中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题25江苏中考数学大题满分训练02(最新模拟40题：每日一练押题训练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题25江苏中考数学大题满分训练02(最新模拟40题：每日一练押题训练)(原卷版+解析)，共79页。试卷主要包含了计算，解分式方程，，与x轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
题组一：数与式的计算、解分式方程与不等式、概率、统计、锐角三角函数的应用、四边形的简单计算与证明、圆的有关计算与证明、反比例函数与一次函数、几何压轴题、二次函数综合题
1．（2023春•崇川区校级月考）计算：
（1）计算：|1−3|−(4−π)0+2tan60°+(−12)−2；
（2）先化简：(83−x−x−3)÷x2−1x2−6x+9，再从中选一个合适的整数x代入求值．
2．（2023•天宁区校级模拟）（1）解分式方程：x2x−1+31−2x=2；
（2）解不等式组：7x+2≥4(x−1)x+3≥2x．
3．（2023•天宁区校级模拟）如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分割成三个面积相等和两个面积相等的扇形，转盘甲上标注的数字分别是﹣1，﹣6，8，转盘乙上标注的数字分别是﹣4，5．（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）．
（1）转动转盘甲，指针指向正数的概率是 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲的指针所指向的数记为a，转盘乙的指针所指向的数记为b，求满足a+b＜0的概率．
4．（2023•金坛区一模）为庆祝中国共青团成立100周年，某校团委开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每位学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次调查的样本容量是 ，B项活动所在扇形的圆心角的大小是 °；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
5．（2023•南京一模）如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸MN的C处测得∠BCN＝35°，然后沿河岸走了120米到达D处，测得∠ADN＝70°．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
6．（2023•天宁区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE，若BD＝6，AE=73，求菱形ABCD的边长．
7．（2023•建湖县一模）如图，⊙O的半径是25cm，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB于点O，点E是半径OA上一点，CE交⊙O于点D，且PD＝PE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACD=12，求：BD和AC的长．
8．（2023•苏州一模）如图，一次函数y＝kx+b的图像与反比例函数y=mx的图像交于点A（1，2n）和点B（3n﹣6，2），与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接OA，OB，在直线AC上是否存在点D，使△OCD的面积是△AOB面积的34？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
9．（2023•天宁区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D、E分别是边AB、边BC上的点，连接CD，∠CDE＝∠B，F是DE延长线上一点，连接CF，∠FCE＝∠ACD．
（1）判断△CDF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝4，求EFDE的值；
（3）若sinB=35，BD＝BE．
①求BDDE的值；
②求CF的长．
10．（2023•金坛区一模）如图，已知二次函数y＝x2+bx﹣4的图像经过点A（3，﹣4），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AB，BC．
（1）填空：b＝ ；
（2）点P是直线AB下方抛物线上一个动点，过点P作PT⊥x轴，垂足为T，PT交AB于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）点D是y轴正半轴上一点，若∠BDC＝∠ABC，求点D的坐标．
题组二：数与式的计算、解方程组与不等式、概率、统计、锐角三角函数的应用、圆的有关计算与证明、一次函数的应用、基本作图、几何压轴题、二次函数新定义问题
11．（2023•海陵区一模）（1）计算：（−13）﹣2﹣|3−3|+2sin30°﹣（π﹣2023）0；
（2）化简：(a2−4a2−4a+4−12−a)÷2a2−2a．
12．（2023•天宁区校级模拟）解方程组和不等式组：
（1）x+2y=4x−y=1；
（2）2x+1＞7−xx≤x+32．
13．（2023•淮阴区一模）从2名男生和2名女生中随机抽取运动会志愿者．
（1）随机抽取1名，恰好是女生的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，写出抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率．
14．（2023•天宁区校级模拟）2023年2月，C市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市数学素养水平监测．样本学生数学测试成绩（满分100分）如表：
（1）表中a＝ ；b＝ ；
（2）请结合平均数、方差、中位数、众数这几个统计量，评判甲、乙两校样本学生的数学测试成绩；
（3）若甲、乙两校学生都超过2000人，按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平可行吗？为什么？
15．（2023•秦淮区校级模拟）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km），有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，则点C与点B之间的离为 km．
（注：上述两小题的结果都保留根号）
16．（2023•南京一模）如图，在△ABC中，CA＝CB，E为AB上一点，作EF∥BC，与AC交于点F，经过点A、E、F的⊙O与BC相切于点D，连接AD、ED、FD．
（1）求证△BDE∽△BAD；
（2）若AE＝10，BE＝8，求CD的长．
17．（2023•沭阳县模拟）某市在城中村改造中，需要种植A、B两种不同的树苗共3000棵，经招标，承包商以15万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，A、B两种树苗的成本价及成活率如表：
设种植A种树苗x棵，承包商获得的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%，承包商应如何选种树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）在达到（2）中政府的要求并获得最大利润的前提下，承包商用绿化队的40人种植这两种树苗，已知每人每天可种植A种树苗6棵或B种树苗3棵，如何分配人数才能使种植A、B两种树苗同时完工．
18．（2023•锡山区模拟）（1）如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中，若AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°，则线段AD的长为 ．（如需画草图，请使用图2）
19．（2023•滨湖区一模）如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．
[数学活动]
将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，得到折痕DE，然后展开铺平；第二步：将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG，点E、C的对应点分别是点F、G，直线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N．
[数学思考]
（1）折痕DE的长为 ；
（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
[数学探究]
（3）如图2，在△DEC绕点D旋转的过程中，当直线GF经过点B时，求AM的长；
[问题延伸]
（4）如图3，若直角三角形纸片ABC的两直角边AB＝AC＝4，按上边[数学活动]的步骤操作，在点G从点C开始顺时针旋转45°的过程中，设△DFG与△ABC的重叠部分的面积为S，求S的最小值．小明在探究这个问题的过程中发现，当旋转角为30°和45°时，S的值比较小，你能在小明探究的基础上，求出S的最小值吗？请直接写出答案．
20．（2023•邗江区校级一模）对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（不与坐标原点重合），以OP为边构造正方形OPMN，则称正方形OPMN为二次函数y＝ax2+bx+c的关联正方形，称二次函数y＝ax2+bx+c为正方形OPMN的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．
（1）如图，直接写出二次函数y＝（x+1）2﹣2的关联正方形OPMN顶点N的坐标 ，并验证点N是否为伴随点 （填“是“或“否“）：
（2）当二次函数y＝﹣x2+4x+c的关联正方形OPMN的顶点P与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：
①若关联正方形OPMN的顶点M、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：
②当关联正方形OPMN的顶点M是伴随点时，求关联函数y＝﹣x2+4x+c的解析式；
③关联正方形OPMN被二次函数y＝﹣x2+4x+c图象的对称轴分成的两部分的面积分别为S1与S2，若S1≤13S2，请直接写出c的取值范围．
题组三：数与式的计算、解分式方程与不等式、概率、统计、四边形的简单计算与证明、锐角三角函数的应用、相似与格点作图、圆的有关计算与证明、几何压轴题、二次函数推理计算与证明
21．（2023•淮阴区一模）（1）计算：（﹣3）2+（π−12）0﹣|﹣4|；
（2）化简：（1−1a+1）⋅a2+2a+1a．
22．（2023•锡山区模拟）（1）解方程：1x−2+1−x2−x=3；
（2）解不等式：3x−3＞x+12(2x−1)≤5x−1．
23．（2023•天宁区校级模拟）为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”、“戏剧之雅”三组（依次记为A，B，C）．甲、乙两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
（1）甲抽到A组题目的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两名同学抽到不同题目的概率．
24．（2023•泗阳县校级一模）某中学对学生进行“综合素质评价”，现随机抽取部分学生的评价结果分为A、B、C、D、E五个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题．
（1）本次抽样调查的学生有 人；
（2）补全条形统计图：B组对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）该学校共有3500名学生，估计该校A等级的人数．
25．（2023•工业园区校级模拟）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
26．（2023•天宁区校级模拟）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON位置运动到底面CD垂直的OM位置时的示意图，已知AC＝0.8米，BD＝0.2米，α＝30°（参考数据：3≈1.73，2≈1.41）．
（1）求AB的长；
（2）若ON＝0.7米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）．
27．（2023•常州模拟）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格点；
