高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.5直线和椭圆的位置关系(精练)(原卷版+解析)

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【题型一 直线和椭圆位置关系】
1.(2023·全国·高三专题练习）直线y＝x＋2与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)
2.(2023·福建高三期末）直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
3. (2023·全国·高三专题练习）已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·深圳模拟)已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[3，＋∞)B．(－∞，3]
C．(3，＋∞)D．(－∞，3)
5.(2023·全国高三模拟）直线与椭圆的交点个数为（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【题型二 弦长问题】
1.(2023·青岛高三模拟）坐标原点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.若点，则 面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
2.(2023·山东日照高三模拟）(多选)已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(4\r(2),3)，则实数m的值为( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．(2023·武功县普集高级中学期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝eq \f(48,7)，求直线AB的方程．
4．(2023·全国高三模拟）已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
【题型三 中点弦问题】
1.(2023·全国高三专题练习）过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·模拟预测）已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，椭圆M的离心率为eq \f(1,2)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
(1)求椭圆M的方程；
(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线PQ的方程．
4.(2023·山西太原五中高三期末）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.
【题型四 直线与椭圆的综合问题】
1.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考）已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积.
2.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，且离心率为eq \f(\r(3),2).F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.
(1)求椭圆E和⊙F的方程；
(2)若直线l：y＝k(x－eq \r(3))(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
3. (2023·浙江·高三开学考试）已知动点M到两定点F1(－m,0)，F2(m,0)的距离之和为4(0(1)求m的值；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与曲线C有两个不同的交点A，B，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝2(O为坐标原点)，求k的值．
4. (2023·江西·高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
8.5 直线和椭圆的位置关系
【题型解读】
【题型一 直线和椭圆位置关系】
1.(2023·全国·高三专题练习）直线y＝x＋2与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)
答案：B
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，))
得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
由Δ>0且m≠3及m>0，
得m>1且m≠3.
2.(2023·福建高三期末）直线与椭圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
答案：A
【解析】直线可化为，所以直线恒过点，
又，即在椭圆的内部，
直线与椭圆的位置关系为相交.
故选：A.
3. (2023·全国·高三专题练习）已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设椭圆长轴长为（且，则椭圆方程为．
由 ，可得，
因为直线与椭圆只有一个交点，则，
即．
解得或或，
又由，所以，所以长轴长．
故选：．
4. (2023·深圳模拟)已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[3，＋∞)B．(－∞，3]
C．(3，＋∞)D．(－∞，3)
答案：A
【解析】∵直线方程为∴直线恒过定点
∵曲线的方程为∴曲线表示椭圆
∵直线与曲线：恒有公共点
∴点在椭圆内或椭圆上，即.∴
故选A.
5.(2023·全国高三模拟）直线与椭圆的交点个数为（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案：C
【解析】由题意，椭圆，可得，
则椭圆的右顶点为，上顶点为，
又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.
故选：C.
【题型二 弦长问题】
1.(2023·青岛高三模拟）坐标原点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.若点，则 面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
答案：A
【解析】直线方程为，代入椭圆方程得，，
设，则
，
点到直线的距离为，
所以（），
记，则，
当时，递增，当时，，递减，
所以时，取得唯一的极大值也是最大值．即△MAN面积的最大值为．
故选：A．
2.(2023·山东日照高三模拟）(多选)已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(4\r(2),3)，则实数m的值为( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案：AB
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x＋m))消去y并整理，
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
Δ＝16m2－12(2m2－2)
＝－8m2＋24>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(4m,3)，x1x2＝eq \f(2m2－2,3).
由题意，
得|AB|＝eq \r(2x1＋x22－8x1x2)＝eq \f(4\r(2),3)，
解得m＝±1，满足题意．
3．(2023·武功县普集高级中学期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝eq \f(48,7)，求直线AB的方程．
【解析】(1)由题意知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq \r(3)，
所以椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD的方程为y＝－eq \f(1,k)(x－1)．
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝eq \f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq \f(4k2－12,3＋4k2)，
所以|AB|＝eq \r(k2＋1)|x1－x2|＝eq \r(k2＋1)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(12k2＋1,3＋4k2).
同理，|CD|＝eq \f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k2)＋1)),3＋\f(4,k2))＝eq \f(12k2＋1,3k2＋4).所以|AB|＋|CD|＝eq \f(12k2＋1,3＋4k2)＋eq \f(12k2＋1,3k2＋4)
＝eq \f(84k2＋12,3＋4k23k2＋4)＝eq \f(48,7)，解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
4．(2023·全国高三模拟）已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
【解析】（1）由椭圆可得，所以，解得，
因为椭圆经过点，故得到，解得，
所以椭圆的方程为
（2）当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，
代入椭圆得解得，所以；
当切线不垂直轴时，设切线方程为即，
所以圆心到切线的距离，得，
把代入椭圆方程，整理得
设，则，
设，则，则
，
所以，
综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为
【题型三 中点弦问题】
1.(2023·全国高三专题练习）过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】直线中，令，可得，所以右焦点，，
设，，，，则，的中点，
联立，整理得，
所以，，
所以，
所以，又，，
所以，，
所以椭圆的方程为，
故选：A．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，则，，
则，
两式相减得：，
∴===，
又==，∴，
联立，得.
