒子里，每个小球的去向互不影响．
（1）最终甲球被放入B盒子里的概率为 ；
（2）求甲、乙、丙三个球在同一个盒子里的概率（请用“画树状图”等方法写出分析过程）．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】（1）最终甲球被放入B盒子里的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有27种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个球在同一个盒子里的结果数为3，
所以甲、乙、丙三个球在同一个盒子里的的概率＝＝．
20．（2022•宜兴市校级二模）如图，有2个相同的小球和5个摆放成“十”字型的正方形格子．
（1）将1个小球随机放入格子中，则这个小球恰好落在中心格子中的概率是 ；
（2）将2个球随机放入格中，每格至多放一个球，列表或者画树状图求这2个球所在的格子恰有一条公共边的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）将五个方格分别记作1、2、3、4、5，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）将1个小球随机放入格子中，则这个小球恰好落在中心格子中的概率是，
故答案为：；
（2）如图，将五个方格分别记作1、2、3、4、5，
列表如下：
由表知，共有20种等可能结果，其中这2个球所在的格子恰有一条公共边的8种结果，
所以这2个球所在的格子恰有一条公共边的概率为＝．
21．（2022•江都区校级三模）某公司获得了江苏省第二十届运动会吉祥物“泰宝”、“凤娃”的形象使用权，并专门设计了“泰宝”、“凤娃”、“会徽”三款雪糕．为了解三款雪糕的顾客满意度，公司在各商场设定摸奖免费试吃活动．活动规则：在一个不透明的盒子内，装有除标记外其余都相同的三个小球（“泰宝”、“凤娃”、“会徽”分别用T、F、H标记），规定摸出什么记号的小球，即可兑换一支相应款型的雪糕．
（1）小张同学参加活动时，获得两次摸奖机会，他先摸出一个小球，放回搅匀后，再摸一个小球，工作人员根据他两次所摸结果为他兑奖．请用树状图或列表法，表示他摸出小球的各种可能情况．
（2）小张同学能获得两支不同款型雪糕的概率是多少？
【分析】（1）列表得出所有等可能结果；
（2）从表格中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】（1）列表如下：
由表知，共有9种等可能结果；
（2）由表知，小张同学能获得两支不同款型雪糕的有6种结果，
所以小张同学能获得两支不同款型雪糕的概率为＝．
22．（2022•武进区二模）某社区2名男生和3名女生积极报名参加抗击疫情工作，他们分配到的任务是保障社区居民物资需求．
（1）若从这5人中选1人进行物资登记，求恰好选中女生的概率；
（2）若从这5人中选2人进行物资分配，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）若从这5人中选1人进行物资登记，恰好选中女生的概率是；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有12种，
∴恰好选中一男一女的概率为＝．
23．（2022•泰兴市一模）某社区要招募一名省运会志愿者，小红和小明都积极报名参加，社区拟采用抽签的办法决定谁是志愿者．抽签规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个签（除编号外都相同）：从中随机抽出两个签，记下数字，若两个数字之和为奇数，则小红为志愿者，若两个数字之和为偶数，则小明为志愿者．
（1）请用列表或画树状图的方法列出抽签所有可能出现的结果；
（2）这个抽签规则对双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果即可；
（2）求出小红、小明获胜的概率即可．
【解析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
（2）这个抽签规则对双方不公平，理由如下：
由（1）可得，共有6种可能出现的结果，其中两张卡片数字之和为奇数的有4种，偶数的有2种，
所以小红胜的概率为＝，小明胜的概率为＝，
因为，
所以不公平．
24．（2022•建邺区二模）为阻断疫情传播，筑牢抗疫防线，落实动态清零政策，某社区设置了A、B、C三个核酸检测点．假定甲、乙两人去某个检测点是随机的且去每个检测点机会均等．
（1）甲在A检测点做核酸的概率为 ．
（2）求甲、乙两人在不同检测点做核酸的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人在不同检测点做核酸有6种结果，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）甲在A检测点做核酸的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人在不同检测点做核酸有6种结果，
∴甲、乙两人在不同检测点做核酸的的概率为＝．
25．（2022•兴化市二模）为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有3名学生（2名男生，1名女生）获奖．
（1）老师从获奖的3名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是女生的概率为 ．
（2）老师若从获奖的3名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生，一名女生的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中恰好是一名男生，一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）老师从获奖的3名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是女生的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好是一名男生，一名女生的结果有4种，
∴恰好是一名男生，一名女生的概率为＝．
26．（2022•南京二模）2022年冬奥会和冬残奥会在我国举行．如图，冬奥会的会徽和吉祥物为“冬梦“、“冰墩墩“，冬残奥会的会徽和吉祥物为“飞跃“、“雪容融“，将4张正面分别印有以上图案的卡片随机分成甲、乙两组，每组2张．
（1）“冰墩墩“在甲组的概率是 ；
（2）求每组的2张卡片恰是会徽和对应吉祥物的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中每组的2张卡片恰是会徽和对应吉祥物的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1））“冰墩墩“在甲组的概率是，