（2）在图2中，以点O为位似中心．画出△ODE，使△ODE与△OAB位似，且位似比k=ODOA=2，点D、E为格点；
（3）在图3中，在OA边上找一个点F，且满足AFOF=3．
28．（2023•秦淮区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）求证：BD2＝AC•BQ；
（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两实根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半径．
29．（2023•泗阳县校级一模）【问题提出】
在一次折纸活动课上，老师提出这样一个问题：如何把一张正方形的纸通过折叠的方式等分成若干份？
【解决问题】
以下是某个小组的活动过程：若是等分成两份，如图①直接对折，四等分、八等分在二等分的基础上进行对折即可，那三等分呢？
学习过相似三角形的相关知识后，小明提出了如下方法：如图②，折出AD、BC的中点E、F，连接AF、CE交对角线BD于点G、H，过点G、H折出AB、CD的平行线，折痕MN、PQ三等分正方形纸片．
（1）小明的想法正确吗？若正确，请证明：
【类比学习】
（2）尺规作图：如图③，请你用尺规作图，作线段AB的三等分点．（保留作图痕迹，并简要说明作法）
30．（2023•秦淮区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数的图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
题组四：数与式的计算、解方程、概率、统计、四边形的简单计算与证明、锐角三角函数的应用、圆的有关计算与证明、一次函数的应用、几何压轴题、二次函数综合题
31．（2023•锡山区模拟）计算：
（1）8+(−12)−1−4cs45°；
（2）2（m﹣1）2﹣（2m+3）（2m﹣3）．
32．（2023•常州模拟）解下列方程：
（1）3x−5x−2=1−12−x；
（2）x2﹣4x+2＝0．
33．（2023•建湖县一模）“双减”政策下，将课后服务作为学生核心素养培养的重要阵地，聚力打造高品质和高成效的服务课程，推动提升课后服务质量，助力学生全面健康成长．某校确立了A：科技：B：运动；C：艺术；D：项目化研究四大课程领域（每人限报一个）、若该校小陆和小明两名同学各随机选择一个课程领域．
（1）小陆选择项目化研究课程领域的概率是 ．
（2）用画树状图或列表的方法，求小陆和小明选择同一个课程领域的概率．
34．（2023•建湖县一模）今年的4月15日是第八个全民国家安全教育日，某校为了解学生的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次类别，并绘制如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查一共抽取了 名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，“较强”层次类别所占圆心角的为 ；
（3）若该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，请根据以上调查结果估算，全校需要强化安全教育的学生共有多少名？
35．（2023•天宁区校级模拟）如图，矩形纸片ABCD，点E、F分别是边AD、BC上一点，将矩形纸片沿直线EF折叠，使得点B与点D重合．
（1）请用直尺和圆规作出直线EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．
36．（2023•沛县模拟）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
（1）∠ACG＝ 度，∠ADG＝ 度．
（2）学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA＝3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）
（3）为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：3≈1.73）
37．（2023•工业园区校级模拟）如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，过点A的直线MA与FB的延长线交于点M，G为BF上一点，AG的延长线交⊙O于点E，连接BE，∠MAE+∠AFM＝90°．
（1）求证：AM∥EF；
（2）MA＝62，BE＝2，记△AMF的面积为S1，记△AEF的面积为S2，记△EFG的面积为S3，若S1•S3=35S22，求⊙O的半径．
38．（2023•秦淮区校级模拟）小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB所示．
（1）试求线段OA所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请解释图中线段AB的实际意义；
（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过中，她所在位置与家的距离s（千米）与小明出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图象．（注：请标注出必要的数据）
39．（2023•锡山区校级模拟）问题提出：已知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，则AE′与DF′有怎样的数量关系．
【问题探究】
探究一：如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．
（1）如图1，直接写出DFAE的值 ；
（2）将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图，已知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．
如图3，若四边形ABCD为矩形，ABBC=22，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0＜α≤90）得到△E′BF′（E、F的对应点分别为E′、F′点），连接AE′、DF′，则AE'DF'的值是否随着α的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出AE'DF'的值．
【一般规律】
如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请直接写出AE′与DF′的数量关系．
40．（2023•姑苏区校级模拟）如图1，抛物线y＝（x﹣m）2﹣2m+1（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．
（1）下列说法正确的是 （填序号）．
①该抛物线开口向上；
②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方；
③该抛物线的顶点在直线y＝﹣2x+1上．
（2）如图2，若直线y＝﹣2x+1与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段MN的长是一个定值，并求出这个值．
（3）在（2）的条件下，点E是直线y＝﹣2x+1上的一个动点（图3），当EN：MN＝1：2时，△BMN与△BEM相似，求此时抛物线的函数表达式．
样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76
b
品种
购买价（元/棵）
成活率
A
28
90%
B
40
95%
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题25江苏中考数学大题满分训练02（最新模拟40题：每日一练押题训练）
题组一：数与式的计算、解分式方程与不等式、概率、统计、锐角三角函数的应用、四边形的简单计算与证明、圆的有关计算与证明、反比例函数与一次函数、几何压轴题、二次函数综合题
1．（2023春•崇川区校级月考）计算：
（1）计算：|1−3|−(4−π)0+2tan60°+(−12)−2；
（2）先化简：(83−x−x−3)÷x2−1x2−6x+9，再从中选一个合适的整数x代入求值．
【考点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．
【答案】（1）33+2；
（2）3﹣x，当x＝2时，原式＝1．
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择一个合适的值代值计算即可．
【详解】解：（1）原式=3−1−1+2×3+4
=3−1−1+23+4
=33+2；
（2）(83−x−x−3)÷x2−1x2−6x+9=(83−x−3x−x23−x−9−3x3−x)÷x2−1x2−6x+9
=(8−3x+x2−9+3x3−x)÷x2−1(x−3)2=x2−13−x⋅(x−3)2x2−1
＝3﹣x，
∵分式要有意义，
∴3−x≠0，x2−1≠0，
∴x≠±1且x≠3，
∴可以选取x＝2，
当x＝2时，原式＝3﹣2＝1．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．（2023•天宁区校级模拟）（1）解分式方程：x2x−1+31−2x=2；
（2）解不等式组：7x+2≥4(x−1)x+3≥2x．
【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．
【答案】（1）x=−13；
（2）﹣2≤x≤3．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）去分母得：x﹣3＝2（2x﹣1），
解得：x=−13，
检验：把x=−13代入得：2x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x=−13；
（2）7x+2≥4(x−1)①x+3≥2x②，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣2≤x≤3．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
3．（2023•天宁区校级模拟）如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分割成三个面积相等和两个面积相等的扇形，转盘甲上标注的数字分别是﹣1，﹣6，8，转盘乙上标注的数字分别是﹣4，5．（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次）．
（1）转动转盘甲，指针指向正数的概率是 13 ；
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲的指针所指向的数记为a，转盘乙的指针所指向的数记为b，求满足a+b＜0的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】（1）13．
（2）12．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和满足a+b＜0的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：（1）由题意得，转动转盘甲，指针指向正数的概率是13．
故答案为：13．
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，a+b的值分别为：﹣5，4，﹣10，﹣1，4，13，
其中满足a+b＜0的结果有3种，
∴满足a+b＜0的概率为36=12．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
4．（2023•金坛区一模）为庆祝中国共青团成立100周年，某校团委开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每位学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次调查的样本容量是 80 ，B项活动所在扇形的圆心角的大小是 54 °；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
【答案】（1）80，54；
（2）见解答；
（3）800人．
【分析】（1）根据两幅统计图提供的信息列式计算即可；
（2）计算条形统计图中C项活动的人数，画图即可；
（2）根据样本估计总体列式计算即可．
【详解】解：（1）本次调查的样本容量是16÷20%＝80，B项活动所在扇形的圆心角的大小是360°×1280=54°，
故答案为：80，54；
（2）条形统计图中C项活动的人数是80﹣32﹣12﹣16＝20（人），
（3）2000×3280=800（人），