∴椭圆方程为.
故选：D．
3. (2023·全国·模拟预测）已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，椭圆M的离心率为eq \f(1,2)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
(1)求椭圆M的方程；
(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线PQ的方程．
【解析】(1)∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(1,2)，
则3a2＝4b2，
将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))代入椭圆方程得
eq \f(1,a2)＋eq \f(9,4b2)＝1，
解得a＝2，b＝eq \r(3)，
∴椭圆M的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，
∵线段PQ的中点恰为点N，
∴xP＋xQ＝2，yP＋yQ＝2.
∵eq \f(x\\al(2,P),4)＋eq \f(y\\al(2,P),3)＝1，eq \f(x\\al(2,Q),4)＋eq \f(y\\al(2,Q),3)＝1，两式相减可得
eq \f(1,4)(xP＋xQ)(xP－xQ)＋eq \f(1,3)(yP＋yQ)(yP－yQ)＝0，
∴eq \f(yP－yQ,xP－xQ)＝－eq \f(3,4)，
即直线PQ的斜率为－eq \f(3,4)，
∴直线PQ的方程为y－1＝－eq \f(3,4)(x－1)，
即3x＋4y－7＝0.
4.(2023·山西太原五中高三期末）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.
【解析】设、是椭圆E上关于直线的两个对称点，则应有：
①-②并把③代入得.
.⑥
联立④⑥得代入⑤得，解得.
【题型四 直线与椭圆的综合问题】
1.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考）已知椭圆左焦点为，经过点的直线与圆相交于，两点，是线段与的公共点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）与的交点为，，且恰为线段的中点，求的面积.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）由圆可得，
因为，
所以，
即，又，故，
所以椭圆的方程为；
（2）设，，，，
为线段的中点，则，
，又，
解得，，
若，则，直线的方程为，
由.解得，即，，
所以的面积，
若，同理可求得的面积，
综上所述，的面积为.
2.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，且离心率为eq \f(\r(3),2).F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.
(1)求椭圆E和⊙F的方程；
(2)若直线l：y＝k(x－eq \r(3))(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解析】(1)设E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题设知eq \f(1,a2)＋eq \f(3,4b2)＝1，eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(3),2).
解得a＝2，b＝1，故椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
因此F(eq \r(3)，0)，|PF|＝eq \f(1,2)，即⊙F的半径为eq \f(1,2).
所以⊙F的方程为(x－eq \r(3))2＋y2＝eq \f(1,4).
(2)由题设可知，A在E外，B在E内，C在⊙F内，D在⊙F外，在l上的四点A，B，C，D满足|AC|＝|AB|－|BC|，|BD|＝|CD|－|BC|.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，将l的方程代入E的方程得(1＋4k2)x2－8eq \r(3)k2x＋12k2－4＝0，
则x1＋x2＝eq \f(8\r(3)k2,4k2＋1)，
x1x2＝eq \f(12k2－4,4k2＋1)，
|CD|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \f(4k2＋4,4k2＋1)＝1＋eq \f(3,4k2＋1)＞1，
又⊙F的直径|AB|＝1，
所以|BD|－|AC|＝|CD|－|AB|＝|CD|－1>0，
故不存在正数k使|AC|＝|BD|.
3. (2023·浙江·高三开学考试）已知动点M到两定点F1(－m,0)，F2(m,0)的距离之和为4(0(1)求m的值；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与曲线C有两个不同的交点A，B，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝2(O为坐标原点)，求k的值．
【解析】(1)由0设曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1，把点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)))代入得eq \f(3,4)＋eq \f(1,4b2)＝1，解得b2＝1，由c2＝a2－b2，解得c2＝3，
所以m＝eq \r(3).
(2)由(1)知曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋\r(2)，))消去y得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋k2))x2＋2 eq \r(2)kx＋1＝0，
则有Δ＝4k2－1>0，得k2>eq \f(1,4).x1＋x2＝eq \f(8 \r(2)k,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4,1＋4k2)，
则eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq \r(2))(kx2＋eq \r(2))＝(1＋k2)x1x2＋eq \r(2)k(x1＋x2)＋2＝eq \f(6－4k2,1＋4k2)＝2.
得k2＝eq \f(1,3)>eq \f(1,4)，所以k的值为±eq \f(\r(3),3).
4. (2023·江西·高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
【解析】（1）设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．