故答案为：；
（2）分别把“冬梦“、“冰墩墩“记为A、B，“飞跃“、“雪容融“记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中每组的2张卡片恰是会徽和对应吉祥物的结果有4种，即（A，B）、（B，A）、（C，D）、（D，C），
∴每组的2张卡片恰是会徽和对应吉祥物的概率为＝．
27．（2022•工业园区校级二模）一个3×3的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．
（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为 ；
（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格1、2、3、4、5内随机放入两枚棋子，试用“列表法或画树状图”的方法，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20个等可能的结果，仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有20个等可能的结果，仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的结果有8个，
∴仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为＝．
28．（2022•吴中区模拟）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ 20 ，b＝ 0.18 ．
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 4.92吨 ，众数是 4吨 ，中位数是 5吨 ．
（3）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率．
【分析】（1）求出抽查的户数，即可解决问题；
（2）由平均数、众数、中位数的定义求解即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，列举出来，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）抽查的户数为：4÷0.08＝50（户），
∴a＝50×0.40＝20，b＝9÷50＝0.18，
故答案为：20，0.18；
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数＝×（3×4+4×20+5×9+6×10+7×7）＝4.92（吨），
众数是4吨，中位数为＝5（吨），
故答案为：4.92吨，4吨，5吨；
（3）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，
∴恰好选到甲、丙两户的概率为＝．
29．（2022•金坛区二模）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需要重新转动转盘）
（1）转动甲转盘，指针指向数字5的概率是 ；
（2）当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y，求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．
【分析】（1）根据几何概率的定义，1除以3即可求解；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）∵甲转盘被分成3个面积相等的扇形，
∴转动甲转盘，指针指向数字5的概率是1÷3＝．
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有9种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，
∴点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率为．
30．（2022•贾汪区二模）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校为加强学生自我防护意识，成立“防疫志愿者服务队”，设立三个“监督岗”：①教学楼监督岗，②阅览室监督岗，③就餐监督岗，小宇和小宁两位同学报名参加了志愿者服务工作，在不了解具体岗位的情况下，他们从序号①、②、③中随机填报了一个服务监督岗序号．
（1）小宇填报“③”的概率为 ；
（2）用列表法或画树状图法，求小宇和小宁同时选到“③就餐监督岗”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出小宇和小宁同时选到“③就餐监督岗”的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【解析】（1）小宇填报“③”的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中小宇和小宁同时选到“③就餐监督岗”的结果数有1种，
∴小宇和小宁同时选到“③就餐监督岗”的概率为．
①
②
③
①③
②③
④
①④
②④
⑤
①⑤
②⑤
0
1
﹣2
3
0
1
﹣2
3
1
﹣1
﹣3
2
﹣2
2
3
5
3
﹣3
﹣2
﹣5
甲
乙
丙
丁
甲
一
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
一
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
一
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
一
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
B盘
A盘
蓝
蓝
红
蓝
蓝蓝
蓝蓝
蓝红
红
红蓝
红蓝
红红
窗
过道
窗
1
2
3
4
5
1
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
2
（1，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（1，3）
（2，3）
（4，3）
（5，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（5，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
T
F
H
T
（T，T）
（F，T）
（H，T）
F
（T，F）
（F，F）
（H，F）
H
（T，H）
（F，H）
（H，H）
月平均用水量（吨）
3
4
5
6
7
频数（户数）
4
a
9
10
7
频率
0.08
0.40
b
0.20
0.14