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为800人．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，正确地理解题意是解题的关键．
5．（2023•南京一模）如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸MN的C处测得∠BCN＝35°，然后沿河岸走了120米到达D处，测得∠ADN＝70°．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】180米．
【分析】过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BE⊥MN于点E，设AF＝BE＝x，然后根据锐角三角函数的定义列出方程即可求出x的值．
【详解】解：过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BE⊥MN于点E，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AB＝FE＝50（米），AF＝BE，
设AF＝BE＝x（米），
在Rt△ADF中，
tan∠ADF=AFDF，
∴DF=xtan70°=x2.75，
在Rt△BCE中，
tan∠BCE=BECE，
∴0.7≈x120+x2.75+50，
解得：x≈180（米），
答：河流的宽度为180米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
6．（2023•天宁区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE，若BD＝6，AE=73，求菱形ABCD的边长．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC＝90°，即可得出结论；
（2）根据勾股定理和菱形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC=12AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE=12AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）可知，平行四边形OCED是矩形，
∴∠ECA＝90°，EC＝OD=12BD＝3，DE＝OC=12AC，
由勾股定理可得，AC=AE2−EC2=73−9=8，
∴OC＝4，
∴DC=OC2+OD2=42+32=5，
∴菱形ABCD的边长＝5．
【点睛】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质解答．
7．（2023•建湖县一模）如图，⊙O的半径是25cm，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB于点O，点E是半径OA上一点，CE交⊙O于点D，且PD＝PE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACD=12，求：BD和AC的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．
【答案】（1）证明见解析；（2）BD＝8cm，AC＝210cm．
【分析】（1）由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出∠ODC+∠PDE＝90°，得到半径OD⊥PD，即可证明PD是⊙O的切线；
（2）由等腰直角三角形的性质即可求出AC的长，由tanB＝tan∠ACD=12，令AD＝xcm，应用勾股定理求出x，即可求出BD长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵PD＝PE，
∴∠PDE＝∠PED，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵OC⊥AB，
∴∠EOC＝90°，
∴∠OCD+∠OEC＝90°，
∴∠ODC+∠OEC＝90°，
∵∠PED＝∠OEC，
∴∠ODC+∠PED＝90°，
∴∠ODC+∠PDE＝90°，
∴半径OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AOC＝90°，AO＝CO，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=2AO，
∵圆的半径是25cm，
∴AC=2×25=210（cm），
∵∠B＝∠ACD，
∴tanB＝tan∠ACD=12，
∴ADBD=12，
令AD＝xcm，则BD＝2xcm，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB=AD2+BD2=x2+(2x)2=5x＝45（cm），
∴x＝4，
∴BD＝2x＝8（cm）．
【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，关键是掌握切线的判定方法；由tanB＝tan∠ACD=12，求BD的长．
8．（2023•苏州一模）如图，一次函数y＝kx+b的图像与反比例函数y=mx的图像交于点A（1，2n）和点B（3n﹣6，2），与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接OA，OB，在直线AC上是否存在点D，使△OCD的面积是△AOB面积的34？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（1）一次函数表达式为y＝﹣2x+8，反比例函数表达式为y=6x；
（2）点D坐标为（2.5，3）或（5.5，﹣3）．
【分析】（1）先根据点A和点B在反比例函数y=mx的图像上，可得1•2n＝2（3n﹣6），求出n的值，可得点A和点B坐标，再待定系数法求一次函数表达式和反比例函数表达式即可；
（2）先求出C点坐标，根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求出△AOB的面积，设D点纵坐标为t，根据△OCD的面积=12×4|t|=6，求出t的值，即可确定点D坐标．
【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图像与反比例函数y=mx的图像交于点A（1，2n）和点B（3n﹣6，2），
∴1•2n＝2（3n﹣6），
解得n＝3，
∴点A坐标为（1，6），点B坐标为（3，2），
∴m＝1×6＝6，
将点A（1，6）和点B（3，2）代入一次函数y＝kx+b，
得k+b=63k+b=2，
解得k=−2b=8，
∴一次函数表达式为y＝﹣2x+8，反比例函数表达式为y=6x；
（2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图像与x轴交于点C，
当y＝﹣2x+8＝0时，x＝4，
∴点C坐标为（4，0），
∴OC＝4，
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC
=12×4×6−12×4×2
＝8，
∵△OCD的面积是△AOB面积的34，
∴△OCD的面积为34×8＝6，
设D点纵坐标为t，
∴12×4|t|=6，
解得t＝3或t＝﹣3，
∵点D在直线AC上，
∴3＝﹣2x+8或﹣3＝﹣2x+8，
解得x＝2.5或x＝5.5，
∴点D坐标为（2.5，3）或（5.5，﹣3）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积等，熟练掌握待定系法求解析式是解题的关键．
9．（2023•天宁区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D、E分别是边AB、边BC上的点，连接CD，∠CDE＝∠B，F是DE延长线上一点，连接CF，∠FCE＝∠ACD．
（1）判断△CDF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝4，求EFDE的值；
（3）若sinB=35，BD＝BE．
①求BDDE的值；
②求CF的长．
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）结论：△CDF是等腰三角形．证明见解析部分；
（2）23；
（3）①102；
②CF＝210．
【分析】（1）证明∠FCD＝∠FDC即可；
（2）利用等腰三角形的判定与相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）①过点E作EK⊥AB于点K，由题意得：sinB=35，推出EKBE=35，推出EK=35BE=35BD，推出BK=45BD，推出DK=15BD．可得DE=DK2+EK2=105BD；
②证明△CDE∽△CBD，推出DEBD=CDCB，推出105BDBD=CD16，可得CD=16105．由（1）知：△ABC∽△FCD，推出BCCD=ABCF，可得结论．
【详解】解：（1）结论：△CDF是等腰三角形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，，
∵∠FCE＝∠ACD，
∴∠FCD＝∠ACB，
∵∠CDE＝∠B，
∴∠FCD＝∠CDF，
∴FC＝FD，
∴△FCD是等腰三角形；
（2）∵∠ECF＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCF．
∵∠B＝∠CDE，
∴△ABC∽△FCD，
∴∠BAC＝∠F．
∵AB＝AC，
∴FD＝FC．
∵∠BAC＝∠F，∠ACD＝∠FCE，
∴△ACD∽△FCE，
∴ACAD=CFEF，
∵AB＝10，AD＝4，
∴CFEF=104=52，
∵DE+EF＝FC，
∴EFDE=23；
（3）①过点E作EK⊥AB于点K，如图，
由题意得：sinB=35，
∴EKBE=35，
∴EK=35BE=35BD，
∴BK=45BD，
∴DK=15BD．
∴DE=DK2+EK2=105BD，
∴BDDE=102；
②∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴DEBD=CDCB，
∴105BDBD=CD16，
∴CD=16105．
由（1）知：△ABC∽△FCD，
∴BCCD=ABCF，
∴1616105=10CF．
∴CF＝210．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
10．（2023•金坛区一模）如图，已知二次函数y＝x2+bx﹣4的图像经过点A（3，﹣4），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AB，BC．
（1）填空：b＝ ﹣3 ；
（2）点P是直线AB下方抛物线上一个动点，过点P作PT⊥x轴，垂足为T，PT交AB于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）点D是y轴正半轴上一点，若∠BDC＝∠ABC，求点D的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）﹣3；
（2）PQ的最大值是4；
（3）点D的坐标为（0，53）．
【分析】（1）将点A（3，﹣4）代入y＝x2+bx﹣4即可求解；
（2）利用二次函数解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式，设出P点坐标，则可表示出Q点坐标，表示出PQ的长，利用二次函数的性质可求得PQ的最大值；
（3）证明△BCD∽△ECB，根据相似三角形的性质求得CD的长，即可求得D点坐标．
【详解】解：（1）将点A（3，﹣4）代入y＝x2+bx﹣4得：
9+3b﹣4＝﹣4，解得b＝﹣3，
故答案为：﹣3；
（2）∵b＝﹣3，
∴二次函数y＝x2﹣3x﹣4，
解方程x2﹣3x﹣4＝0，得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（﹣1，0），
设直线AB的函数表达式是y＝kx+m，
直线AB交y轴于点F．
∵A（3，﹣4），
∴3k+m=−4−k+m=0，解得k=−1m=−1，
∴直线AB的函数表达式是y＝﹣x﹣1，
设点P（m，m2﹣3m﹣4），
则Q（m，﹣m﹣1）．
∴PQ＝﹣m﹣1﹣m2+3m+4＝﹣m2+2m+3＝﹣（m﹣1）2+4．
∴当m＝1时，PQ的最大值是4；
（3）如图，设AB交y轴于E，
∵二次函数y＝x2﹣3x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∵直线AB的函数表达式是y＝﹣x﹣1，
∴E（0，﹣1），
∵B（﹣1，0），
∴CE＝3，BC=12+42=17，
∵∠BDC＝∠ABC，∠BCD＝∠ECB，
∴△BCD∽△ECB，
∴CDCB=CBCE，即CD17=173，
∴CD=173，
∴OD＝CD﹣OC=173−4=53，
∴点D的坐标为（0，53）．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
题组二：数与式的计算、解方程组与不等式、概率、统计、锐角三角函数的应用、圆的有关计算与证明、一次函数的应用、基本作图、几何压轴题、二次函数新定义问题
11．（2023•海陵区一模）（1）计算：（−13）﹣2﹣|3−3|+2sin30°﹣（π﹣2023）0；
（2）化简：(a2−4a2−4a+4−12−a)÷2a2−2a．
【考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【答案】（1）6+3；
（2）a(a+3)2．
【分析】（1）分别根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可．
【详解】解：（1）原式＝9﹣（3−3）+2×12−1
＝9﹣3+3+1﹣1
＝6+3；
（2）原式＝（(a+2)(a−2)(a−2)2+1a−2）•a(a−2)2
＝（a+2a−2+1a−2）•a(a−2)2
=a+3a−2•a(a−2)2
=a(a+3)2．
【点睛】本题考查的是实数的运算及分式的化简求值，熟知零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．（2023•天宁区校级模拟）解方程组和不等式组：
（1）x+2y=4x−y=1；
（2）2x+1＞7−xx≤x+32．
【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【答案】（1）x=2y=1；
（2）2＜x≤3．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）x+2y=4①x−y=1②，
①+②×2，得：3x＝6，
解得x＝2，
将x＝2代入②，得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
则方程组的解为x=2y=1；
（2）由2x+1＞7﹣x得：x＞2，
由x≤x+32得：x≤3，
则不等式组的解集为2＜x≤3．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（2023•淮阴区一模）从2名男生和2名女生中随机抽取运动会志愿者．
（1）随机抽取1名，恰好是女生的概率为 12 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，写出抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【答案】（1）12．
（2）23．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：（1）∵有2名男生和2名女生，
∴随机抽取1名，恰好是女生的概率为24=12．
故答案为：12．
（2）设2名男生分别记为A，B，2名女生分别记为C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的结果有AC，AD，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共8种，
∴抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率为812=23．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（2023•天宁区校级模拟）2023年2月，C市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市数学素养水平监测．样本学生数学测试成绩（满分100分）如表：
（1）表中a＝ 79 ；b＝ 76 ；
（2）请结合平均数、方差、中位数、众数这几个统计量，评判甲、乙两校样本学生的数学测试成绩；
（3）若甲、乙两校学生都超过2000人，按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平可行吗？为什么？
【考点】方差；用样本估计总体；算术平均数；中位数；众数．
【答案】（1）79，76；
（2）乙校成绩更加稳定，理由见解答；
（3）不可以按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平，理由见解答．
【分析】（1）根据中位数和众数的概念分析求解即可；
（2）结合平均数，中位数，众数，方差的意义进行分析评判；
（3）统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小．
【详解】解：（1）将甲校样本学生成绩从小到大排序为：50，66，66，66，78，80，81，82，83，94，位于第5个和第6个的数据分别是78和80，
∴a=78+802=79，
在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是76，
∴b＝76，
故答案为：79，76；
（2）由题意，甲乙两校平均数相同，乙校方差小于甲校，
∴乙校成绩更加稳定；
（3）甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照C市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平，因为C市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000 多人的成绩．
【点睛】本题考查众数，平均数，中位数，样本估计总体，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2023•秦淮区校级模拟）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km），有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，则点C与点B之间的离为 2 km．
（注：上述两小题的结果都保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【答案】（1）（3−1）km；
（2）2．
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD＝xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD＝AB，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=12AB＝1km，再解Rt△BCF，得出BC=2BF=2km．
【详解】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD＝xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，
∴BD＝PD＝xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD=3PD=3xkm．
∵BD+AD＝AB，
∴x+3x＝2，
∴x=3−1，
∴点P到海岸线l的距离为（3−1）km，
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC＝105°，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，
∴BF=12AB＝1km．
在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°．
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，
∴BC=2BF=2km，
∴点C与点B之间的距离为2km，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
16．（2023•南京一模）如图，在△ABC中，CA＝CB，E为AB上一点，作EF∥BC，与AC交于点F，经过点A、E、F的⊙O与BC相切于点D，连接AD、ED、FD．
（1）求证△BDE∽△BAD；
（2）若AE＝10，BE＝8，求CD的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质．
【答案】（1）证明见解析；（2）CD＝24．
【分析】（1）连接OD，利用切线的性质定理，平行线的性质，垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）利用相似三角形的性质定理求得BD，设CD＝x，则BC＝AC＝x+12，利用角平分线的性质定理列出比例式，解比例式即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵BC为⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴ED=DF，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵FE∥BC，
∴∠BDE＝∠FED．
∵∠FED＝∠CAD，
∴∠BDE＝∠BAD，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD；
（2）解：∵△BDE∽△BAD，
∴BDBE=BABD，
∵AB＝BE+AE＝10+8＝18，
∴BD8=18BD，
∴BD＝12．
设CD＝x，则BC＝AC＝x+12．
由（1）知：∠BAD＝∠CAD，
∴BDCD=ABAC，
∴12x=18x+12，
解得：x＝24，
经检验，x＝24是原方程的根，
∴CD＝24．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，垂径定理，角平分线的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
17．（2023•沭阳县模拟）某市在城中村改造中，需要种植A、B两种不同的树苗共3000棵，经招标，承包商以15万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，A、B两种树苗的成本价及成活率如表：
设种植A种树苗x棵，承包商获得的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%，承包商应如何选种树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）在达到（2）中政府的要求并获得最大利润的前提下，承包商用绿化队的40人种植这两种树苗，已知每人每天可种植A种树苗6棵或B种树苗3棵，如何分配人数才能使种植A、B两种树苗同时完工．
【考点】一次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由购买A种树苗x棵，可得出购买B种树苗（3000﹣x）棵，根据“总利润＝报价﹣购买A种树苗钱数﹣购买B种树苗钱数”即可得出y关于x的函数关系式；
（2）根据政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%，即可列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设安排m人种植A种树苗，则有（40﹣m）人种植B种树苗，根据每人每天可种植A种树苗6棵或B种树苗3棵且同时完工，可列出关于m的分式方程，解分式方程求出m的值，检验后即可得出结论．
【详解】解：（1）根据题意，得：购买B种树苗（3000﹣x）棵，
∴y与x之间的函数关系式为y＝150000﹣28x﹣40（3000﹣x）＝12x+30000（0≤x≤3000）．
（2）根据题意，得：90%x+95%（3000﹣x）≥93%×3000，
解得：x≤1200，
∵y＝12x+30000中k＝12＞0，
∴当x＝1200，3000﹣1200＝1800时，y取最大值，最大值为44400．
答：购买A种树苗1200棵，B种树苗1800棵时，承包商应的利润最大，最大利润为44400元．
（3）设安排m人种植A种树苗，则有（40﹣m）人种植B种树苗，
根据题意，得：12006m=18003(40−m)，
解得：m＝10．
经检验，m＝10是分式方程的解，且符合实际，此时40﹣10＝30（人）．
答：安排10人种植A种树苗，30人种植B种树苗，恰好同时完工．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据数量关系列出不等式；（3）根据数量关系列出分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出函数关系式（不等式或方程）是关键．
18．（2023•锡山区模拟）（1）如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中，若AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°，则线段AD的长为 1033 ．（如需画草图，请使用图2）
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【答案】（1）见解答；
（2）1033．
【分析】（1）作∠BAC的平分线，再作AB，AC的垂直平分线，确定△ABC的外接圆的圆心，作圆，与∠BAC的平分线的交点即为点D；
（2）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N．利用全等三角形的性质证明AM＝AN＝5，最后根据特殊角的三角函数求解．
【详解】解：（1）如下图：点D即为所求；
（2）如图1，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，
∴∠BMD＝∠DNC＝90°，
∵D在∠BAC的平分线上，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴DM＝DN，CD＝BD，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM＝CN，
∵DM＝DN，AD＝AD，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），
∴AM＝AN，
∵AB+AC＝AM+BM+AN﹣CN＝2AN＝10，
∴AN＝5，
∴AD=ANcs30°=1033，
故答案为：1033．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外接圆，三角形的角平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．（2023•滨湖区一模）如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．
[数学活动]
将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，得到折痕DE，然后展开铺平；第二步：将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG，点E、C的对应点分别是点F、G，直线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N．
[数学思考]
（1）折痕DE的长为 3 ；
（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
[数学探究]
（3）如图2，在△DEC绕点D旋转的过程中，当直线GF经过点B时，求AM的长；
[问题延伸]
（4）如图3，若直角三角形纸片ABC的两直角边AB＝AC＝4，按上边[数学活动]的步骤操作，在点G从点C开始顺时针旋转45°的过程中，设△DFG与△ABC的重叠部分的面积为S，求S的最小值．小明在探究这个问题的过程中发现，当旋转角为30°和45°时，S的值比较小，你能在小明探究的基础上，求出S的最小值吗？请直接写出答案．
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）3；
（2）MF＝ME，证明见解答过程；
（3）74；
（4）12﹣63．
【分析】（1）通过证明DE是中位线，可得DE＝3；
（2）连接DM，根据HL证Rt△DMF≌Rt△DME，即可得出结论；
（3）根据角相等得出BM＝MC，设MC＝BM＝x，根据勾股定理求出x的值，根据AM＝AC﹣CM求出AM的值即可；
（4）设DG交AC边于R，由（2）知Rt△DMF≌Rt△DME，由旋转变化知当Rt△DMF≌Rt△DME≌Rt△DRE时S有最小值，即当旋转角为30°时△GMR的面积最大，此时S有最小值，求出此时的S值即可．
【详解】解：（1）由折叠可知：AE＝EC，DE⊥AC，
∴DE∥AB，
∴CDBD=ECAE=1，
∴DC＝BD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB＝3，
故答案为：3；
（2）MF＝ME，证明如下：
连接DM，
由旋转知，DE＝DF，∠DFM＝∠DEM＝90°，
在Rt△DMF和Rt△DME中，
DE=DFDM=DM，
∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），
∴MF＝ME；
（3）∵DG＝DB＝DC，
∴∠G＝∠DBG，
∴∠G＝∠C，
∴∠MBC＝∠C，
∴BM＝MC，
设BM＝MC＝x，
在Rt△ABM中，BM2＝AB2+AM2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得x=254，
∴AM＝AC﹣CM＝8−254=74；
（4）设DG交AC边于R，由（2）知Rt△DMF≌Rt△DME，由旋转变化知当Rt△DMF≌Rt△DME≌Rt△DRE时S有最小值，即当旋转角为30°时△GMR的面积最大，此时S有最小值，
如下图所示：
∵AB＝AC＝4，
∴DE＝DF＝2，
延长DF交AC于T，则∠TDE＝30°，∠DTM＝60°，
∴DT=DEcs30°=433，
即FT＝DT﹣DF=433−2，
∴FM＝FT•tan60°＝4﹣23，
∴MR＝2FM＝8﹣43，
∴S＝S△DFM+S△DMR=12×2×（4﹣23）+12×2×（8﹣43）＝12﹣63．
【点睛】本题是三角形综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键．
20．（2023•邗江区校级一模）对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（不与坐标原点重合），以OP为边构造正方形OPMN，则称正方形OPMN为二次函数y＝ax2+bx+c的关联正方形，称二次函数y＝ax2+bx+c为正方形OPMN的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．
（1）如图，直接写出二次函数y＝（x+1）2﹣2的关联正方形OPMN顶点N的坐标 （﹣2，1）或（2，﹣1） ，并验证点N是否为伴随点 否 （填“是“或“否“）：
（2）当二次函数y＝﹣x2+4x+c的关联正方形OPMN的顶点P与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：
①若关联正方形OPMN的顶点M、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：
②当关联正方形OPMN的顶点M是伴随点时，求关联函数y＝﹣x2+4x+c的解析式；
③关联正方形OPMN被二次函数y＝﹣x2+4x+c图象的对称轴分成的两部分的面积分别为S1与S2，若S1≤13S2，请直接写出c的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由点P坐标，画出正方形OPMN的大致位置，发现MN可以在OP的左右两侧，故需分类讨论．分别过点P、N作x轴长垂线段PA、NB，易证△BON≌△APO，故有BO＝PA＝2，BN＝AO＝1．根据点N在第二或第四象限的位置得到点N坐标，把N的横坐标代入二次函数解析式，求得的函数值与N的纵坐标不相等，故点N不着二次函数图象上，不是伴随点．
（2）①用配方法求点P坐标，画出正方形OPMN的大致位置，由（1）可证得△BON≌△APO，故有BN＝OA＝2，BO＝PA＝|c+4|．由于点M、N在x轴的异侧，由图可知PA＞BN．分别讨论点P在第一象限和第四象限时PA的长（用c表示），即得到关于c的不等式，进而求得c的取值范围．
②过点M作直线PA的垂线段MC，构造△PCM≌△OAP，故有CM＝PA＝|c+4|，PC＝OA＝2．若点P在第一象限时，根据c+4＞0求得用c表示点M的横纵坐标，由点M为伴随点可知点M在二次函数图象上，把点M坐标代入二次函数解析式得到关于c的方程，解方程并讨论c的取值即可．若点P在第四象限，则点M在点P上方，但二次函数图象开口向下，不可能经过点M，即此时M不可能为伴随点．
③由S1≤13S2，可得S1≤14S正方形OPMN．画图可知，当点P、M在x轴同侧时对称轴与ON交于点D，S1＝S△POD，故有12OP•OD≤14OP2解得OD≤12ON．又由AD∥BN可证△OAD∽△OBN，通过对应边成比例得OA≤12OB，把含c的式子代入解不等式即求得c的范围．当点P、M在x轴异侧时，同理可求c的取值范围．
【详解】解：（1）如图1，过点P作PA⊥x轴于点A，过点N作NB⊥x轴于点B
∴∠PAO＝∠OBN＝90°
∵二次函数y＝（x+1）2﹣2顶点P（﹣1，﹣2）
∴PA＝2，OA＝1
∵四边形OPMN是正方形
∴OP＝ON，∠PON＝90°
∴∠AOP+∠BON＝∠BON+∠BNO＝90°
∴∠AOP＝∠BNO
在△BON与△APO中
∠OBN=∠PAO∠BNO=∠AOPON=PO
∴△BON≌△APO（AAS）
∴BO＝PA＝2，BN＝AO＝1
若MN在OP左侧，则点N在第二象限，N（﹣2，1）
∵x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣1≠1
∴点N不在二次函数的图象上
∴N（﹣2，1）不是伴随点
若MN在OP右侧，则点N在第四象限，N（2，﹣1）
∵x＝2时，y＝（2+1）2﹣2＝7≠﹣1
∴N（2，﹣1）不是伴随点
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）；否．
（2）过点P作PA⊥x轴于点A，过点N作NB⊥x轴于点B
由（1）可得：△BON≌△APO
∵y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+c+4
∴P（2，c+4）
∴BN＝OA＝2，BO＝PA＝|c+4|
①i）如图2，若点P在第一象限
∵P与N位于x轴的两侧，点M、N在x轴的异侧
∴点N在第四象限，PA＞BN
∴c+4＞0c+4＞2 解得：c＞﹣2
ii）如图3，若点P在第四象限
∴点N在第一象限，PA＞BN
∴c+4＜0−(c+4)＞2 解得：c＜﹣6
综上所述，点M、N在x轴的异侧时，c的取值范围为c＜﹣6或c＞﹣2．
②过点M作MC⊥PA于点C
∴∠MCP＝∠PAO＝90°
∴∠PMC+∠MPC＝∠MPC+∠OPA＝90°
∴∠PMC＝∠OPA
在△PCM与△OAP中
∠PCM=∠OAP∠PMC=∠OPAPM=OP
∴△PCM≌△OAP（AAS）
∴CM＝PA＝|c+4|，PC＝OA＝2
i）如图2，若点P在第一象限，则c+4＞0
∴xM＝OA+CM＝2+c+4＝c+6，yM＝yP﹣PC＝c+4﹣2＝c+2
∴M（c+6，c+2）
∵点M是伴随点，即点M在二次函数y＝﹣x2+4x+c图象上
∴﹣（c+6）2+4（c+6）+c＝c+2
解得：c1＝﹣4−2（舍去），c2＝﹣4+2
ii）如图3，若点P在第四象限，则点M在点P上方
∵二次函数图象开口向下
∴点M不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点
综上所述，关联函数的解析式为y＝﹣x2+4x+2−4
③∵S1≤13S2，S1+S2＝S正方形OPMN
∴S2≥3S1
∴S1+S2≥4S1
∴S1≤14S正方形OPMN
i）如图4，当点P、M在x轴同侧时（由①可知c＜﹣6或c＞﹣2），对称轴与ON交于点D
∴S1＝S△POD=12OP•OD
∴12OP•OD≤14OP2
∴OD≤12OP，即OD≤12ON
∵AD∥BN
∴△OAD∽△OBN
∴OAOB=ODON≤12
∴OA≤12OB
∴2≤12|c+4|
解得：c≥0或c≤﹣8
ii）如图5，当点P、M在x轴异侧时（﹣6＜c＜﹣2），对称轴与MN交于点E
延长MC交BN于F
∴MF＝OA＝2
∴S1＝S△PME=12PM•ME
∴12PM•ME≤14PM2
∴ME≤12PM，即ME≤12MN
∴MC≤12MF
∴|c+4|≤1且c≠﹣4，
解得：﹣5≤c≤﹣3且c≠﹣4．
综上所述，S1≤13S2时c的取值范围为c≤﹣8或﹣5≤c≤﹣3且c≠﹣4或c≥0．
【点睛】本题考查了新定义的理解和性质运用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，一元一次不等式（组）的解法，一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性质．由于正方形顶点位置的不确定，故每小题都需根据情况抓住相同点和不同点进行分类讨论．讨论正方形顶点坐标时，常在正方形内构造弦图得到全等三角形，再利用全等三角形性质计算．
题组三：数与式的计算、解分式方程与不等式、概率、统计、四边形的简单计算与证明、锐角三角函数的应用、相似与格点作图、圆的有关计算与证明、几何压轴题、二次函数推理计算与证明
21．（2023•淮阴区一模）（1）计算：（﹣3）2+（π−12）0﹣|﹣4|；
（2）化简：（1−1a+1）⋅a2+2a+1a．
【考点】分式的混合运算；零指数幂；实数的运算．
【答案】（1）6；
（2）a+1．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值；然后计算加减法；
（2）先计算括号内的，然后对分式的分子进行因式分解，通过约分进行化简．
【详解】解：（1）（﹣3）2+（π−12）0﹣|﹣4|
＝9+1﹣4
＝6；
（2）（1−1a+1）⋅a2+2a+1a
=a+1−1a+1•(a+1)2a
＝a+1．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，把分式化到最简是解答（2）题的关键．
22．（2023•锡山区模拟）（1）解方程：1x−2+1−x2−x=3；
（2）解不等式：3x−3＞x+12(2x−1)≤5x−1．
【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．
【答案】（1）x＝3；
（2）x＞2．
【分析】（1）方程两边都乘x﹣2得出1﹣（1﹣x）＝3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）1x−2+1−x2−x=3，
方程两边都乘x﹣2，得1﹣（1﹣x）＝3（x﹣2），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣2≠0，
所以x＝3是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝3；
（2）3x−3＞x+1①2(2x−1)≤5x−1②，
解不等式①，得x＞2，
解不等式②，得x≥﹣1，
所以不等式组的解集是x＞2．
【点睛】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键．
23．（2023•天宁区校级模拟）为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”、“戏剧之雅”三组（依次记为A，B，C）．甲、乙两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
（1）甲抽到A组题目的概率是 13 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两名同学抽到不同题目的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【答案】（1）13．
（2）23．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙两名同学抽到不同题目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：（1）∵共有A，B，C三组题目，
∴甲抽到A组题目的概率是13．
故答案为：13．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学抽到不同题目的结果有AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，
∴甲、乙两名同学抽到不同题目的概率为69=23．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
24．（2023•泗阳县校级一模）某中学对学生进行“综合素质评价”，现随机抽取部分学生的评价结果分为A、B、C、D、E五个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题．
（1）本次抽样调查的学生有 100 人；
（2）补全条形统计图：B组对应扇形的圆心角的度数为 108° ；
（3）该学校共有3500名学生，估计该校A等级的人数．
【考点】条形统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图．
【答案】（1）100；
（2）补全的条形统计图见解答；108°；
（3）估计该校A等级的学生有700人．
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；根据B等级的和（1）中的结果，可以计算出B组对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据扇形统计图中A等级所占的百分比，可以计算出该校A等级的人数．
【详解】解：（1）20÷20%＝100（人），
即本次抽样调查的学生有100人，
故答案为：100；
（2）B等级的学生有：100﹣20﹣30﹣10﹣10＝30（人），
补全的条形统计图如右图所示，
B组对应扇形的圆心角的度数为：360°×30100=108°，
故答案为：108°；
（3）3500×20%＝700（人），
答：估计该校A等级的学生有700人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（2023•工业园区校级模拟）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质．
【答案】赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明见解答过程．
【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．
【详解】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形以及菱形的判定方法：（1）四条边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形，是解题关键．
26．（2023•天宁区校级模拟）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON位置运动到底面CD垂直的OM位置时的示意图，已知AC＝0.8米，BD＝0.2米，α＝30°（参考数据：3≈1.73，2≈1.41）．
（1）求AB的长；
（2）若ON＝0.7米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）．
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】（1）1.2米．
（2）1.2米．
【分析】（1）过点B作BE⊥AC于点E，从而可知AE＝0.6米，然后根据∠ABE＝30°，可知AB＝2AE．
（2）过点N作FN⊥MO的延长线于点F，然后根据∠ONF＝∠ABE＝30°，可知OF=12ON＝0.35（米），最后利用勾股定理分别求出FN与MN的长度．
【详解】解：（1）过点B作BE⊥AC于点E，
∴四边形BECD是矩形，
∴BD＝CE＝0.2（米），
∴AE＝AC﹣CE＝0.8﹣0.2＝0.6（米），
∵∠ABE＝30°，
∴AB＝2AE＝1.2（米）．
（2）过点N作FN⊥MO的延长线于点F，
∴FN∥BE，
∴∠ONF＝∠ABE＝30°，
∴OF=12ON＝0.35（米），
在Rt△ONF中，
由勾股定理可知：NF=0．72−0.352=0.353（米），
∴MF＝OM+OF＝ON+OF＝1.05（米），
在Rt△MNF中，
由勾股定理可知：MN=1.052+(0.353)2≈1.2（米）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．
27．（2023•常州模拟）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以BO为边，画出△OBC，使△OBC∽△ABO，C为格点；
（2）在图2中，以点O为位似中心．画出△ODE，使△ODE与△OAB位似，且位似比k=ODOA=2，点D、E为格点；
（3）在图3中，在OA边上找一个点F，且满足AFOF=3．
【考点】作图﹣位似变换．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析．
【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质画出△OBC，使△OBC∽△ABO；
（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出△ODE；
（3）取格点P，Q，连接PQ，交AO于点F，则点F即为所求作的点．
【详解】解：（1）如图所示，△OBC即为所求；
（2）解：如图所示，△ODE即为所求；
（3）解：如图所示，取格点P，Q，连接PQ，交AO于点F，则点F即为所求作的点．
∵△AQF∽△OPF，
∴AFFO=AQOP=3．
【点睛】本题主要考查了作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
28．（2023•秦淮区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）求证：BD2＝AC•BQ；
（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两实根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半径．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；根与系数的关系；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10．
【分析】（1）欲证明PQ是⊙O切线，只要证明OD⊥PQ即可；
（2）连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD＝BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据题意得到AC•BQ＝16，得到BD＝4，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE＝3DE，根据勾股定理得到BE=3105，设OB＝OD＝R，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，
∵∠ACD＝∠ABD
∵∠BCD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠BDQ，
如图，连接OB，OD，交AB于E，
，
则∠O＝2∠DCB＝2∠BDQ，∠OBD＝∠ODB，
在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O＝180°，
∴2∠ODB+2∠BDQ＝180°，
∴∠ODB+∠O＝90°，
∵OD是半径，
∴PQ是⊙O的切线；
（2）如图，连接AD，
由（1）知PQ是⊙O的切线，
∴∠BDQ＝∠DCB＝∠ACD＝∠BCD＝∠BAD，
∴AD＝BD，
∵∠BDQ＝∠ACD，
∴△BDQ∽△ACD，
∴ADBQ=ACBD，
∴BD2＝AC•BQ；
（3）∵AC、BQ的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两实根，
∴AC•BQ＝4，
由（2）得BD2＝AC•BQ，
∴BD2＝4，
∴BD＝2，
由（1）知PQ是⊙O的切线，
∴OD⊥PQ，
∵PQ∥AB，
∴OD⊥AB，
由（1）得∠PCD＝∠ABD，
∵tan∠PCD=13，
∴tan∠ABD=13，
∴BE＝3DE，
∴DE2+（3DE）2＝BD2＝4，
∴DE=105，
∴BE=3105，
设OB＝OD＝R，
∴OE=R−105，
∵OB2＝OE2+BE2，
∴R2=(R−510)2+(3105)2，
解得：R=10，
∴⊙O的半径R=10．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键，属于中考压轴题．
29．（2023•泗阳县校级一模）【问题提出】
在一次折纸活动课上，老师提出这样一个问题：如何把一张正方形的纸通过折叠的方式等分成若干份？
【解决问题】
以下是某个小组的活动过程：若是等分成两份，如图①直接对折，四等分、八等分在二等分的基础上进行对折即可，那三等分呢？
学习过相似三角形的相关知识后，小明提出了如下方法：如图②，折出AD、BC的中点E、F，连接AF、CE交对角线BD于点G、H，过点G、H折出AB、CD的平行线，折痕MN、PQ三等分正方形纸片．
（1）小明的想法正确吗？若正确，请证明：
【类比学习】
（2）尺规作图：如图③，请你用尺规作图，作线段AB的三等分点．（保留作图痕迹，并简要说明作法）
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）小明的想法正确；
（2）见解析．
【分析】（1）根据△BFG∽△DAG，可得BGGD=12，同理，DHBH=12，再利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）任意作一条射线AM，截取AE＝ED＝DC，连接BC，分别作∠ADG＝∠ACB＝∠AEN，即可得出线段AB的三等分点N、G．
【详解】解：（1）小明的想法正确，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△BFG∽△DAG，
∴BGDG=BFAD，
∵F为BC的中点，
∴BF=12BC，
∴BGGD=12，
同理，DHBH=12，
∴BG＝GH＝DH，
∵MN∥PQ∥AB，
∴AM＝MP＝PD，
∴折痕MN、PQ三等分正方形纸片，
∴小明的想法正确；
（2）如图，任意作一条射线AM，截取AE＝ED＝DC，连接BC，
分别作∠ADG＝∠ACB＝∠AEN，即可得出线段AB的三等分点N、G．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，尺规作图等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
30．（2023•秦淮区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数的图象的对称轴是直线x＝ 1 ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【答案】（1）1；
（2）y＝2x2﹣4x或y＝﹣2x2+4x；
（3）﹣1≤t≤2．
【分析】（1）由对称轴是直线x=−b2a，可求解；
（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
（3）利用函数图象的性质可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x=−−2a2a=1，
故答案为：1；
（2）当a＞0时，
∵对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y有最小值为﹣a，
当x＝3时，y有最大值为3a，
∴3a﹣（﹣a）＝8，
∴a＝2，
∴二次函数的表达式为：y＝2x2﹣4x，
当a＜0时，同理可得y有最大值为﹣a，y有最小值为3a，
∴﹣a﹣3a＝8，
∴a＝﹣2，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣2x2+4x，
综上所述，二次函数的表达式为y＝2x2﹣4x或y＝﹣2x2+4x；
（3）∵a＜0，对称轴为直线x＝1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
题组四：数与式的计算、解方程、概率、统计、四边形的简单计算与证明、锐角三角函数的应用、圆的有关计算与证明、一次函数的应用、几何压轴题、二次函数综合题
31．（2023•锡山区模拟）计算：
（1）8+(−12)−1−4cs45°；
（2）2（m﹣1）2﹣（2m+3）（2m﹣3）．
【考点】平方差公式；负整数指数幂；实数的运算；完全平方公式．
【答案】（1）﹣2；
（2）﹣2m2﹣4m+11．
【分析】（1）根据算术平方根的定义、负整数指数幂的意义、特殊角锐角三角函数值解答即可；
（2）利用完全平方公式及平方差公式进行解答．
【详解】解：（1）原式＝22−2﹣4×22
＝22−2﹣22
＝﹣2；
（2）原式＝2（m2﹣2m+1）﹣[（2m）2﹣32]
＝2m2﹣4m+2﹣（4m2﹣9）
＝2m2﹣4m+2﹣4m2+9
＝﹣2m2﹣4m+11．
【点睛】此题主要考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
32．（2023•常州模拟）解下列方程：
（1）3x−5x−2=1−12−x；
（2）x2﹣4x+2＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解分式方程．
【答案】（1）无解．
（2）x1＝2+2，x2＝2−2．
【分析】（1）先两边都乘以x﹣2化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】解：（1）两边都乘以x﹣2，得：3x﹣5＝x﹣2+1，
解得x＝2，
经检验x＝2是原方程的增根，
所以原方程无解；
（2）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2=2或x﹣2=−2，
解得x1＝2+2，x2＝2−2．
【点睛】本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
33．（2023•建湖县一模）“双减”政策下，将课后服务作为学生核心素养培养的重要阵地，聚力打造高品质和高成效的服务课程，推动提升课后服务质量，助力学生全面健康成长．某校确立了A：科技：B：运动；C：艺术；D：项目化研究四大课程领域（每人限报一个）、若该校小陆和小明两名同学各随机选择一个课程领域．
（1）小陆选择项目化研究课程领域的概率是 14 ．
（2）用画树状图或列表的方法，求小陆和小明选择同一个课程领域的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【答案】（1）14；
（2）14．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小丽和小宁选同一个课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）小陆选择项目化研究课程领域的概率是14，
故答案为：14；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小丽和小宁选同一个课程的结果有4种，
∴小陆和小明选同一个课程的概率为416=14．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
34．（2023•建湖县一模）今年的4月15日是第八个全民国家安全教育日，某校为了解学生的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次类别，并绘制如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查一共抽取了 200 名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，“较强”层次类别所占圆心角的为 72° ；
（3）若该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，请根据以上调查结果估算，全校需要强化安全教育的学生共有多少名？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【答案】（1）200；
（2）72°；
（3）全校需要强化安全教育的学生人数为450名．
【分析】（1）用一般层次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用总人数减其它层次人数，计算出较强层次的人数，即可补全条形统计图；
（2）用360°乘以“较强”层次所占的百分比，即可得到扇形统计图中“较强”层次所占圆心角；
（3）用1800乘以样本中“淡薄”和“一般”层次所占的百分比即可．
【详解】解：（1）30÷15%＝200（名），
∴这次调查一共抽取了200名学生，
（2）∵较强层次的人数为200﹣20﹣30﹣110＝40（名），
∴补全条形统计图如下，
故答案为：200；
（2）扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角为360°×40200=72°．
故答案为：72°；
（3）1800×20+30200=450（名），
∴估计全校需要强化安全教育的学生人数为450名．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，掌握题意由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键．
35．（2023•天宁区校级模拟）如图，矩形纸片ABCD，点E、F分别是边AD、BC上一点，将矩形纸片沿直线EF折叠，使得点B与点D重合．
（1）请用直尺和圆规作出直线EF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．
【考点】作图—复杂作图；翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【答案】（1）作图见解答；
（2）四边形BFDE为菱形．理由见解答．
【分析】（1）作BD的垂直平分线交AD于E点，交BC于F点；
（2）先利用折叠的性质得到EF垂直平分BD，则OB＝OD，再证明△DOE≌△BOF得到OE＝OF，然后利用EF和BD互相垂直平分可判断四边形BFDE为菱形．
【详解】解：（1）如图，EF为所作；
（2）EF交BD于O点，如图，
∵矩形纸片沿直线EF折叠，使得点B与点D重合，
∴EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
∠EDO=∠FBOOD=OB∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴OE＝OF，
∴EF和BD互相垂直平分，
∴四边形BFDE为菱形．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质和折叠的性质．
36．（2023•沛县模拟）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
（1）∠ACG＝ 60 度，∠ADG＝ 30 度．
（2）学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA＝3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）
（3）为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：3≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】（1）60，30；
（2）23米；
（3）设备的最低安装高度BA是4.1米．
【分析】（1）根据题意得出∠CAG＝∠DAG﹣∠DAC＝30°，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）根据题意，先求得AG＝2，解Rt△ADG即可求解；
（3）根据题意得出AC＝CD＝3，解Rt△AGC，得出AG=233，然后根据AB＝AG+GB，即可求解．
【详解】解：（1）依题意，DG⊥AG，
∵∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．
∴∠CAG＝∠DAG﹣∠DAC＝30°，
∴∠ACG＝90°﹣∠CAG＝60°；∠ADG＝90°﹣∠DAG＝30°，
故答案为：60；30；
（2）∵AB＝3.5，DF＝1.5，
∴AG＝AB﹣BG＝3.5﹣1.5＝2，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴GD=AGtan∠ADG=233=23（米），
∵BF＝GD，
∴图中BF的长度为23米；
（3）∵∠DAC＝30°，∠ADG＝30°，
∴AC＝CD＝3，
∴AG=AC⋅cs∠CAG=3×32=323（米），
∴BA＝AG+GB=332+1.5≈4.1（米），
∴设备的最低安装高度BA是4.1米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
37．（2023•工业园区校级模拟）如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，过点A的直线MA与FB的延长线交于点M，G为BF上一点，AG的延长线交⊙O于点E，连接BE，∠MAE+∠AFM＝90°．
（1）求证：AM∥EF；
（2）MA＝62，BE＝2，记△AMF的面积为S1，记△AEF的面积为S2，记△EFG的面积为S3，若S1•S3=35S22，求⊙O的半径．
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）⊙O的半径为3．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAF＝90°，从而可得∠ABF+∠AFB＝90°，进而可得∠ABF＝∠MAE，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABF＝∠AEF，从而可得∠MAE＝∠AEF，最后利用平行线的判定，即可解答；
（2）设△AGF的面积为S4，△AGM的面积为S5，AGGE=t，则S4S3=t，从而可得S4＝tS3，根据已知易得S1＝S4+S5，S2＝S4+S3，再证明8字模型相似三角形△AGM∽△EGF，从而利用相似三角形的性质可得S5＝t2S3，然后根据已知S1•S3=35S22，进行计算求出t的值，从而可得AGGE=32，进而利用相似三角形的性质可求出EF的长，最后根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEF＝90°，从而在Rt△BEF中，利用勾股定理可求出BF的长，即可解答．
【解答】（1）证明：∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵∠MAE+∠AFM＝90°，
∴∠ABF＝∠MAE，
∵∠ABF＝∠AEF，
∴∠MAE＝∠AEF，
∴AM∥EF；
（2）解：设△AGF的面积为S4，△AGM的面积为S5，AGGE=t，
∴S4S3=t，
∴S4＝tS3，
∵△AMF的面积为S1，△AEF的面积为S2，△EFG的面积为S3，
∴S1＝S4+S5，S2＝S4+S3，
∵∠MAE＝∠AEF，∠AGM＝∠EGF，
∴△AGM∽△EGF，
∴S5S3=（AGGE）2＝t2，
∴S5＝t2S3，
∵S1•S3=35S22，
∴（S4+S5）•S3=35（S4+S3）2，
∴（tS3+t2S3）•S3=35（tS3+S3）2，
整理得：2t2﹣t﹣3＝0，
解得：t=32或t＝﹣1（舍去），
∴AGGE=32，
∵△AGM∽△EGF，
∴AMEF=AGGE，
∴62EF=32，
∴EF＝42，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BEF＝90°，
∵BE＝2，
∴BF=BE2+EF2=22+(42)2=36=6，
∴⊙O的半径为3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
38．（2023•秦淮区校级模拟）小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB所示．
（1）试求线段OA所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请解释图中线段AB的实际意义；
（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过中，她所在位置与家的距离s（千米）与小明出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图象．（注：请标注出必要的数据）
【考点】一次函数的应用．
【答案】（1）s=112t(0≤t≤12)；（2）小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟；（3）见解析．
【分析】（1）OA为正比例函数图象，可以用待定系数法求出；
（2）AB段离家距离没发生变化说明在以家为圆心做曲线运动；
（3）妈妈的速度正好是小明的2倍，所以妈妈走弧线路用（20﹣12）÷2＝4分钟．
【详解】解：（1）线段OA对应的函数关系式为：s=112t(0≤t≤12)；
（2）图中线段AB的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟；
（3）由图像可知，小明花20分钟到达学校，则小明的妈妈花20﹣10＝10分钟到达学校，可知小明妈妈的速度是小明的2倍，即：小明花12分钟走1千米，则妈妈花6分钟走1千米，
∴D（16，1），
小明花20﹣12＝8分钟走圆弧形道路，
则妈妈花4分钟走圆弧形道路，故B（20，1）．
妈妈的图象经过（10，0），（16，1），（20，1），
如图中折线段CD﹣DB就是所作图象．
【点睛】本题通过一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．特别作一次函数图象，关键在于确定点，点确定好了，连接就可以得到函数图象．
39．（2023•锡山区校级模拟）问题提出：已知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，则AE′与DF′有怎样的数量关系．
【问题探究】
探究一：如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．
（1）如图1，直接写出DFAE的值 2 ；
（2）将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图，已知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．
如图3，若四边形ABCD为矩形，ABBC=22，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0＜α≤90）得到△E′BF′（E、F的对应点分别为E′、F′点），连接AE′、DF′，则AE'DF'的值是否随着α的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出AE'DF'的值．
【一般规律】
如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请直接写出AE′与DF′的数量关系．
【考点】相似形综合题．
【答案】问题探究：
探究一：（1）2；
（2）DF=2AE，理由见解析过程；
探究二：DF′=3AE′；
一般规律：DF=1+m2AE．
【分析】问题探究
探究一：（1）直接利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；
（2）先判断出BFBE=BDAB=2，进而得出△ABE∽△DBF，即可得出结论；
探究二：
先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD=3AB，再证明△BEF∽△BAD得到BEAB=BFBD，则BFBE=BDBA=3，接着利用旋转的性质得∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，所以BF'BE'=BDBA=3，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得DF'AE'=BDAB=3；
一般规律
作FM⊥AD，垂足为M．依据勾股定理可得Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=1+m2AB，再根据△DMF∽△ABD，可得DFMF=DBAB=1+m2，即可得出DF=1+m2AE；
【详解】解：问题探究：
探究一：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝45°，BD=2AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝∠ABD＝45°，
∴BE＝EF，
∴BF=2BE，
∴DF＝BD﹣BF=2AB−2BE=2（AB﹣BE）=2AE，
∴DFAE=2，
故答案为：2；
（2）DF=2AE，
理由：由（1）知，BF=2BE，BD=2AB，
∴BFBE=BDAB=2，
由旋转知，∠ABE＝∠DBF，
∴△ABE∽△DBF，
∴DFAE=BDAB=2，
∴DF=2AE；
探究二：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC=2AB，
∴BD=3AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴BEAB=BFBD，
∴BFBE=BDBA=3，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，
∴∠ABE′＝∠DBF′，BE′＝BE，BF′＝BF，
∴BF'BE'=BDBA=3，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴DF'AE'=BDAB=3．
即DF′=3AE′；
一般规律：
AE与DF的数量关系是：DF=1+m2AE；
理由：如图，作FM⊥AD，垂足为M．
∵∠A＝∠AEF＝∠AMF＝90°，
∴四边形AEFM是矩形，
∴FM＝AE，
∵AD＝BC＝mAB，
∴Rt△ABD中，BD=1+m2AB，
∵MF∥AB，
∴△DMF∽△ABD，
∴DFMF=DBAB=1+m2，
∴DF=1+m2MF=1+m2AE．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出△BCE是等边三角形是解本题的关键．
40．（2023•姑苏区校级模拟）如图1，抛物线y＝（x﹣m）2﹣2m+1（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．
（1）下列说法正确的是 ①②③ （填序号）．
①该抛物线开口向上；
②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方；
③该抛物线的顶点在直线y＝﹣2x+1上．
（2）如图2，若直线y＝﹣2x+1与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段MN的长是一个定值，并求出这个值．
（3）在（2）的条件下，点E是直线y＝﹣2x+1上的一个动点（图3），当EN：MN＝1：2时，△BMN与△BEM相似，求此时抛物线的函数表达式．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）①②③；
（2）线段MN的长度是定值25，理由见解答；
（3）抛物线的表达式为：y＝（x﹣3）2﹣5．
【分析】（1）由二次项系数判定①，令x＝0计算y的值判定②，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定③；
（2）联立直线解析式和抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点M和点N两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段MN的长度，判定是否为定值；
（3）先根据DN：MN＝1：2算出DN的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点N的坐标，再将点N的坐标代入抛物线解析式求出m得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点M和点N的坐标进行判定三角形是否相似，进而求解．
【详解】解：（1）由y＝（x﹣m）2﹣2m+1得顶点坐标为（m，﹣2m+1），二次项系数为1，
∴开口向上，故①正确，符合题意；
当x＝0时，y＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，
∴点C不一定在y轴正半轴上，故②错误，不符合题意；
将顶点坐标代入直线y＝﹣2x+1，得﹣2m+1＝﹣2m+1，故③正确，符合题意；
故答案为：①②③；
（2）由y=−2x+1y=(x−m)2−2m+1，得：x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2﹣2m，
∴MN2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝（x1﹣x2）2+（2x1+1+2x2﹣1）2＝5[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝5[（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）2]＝20，
则MN＝25，
∴线段MN的长度是定值25；
（3）∵DN：MN＝1：2，
∴DN25=12，
∴DN=5，
对直线y＝﹣2x+1，当x＝0时，y＝1，
∴D（0，1），OD＝1，
设N（x，﹣2x+1），则
DN=x2+(−2x+1−1)2=5，
解得：x＝﹣1或x＝1，
∴N（﹣1，3）或（1，﹣1），
将N（﹣1，3）代入y＝（x﹣m）2﹣2m+1，得3＝（﹣1﹣m）2﹣2m+1，
解得：m＝1或m＝﹣1，
当m＝1时，y＝x2﹣2x，
令y＝0时，x＝0或x＝2，
∴A（0，0），B（2，0），
由y=x2−2xy=−2x+1，得：x=1y=−1或x=−1y=3，
∴M（1，﹣1），N（﹣1，3），符合条件；
∴MB=1+1=2，MD=12+(−2)2=5，
∴MB：MN≠MD：MB，
∴△MBN与△MDB不相似，舍去；
当m＝﹣1时，y＝x2+2x+4，
令y＝0时，x2+2x+4＝0，无解；
将N（1，﹣1）代入y＝（x﹣m）2﹣2m+1，得﹣1＝（1﹣m）2﹣2m+1，
解得：m＝1或m＝3，
当m＝1时，不符合条件，舍去；
当m＝3时，y＝x2﹣6x+4，
由y=x2−6x+4y=−2x+1，解得：x=1y=−1或x=3y=−5，
∴N（1，﹣1），M（3，﹣5），
当y＝0时，x2﹣6x+4＝0，
解得：x＝3−5或x＝3+5，
∴A（3−5，0），B（3+5，0），
∴BM=30，DM＝35，
∵MN＝25，
∴MN：BM＝25：30=6：3，BM：DM=30：35=6：3，
∴MN：BM＝BM：DM，
∵∠BMN＝∠DMB，
∴△BMN∽△DMB，
综上所述，m＝3时，△MBN与△MDB相似．
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣3）2﹣5．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、两点之间的距离公式、相似三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是学会将题目中的语句和相关的知识点连接解题．
样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76
b
品种
购买价（元/棵）
成活率
A
28
90%
B
40
95%
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．